SIGNAL PROCESSING
Prezentacja multimedialna współfinansowana przez
UniÄ™ EuropejskÄ… w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt.
 Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń - zintegrowany
rozwój Politechniki A
ódzkiej - zarządzanie Uczelnią,
nowoczesna oferta edukacyjna i wzmacniania zdolności
do zatrudniania osób niepełnosprawnych
Politechnika A
ódzka, ul. Żeromskiego 116, 90-924 A
ódz
, tel. [phone]
www.kapitalludzki.p.lodz.pl
Signal Processing
2
Signal processing systems
x(t) Ä…ð y(t)
?
y(t)
x(t) Signal
Processing
system
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
3
Signal processing systems
Continuous
y(t)=H(x(t))
signal
Continuous time
y(t)
x(t)
system
eg. megaphone -
analog amplifier
t  continuous time variable
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
4
Signal processing systems
Discrete
y(n)=H(x(n))
time signal
Discrete time
y(n) eg. reverberation
x(n)
system
(echo) model:
y(n)=0.1*y(n-1) +x(n),
Ä…ð Digital filters
n  discrete time variable n = 0, 1, & N,&
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
5
Signal processing systems - properties
1. With and without memory
2. Invertible and non-invertible
3. Causal and non-causal
4. Stable and unstable*
5. Linear and nonlinear
6. Time-invariant and time-variant
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
6
Systems with and without memory
Output signal of a system without memory at
instance n depends only on the input signal at
the same time instance, eg:
y(ðn)ð=ð 3x(ðn)ð+ð 2x2(ðn)ð
Output signal of a system with memory at
instance n depends on the input signal at
instances kÄ…ðn, eg:
n-ð1
y(ðn)ð=ð x(ðn -ð1)ð+ð x(ðn)ð
y(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ð+ð x(ðn)ð
k=ð-ðÄ„ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
7
Causal systems
A system is causal if its output signal at instance n
is dependent only on the input signal at instance n
and/or previous instances, eg:
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð+ð x(n -ð10)
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð-ð x(n +ð1)
noncausal
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
8
Stable/unstable system - quiz question
The system is considered to be stable if for input signal samples
x(n) such that |x(n)|samples y(n) satisfy |y(n)|this is so called bounded-input bounded-output (BIBO) stability.
1. Which of the system is stable?
y(ðn)ð=ð x3(n)
a)
Ä„ð
n
y(ðn)ð=ð
b)
åða u(ðn)ð where u(n) is a sequence of unit pulses
n=ð0
c) y(ðn)ð=ð k2x(-ðn)
where k is a constant
N
y(ðn)ð=ð
d)
åðx(ðn)ð
n=ð0
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
9
Homogeneous systems
IF:
y(n)
x(n)
System
THEN:
k·x(n)
k·y(n)
System
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
10
Additive systems
IF:
x1(n) y1(n)
System
AND:
x2(n) y2(n)
System
THEN:
x1(n) + x2(n) y1(n) + y2(n)
System
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
11
Linear systems
If the system is homogeneous and additive, it is linear.
homogeneous additive
linear
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
12
Superposition principle
Linear systems fulfill the superposition principle:
H[ðax1(ðn)ð+ð bx2(ðn)ð]ð=ð aH[ðx1(ðn)ð]ð+ð bH[ðx2(ðn)ð]ð=ð ay1(ðn)ð+ð by2(ðn)ð
ie. the response of a linear system to a sum of input
signals is equal to the sum of the responses of the
input signals.
y(ðn)ð=ð 3x(ðn)ð
Linear system example:
Nonlinear system example:
y(ðn)ð=ð x2(ðn)ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
13
Linear systems
Is the following system: linear?
y(ðn)ð=ð 2x(ðn)ð+ð1
Let: NO!
x1(ðn)ð=ð 2 and x2(ðn)ð=ð 3
y1(ðn)ð=ð 2x1(ðn)ð+ð1=ð 5 y2(ðn)ð=ð 2x2(ðn)ð+ð1=ð 7
However:
y3(ðn)ð=ð 2[ðx1(ðn)ð+ð x2(ðn)ð]ð+ð1=ð11 Ä…ð y1(ðn)ð+ð y2(ðn)ð=ð12
Conclusion: The response of a linear system to
zero input is& ?
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
14
Linear systems
Is the following system: linear?
y(ðn)ð=ð 2x(ðn)ð+ð1
Remember:
H[ðax1(ðn)ð+ð bx2(ðn)ð]ð=ð ay1(ðn)ð+ð by2(ðn)ð
H[ðax1(ðn)ð+ð bx2(ðn)ð]ð=ð 2[ðax1(ðn)ð+ð bx2(ðn)ð]ð+ð1=ð 2ax1(ðn)ð+ð 2bx2(ðn)ð+ð1
But:
ay1(ðn)ð+ð by2(ðn)ð=ð 2ax1(ðn)ð+ð 2bx2(ðn)ð+ð a +ð b
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
15
Quiz questions
1. Which of these systems are linear? Show calculations.
y(ðn)ð=ð 3x(n)
a)
N
y(ðn)ð=ð
b)
åðx(ðn)ð
n=ð0
y(ðn)ð=ð k2x(-ðn)
c)
d) y(ðn)ð=ð x2(n)
y(ðt)ð=ð alog( x(t))
e)
t
f) y(ðt)ð=ð x(tð )dtð
òð
o
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
16
Time invariant systems
Time invariant systems have the following property:
IF y(n) is the response of the system to x(n)
THEN y(n-k) is the response to x(n-k).
y(ðn)ð=ð H[ðx(ðn)ð]ð Þð y(ðn -ð k)ð=ð H[ðx(ðn -ð k)ð]ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
17
LTI systems
We will concentrate on the LTI systems.
We will show that for LTI systems,
the knowledge of the system response to the
impulse dð(n) is enough to determine the response
of the system to any discrete time signal.
Impulse response
dð(n) h(n)
Linear system
0 0
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
18
Continous vs discrete time signal
(Dirac impulse series )
Unit impulse:
1
1 for n =ð 0
ìð
dð(ðn)ð=ð
íð0 for n Ä…ð 0
îð
n=0
n
1
dð(ðn -ð k)ð
n
0
n=k
k=ðÄ„ð
åðdð(ðn -ð k)ð
k=ð-ðÄ„ð
0
n
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
19
Continous vs discrete time signal
x(t)
x(ðt)ð
x
0
t
k =ðÄ„ð
åðdð(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
n
= x(nDðt)
k=ðÄ„ð
x(ðn)ð=ð
åðx(ðt)ðdð(ðn -ð k)ð
k=ð-ðÄ„ð
0
1 2 3
n
Dðt
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
20
Discrete signal definition
Discrete time signal is an impulse series: {x(nDðt)}
for Dðt=1 {x(1), x(2), & x(k), & }
x(nDðt)
0
1 2 3
n
Dðt
k =ðÄ„ð
x(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðdð(ðn -ð k)ð
k=ð-ðÄ„ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
21
Discrete signal example
x(nDðt)
x(-1)
-1 0
1 2 3
n
Dðt
x(ðn)ð=ð x(ð-ð1)ðdð(ðn +ð1)ð+ð x(ð0)ðdð(ðn -ð0)ð+ð x(ð1)ðdð(ðn -ð1)ð+ð x(ð2)ðdð(ðn -ð 2)ð+ðKð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
22
Response of the LTI system
to the discrete signal
k=ðÄ„ð
Input signal x(n):
Important
x(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðdð(ðn -ð k)ð
k=ð-ðÄ„ð
h(ðn)ð=ð H[ðdð(ðn)ð]ð
Impulse response:
The response of the system to the input x(n) is determined according to the
superposition principle:
k =ðÄ„ð k =ðÄ„ð
éð
y(ðn)ð=ð H =ð
åðx(ðk)ðdð(ðn -ð k)ðÅ‚ð åðH[ðx(ðk)ðdð(ðn -ð k)ð]ð=ð
Ä™ð Å›ð
k =ð-ðÄ„ð
ëð ûð k =ð-ðÄ„ð
k =ðÄ„ð k =ðÄ„ð
=ð
åðx(ðk)ðH[ðdð(ðn -ð k)ð]ð=ð åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð k =ð-ðÄ„ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
23
Response of the LTI system
to the discrete signal
Input signal x(n):
k =ðÄ„ð
x(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðdð(ðn -ð k)ð
k=ð-ðÄ„ð
Output signal y(n):
k=ðÄ„ð k=ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð=ð åðx(ðn -ð k)ðh(ðk)ð
k=ð-ðÄ„ð k=ð-ðÄ„ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
24
Convolution example
x(ðn)ð=ð [ð1, 1, 1]ð
x(k)
h(k)
h(ðn)ð=ð [1, 1]
-1 0
1 2 -1 0
3 1 2 3
k
k
k =ðÄ„ð
x(-k)
y(ðn)ð=ð
åðx(ðn -ð k)ðh(ðk)ð
k =ð-ðÄ„ð
k=ðÄ„ð
y(ð0)ð=ð
åðx(ð-ð k)ðh(ðk)ð=ð x(ð-ð 0)ðh(ð0)ð=ð1
1 2
-2 -1 0
k=ð0 k
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
25
Convolution example
x(ðn)ð=ð [ð1, 1, 1]ð
x(k)
h(k)
h(ðn)ð=ð [1, 1]
-1 0
1 2 -1 0
3 1 2 3
k k
k =ðÄ„ð
x(1-k)
y(ðn)ð=ð
åðx(ðn -ð k)ðh(ðk)ð
k =ð-ðÄ„ð
k =ðÄ„ð
y(ð1)ð=ð
åðx(ð1-ð k)ðh(ðk)ð=ð x(ð1-ð 0)ðh(ð0)ð+ð x(1-ð1)h(1) +ð
k =ð0
1 2
-2 -1 0
k
+ð x(1-ð 2)h(2) +ð ...=ð1+ð1+ð 0 =ð 2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
26
Convolution example
x(ðn)ð=ð [ð1, 1, 1]ð
x(k)
h(k)
h(ðn)ð=ð [1, 1]
-1 0
1 2 -1 0
3 1 2 3
k k
k =ðÄ„ð
x(2-k)
y(ðn)ð=ð
åðx(ðn -ð k)ðh(ðk)ð
k =ð-ðÄ„ð
k=ðÄ„ð
y(ð2)ð=ð
åðx(ð2 -ð k)ðh(ðk)ð=ð x(ð2 -ð 0)ðh(ð0)ð+ð x(2 -ð1)h(1) +ð
k =ð0
1 2
-2 -1 0
k
+ð x(2 -ð 2)h(2) +ð ...=ð1+ð1+ð 0 =ð 2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
27
Convolution example
x(ðn)ð=ð [ð1, 1, 1]ð
x(k)
h(k)
h(ðn)ð=ð [1, 1]
-1 0
1 2 -1 0
3 1 2 3
k k
k =ðÄ„ð
x(3-k)
y(ðn)ð=ð
åðx(ðn -ð k)ðh(ðk)ð
k =ð-ðÄ„ð
k =ðÄ„ð
y(ð3)ð=ð
åðx(ð3 -ð k)ðh(ðk)ð=ð x(ð3 -ð 0)ðh(ð0)ð+ð x(3 -ð1)h(1) +ð x(3 -ð 2)h(2) =ð -1 0 1 2
k
k =ð0
=ð 0×ð1+ð1×ð1+ð1×ð0 +ð1×ð 0 =ð1
y(n) =ð x(ðn)ð*h(n) =ð[1 2 2 1]
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
28
Convolution
Continuous:
+ðÄ„ð
y(ðt)ð=ð x(ðt)ð*ðh(ðt)ð=ð x(ðtð )ðh(ðt -ðtð )ðdtð
òð
-ðÄ„ð
Discrete:
k=ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k=ð-ðÄ„ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
29
Convolution
Equation:
k=ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð
k=ð-ðÄ„ð
is called the convolution of x(n) with h(n), ie. Input series with
impulse response of the system.
k=ðÄ„ð k=ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð=ð åðh(ðk)ðx(ðn -ð k)ð
k=ð-ðÄ„ð k=ð-ðÄ„ð
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
30
A response of a linear system to a periodic signal
jwðn
Let the input signal be:
x(ðn)ð=ð e
The output signal y(n):
k =ðÄ„ð k =ðÄ„ð
jwð(ðn-ðk )ð
y(ðn)ð=ð h(ðk)ð=ð
åðx(ðn -ð k)ðh(ðk)ð=ð åðe
k =ð-ðÄ„ð k =ð-ðÄ„ð
k =ðÄ„ð
jwðn -ð jwðk
=ð e h(ðk)ð=ð x(ðn)ðH(ðwð)ð
åðe
k =ð-ðÄ„ð
jwðn
jwðn
H(ðwð)ð
H(ðwð)ðe
e
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
31
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
2
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
32
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
2
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
33
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
2
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
34
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
2
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
35
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
2
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
36
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
2
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
37
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
åð
2
*
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
38
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
åð
2
*
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
39
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
åð
2
*
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
40
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
åð
2
*
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
41
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
åð
2
*
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
42
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
åð
2
*
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
43
Determination of convolution
4
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð*ðh(ðn)ð=ð
2
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
0
-2
Signal x
-4
-5 0 5 10 15 20
4
2
Pay attention to the length of the result.
Signal h
0
-5 0 5 10 15 20
Compare the input signal x with its convolution with h.
10
0
The result of
convolution
-10
-5 0 5 10 15 20
L =ð M +ð N -ð1
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
44
Convolution - example
h(t)
1
t
1
-1
Ä„ð
x(t)
y(ðt)ð=ð x(ðtð )ðh(ðt -ðtð )ðdtð
òð
1
-ðÄ„ð
0
Dðt 2Dðt
-2Dðt -Dðt t
Determine y(t)= x(t)*ð h(t), for:
Dðt=4, Dðt=2, Dðt=3/2 i Dðt=1
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
45
Convolution example
1
0.5
Dðt=4
0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0
-15 -10 -5 0 5 10 15
1
0.5
0
-15 -10 -5 0 5 10 15
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
h
x
conv(x,h)
Signal Processing
46
Convolution example
1
0.5
Dðt=2
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
0.5
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
1
0.5
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
h
x
conv(x,h)
Signal Processing
47
Convolution example
1
0.5
Dðt=1.5
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
0.5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
0.5
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
h
x
conv(x,h)
Signal Processing
48
Convolution example
1
0.5
Dðt=1
0
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
1
0.5
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
0.5
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
h
x
conv(x,h)
Signal Processing
49
Joy of Convolution
A free tutorial on convolution can be found in the internet at:
" http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
50
Convolution example
A liner system is defined by
1 1
y(ðn)ð=ð x(ðn)ð+ð x(ðn -ð1)ð
a difference equation:
2 2
Impluls response of this system is:
1 1
h(ðn)ð=ð dð(ðn)ð+ð dð(ðn -ð1)ð
2 2
y(n)
x(n)
1/2
Dðt
1/2
1
1/2
h(n)
dð(n)
h(.)
0
1
0
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
51
k =ðÄ„ð
Signal Impulse response
y(ðn)ð=ð
åðh(ðk)ðx(ðn -ð k)ð
---------------------------------
k =ð-ðÄ„ð
x(0)=1 h(0)=1
|||
x(1)=0 h(1)=1
x(2)=0 h(2)=1
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
y(0) = x(0)h(0) + x(1)h(-1) + x(2)h(-2) = 1+0+0 = 1
y(1) = x(0)h(1) + x(1)h(0) + x(2)h(-1) = 1+0+0 = 1
y(2) = x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h( 0) = 1+0+0 = 1
y(3) = x(0)h(3) + x(1)h(2) + x(2)h( 1) = 0+0+0 = 0
y(4) =& & & & & .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
52
k =ðÄ„ð
Signal Impulse response
y(ðn)ð=ð
åðh(ðk)ðx(ðn -ð k)ð
---------------------------------
k =ð-ðÄ„ð
x(0)=1 h(0)=1
|||
x(1)=1 h(1)=1
x(2)=1 h(2)=1
k =ðÄ„ð
y(ðn)ð=ð
åðx(ðk)ðh(ðn -ð k)ð
k =ð-ðÄ„ð
y(0) = x(0)h(0) + x(1)h(-1) + x(2)h(-2) = 1+0+0 = 1
y(1) = x(0)h(1) + x(1)h(0) + x(2)h(-1) = 1+1+0 = 2
y(2) = x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h( 0) = 1+1+1 = 3
y(3) = & & & & & ..
y(4) =& & & & & .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
53
Response of the linear system
to the discrete signal
The system s impulse response can be infinite, eg:
y(ðn)ð=ð a1y(ðn -ð1)ð+ð x(ðn)ð
Feedback
loop
x(n) y(n)
a1
Dðt
a1y(n-1)
y(n-1)
For what values of a1 the response of the system is bounded?
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
54
Quiz questions
1. Any discrete time signal can be defined by?
a) a linear combination of weighted unit pulse functions
b) a linear combination of delayed unit pulse functions
c) a linear combination of unit pulse functions
d) a linear combination of delayed and weighted pulse functions
2. The impulse response is sufficient to completely characterize?
a) a linear memoryless system
b) a linear system
c) a time invariant system
d) a linear time invariant system
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
55
Convolution as filtering
Example:
Convolve ECG signal with an impulse response:
1 1 1 1 1
éð Å‚ð
h(ðn)ð=ð
Ä™ð24 24 24 24 .... 24Å›ð24
ëð ûð
k=ð23
1
y(ðn)ð=ð
åð24 x(ðn -ð k)ð
k=ð0
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
56
Convolution as filtering
# Python (interactive mode)
from scipy.io import loadmat,savemat
ecg=loadmat('ecg_all.mat')['ecg_s'] #load ecg signal and assign to variable ecg
ecg=reshape(ecg,len(ecg)) #reshaping required for .mat files
plot(ecg)
h=1/24.*ones(24) #define impulse response h
y=convolve(h,ecg) #result of filtering
plot(y)
k=ð23
y(ðn)ð=ð h(ð0)ðx(ðn)ð+ð h(ð1)ðx(ðn -ð1)ð+ðKð+ð h(ð23)ðx(ðn -ð 23)ð=ð
åðh(ðk)ðx(ðn -ð k)ð
k=ð0
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
57
Convolution as filtering
ECG signal
Filter s impulse response
0.6 1
0.9
0.4
0.8
0.2
0.7
0.6
0
0.5
-0.2
0.4
0.3
-0.4
0.2
-0.6
0.1
-0.8
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0 5 10 15 20 25
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
58
Convolution as filtering
0.6
ECG signal
0.4
and its convolution
0.2
with h.
0
x
0.06
conv(x,h)
-0.2
0.04
0.02
-0.4
0
-0.6
-0.02
-0.04
-0.8
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
-0.06
-0.08
-0.1
Smoothing filter
-0.12
-0.14
750 800 850 900 950 1000 1050
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
59
Convolution Ä…ð digital filters
Moving average
Autoregression
parameters
parameters
x(k) y(k)
b0
z-1 z-1
b1 a1
x(k-1) y(k-1)
z-1 z-1
b2 a2
x(k-2) y(k-2)
z-1 z-1
bM aN
x(k-M) y(k-N)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Signal Processing
60
Systems and convolution - summary
1. Types of systems
2. Various systems properties
3. LTI systems
4. Continous vs discrete signals
5. Convolution
- definition
- calculation
- examples - filtering
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
 SIGNAL PROCESSING
Prezentacja multimedialna współfinansowana przez
UniÄ™ EuropejskÄ… w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt.
 Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń - zintegrowany
rozwój Politechniki A
ódzkiej - zarządzanie Uczelnią,
nowoczesna oferta edukacyjna i wzmacniania zdolności
do zatrudniania osób niepełnosprawnych
Politechnika A
ódzka, ul. Żeromskiego 116, 90-924 A
ódz
, tel. [phone]
www.kapitalludzki.p.lodz.pl