[e-mail]
Prof. Krzysztof Jemielniak Plan wykładu
http://www.zaoios.pw.edu.pl/kjemiel
ST 107, tel. [phone]
1 Wstęp
Cyfrowe
2 Sygnały i systemy
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
przetwarzanie
4 Przetwarzanie analogowo cyfrowe
sygnałów
5 Przekształcenie Fouriera
5 Przekształcenie Fouriera
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
7 Przekształcenie Laplace a
5. Przekształcenie Fouriera
8 Przekształcenie Z
część I
9 Filtry cyfrowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5 Przekształcenie Fouriera, część I Nieco historii
" Starożytni Egipcjanie i Babilończycy przewidywali ruchy ciał
niebieskich prawdopodobnie stosując równania
Babilońska lista gwiazd
Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
trygonometryczne
" 1669: Newton przypadkiem odkrył widmo (spektrum od
" Szeregi Fouriera
specter=duch) światła białego (tęcza), ale nie wpadł na
" Przekształcenie Fouriera koncepcję częstotliwości  wyznawał wtedy korpuskularną
teorię światła, bez fal.
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera I. Newton
(1643-1727)
" XVIII wiek: dwa ważne odkrycia:
" Analiza równania DFT
" orbity ciał niebieskich: Lagrange, Euler & Clairaut przybliżali
wyniki obserwacji przy pomocy kombinacji funkcji okresowych;
" Symetria DFT Clairaut w 1754 roku podał pierwsze równanie DTF!
" Euler opisał ruch drgającej struny sinusoidami (równania falowe). JL Lagrange A.Clairaut
" Amplitudy i częstotliwości DFT
(1713-1765)
(1736-1813)
" ALE wszyscy uczeni byli zgodni co do tego, że suma sinusoid
może reprezentować jedynie gładkie krzywe.
" Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
" To wielkie ograniczenie ich użyteczności dla wszystkich&
" Wstępne podsumowanie i takie różne
" z wyjątkiem Fouriera! J�
L Euler
(1707-1783
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Fourier który& ? Konsekwencja sumowania sinusoid
 Dowolna funkcja ciągła lub nie, zdefiniowana
w skończonym przedziale przez dowolnie
kapryśny przebieg, może być zawsze wyrażona
jako suma sinusoid. suma fal
grudzień, 21, 1807
trzecia fala
Recenzenci: Laplace, Lagrange i Legendre uznali, że jest niemożliwe,
by suma sinusów i kosinusów mogła w sumie dać cokolwiek poza
nieskończoną funkcją różniczkową. Odmówili publikacji& .
Po 15 latach prób, upokorzeń i frustracji, opublikował swoje wyniki w
Jean B. Joseph Fourier
Theorie Analytique de la Chaleur (Analityczna teoria ciepła) 1822.
(1768-1830)
Następne 150 lat: jego idee zostały uogólnione i szeroko rozpowszechnione.
Lord Kelvin:  Twierdzenie Fouriera jest nie tylko jednym z najpiękniejszych wyników
pierwsza fala druga fala
współczesnej analizy, ale można o nim powiedzieć, że dostarcza niezastąpionego
instrumentu przy rozważaniu niemal każdego zawiłego problemu w fizyce współczesnej
Szybka transformata Fouriera => prostota obliczeniowa=>królowa transformat
Wiele zastosowań inżynierskich, finansowych itd.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
1
Sumowanie sinusoid Rozkład sygnału na składowe
Składanie przebiegu prostokątnego (square wave  sw) z sinusoid
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1
1
1
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
111
7
5
3
9
sw7(t) =� in(kt
sw3(t) =� sn(kt)]�]�
sw5(t))=� b si n(kt
sw1(t))=�=� bk ��sin(kt)]�
sw9(t
sw11(t=�
��--bk
��[�-bk
��[�-bb����ssn(kt)]�]�]�
��[�[�-[�-kkk����s��iiin(kt))) 0
��
��[�
0
0
0
0
0
0
k=�11
kk=�
k=�1
k=�1
k=�1
=�1
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
t
t
t
t
t
t
t
Przebieg prostokątny może być uzyskany przez dodawanie do siebie czystych sinusoid
będących wielokrotnościami (harmonicznymi) częstotliwości podstawowej.
Każdy sygnał może być otrzymany przez dodanie właściwych
sinusoid z odpowiednimi amplitudami i fazami
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5 Przekształcenie Fouriera, część I Szeregi Fouriera (SF)
*
Okresowa funkcja x(t) spełniająca warunki Dirichleta może być wyrażona
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
jako szereg Fouriera, o harmonicznie powiązanych elementach sin/cos
Szeregi Fouriera
" Szeregi Fouriera
" Przekształcenie Fouriera
a0, ak, bk : współczynniki
+�Ą�
Fouriera
x(t) =� a0 +� �� cos(k �t) -� bk �� sin(k �t)]�
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera ��[�ak
k=�1
k: numer harmonicznej,
dla wszystkich t z wyjątkiem
" Analiza równania DFT nieciągłości
T: okres podstawowy, w� = 2p�/T
" Symetria DFT
T
1 (średnia wartość sygnału w okresie, czyli składowa
" Amplitudy i częstotliwości DFT
a0 =� ��
��x(t)dt stała, odpowiadająca częstotliwości 0)
T
0
" Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
T
2
ak =� �� �� cos(k� t) dt
��x(t)
" Wstępne podsumowanie i takie różne T
0
T * zaraz to wyjaśnimy
2
- bk =� �� �� sin(k� t) dt
��x(t)
T
0
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Warunki Dirichleta Analiza częstotliwościowa: po co?
By funkcja x(t) mogła być przedstawiona przy pomocy szeregu Fouriera spełniać
warunki Dirichleta:
�� Szybkie i wydajne narzędzie do analizy składowych sygnału
�� Upraszcza oryginalny problem  np. rozwiązywanie równań różniczkowych
1. w przedziale czasu równym okresowi posiada skończoną liczbę punktów
nieciągłości
�� Potężne narzędzie komplementarne do technik z dziedziny czasu
2. w przedziale czasu równym okresowi ma skończoną liczę maksimum
�� Mamy szereg transformat w CPS: Fouriera, Laplace, Z itd
lokalnych i minimum lokalnych;
T
Ogólnie: transformata jako narzędzie
+"|x(t)|dt<"
3. Funkcja okresowa jest bezwzględnie całkowalna, tzn.:
rozwiązywania problemów
0
T
analiza
przykład-
przebieg czas, t częstotliwość, f
prostokątny
F
x(t) X(f) = F[x(t)]
x(t), X(f) :
x(t)
Para Transformat
synteza
T
(1) (2) (3)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
2
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
Szereg Fouriera - analiza SF - synteza
T=2p� �� w�=1
1.5
SF funkcji nieparzystej:* fala prostokątna sw(t)
2� �p�
Rekonstrukcja fali prostokątnej ze składowych widmowych
1
0.5
(średnia=0)
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
0
0 2 4 6 8 10
t
-0.5
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0  p� � p� � 2p� � 0.5
1
7
5
3
11
9
(funkcja parzysta)
sw5(t) =� in(kt
sw3(t) =� �� n(kt)]�]�
sw11(t)=� si n(kt)
sw1(t))=�=� bk ��sin(kt)]�
sw9(t)
sw7(t =�
��[�--bk����siin(kt)]�]�]�
��--bk
��[�-bb
��[�[�-[�bkkk����sssin(kt)) 0
��
��[�
0
0
0
0
0
0
k=�11
k=�1
k=�1
kk=�
k=�1
=�1
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
(funkcja nieparzysta)
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
* Funkcje parzyste i nieparzyste -1.5
-1.5
s(x) 0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
x(t)
t
t
t
t
t
t
t
parzyste :
Zbieżność może być dość wolna i do ideału potrzeba nieskończenie wielu
x(-t) = x(t)
x
wyrazów
t
Praktycznie, serię się kończy gdy reszta jest poniżej tolerancji komputerowej
s(x)
x(t)
(�� error). ALe & zjawisko Gibbsa
nieparzyste :
x
t
x(-t) = -x(t)
http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eLessonsHTML/Freq/Freq4.html
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zjawisko Gibbsa 5 Przekształcenie Fouriera, część I
1.5
Przeregulowanie wstępuje 1 " Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
przy każdej nieciągłości
0.5
" Szeregi Fouriera
0
" Przekształcenie Fouriera
Przekształcenie Fouriera
-0.5
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera
79
-1
sw79(t) =� ��sin(kt)]�
��[�-bk
" Analiza równania DFT
k=�1
-1.5
0 2 4 6 8 10
" Symetria DFT
t
" Amplitudy i częstotliwości DFT
" Zaobserwowane po raz pierwszy przez Michelson w 1898.
" Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
Wyjaśnione przez Gibbsa.
" Wstępne podsumowanie i takie różne
" Największe przeregulowanie pik-to-pik wynosi 8.95%
amplitudy nieciągłości  można wytrzymać J�
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przekształcenie Fouriera (Fourier Transform  FT) Znaczenie przekształcenia Fouriera
A co jeśli funkcja nie jest okresowa?
Możemy uznać, że jej okres jest nieskończony!
�� Rozpatrzmy przekształcenie Fouriera jako iloczyn
W ten sposób przechodzimy od szeregów Fouriera do obustronnie nieskończonych sygnałów
przekształcenia Fouriera (FT) zdefiniowanego jako:
"
"
X(f)= x(t)e-j2p�ftdt X(f)= x(t)"e-j2p�ftdt
+"
+"
-"
-"
gdzie x(t) jest sygnałem ciągłym w dziedzinie czasu
�� Wyrażenie to odpowiada na pytanie:
W dziedzinie przetwarzania sygnałów ciągłych równanie to jest używane
do przetworzenia funkcji x(t) ciągłej w dziedzinie czasu w funkcję X(f)
 Czy istnieje nieskończona sinusoida ej2p�ft w sygnale x(t)
ciągłą w dziedzinie częstotliwości.
Następująca po tym ocena wyrażenia dla X(f) pozwala nam określić
zawartość częstotliwościową dowolnego sygnału.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3
square signal, sw(t)
fala prostokątna sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
square signal, sw(t)
al
uare
t
i
ką
al
sw
)
f
sq
a pros
s
o
gn
tn
,
a
sw(
(
t
t)
Ale jak to działa? FT w działaniu
�� FT wykorzystuje funkcje Eulera (sinusoidy) jako podstawowe
elementy składowe:
e-j2p�ft=cos(2p�ft)  jsin(2p�ft)
�� Sinusoida o każdej częstotliwości f jest mnożona przez cały sygnał
(porównywana z sygnałem).
�� Jeśli w sygnale występuje składowa o częstotliwości f, korelacja między
sinusoidą a sygnałem jest wysoka i wysoki jest współczynnik FT:
F
"
X(f)= x(t)e-j2p�ftdt
+"
-"
�� Jeśli w sygnale nie występuje składowa o częstotliwości f, korelacja
jest niska lub zerowa, a współczynnik FT jest także niski lub zerowy.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
FT w działaniu FT w działaniu
x1(t) =� cos(2p� ��5��t)
F
x1(t)
X1(w�)
x2(t) =� cos(2p� ��25��t)
F
x2(t) X2(w�)
x3(t) =� cos(2p� ��50��t)
F
x3(t) X3(w�)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
FT w działaniu 5 Przekształcenie Fouriera, część I
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
" Szeregi Fouriera
x4(t) =� cos(2p� ��5��t)
" Przekształcenie Fouriera
+� cos(2p� �� 25��t)
+� cos(2p� ��50��t)
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera
Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera
" Analiza równania DFT
" Symetria DFT
" Amplitudy i częstotliwości DFT
F
x4(t) X4(w�) " Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
" Wstępne podsumowanie i takie różne
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
4
Dyskretne przekształcenie Fouriera Dyskretne przekształcenie Fouriera
Ciągłe przekształcenie Fouriera, zdefiniowane jako:
"
" DFT jest jedną z dwóch najbardziej popularnych i
X(f)= x(t)"e-j2p�ftdt
+"
wydajnych procedur spotykanych w dziedzinie cyfrowego
-"
odpowiada na pytanie: Czy istnieje nieskończona sinusoida ej2p�ft w sygnale x(t)
przetwarzania sygnałów (drugą jest filtracja cyfrowa.)
Dyskretne przekształcenie Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform - DFT)
" DFT pozwala nam analizować, badać i syntezować
jest zdefiniowane jako dyskretny ciąg X[m] w dziedzinie częstotliwości:
sygnały w sposób niemożliwy do wykorzystania przy
współrzędne biegunowe!
przetwarzaniu sygnałów ciągłych (analogowych).
gdzie:
X[m] - m-ta składowa wyjściowa DFT, tj. X[0], X[1], X[2], X[3] itd.,
" Z tego powodu właściwe rozumienie DFT jest
m - indeks próbek wyjściowych DFT w dziedzinie częstotliwości, m=0,1,2,3....,N-1
obowiązkowe dla każdego, kto działa w dziedzinie
x[n] - ciąg próbek wejściowych, x[0], x[1], x[2], x[3] itd.,
n - indeks próbek wejściowych w dziedzinie czasu, n = 0,1,2,3,... ...,N-1,
cyfrowego przetwarzania sygnałów.
__
j - "-1 oraz
N - liczba próbek ciągu wejściowego równa liczbie punktów częstotliwości
w ciągu wyjściowym DFT.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Podstawy DFT Podstawy DFT cd.
Dyskretna Transformata Fouriera (Discrete Fourier Transform Zastosowanie DFT do N próbek w dziedzinie czasu, daje w wyniku również
N próbek, tym razem w dziedzinie częstotliwości.
DFT) przekształca dyskretny (cyfrowy) sygnał w dziedzinie
Analogicznie do odstępu między w próbkami w czasie, ts mamy odstęp w
czasu na sygnał w dziedzinie częstotliwości.
dziedzinie częstotliwości:
fs
__ 1 1
Sygnał w dziedzinie czasu x[nts]
Sygnał w dziedzinie częstotliwości X[f] Df= = ___ = __
N Nts T
DFT Df jest nazywane rozdzielczością częstotliwości.
czas (s), nr próbki
częstotliwość (Hz)
W celu zwiększenia rozdzielczości częstotliwości (mniejsze Df)
trzeba zwiększyć czas próbkowania T (okno czasowe), czyli:
Przyjmijmy, że otrzymaliśmy N próbek z karty DAQ z częstotliwością
próbkowania fs Hz. Odstęp czasowy między próbkami (okres próbkowania) " zwiększyć liczbę próbek N przy stałej częstotliwości próbkowania fs
wynosi;
lub
ts=1/fs " zmniejszyć częstotliwości próbkowania fs pozostawiając liczbę próbek
N bez zmian
a czas próbkowania (długość okna czasowego): T=N ts
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Podstawy DFT cd. 5 Przekształcenie Fouriera, część I
Rozdzielczość częstotliwości Df :
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
fs
__ 1 1
Df= = ___ = __
N Nts T
" Szeregi Fouriera
odpowiada także położeniu (częstotliwości) pierwszego prążka fmin
" Przekształcenie Fouriera
Oznacza to, że aby uchwycić składową sygnału o niskiej częstotliwości,
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera
okno czasowe T musi obejmować co najmniej jeden okres tej składowej.
" Analiza równania DFT
Analiza równania DFT
Przypomnijmy także, iż najwyższa możliwa do zaobserwowania
" Symetria DFT
częstotliwość to połowa częstotliwości próbkowania: fmax=fs/2
" Amplitudy i częstotliwości DFT
Tymczasem, w wynikach DFT:
" Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
fmin=fs/N=1/T " Wstępne podsumowanie i takie różne
?L�
fmax=(N-1)Df=fs-Df
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5
amplituda
amplituda
Analiza równania DFT Analiza równania DFT
N-1
Przyjrzyjmy się uważniej indeksom równania DFT
X[m]= x[n]e-j2p�nm/N
Równanie ma niezbyt przyjazny wygląd L�
S �
N-1
n=0
X[m]= x[n]e-j2p�nm/N
S �
Zmienimy go wykorzystując równanie Eulera e-jf=cosf  jsinf:
n=0
N-1
X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
" Indeksy n dla próbek wejściowych oraz m dla próbek wyjściowych DFT S �
n=0
zawsze zmieniają się od 0 do N-1 w standardowej notacji DFT.
współrzędne prostokątne!
Uzyskaliśmy rozdzielenie części rzeczywistej od urojonej.
" Oznacza to, że mając N próbek wejściowych w dziedzinie czasu, DFT
wyznacza zawartość widmową sygnału wejściowego w N równomiernie
Spróbujmy pozbyć się znaku sumy i rozpiszmy wszystkie człony np. dla N=4
rozłożonych punktach osi częstotliwości.
Równanie DFT przyjmie (jeszcze ze znakiem sumy) postać:
" Wartość N jest bardzo ważnym parametrem, ponieważ określa:
4
" ile wymaganych jest próbek wejściowych,
X[m]= x[n](cos(2p�nm/4)  jsin(2p�nm/4))
S �
n=0
" jaka jest rozdzielczość wyników w dziedzinie częstotliwości
" jaki jest czas przetwarzania wymagany do obliczenia N-punktowej DFT.
A więc rozpiszmy to równanie człon po członie:
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
N-1 N-1
Analiza równania DFT Analiza równania DFT
X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N)) X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
S � S �
n=0 n=0
Np. niech fs=500Hz, N=16
dla m=0 mamy:
dla m=1 mamy:
X[0] = x[0]cos(2p��0�0/4) - jx[0]sin(2p��0�0/4)+ X[1] = x[0]cos(2p��0�1/4) - jx[0]sin(2p��0�1/4)+
" Częstotliwość podstawowa tych sinusoid wynosi fs/N = 500/16= 31.25 Hz.
x[1]cos(2p��1�0/4) - jx[1]sin(2p��1�0/4)+ x[1]cos(2p��1�1/4) - jx[1]sin(2p��1�1/4)+
" przypomnijmy  rozdzielczość częstotliwości DFT to df=1/T=1/(Nts)=fs/N
x[2]cos(2p��2�0/4) - jx[2]sin(2p��2�0/4)+ x[2]cos(2p��2�1/4) - jx[2]sin(2p��2�1/4)+
" Wynikiem DFT (analizy częstotliwościowej sygnału x[n]) są wartości X[m] zwane
x[3]cos(2p��3�0/4) - jx[3]sin(2p��3�0/4)
x[3]cos(2p��3�1/4) - jx[3]sin(2p��3�1/4)
prążkami,
dla m=2 mamy: dla m=3 mamy:
" Prążki są umieszczone w punktach osi częstotliwości będących całkowitymi
X[2] = x[0]cos(2p��0�2/4) - jx[0]sin(2p��0�2/4)+ X[3] = x[0]cos(2p��0�3/4) - jx[0]sin(2p��0�3/4)+
wielokrotnościami częstotliwości podstawowej, tj.
x[1]cos(2p��1�2/4) - jx[1]sin(2p��1�2/4)+ x[1]cos(2p��1�3/4) - jx[1]sin(2p��1�3/4)+
X[0] = 1 prążek o częstotliwości analizy = 0�31.25 = 0 Hz,
x[2]cos(2p��2�2/4) - jx[2]sin(2p��2�2/4)+ x[2]cos(2p��2�3/4) - jx[2]sin(2p��2�3/4)+
X[1] = 2 prążek o częstotliwości analizy = 1�31.25 = 31.25 Hz,
x[3]cos(2p��3�2/4) - jx[3]sin(2p��3�2/4) x[3]cos(2p��3�3/4) - jx[3]sin(2p��3�3/4)
X[2] = 3 prążek o częstotliwości analizy = 2�31.25 = 62.5 Hz,
X[3] = 4 prążek o częstotliwości analizy = 3�31.25 = 93.75 Hz,
" Każdy człon wyjściowy X[m] DFT stanowi sumę punkt po punkcie iloczynu:
......
" ciągu wartości wejściowego sygnału
X[15] = 16 prążek o częstotliwości analizy = 15�31.25 = 468.75 Hz,
" i przebiegu zespolonego postaci cos(f) jsin(f).
" Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości, w których są
" Dokładne wartości częstotliwości różnych przebiegów sinusoidalnych zależą od
wyznaczane prążki DFT, są określane jako:
" szybkości próbkowania fs, z jaką był próbkowany sygnał oryginalny,
mfs
" liczby próbek N.
fDFT[m]=    
N
Np. niech fs=500Hz, N=16
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
N-1 N-1
Analiza równania DFT Przykład DFT
X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N)) X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
S � S �
n=0 n=0
No dobrze, dobrze, mamy te sinusy i cosinusy, a gdzie obiecane amplitudy
Równanie DFT łatwiej będzie zrozumieć obliczając prosty przykład.
(i fazy) składowych częstotliwościowych sygnału?!
Spróbkujmy ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie sinusoidy 1kHz i 2 kHz.
Niech dodatkowo druga sinusoida będzie miała fazę początkową 135� (3p�/4 rd):
Dowolna wartość wyjściowa X[m] DFT może być rozbita na część
rzeczywistą i urojoną:
Im x(t)=sin(2p��1000�t) + 0.5 sin(2p��2000�t+3p�/4)
Xim[m]
X[m] = Xre[m] + jXim[m] Wyznaczymy 8-punktową DFT, sygnału spróbkowanego z częstotliwością fs (co ts=1/fs
f � sekund) , tzn. 8-elementowy ciąg wejściowy x[n] będzie miał postać:
Re
no to jesteśmy w domu!
Xre[m]
x[n] = x(nts) = sin(2p��1000�nts) + 0.5 sin(2p��2000�nts+3p�/4)
amplituda składowej m (wartość bezwzględna) to oczywiście:
Niech fs=8kHz, wtedy na podstawie wzoru fDFT[m]= mfs/N, czyli:
0kHz, 1kHz, 2kHz, 3kHz, .... 7kHz
2 2
Xmag[�m]�=� X[�m]� =� Xre[�m]�+� Xim[�m]�
ć� Xim[�m]���
Xf[�m]�=� arctg��
faza tej składowej to: �� ��
Xre[�m]���
Ł� ł�
2 2 2 Wartości ośmiu próbek x[n] wyniosą zatem....
XPS[�m]�=� Xmag[�m]�=� Xre[�m]�+� Xim[�m]�
x[0]=0.3535 x[1]=0.3535 x[2]=0.6464 x[3]=1.0607
zaś moc chwilowa składowej m to:
x[4]=0.3535 x[5]=-1.0607 x[6]=-1.3535 x[7]=-0.3535
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
6
N-1 N-1
Przykład DFT Przykład DFT
X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N)) X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
S � S �
n=0 n=0
x[0]=0.3535
Przejdz
my do m=1, czyli od składowej DFT o fDFT=1kHz
sin(2p��1000�t)
x(t)=sin(2p��1000�t) + 0.5 sin(2p��2000�t+3p�/4)
x[1]=0.3535
Równanie DFT przyjmuje postać:
x[2]=0.6464
7
x[3]=1.0607
X[1]= x[n](cos(2p�n/8)  jsin(2p�n/8))
x[4]=0.3535 S �
n=0
x[5]=-1.0607
0.5 sin(2p��2000�t+3p�/4)
x[6]=-1.3535 Mnożymy x[n] przez kolejne punkty przebiegów sinusoidalnych i cosinusoidalnych,
x[7]=-0.3535
które mają pojedynczy okres w przedziale 8 wejściowych próbek dla pierwszej
analizowanej częstotliwości.
X[1]
Zacznijmy od m=0 a więc od składowej DFT o częstotliwości o fDFT=0kHz
m=1
Równanie DFT przyjmuje postać:
7
X[0]= x[n](cos(0)  jsin(0))
S �
n=0
X[1]=0  j4 Jaka jest amplituda i faza tej składowej?
7
Ponieważ cos(0)=1, zaś sin(0)=0, mamy:
X[0]= x[n]
S �
Xmag[1]=4, Xf[1]=-90� (przesunięcie o -90� względem cosinusoidy)
n=0
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
N-1 N-1
Przykład DFT cd Przykład DFT cd
X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N)) X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
S � S �
n=0 n=0
Analogicznie dla kolejnych wartości m:
A teraz dla m=2, czyli od składowej DFT o fDFT=2kHz. Równanie DFT przyjmuje postać:
m=4 m=4: korelujemy sygnał z przebiegami o czterech pełnych
7
okresach w przedziale próbkowania i otrzymujemy:
X[2]= x[n](cos(2p�n/4)  jsin(2p�n/4))
S �
n=0 X[4]= 0 - j0
Xmag[4]=0, Xf[4]=0�
Korelujemy x[n] z przebiegami sinusoidalnym i cosinusoidalnym, o częstotliwości 2kHz, które mają dwa
pełne okresy w przedziale próbkowania.
X[2]=.....????
m=5
m=5: korelujemy sygnał z przebiegami o pięciu pełnych
m=2
okresach w przedziale próbkowania i otrzymujemy:
X[5]= 0 - j0
Xmag[5]=0, Xf[5]=0�
m=6 m=6: korelujemy sygnał z przebiegami o sześciu pełnych
okresach w przedziale próbkowania i otrzymujemy:
X[2]=1.414 + j 1.414... Xmag[2]=2, Xf[2]=45�
X[6]=.....????
1.414 - j 1.414 Xmag[6]=2, Xf[2]=-45�
m=3 Dla m=3 korelujemy nasz sygnał z
m=7
przebiegami o trzech pełnych okresach w
m=7: korelujemy sygnał z przebiegami o siedmiu pełnych
przedziale próbkowania i otrzymujemy:
okresach w przedziale próbkowania i otrzymujemy:
X[3]= 0 + j0
Xmag[3]=0, Xf[3]=0� Xmag[7]=4, Xf[1]=90�
X[7]=0 + j 4
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przykład DFT 5 Przekształcenie Fouriera, część I
Zestawmy otrzymane wyniki na wykresach
oraz moduł  faza:
Re  Im:
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
Xmag[m]
Xre[m]
1.5
4
" Szeregi Fouriera
3
1
2
" Przekształcenie Fouriera
0.5
1
m m
0
0
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera
kHz kHz
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
" Analiza równania DFT
Xim[m] Xf[m]
4
90
" Symetria DFT
Symetria DFT
2
45
1 1
6
m m
6
0 0
" Amplitudy i częstotliwości DFT
kHz kHz
2 3 4 5 7
-45 2 3 4 5 7
-2
-90 " Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
-4
Pojawiają się dwa pytania:
" Wstępne podsumowanie i takie różne
1. Co oznaczają niezerowe wartości amplitud przy m = 6 i m = 7?!
2. Dlaczego te amplitudy są cztery razy większe, niż w sygnałach wejściowych?!
x(t)=sin(2p��1000�t) + 0.5 sin(2p��2000�t+3p�/4)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7
Symetria DFT Symetria DFT cd.
m-ta i (N-m)-ta wartość wyjściowa
=
m-ta i (N m)-ta wartość wyjściowa DFT mają taką samą część rzeczywistą
=
DFT mają taką samą amplitudę
Xre[m] =Xre[N-m]
=
Xmag[m] =Xmag[N-m]
symetria parzysta
symetria parzysta
Kąt fazowy m-tej wartości wyjściowej
DFT jest równy kątowi (N-m)-tej
Kąt fazowy m-tej wartości wyjściowej
wartości tyle że ze znakiem ujemnym
DFT jest równy kątowi (N-m)-tej
Xf[m] =  Xf[N-m]
wartości tyle że ze znakiem ujemnym
symetria nieparzysta
Xf[m] =  Xf[N-m]
symetria nieparzysta
Ergo: wartości m-ta i (N-m)-ta są sprzężone:
X[m] =X*[N-m]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Symetria DFT i ujemne częstotliwości DFT Symetria DFT cd.
B Część rzeczywista widma sygnału rzeczywistego jest zawsze
B
symetryczna względem 0, a wartości amplitud poszczególnych
składowych widma odpowiadają połowie amplitud składowych sygnału
f
w�c
-w�c 0
Omawiając aliasing pokazaliśmy:
Wykorzystajmy tą wiedzę do otrzymanych wyników DFT (fs=8kHz)
Wyjściowe człony DFT są symetryczne w sensie sprzężonym
interesujące pasmo powielenie
" dla sygnałów wejściowych DFT pochodzących z próbkowania
Xmag[m]
sygnałów ciągłych, zespolone wartości wyjściowe DFT dla
argumentów m e" (N/2) są nadmiarowe w stosunku do wartości
wyjściowych dla argumentów od m= 0 do (N/2)- 1
m
kHz
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1
4 5 6 7
" wartości wyjściowe X[N/2] do X[N-1] DFT nie zawierają żadnej
Jak widzimy, częstotliwości powyżej fs/2 odpowiadają częstotliwościom ujemnym dodatkowej informacji o widmie rzeczywistego ciągu x[n]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Liniowość DFT 5 Przekształcenie Fouriera, część I
DFT ma bardzo ważną właściwość znaną jako liniowość:
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
DFT sumy dwóch sygnałów jest równa sumie transformat każdego z sygnałów
" Szeregi Fouriera
jeśli ciąg wejściowy x1[n] ma DFT równą X1[m], a x2[n] ma DFT równą X2[m], to
DFT sumy xsum[n] = x1[n] + x2[n] tych ciągów jest równa:
" Przekształcenie Fouriera
Xsum[m]=X1[m]+X2[m]
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera
Dość łatwo to wykazać:
" Analiza równania DFT
N-1
Xsum[m]= [n]+x2[n])e-j2p�nm/N =
" Symetria DFT
1
S �(x
n=0
Amplitudy i częstotliwości DFT
" Amplitudy i częstotliwości DFT
N-1
N-1
= [n]e-j2p�nm/N+ [n]e-j2p�nm/N = X1[m]+X2[m]
" Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
1 S �x
2
S �x
n=0 n=0
" Wstępne podsumowanie i takie różne
Bez tej cechy DFT pozwalałaby na analizowanie jedynie przebiegów
zawierających pojedynczą sinusoidę, a to& dość niewiele J�
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
8
Wartości widma amplitudowego DFT Wartości widma amplitudowego DFT
Xmag[m] Wyniki Xmag[1]=4, Xmag[2]=2 uzyskane z Xmag[m]
4 4
przekształcenia sygnału x[n] o amplitudach 1 i 0.5:
3 3 x(t)=sin(2p��1000�t) + 0.5 sin(2p��2000�t+3p�/4)
2 2
1 x(t)=sin(2p��1000�t) + 0.5 sin(2p��2000�t+3p�/4) 1
m m
0 0
kHz kHz
0 1 2 3 0 1 2 3
są nieco zaskakujące. Wyjaśnijmy to:
Jeśli rzeczywisty sygnał wejściowy zawiera składową
Każda pojedyncza wartość wyjściowa X[m] jest jedynie sumą
sinusoidalną o amplitudzie x0 i całkowitej liczbie okresów w
kolejnych iloczynów ciągu próbek sygnału x[n] wejściowego
przedziale N próbek wejściowych, to amplituda wyjściowa DFT
z przebiegami cosinusoidalnymi i sinusoidalnymi o m pełnych
dla tego przebiegu wynosi
okresach w całkowitym przedziale N próbek.
" niezależnie od częstotliwości próbkowania fs
Xmag[m] = x0N/2
" niezależnie od wartości N
Tu: N=8, x0,1=1, x0,2=0.5, stąd Xmag[1]=1�8/2=4, Xmag[2]=0.5�8/2=2
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Wartości widma amplitudowego DFT cd. Oś częstotliwości DFT
Przypomnijmy, że ani z równania we współrzędnych biegunowych:
Ponadto: jeśli sygnał wejściowy DFT był przesunięty o składową stałą
równą xs, to amplituda wyjściowej składowej stałej
Xmag[0] = xsN
ani prostokątnych
Podsumowując:
nie wynikają częstotliwości odpowiadające kolejnym wartościom
" składową stałą sygnału wyznaczamy na podstawie pierwszego członu
wyjściowym DFT.
DFT jako:
Zależą one od częstotliwości próbkowania i liczby próbek:
xs=Xmag[0]/N
" amplitudy składowych częstotliwościowych sygnału wyznaczamy na
Chcąc uwzględnić częstotliwość próbkowania w równaniu DFT, moglibyśmy je
podstawie kolejnych członów DFT:
zapisać jako:
N-1
X[fDFT]= x[tn]e-j2p�nm/N
S �
x0[m]=Xmag[m]/(N/2)=|X[m]|/(N/2)
n=0
gdzie tn=nts, ts  odstęp próbkowania
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5 Przekształcenie Fouriera, część I Twierdzenie o przesunięciu
Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego x[n]
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
manifestuje się jako stałe przesunięcie fazowe wartości
" Szeregi Fouriera
wyjściowych DFT
" Przekształcenie Fouriera
Jeśli próbkować sygnału x[n] rozpocznie się od n=k zamiast n=0, to DFT
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera przesuniętego w czasie sygnału Xsh[m] będzie opisane wzorem:
" Analiza równania DFT
Xsh[m]= X[m] e-j2p�km/N
" Symetria DFT
Oznacza to przesunięcie fazy o 2p�km/N radianów, lub 360km/N stopni
" Amplitudy i częstotliwości DFT
Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie wykazaliśmy, że przesunięcie w dziedzinie
" Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
czasu jest równoważne przesunięciu fazowemu w dziedzinie częstotliwości
" Wstępne podsumowanie i takie różne
Uwaga! przesunięcie fazowe jest proporcjonalne nie tylko do
przesunięcia w czasie k lecz także do częstotliwości składowej
wyjściowej zależnej od m
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
9
Twierdzenie o przesunięciu Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
(Inverse Discrete Fourier Transform  IDFT)
x(t)=sin(2p��1000�t) + 0.5 sin(2p��2000�t+3p�/4)
DFT jest przekształceniem danych z dziedziny czasu x[n] w ich
reprezentację w dziedzinie częstotliwości X[m].
Proces ten jest odwracalny  można otrzymać oryginalny sygnał w
dziedzinie czasu x[n] przez przeprowadzenie IDFT na wartościach X[m] w
dziedzinie częstotliwości:
N-1
1
x[n]=  X[m]ej2p�nm/N
S �
N
n=0
lub we współrzędnych prostokątnych:
N-1
1
x[n]=  X[m](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
S �
N
n=0
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera cd. Iloczyn i splot sygnałów
N-1
N-1
1
1 Iloczyn sygnałów : Splot
x[n]=  X[m]ej2p�nm/N x[n]=  X[m](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
S �
S �
N N
n=0
n=0 x[n] y[n] x[n] y[n]
*
w[n]
w[n]
" Sygnał x[n] dyskretny w dziedzinie czasu można traktować
jako sumę składowych sinusoidalnych o różnych
częstotliwościach.
y[n] = x[n]�w[n] y[n]=w[n]*x[n]
" Wyniki X[m] DFT tworzą zbiór N wartości zespolonych,
określających amplitudę i fazę każdej ze składowych
y[0] = x[0]�w[0],
"
tworzących tę sumę.
y[n]= x[k]w[n-k]
y[1] = x[1]�w[1],
S �
k=-"
y[2] = x[2]�w[2],
" Powyższe równania są wyrażeniami matematycznymi tego
....
stwierdzenia.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
"
Obliczanie splotu Twierdzenie o splocie
y[n]=x[n]*h[n] = x[k]h[n-k]
S �
k=-"
Rozważmy przykład:
" Twierdzenie o splocie jest podstawowym prawem w dziedzinie przetwarzania
sygnałów.
x[n]={0 3 1 2 -1}
h[n]={3 2 1}
" Daje ono o sobie znać zawsze, gdy dokonujemy filtracji lub obliczamy transformatę
Fouriera danych dyskretnych.
n-ty człon h[n]*x[n] oblicza się jak następuje:
Jeżeli dwa ciągi czasowe h[n] i x[n] mają DFT równe,
1. Obróć ciąg h dokoła 0, tak że dodatnie indeksy staną się
odpowiednio, H[m] i X[m], to dyskretna transformata Fouriera
ujemne i na odwrót, dając:
~
h[k]=h[-k] (DFT) splotu h[n]*x[n] jest równa iloczynowi H[m]"X[m].
~
2. Przesuń obrócony ciąg o n: h[k-n]=h[n-k]
IDFT
3. Pomnóż obrócony i przesunięty ciąg wyraz po wyrazie
y[n]=h[n]*x[n] DFT H[m]"X[m]
przez ciąg (sygnał) x :
~
czyli:
x[k]h[k-n] =x[k]h[n-k]
DFT{y[n]}=DFT{h[n]*x[n]}=DFT{h[n]} DFT{x[n]} = H[m]"X[m]=Y[m]
4. Zsumuj otrzymane iloczyny
Analogicznie odwrotna dyskretna transformata Fouriera (IDFT) H[m]"X[m] jest równa
splotowi h[n]*x[n]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
10
Splot w dziedzinie czasu a mnożenie w dziedzinie Uogólnione twierdzenie o splocie
częstotliwości
" Twierdzenia o splocie ma charakter dualny: dziedziny czasu i częstotliwości
ciąg x[n]
można zamienić miejscami:
ciąg h[n]
Jeżeli dwa ciągi czasowe h[n] i x[n] mają DFT równe,
* odpowiednio, H[m] i X[m], to dyskretna transformata Fouriera
(DFT) iloczynu h[n]"x[n] jest równa splotowi H[m]*X[m].
Dziedzina
splot w dziedzinie czasu
IDFT
y[n]=h[n]*x[n]
czasu
y[n]=h[n]"x[n] DFT H[m]*X[m]
Odwrotna czyli:
DFT
DFT DFT
DFT
DFT{y[n]}=DFT{h[n]"x[n]}=DFT{h[n]}*DFT{x[n]} = H[m]*X[m]=Y[m]
H[m] X[m]
Dziedzina
Zatem twierdzenie o splocie można sformułować bardziej ogólnie:
częstotliwości
mnożenie w dziedzinie częstotliwości
Splot w jednej dziedzinie jest równoważny
Y[m]=H[m]�X[m]
mnożeniu w drugiej dziedzinie
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5 Przekształcenie Fouriera, część I Podsumowanie (tymczasowe) DFT
" każdy człon wyjściowy DFT jest sumą iloczynów wejściowego ciągu w
" Historia dyskretnego przekształcenia Fouriera
dziedzinie czasu z ciągami reprezentującymi przebieg sinusoidalny i
cosinusoidalny
N-1
" Szeregi Fouriera
X[m]= x[n](cos(2p�nm/N)  jsin(2p�nm/N))
S �
n=0
" Przekształcenie Fouriera
" dla rzeczywistych sygnałów wejściowych N-punktowa DFT daje w
" Podstawy Dyskretnego Przekształcenia Fouriera
wyniku jedynie N/2 członów niezależnych,
" Analiza równania DFT
" amplitudy składowych wyjściowych DFT są wprost proporcjonalne do N
" Symetria DFT
Xmag[m] = x0N/2
" Amplitudy i częstotliwości DFT
" wartości częstotliwości składowych wyjściowych DFT są wyznaczane z
" Twierdzenia  o przesunięciu i o splocie
zależności:
mfs
fDFT[m]=    
Wstępne podsumowanie i różne takie
" Wstępne podsumowanie i takie różne
N
" z czego wynika, że rozdzielczość DFT w dziedzinie częstotliwości wynosi
DfDFT=fs/N=1/(tsN)=1/T
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Rozpoznawanie aliasingu  na oko ?
Podsumowanie DFT
tn = n ts
Jeśli nie znamy szerokości pasma wejściowego sygnału ciągłego przetwornika A/C, jak możemy
Przykład
stwierdzić, czy występują problemy aliasingu?
ts =0.5ms
Nie powinniśmy ufać tym wszystkim wynikom DFT, które mają znaczące składowe widmowe przy
fs=1/ts =2000Hz
częstotliwościach bliskich połowie szybkości próbkowania.
N =500
Tak właśnie było w naszym przykładzie!
T = Nts = 0.25s
dodatnie składowe ujemne składowe
DfDFT=1/T = 4Hz
fmax=(N-1)Df =1996Hz
DC
fNyq =fpr/2 =1000Hz
X fk Hz
X[0] DC 0
X[1] Df 4
X[2] 2 Df 8
Nyquist Po zastosowaniu filtru antyaliasingowego to samo widmo ma postać:
X[3] 3 Df 12
: : :
X[250] 250 Df 1000Nyquist
część interesująca
X[251] -249Df -996
X[252] -248Df -992
: : :
X[N-2] -2 Df -8
X[N-1] -
Df -4
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
11
Rozpoznawanie aliasingu  na oko ?
W danych wejściowych zbyt niską częstotliwość próbkowania (w stosunku do
zawartości widmowej) można rozpoznać po znacznych zmianach wartości
sygnału od próbki do próbki.
W sygnale spróbkowanym poprawnie, zmiany powinny być łagodne
Jakieś pytania?
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
12