ANALIZA SZEREGÓW
CZASOWYCH
Analiza szeregów czasowych
polega na określeniu i wyodrębnieniu z szeregu
występujących w nim prawidłowości, tendencji oraz
na oddzieleniu ich od niesystematycznych,
przypadkowych wahań. W szeregach czasowych
wyró\
nia się zatem dwie składowe:
składową systematyczną, będącą efektem
oddziaływań stałego zestawu czynników na szereg
czasowy oraz
składową przypadkową (zwaną często składnikiem
losowym lub wahaniami przypadkowymi).
Składowa systematyczna szeregu
mo\
e mieć postać jednego lub zło\
enia kilku
spośród elementów:
tendencji rozwojowej (trendu),
stałego (przeciętnego) poziomu szeregu,
składowej okresowej (składowej
periodycznej), która występuje w postaci
wahań cyklicznych lub sezonowych.
Zatem rozwój zjawiska w czasie mo\
e być wynikiem
nakładania się na siebie następujących czynników:
trend  długookresowa skłonność do jednokierunkowych zmian
(wzrostu lub spadku) wartości badanej zmiennej, jest
rozpatrywany jako konsekwencja działania stałego zestawu
czynników, takich jak np. w przypadku sprzeda\
y  wzrostu
liczby potencjalnych klientów, zmian w technologii czy
preferencjach konsumentów,
wahania sezonowe  regularne odchylenia od ustalonego
poziomu lub od linii trendu, mające skłonność do powtarzania
się w określonym czasie, nie przekraczającym jednego roku,
odzwierciedlają wpływ pogody lub "kalendarza" na działalność
gospodarczÄ…,
wahania cykliczne wyra\
ają się w postaci długookresowych,
rytmicznych wahań wartości zmiennej wokół tendencji
rozwojowej lub stałego (przeciętnego) poziomu tej zmiennej, w
ekonomii są one na ogół związane z cyklem koniunkturalnym,
wahania przypadkowe  wszystkie zmiany o charakterze
nieregularnym z punktu widzenia przebiegu szeregu.
 Identyfikację poszczególnych składowych
szeregu czasowego konkretnej zmiennej
umo\
liwia - w wielu przypadkach - ocena
wzrokowa sporzÄ…dzonego wykresu. Wykres
szeregu czasowego umo\
liwia ponadto
wykrycie obserwacji nietypowych oraz
punktów zwrotnych.
Szereg czasowy bez składowej
systematycznej
charakteryzuje siÄ™ zazwyczaj nieregularnym
oscylowaniem wartości zjawiska wokół
pewnego stałego poziomu. Nie obserwujemy
tu systematycznych zmian w czasie ani
regularnych odchyleń, mają miejsce
wyłącznie odchylenia przypadkowe. Nie
mo\
na przewidzieć losowych wahań szeregu.
Dobrą metodą określenia przewidywanej
wartość zjawiska jest wyznaczenie średniej
arytmetycznej z wartości zaobserwowanych
w przeszłości.
Liczba sprzedanych samochodów marki
OPEL w A
odzi w kolejnych tygodniach
Nr tygodnia Liczba sprzedawanych samochodów w
Nr tygodnia Liczba sprzedawanych samochodów w
Nr tygodnia Liczba sprzedawanych samochodów w
Nr tygodnia Liczba sprzedawanych samochodów w
szt.
szt.
szt.
szt.
1 15
1 15
1 15
1 15
2 17
2 17
2 17
2 17
3 19
3 19
3 19
3 19
4 16
4 16
4 16
4 16
5 15
5 15
5 15
5 15
6 11
6 11
6 11
6 11
7 18
7 18
7 18
7 18
8 14
8 14
8 14
8 14
9 16
9 16
9 16
9 16
10 9
10 9
10 9
10 9
Razem 150
Razem 150
Razem 150
Razem 150
10
9
8
7
6
5
Nr tygodnia
4
3
2
1
8
6
4
2
0
20
18
16
14
12
10
.
t
z
s
w
w
ó
d
o
h
c
o
m
a
s
h
c
y
n
a
d
e
z
r
p
s
a
b
z
c
i
L
Szereg czasowy z trendem
jest to szereg, w którym obserwujemy
systematyczne zmiany w czasie o stałym
charakterze (trend) oraz towarzyszÄ…ce im
zmiany przypadkowe.
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
y
wygładzanie szeregu
Wyodrębnienie trendu wią\
e siÄ™ z tzw.
wygładzaniem szeregu. Jest to tak\
e często
pierwszy krok w analizie szeregu czasowego
z większą liczbą składowych. Szereg
wygładzony pozwala obserwować dane z
pominięciem wahań krótkookresowych,
zwłaszcza wahań przypadkowych i
sezonowych.
Metody wygładzania
Najczęściej stosowane metody wygładzania
szeregu czasowego to:
mechaniczna - średnia ruchoma,
analityczna - funkcja trendu  prosty model
regresyjny, w którym zmienną niezale\
nÄ… jest
czas.
 Najprostszą z metod wygładzania
mechanicznego jest średnia ruchoma, czyli
krocząca. Jest to średnia arytmetyczna
wyznaczona z k kolejnych elementów
szeregu, zazwyczaj bezpośrednio
poprzedzajÄ…cych moment obserwacji t (t>k):
t-1
1
yt = yi
"
k
i=t-k
średnia
kurs akcji
Czas
średnia krocząca 15-okresowa
0
80
60
40
20
180
160
140
120
100
5
4
6
2
2
6
9
9
5
6
7
5
3
5
5
0
3
5
7
0
5
4
8
4
1
6
4
8
3
4
5
1
4
2
9
3
9
6
3
6
4
3
3
2
3
0
0
3
7
7
2
4
5
2
1
3
2
8
0
2
5
8
1
2
6
1
9
3
1
6
1
1
3
9
0
7
7
4
4
2
1
u
s
r
u
k
c
Å›
o
t
r
a
W
 Åšrednia ruchoma mo\
e być wykorzystywana
tak\
e jako prosta metoda prognozowania
przyszłych wartości szeregu czasowego. Przy
jej u\
yciu przewiduje siÄ™, \
e wartość yt w
momencie t będzie równa wartości średniej
ruchomej . Jest to metoda prognozowania
skuteczna dla niektórych szeregów, jednak
wadą średniej ruchomej (zwłaszcza dla
du\
ego k, np. k=15) jest przypisywanie
takiego samego znaczenia obserwacjom
odległym i najnowszym.
 W celu uwzględnienia postulatu większego
wpływu na średnią obserwacji najnowszych
stosuje się tzw. średnią wa\
onÄ… liniowo,
która jest następującej postaci:
t-1
yt =
i
"y wi-t+k+1
i=t-k
k
i
"w = 1
0 < w1 < w2 < ... < wk d" 1
i=1
Obliczanie średniej wa\
onej i
prostej
obserwacj
obserwacj
obserwacj
obserwacj
Nr wagi wagi wagi średnia wa ona suma Prosta średnia
Nr wagi wagi wagi rednia wa ona suma Prosta średnia
Nr wagi wagi wagi rednia wa\
ona suma Prosta średnia
Nr wagi wagi wagi rednia wa ona suma Prosta średnia
e
e
e
e
1 2 0,2
1 2 0,2
1 2 0,2
1 2 0,2
2 3 0,3 0,2 3,8 10 3,33
2 3 0,3 0,2 3,8 10 3,33
2 3 0,3 0,2 3,8 10 3,33
2 3 0,3 0,2 3,8 10 3,33
3 5 0,5 0,3 0,2 5,6 15 5,00
3 5 0,5 0,3 0,2 5,6 15 5,00
3 5 0,5 0,3 0,2 5,6 15 5,00
3 5 0,5 0,3 0,2 5,6 15 5,00
4 7 0,2 0,5 0,3 4,6 15 5,00
4 7 0,2 0,5 0,3 4,6 15 5,00
4 7 0,2 0,5 0,3 4,6 15 5,00
4 7 0,2 0,5 0,3 4,6 15 5,00
5 3 0,3 0,2 0,5 4,3 14 4,67
5 3 0,3 0,2 0,5 4,3 14 4,67
5 3 0,3 0,2 0,5 4,3 14 4,67
5 3 0,3 0,2 0,5 4,3 14 4,67
6 4 0,5 0,3 0,2 6,3 16 5,33
6 4 0,5 0,3 0,2 6,3 16 5,33
6 4 0,5 0,3 0,2 6,3 16 5,33
6 4 0,5 0,3 0,2 6,3 16 5,33
7 9 0,2 0,5 0,3 4,5 15 5,00
7 9 0,2 0,5 0,3 4,5 15 5,00
7 9 0,2 0,5 0,3 4,5 15 5,00
7 9 0,2 0,5 0,3 4,5 15 5,00
8 2 0,3 0,2 0,5 3,9 14 4,67
8 2 0,3 0,2 0,5 3,9 14 4,67
8 2 0,3 0,2 0,5 3,9 14 4,67
8 2 0,3 0,2 0,5 3,9 14 4,67
9 3 0,5 0,3 0,2 3,8 10 3,33
9 3 0,5 0,3 0,2 3,8 10 3,33
9 3 0,5 0,3 0,2 3,8 10 3,33
9 3 0,5 0,3 0,2 3,8 10 3,33
10 5 0,2 0,5 0,3 3,6 11 3,67
10 5 0,2 0,5 0,3 3,6 11 3,67
10 5 0,2 0,5 0,3 3,6 11 3,67
10 5 0,2 0,5 0,3 3,6 11 3,67
11 3 0,3 0,2 0,5 3,9 12 4,00
11 3 0,3 0,2 0,5 3,9 12 4,00
11 3 0,3 0,2 0,5 3,9 12 4,00
11 3 0,3 0,2 0,5 3,9 12 4,00
12 4 0,5 0,3 0,2 5,8 15 5,00
12 4 0,5 0,3 0,2 5,8 15 5,00
12 4 0,5 0,3 0,2 5,8 15 5,00
12 4 0,5 0,3 0,2 5,8 15 5,00
13 8 0,5 0,3 4,2 14 4,67
13 8 0,5 0,3 4,2 14 4,67
13 8 0,5 0,3 4,2 14 4,67
13 8 0,5 0,3 4,2 14 4,67
14 2 0,5 4,33
14 2 0,5 4,33
14 2 0,5 4,33
14 2 0,5 4,33
Porównanie średnich kroczących
10
9
8
7
6
średnia wa\
ona
5 wartości empiryczne
średnia prosta
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Czas
Wartość zmiennej
średnia wykładnicza
yt = Ä…yt-1 + (1-Ä… ) yt-1
qt-1 = yt-1 - yt-1
yt = yt-1 + Ä…qt-1
którą stosuje się szczególnie w przypadku
zmiennych, których wartości podlegają
częstym, gwałtownym i przypadkowym
wahaniom.
 Podstawowym problemem w przypadku
stosowania średnich wykładniczych jest
ustalenie wartości parametru wygładzania.
Dokonuje siÄ™ tego zazwyczaj
eksperymentalnie, tj. przyjmując ró\
ne
wartości ą sprawdzając, która z nich daje
najlepsze efekty (np. najmniejszy błąd
prognozy).
Obliczanie średniej wykładniczej dla
Ä…=0,5
Ä…
Ä…
Ä…
Nr obserwacje średnia prosta odchylenie średnia
Nr obserwacje rednia prosta odchylenie rednia
Nr obserwacje rednia prosta odchylenie rednia
Nr obserwacje rednia prosta odchylenie rednia
yt qt-1 wykładnicza
yt qt-1 wyk adnicza
yt qt-1 wyk adnicza
yt qt-1 wyk adnicza
1 31
1 31
1 31
1 31
2 32 32,33 -0,33
2 32 32,33 -0,33
2 32 32,33 -0,33
2 32 32,33 -0,33
3 34 34,00 0,00 31,83
3 34 34,00 0,00 31,83
3 34 34,00 0,00 31,83
3 34 34,00 0,00 31,83
4 36 34,00 2,00 34,00
4 36 34,00 2,00 34,00
4 36 34,00 2,00 34,00
4 36 34,00 2,00 34,00
5 32 33,67 -1,67 37,00
5 32 33,67 -1,67 37,00
5 32 33,67 -1,67 37,00
5 32 33,67 -1,67 37,00
6 33 34,33 -1,33 31,17
6 33 34,33 -1,33 31,17
6 33 34,33 -1,33 31,17
6 33 34,33 -1,33 31,17
7 38 34,00 4,00 32,33
7 38 34,00 4,00 32,33
7 38 34,00 4,00 32,33
7 38 34,00 4,00 32,33
8 31 33,67 -2,67 40,00
8 31 33,67 -2,67 40,00
8 31 33,67 -2,67 40,00
8 31 33,67 -2,67 40,00
9 32 32,33 -0,33 29,67
9 32 32,33 -0,33 29,67
9 32 32,33 -0,33 29,67
9 32 32,33 -0,33 29,67
10 34 32,67 1,33 31,83
10 34 32,67 1,33 31,83
10 34 32,67 1,33 31,83
10 34 32,67 1,33 31,83
11 32 33,00 -1,00 34,67
11 32 33,00 -1,00 34,67
11 32 33,00 -1,00 34,67
11 32 33,00 -1,00 34,67
12 33 34,00 -1,00 31,50
12 33 34,00 -1,00 31,50
12 33 34,00 -1,00 31,50
12 33 34,00 -1,00 31,50
13 37 33,67
13 37 33,67
13 37 33,67
13 37 33,67
3,33 32,50
3,33 32,50
3,33 32,50
3,33 32,50
14 31 38,67
14 31 38,67
14 31 38,67
14 31 38,67
Porównanie średniej prostej i wykładniczej
45,00
40,00
35,00
30,00
25,00 średnia prosta
odchylenie
20,00
średnia wykładnicza
15,00
wartości empiryczne
10,00
5,00
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-5,00
Czas
wartości zmiennej
Przykłady średnich wykładniczych dla
ró\
nych parametrów wygładzania
180
a=0,2
160
a=0,6
a=0,9
140
120
100
80
60
40
20
0
1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289 307 325 343 361 379 397 415 433 451 469 487 505 523 541 559 577 595 613 631
170
kurs akcji
150
a=0,2
a=0,6
a=0,9
130
110
90
70
50
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131
Modele trendu
są modelami regresji, w których rolę zmiennej
niezale\
nej pełni zmienna czasowa, czyli:
yt = f (t) + µt
W zale\
ności od postaci analitycznej funkcji f wyró\
niamy ró\
ne
rodzaje trendu. Do najczęściej wykorzystywanych nale\
y funkcja
liniowa, wykładnicza, potęgowa i wielomian stopnia drugiego .
Trend liniowy mo\
na zapisać jako:
yt = Ä…0 + Ä…1t + µt
w którym parametr ą1 wyra\
a stały przyrost z
okresu na okres wartości zmiennej objaśnianej.
W celu wykorzystania modelu trendu do
prognozowania nale\
y w pierwszym kroku
oszacować za pomocą MNK parametry tego
modelu na podstawie szeregu czasowego
obejmującego dane z przeszłości, czyli:
w
t = a0 + a1t
Przykład
Ceny pewnego produktu zmieniały się w ciągu roku,
a ich poziom w kolejnych miesiącach 1997 roku był
następujący:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
yt 30 31 33 33 32 34 33 34 35 36 36 37
yt 30 31 33 33 32 34 33 34 35 36 36 37
yt 30 31 33 33 32 34 33 34 35 36 36 37
yt 30 31 33 33 32 34 33 34 35 36 36 37
Za pomocÄ… liniowej funkcji trendu oszacuj ceny, jakich nale\
y siÄ™
spodziewać.
Szeregi czasowe ze składnikiem
sezonowym
Szereg czasowy ze składnikiem
sezonowym (bez trendu) jest to szereg, w
którym występują zmiany w czasie w postaci
wahań sezonowych, związane z cyklem
rocznym, tygodniowym, czasem miesięcznym
itp., następujące wokół stałego poziomu
średniego zjawiska.
Przykład szeregu czasowego z
rocznymi wahaniami sezonowymi.
3,5E+08
3,0E+08
2,5E+08
2,0E+08
1,5E+08
1,0E+08
5,0E+07
0,0E+00
1
0
-
y
t
s
0
0
-
u
r
g
0
0
-
s
i
l
0
0
-
z

a
p
0
0
-
z
r
w
0
0
-
e
i
s
0
0
-
p
i
l
0
0
-
e
z
c
0
0
-
j
a
m
0
0
-
i
w
k
0
0
-
r
a
m
0
0
-
t
u
l
0
0
-
y
t
s
9
9
-
u
r
g
9
9
-
s
i
l
9
9
-
z

a
p
9
9
-
z
r
w
9
9
-
e
i
s
9
9
-
p
i
l
9
9
-
e
z
c
9
9
-
j
a
m
9
9
-
i
w
k
9
9
-
r
a
m
9
9
-
t
u
l
9
9
-
y
t
s
8
9
-
u
r
g
8
9
-
s
i
l
8
9
-
z

a
p
8
9
-
z
r
w
8
9
-
e
i
s
8
9
-
p
i
l
8
9
-
e
z
c
8
9
-
j
a
m
8
9
-
i
w
k
8
9
-
r
a
m
8
9
-
t
u
l
8
9
-
y
t
s
W szeregu z wahaniami sezonowymi występują kolejne
okresy k obserwacji (sezonów) o powtarzającym się
przebiegu (z dokładnością do wahań przypadkowych).
W przypadku takiego szeregu nale\
y wyodrębnić wartości tzw.
wskaz
ników sezonowości (wskaz
niki wahań okresowych),
czyli wartości k współczynników ci, i=1, ...,k, określających
wpływ i-tego sezonu na ogólną wartość szeregu. Wskaz
niki te
wyznacza się jako stosunek średniej wartości szeregu w i-tym
sezonie (dla wszystkich kolejnych okresów) do średniej ogólnej
szeregu:
yi
ci =
y
gdzie:
1
yi =
"y
ni t"Ti t
jest średnią arytmetyczną wyznaczoną ze wszystkich
ni wartości szeregu, które reprezentują i-ty sezon, i=1, ..., k,
Ti  zbiór wszystkich numerów obserwacji (momentów w czasie)
reprezentujÄ…cych i-ty sezon, i=1, ..., k,
n
 średnia arytmetyczna wszystkich wartości szeregu.
1
y =
t
"y
n
t=1
Wskaz
niki sezonowości wyra\
a się w ułamkach lub procentach.
Przykład
Miesiąc Pobór Miesiąc Pobór
styczeń 98 309071852 sierpień 99 183955780,5
luty 98 273171395 wrzesień 99 200431479,5
marzec 98 292342661,5 paz
dziernik 99 246707880,4
kwiecień 98 237790335 listopad 99 280769012,3
maj 98 203923912,3 grudzień 99 305189752,3
czerwiec 98 186408775,7 styczeń 00 315302028,8
lipiec 98 175355381 luty 00 279768195,2
sierpień 98 194825496,2 marzec 00 286707360,6
wrzesień 98 211516599,9 kwiecień 00 219565277,8
paz
dziernik 98 261640452,4 maj 00 198439116,7
listopad 98 294692366,9 czerwiec 00 189793412,4
grudzień 98 313031640,7 lipiec 00 185421361,2
styczeń 99 296295652 sierpień 00 195471272,9
luty 99 282152439 wrzesień 00 219975710,6
marzec 99 276877813 paz
dziernik 00 239444130
kwiecień 99 224569205,1 listopad 00 264381672,7
maj 99 203184546,2 grudzień 00 288792049,5
czerwiec 99 185884209,6 styczeń 01 310979169,9
lipiec 99 176749136,6
Wskaz
niki sezonowości
MiesiÄ…c Wskaz
nik sezonowo ci
Miesi c Wska nik sezonowo ci
Miesi c Wska nik sezonowości
Miesi c Wska nik sezonowo ci
styczeń 1,26
stycze 1,26
stycze 1,26
stycze 1,26
luty 1,14
luty 1,14
luty 1,14
luty 1,14
marzec 1,17
marzec 1,17
marzec 1,17
marzec 1,17
kwiecień 0,93
kwiecie 0,93
kwiecie 0,93
kwiecie 0,93
maj 0,83
maj 0,83
maj 0,83
maj 0,83
czerwiec 0,77
czerwiec 0,77
czerwiec 0,77
czerwiec 0,77
lipiec 0,74
lipiec 0,74
lipiec 0,74
lipiec 0,74
sierpień 0,79
sierpie 0,79
sierpie 0,79
sierpie 0,79
wrzesień 0,86
wrzesie 0,86
wrzesie 0,86
wrzesie 0,86
paz
dziernik 1,02
pa dziernik 1,02
pa dziernik 1,02
pa dziernik 1,02
listopad 1,15
listopad 1,15
listopad 1,15
listopad 1,15
grudzień 1,24
grudzie 1,24
grudzie 1,24
grudzie 1,24
 Po obliczeniu wskaz
ników sezonowości
mo\
na wyznaczyć oczyszczone (z wpływu
sezonowości) wartości szeregu jako:
yt
w
t =
ci
gdzie ci jest wskaz
nikiem sezonowości
odpowiadajÄ…cym momentowi t.
Przykład
w
t
w
t
MiesiÄ…c yt ci MiesiÄ…c yt ci
sty 98 309071852 1,26 244446343 sie 99 183955781 0,79 234036025
lut 98 273171395 1,14 238986346 wrz 99 200431480 0,86 231725290
mar 98 292342662 1,17 249532578 paz
99 246707880 1,02 241031690
kwi 98 237790335 0,93 254759219 lis 99 280769012 1,15 244243631
maj 98 203923912 0,83 246032280 gru 99 305189752 1,24 245826348
cze 98 186408776 0,77 242289997 sty 00 315302029 1,26 249373818
lip 98 175355381 0,74 238337251 lut 00 279768195 1,14 244757613
sie 98 194825496 0,79 247864920 mar 00 286707361 1,17 244722499
wrz 98 211516600 0,86 244541154 kwi 00 219565278 0,93 235233609
paz
98 261640452 1,02 255620697 maj 00 198439117 0,83 239414926
lis 98 294692367 1,15 256355689 cze 00 189793412 0,77 246689273
gru 98 313031641 1,24 252142887 lip 00 185421361 0,74 252018600
sty 99 296295652 1,26 234341588 sie 00 195471273 0,79 248686503
lut 99 282152439 1,14 246843489 wrz 00 219975711 0,86 254321005
mar 99 276877813 1,17 236332371 paz
00 239444130 1,02 233935062
kwi 99 224569205 0,93 240594620 lis 00 264381673 1,15 229988128
maj 99 203184546 0,83 245140242 gru 00 288792050 1,24 232618214
cze 99 185884210 0,77 241608178 sty 01 310979170 1,26 245954849
lip 99 176749137 0,74 240231598
3,50E+08
3,00E+08
2,50E+08
2,00E+08
1,50E+08
1,00E+08
5,00E+07
0,00E+00
Szereg oczyszczony ze składowej
sezonowej
1
0
-
y
t
s
0
0
-
u
r
g
0
0
-
s
i
l
0
0
-
z

a
p
0
0
-
z
r
w
0
0
-
e
i
s
0
0
-
p
i
l
0
0
-
e
z
c
0
0
-
j
a
m
0
0
-
i
w
k
0
0
-
r
a
m
0
0
-
t
u
l
0
0
-
y
t
s
9
9
-
u
r
g
9
9
-
s
i
l
9
9
-
z

a
p
9
9
-
z
r
w
9
9
-
e
i
s
9
9
-
p
i
l
9
9
-
e
z
c
9
9
-
j
a
m
9
9
-
i
w
k
9
9
-
r
a
m
9
9
-
t
u
l
9
9
-
y
t
s
8
9
-
u
r
g
8
9
-
s
i
l
8
9
-
z

a
p
8
9
-
z
r
w
8
9
-
e
i
s
8
9
-
p
i
l
8
9
-
e
z
c
8
9
-
j
a
m
8
9
-
i
w
k
8
9
-
r
a
m
8
9
-
t
u
l
8
9
-
y
t
s
Szereg czasowy z trendem i
sezonowością
Szereg czasowy z trendem i sezonowością
jest to szereg, w którym nakładają się na
siebie składnik trendu oraz wpływ wahań
sezonowych.
dzień tygodnia
70
65
60
55
50
45
40
Przykład szeregu czasowego z trendem
i sezonowością
k
e
r
o
t
w
k
e
Å‚
a
i
z
d
e
i
k
n
e
t
o
Ä…
p
i
p
k
e
t
r
a
w
z
c
a
d
o
r
Å›
k
e
r
o
t
w
k
e
Å‚
a
i
z
d
e
i
k
n
e
t
o
Ä…
p
i
p
k
e
t
r
a
w
z
a
c
d
o
r
Å›
k
e
r
o
t
w
k
e
Å‚
a
i
z
d
e
i
k
n
e
t
o
Ä…
p
i
p
k
e
t
r
a
w
z
a
c
d
o
r
Å›
k
e
r
o
t
w
k
e
Å‚
a
i
z
d
e
i
k
n
e
t
o
Ä…
p
i
p
k
e
t
r
a
w
z
a
c
d
o
r
Å›
k
e
r
o
t
w
k
e
Å‚
a
i
z
d
e
i
n
a
n
e
c
o
p
Metody dekompozycji
Do analizy i prognozowania szeregu
czasowego, w którym występuje zło\
ona
składowa systematyczna wykorzystuje się
metody dekompozycji, polegajÄ…ce na
wyodrębnieniu poszczególnych czynników
określających zmienność tego zjawiska w
czasie.
W procesie dekompozycji wyró\
niamy
następujące etapy:
wygładzanie szeregu czasowego, w wyniku
którego otrzymujemy szereg wygładzony
w
t
oczyszczenie szeregu z trendu, w wyniku
którego otrzymuje się szereg wt,
wyznaczenie czynnika sezonowego, w
wyniku którego oblicza się wskaz
niki
sezonowości ci,
oddzielenie trendu i czynnika sezonowego z
szeregu.
Rodzaj modelu
Sposób wyznaczenia czynnika sezonowego zale\
y od
tego, czy mamy do czynienia z sezonowością
multiplikatywnÄ… czy addytywnÄ….
W modelu multiplikatywnym przyjmuje siÄ™, \
e
obserwowane wartości zmiennej prognozowanej są
iloczynem (wszystkich lub niektórych) składowych
szeregu czasowego. Model multiplikatywny jest
najczęściej u\
ywanym modelem w dekompozycji
szeregów czasowych.
W modelu addytywnym zakłada się, \
e
obserwowane wartości zmiennej prognozowanej są
sumą (wszystkich lub niektórych) składowych
szeregu czasowego.
Wyznaczanie wskaz
ników sezonowości rozpoczyna się od obliczenia
indywidualnych wskaz
ników sezonowości wt, będących ciągiem
wartości szeregu uwolnionych od wpływu trendu:
w modelu z sezonowością multiplikatywną
oblicza siÄ™ ilorazy:
yt
wt =
dla t=1,2,..,n,
w
t
dla modelu z sezonowością addytywną
wyznacza się ró\
nice:
dla t=1,2,..,n.
wt = yt - w
t
Surowe wskaz
niki sezonowości
Następnie wyznacza się surowe wskaz
niki
sezonowości jako średnie arytmetyczne
indywidualnych wskaz
ników sezonowości
obliczone dla ka\
dego sezonu osobno, czyli
ze zbioru momentów jednoimiennych pod
względem sezonu:
s
i+ jk
"w
j=0
ci' =
s
gdzie:
s- liczba jednoimiennych sezonów,
k - liczba faz wahań w cyklu.
Surowe wskaz
niki sezonowości
Surowe wskaz
niki sezonowości informują, o
ile poziom zjawiska jest wy\
szy lub ni\
szy od
poziomu, jaki byłby osiągnięty, gdyby nie było
wahań, a rozwój następowałby zgodnie z
trendem.
Czyste wskaz
niki sezonowości
Czyste wskaz
niki sezonowości otrzymuje się
jako iloraz surowych wskaz
ników
sezonowości przez średnią arytmetyczną
wszystkich wskaz
ników surowych:
k
ci = c'i k
i
"c'
i=1
Suma otrzymanych wskaz
ników jest równa liczbie faz wahań
okresowych.
Przykład
Lp. Data Dzień tygodnia Cena
1 95-10-02 poniedziałek 68,5
2 95-10-03 wtorek 65,6
3 95-10-04 środa 64,7
4 95-10-05 czwartek 65
5 95-10-06 piÄ…tek 67
6 95-10-09 poniedziałek 64,7
7 95-10-10 wtorek 57,4
8 95-10-11 środa 55,6
9 95-10-12 czwartek 54,7
10 95-10-13 piÄ…tek 57,2
11 95-10-16 poniedziałek 55,6
12 95-10-17 wtorek 51,2
13 95-10-18 środa 49,2
14 95-10-19 czwartek 49,4
15 95-10-20 piÄ…tek 52
16 95-10-23 poniedziałek 54,7
17 95-10-24 wtorek 50,7
18 95-10-25 środa 48,5
19 95-10-26 czwartek 48
20 95-10-27 piÄ…tek 51,4
21 95-10-30 poniedziałek 53
22 95-10-31 wtorek 49,9
średnia ruchoma 5-
Lp. Data Dzień tygodnia Cena okresowa wt
1 95-10-02 poniedziałek 68,5
2 95-10-03 wtorek 65,6
3 95-10-04 środa 64,7
4 95-10-05 czwartek 65
5 95-10-06 piÄ…tek 67 66,16 1,013
6 95-10-09 poniedziałek 64,7 65,4 0,989
7 95-10-10 wtorek 57,4 63,76 0,900
8 95-10-11 środa 55,6 61,94 0,898
9 95-10-12 czwartek 54,7 59,88 0,913
10 95-10-13 piÄ…tek 57,2 57,92 0,988
11 95-10-16 poniedziałek 55,6 56,1 0,991
12 95-10-17 wtorek 51,2 54,86 0,933
13 95-10-18 środa 49,2 53,58 0,918
14 95-10-19 czwartek 49,4 52,52 0,941
15 95-10-20 piÄ…tek 52 51,48 1,010
16 95-10-23 poniedziałek 54,7 51,3 1,066
17 95-10-24 wtorek 50,7 51,2 0,990
18 95-10-25 środa 48,5 51,06 0,950
19 95-10-26 czwartek 48 50,78 0,945
20 95-10-27 piÄ…tek 51,4 50,66 1,015
21 95-10-30 poniedziałek 53 50,32 1,053
22 95-10-31 wtorek 49,9 50,16 0,995
W kolejnej tabeli obliczamy surowe wskaz
niki sezonowości sumując dla
ka\
dego z dni tygodnia (faz w cyklu tygodniowym) ilorazy wt. Wskaz
niki
sezonowości otrzymujemy dzieląc wskaz
niki surowe przez ich średnią.
dzień liczba dni suma wt surowe wskaz
niki czyste wskaz
niki
dzie liczba dni suma wt surowe wska niki czyste wska niki
dzie liczba dni suma wt surowe wska niki czyste wska niki
dzie liczba dni suma wt surowe wska niki czyste wska niki
poniedziałek 4 4,100 1,025 1,059
poniedzia ek 4 4,100 1,025 1,059
poniedzia ek 4 4,100 1,025 1,059
poniedzia ek 4 4,100 1,025 1,059
wtorek 4 3,819 0,955 0,986
wtorek 4 3,819 0,955 0,986
wtorek 4 3,819 0,955 0,986
wtorek 4 3,819 0,955 0,986
środa 3 2,766 0,922 0,952
roda 3 2,766 0,922 0,952
roda 3 2,766 0,922 0,952
roda 3 2,766 0,922 0,952
czwartek 3 2,799 0,933 0,964
czwartek 3 2,799 0,933 0,964
czwartek 3 2,799 0,933 0,964
czwartek 3 2,799 0,933 0,964
piÄ…tek 4 4,025 1,006 1,039
pi tek 4 4,025 1,006 1,039
pi tek 4 4,025 1,006 1,039
pi tek 4 4,025 1,006 1,039
suma 4,841 5
suma 4,841 5
suma 4,841 5
suma 4,841 5
średnia 0,968
rednia 0,968
rednia 0,968
rednia 0,968
 Ceny są w poniedziałek wy\
sze od
wyznaczonych na podstawie średniej
ruchomej średnio o 5,9%, we wtorek, środę i
czwartek sÄ… ni\
sze odpowiednio o 1,4%,
4,8% i 3,6%, zaÅ› w piÄ…tek sÄ… wy\
sze średnio
o 3,9%.
Błędy prognozy
błąd średniokwadratowy  MSE,
pierwiastek błędu średniokwadratowego -
RMSE
średnie odchylenie bezwzględne  MAD,
systematyczne odchylenie  BIAS,
Błąd średniokwadratowy  MSE
n
2
( -
y w
)
"
i i
i = 1
MSE =
n
MSE jest błędem powszechnie wykorzystywanym w
programach komputerowych. Mo\
na powiedzieć, \
e
błąd średniokwadratowy jest pomiarem wariancji
znanej ze statystyki. Średnia kwadratów błędu MSE
ma znaczenie pomocnicze do oceny stopnia
dopasowania. Mo\
na jednak na podstawie jej
składowych ocenić, w jakim stopniu do wysokości tego
błędu przyczynia się zły sposób odwzorowania
badanego zjawiska a w jakim zakłócenia związane z
nieprzewidywalnym składnikiem losowym modelu.
Pierwiastek błędu
średniokwadratowego - RMSE
n
2
y w
)
"( -
i i
i=1
RMSE= = MSE
n
Błąd średniokwadratowy, podobnie jak wariancja,
mianowany jest w kwadratach jednostek zmiennej
objaśnianej, a przez to nie jest wygodny do
interpretacji. W praktyce preferuje siÄ™ wykorzystanie
pierwiastka z błędu średniokwadratowego,
mówiącego o ile jednostek, przeciętnie rzecz biorąc,
wartości zmiennej y odchylają się na plus lub minus
od wyniku rzeczywistego.
Średnie odchylenie bezwzględne 
MAD
n
-
y w

"
i i
i = 1
MAD =
n
Średnie odchylenie bezwzględne podobnie jak błąd
średniokwadratowy jest wyliczany przez programy
komputerowe. We wzorze, brana jest pod uwagÄ™
wartość bezwzględna odejmowania prognozy od
wyniku rzeczywistego. MAD jest popularny w
praktyce, gdy\
mo\
na go policzyć bez uciekania się
do \
mudnych rachunków. MAD jest to średnia
arytmetyczna bezwzględnych odchyleń wartości
cechy od średniej arytmetycznej. Określa o ile
jednostki danej zbiorowości ró\
nią się średnio, ze
względu na wartość cechy, od średniej
arytmetycznej.
Systematyczne odchylenie  BIAS
n
( - )
y w

"
i i
i =1
BIAS =
n
BIAS wskazuje wielkość błędu systematycznego. W
jego wzorze, w liczniku następuje odejmowanie
wartości prognozy od wyniku rzeczywistego. Gdy
jego wartość jest dodatnia, prognozy są zani\
one
względem wyników rzeczywistych, gdy jest ujemny,
prognozy sÄ… zawy\
one.