FIZYKA STATYSTYCZNA
Wybrane zagadnienia z rachunku prawdopodobie stwa
Rozwa my uk ad makroskopowy znajduj cy si w danym stanie. Za ó my, e
pewna charakterystyczna dla uk adu wielko mo e przyjmowa dyskretne
warto ci
.
Wzgl dna cz sto - wielko
pojawiania si wyniku
- liczba pomiarów o wyniku
- liczba wszystkich
pomiarów
Prawdopodobie stwo - wielko
pojawienia si wyniku
Suma prawdopodobie sw wszystkich mo liwych
wyników pomiaru jest równa jedno ci.
rednia wyników pomiarów
Fizyka statystyczna 1
Przypadek ci g ego widma warto ci wyników pomiaru
Uogólnijmy otrzymane wyniki na przypadek, kiedy wielko mo e przyjmowa
w sposób ci g y warto ci rzeczywiste od 0 do .
Histogram Funkcja rozk adu
- wysoko paska,
- liczba pomiarów, dla których wynik pomiaru jest zawarty w
przedziale od do .
Pole powierzchni ca ego histogramu jest równe jedno ci.
- g sto prawdopodobie stwa,
warunek normalizacji prawdopodo-
bie stwa
- rednia warto
np.
Fizyka statystyczna 2
Ci nienie gazu (obliczenia uproszczone)
W wyniku uderze cz steczek elementowi cianki naczynia w jednostce czasu
przekazywany jest p d równy sile dzia aj cej na . Stosunek tej si y do
warto ci jest ci nieniem gazu na ciank naczynia.
Przyjmiemy oznaczenie K dla p du, eby si nie myli o z oznaczeniem p dla
ci nienia.
- liczba cz steczek w jednostce obj to ci
- funkcja rozk adu modu u pr dko ci cz steczek
- liczba cz steczek w jednostce obj to ci maj cych
pr dko ci z przedzia u
- zmiana p du cz steczki przy odbiciu
St d ci nienie gazu
Przyjmuj c, e masa wszystkich cz stek jest taka sama, otrzymujemy
- rednia energia ruchu post powego cz steczki.
Fizyka statystyczna 3
 rednia energia ruchu post powego cz steczek
Z zale no ci tej wynika, e temperatura bezwzgl dna jest proporcjonalna do
redniej energii kinetycznej ruchu post powego cz steczek. (Sprawdza si to w
przypadku gazów, natomiast ze wzgl du na wyst powanie efektów kwantowych
nie dotyczy to cieczy i cia sta ych.)
Fizyka statystyczna 4
Zasada ekwipartycji energii
Wynik wi e si z prawem ekwipartycji energii (zasad
równego rozk adu energii na stopnie swobody cz steczek).
Na ka dy rodzaj ruchu (stopie swobody) przypada - rednio - taka sama
energia kinetyczna .
Liczb stopni swobody uk adu mechanicznego nazywamy liczb
niezale nych wspó rz dnych, za pomoc których mo e by opisane
po o enie uk adu.
Punkt materialny ma trzy stopnie swobody (do opisu jego po o enia w
przestrzeni potrzebne s trzy wspó rz dne)
Bry a sztywna ma sze stopni swobody:
- trzy post powe (translacyjne),
zwi zane z opisem po o enia rodka
masy ( ),
- trzy obrotowe (rotacyjne), zwi zane
opisem po o enia osi bry y w
przestrzeni ( ).
Uk ad punktów materialnych, które nie s ze sob sztywno zwi zane ma
stopni swobody. Ka de sztywne wi zanie mi dzy dwoma punktami zmniejsza
liczb stopni swobody o jeden.
Uk ad dwóch punktów materialnych o sta ej
wzajemnej odleg o ci posiada pi stopni
swobody. (Wspó rz dne i nie
s ca kowicie niezale ne)
Fizyka statystyczna 5
Zasada ekwipartycji energii, cd.
Do opisu po o enia uk adu dwóch punktów
materialnych o sta ej wzajemnej odleg o ci
potrzeba pi wspó rz dnych, trzy wspó rz dne
rodka masy oraz k ty i .
Uk ad dwóch punktów materialnych po czonych
wi zaniem, które nie jest sztywne, ma sze
stopni swobody
- trzy translacyjne,
- dwa rotacyjne,
- jeden oscylacyjny (drganiowy).
Dla uk adu spr y cie powi zanych punktów materialnych (przy
równowagowych po o eniach punktów nie le cych na jednej prostej) liczba
oscylacyjnych stopni swobody wynosi .
Obliczanie redniej energii kinetycznej cz steczki
- przy obliczaniu ilo ci stopni swobody cz steczki atomy traktuje si jak
punkty materialne,
- oscylacyjnym stopniom swobody przypisuje si podwojon energi
translacyjnego (lub rotacyjnego) stopnia swobody. (Ruchy post powe lub
obrotowe zwi zane s tylko z energi kinetyczn , natomiast ruchy
oscylacyjne z energi kinetyczn i potencjaln , których rednie warto ci z
osobna wynosz po ).
- liczba stopni swobody cz steczki.
Fizyka statystyczna 6
Energia wewn trzna i ciep o w a ciwe cz steczek gazu doskona ego
Cz steczki gazu doskona ego nie oddzia ywuj ze sob . St d
,
Fizyka statystyczna 7
Rozk ad Maxwella (rozk ad pr dko ci cz stek)
- funkcja rozk adu pr dko ci cz steczek gazu.
(rozk ad Maxwella)
ma znaczenie prawdopodo-
bie stwa tego, e dana cz steczka ma
modu pr dko ci zawarty w przedziale
rednie pr dko ci cz steczek gazu
Pr dko najbardziej prawdopodobna
,
Fizyka statystyczna 8
W a ciwo ci rozk adu Maxwella
Tlen ( = 32 g/mol, T = 300 K )
Wodór ( = 2 g/mol, T = 300 K )
Fizyka statystyczna 9
Rozk ad Boltzmanna
Wzór barometryczny
,
- liczba cz stek w jednostce obj to ci
(koncentracja cz stek)
Rozk ad Boltzmanna.
Rozk ad Boltzmanna jest to rozk ad koncentracji cz steczek w dowolnym
potencjalnym polu si , o ile mamy do czynienia ze zbiorem jednakowych cz stek
poruszaj cych si chaotycznym ruchem cieplnym.
Liczba cz stek w elemencie obj to ci
Prawo Maxwella-Boltzmanna
- liczba cz stek w elemencie przestrzeni
sze ciowymiarowej.
Fizyka statystyczna 10