FIZYKA STATYSTYCZNA
Wybrane zagadnienia z rachunku prawdopodobie stwa
Rozwa my uk ad makroskopowy znajduj cy si w danym stanie. Za ó my,
e pewna charakterystyczna dla uk adu wielko mo e przyjmowa
dyskretne warto ci
.
Dla otrzymania wyników dotycz cych wielko ci mo na u y dwóch
procedur:
- wykona pomiarów na tym samym uk adzie, za ka dym razem
przywracaj c stan pierwotny,
- wykona po jednym pomiarze na jednakowych uk adach w
takim samym stanie.
Zespó statystyczny - zbiór identycznych uk adów znajduj cych
si w takim samym stanie.
Wzgl dna cz sto - wielko
pojawiania si
- liczba pomiarów o wyniku
wyniku
- liczba uk adów w
zespole statystycznym
Prawdopodobie stwo - wielko
pojawienia si
wyniku
Suma prawdopodobie sw wszystkich
mo liwych wyników pomiaru jest równa
jedno ci.
Fizyka statystyczna 1
Wynik pomiaru zdarzenie
Prawdopodobie stwo sumy (alternatywy) dwóch zdarze
Prawdopodobie stwo sumy dwóch zdarze jest równe sumie
prawdopodobie stw tych zdarze .
Prawdopodobie stwo iloczynu (koniunkcji) dwóch zdarze niezale nych
Je eli warto nie zale y od warto ci , to
Prawdopodobie stwo jednoczesnego pojawienia si statystycznie
niezale nych zdarze jest równe iloczynowi prawdopodobie stw tych
zdarze .
rednia wyników pomiarów
Fizyka statystyczna 2
Przypadek ci g ego widma warto ci wyników pomiaru
Uogólnijmy otrzymane wyniki na przypadek, kiedy wielko mo e
przyjmowa w sposób ci g y warto ci rzeczywiste od 0 do .
Histogram Funkcja rozk adu
- liczba pomiarów, dla których wynik pomiaru jest zawarty
w przedziale od do .
Pole powierzchni ca ego histogramu jest równe jedno ci.
warunek normalizacji prawdopodo-
bie stwa
np.
Fizyka statystyczna 3
Cieplny ruch cz steczek
Rozwa my ruch cieplny cz steczek gazu. Zauwa amy, e
- wszystkie kierunki ruchu cz steczek s jednakowo prawdopodobne,
- pr dko ci cz steczek maj ró ne warto ci,
- pr dko ci cz steczek s ograniczone, niezbyt ró ni si od pewnej
warto ci redniej.
Pogl dowe przedstawienie chaotycznego ruchu
cz steczek gazu
- punkt A okre la kierunek OA,
- liczba mo liwych kierunków w przestrzeni jest
niesko czenie wielka,
- w danej chwili realizuje si sko czona liczba
kierunków, równa liczbie rozpatrywanych
cz steczek
Prawdopodobie stwo tego, e ci le okre lonym kierunku porusza si
cho by jedna cz stka, jest równe zeru. Okre lmy liczb cz stek maj cych
kierunki zawarte w pewnym k cie bry owym wokó danego kierunku
We wspó rz dnych sferycznych
Fizyka statystyczna 4
Liczba zderze cz stek ze ciank naczynia
Obliczmy liczb zderze cz steczek w czasie z elementem powierzchni
naczynia o obj to ci dla gazu w stanie równowagi.
- liczba cz steczek maj ca pr dko ci
w przedziale od do i maj ca
kierunki pr dko ciwewn trz k ta bry owego
- liczba cz steczek maj ca pr dko ci w przedziale od do ,
maj ca kierunki pr dko ci wewn trz k ta bry owego i docieraj ca w
czasie do powierzchni
Sumowanie po kierunkach
Sumowanie po pr dko ciach
gdzie - liczba cz steczek w jednostce obj to ci.
- liczba zderze z jednostkow powierzchni
cianki w jednostce czasu.
Fizyka statystyczna 5
Ci nienie gazu
W wyniku uderze cz steczek elementowi cianki naczynia w jednostce
czasu przekazywany jest p d równy sile dzia aj cej na . Stosunek tej
si y do warto ci jest ci nieniem gazu na ciank naczynia.
( )
Sumowanie po kierunkach
Sumowanie po pr dko ciach
St d ci nienie gazu
Przyjmuj c, e masa wszystkich cz stek jest taka sama, otrzymujemy
- rednia energia ruchu post powego cz steczki.
Fizyka statystyczna 6
 rednia energia cz steczek
.Z zale no ci tej wynika, e temperatura bezwzgl dna jest proporcjonalna do
redniej energii kinetycznej ruchu post powego cz steczek. (Sprawdza si
to w przypadku gazów, natomiast ze wzgl du na wyst powanie efektów
kwantowych nie dotyczy to cieczy i cia sta ych.)
Fizyka statystyczna 7
Zasada ekwipartycji energii
Wynik wi e si z prawem ekwipartycji energii (zasad
równego rozk adu energii na stopnie swobody cz steczek).
Na ka dy rodzaj ruchu (stopie swobody) przypada - rednio - taka
sama energia kinetyczna .
Liczb stopni swobody uk adu mechanicznego nazywamy liczb
niezale nych wspó rz dnych, za pomoc których mo e by opisane
po o enie uk adu.
Punkt materialny ma trzy stopnie swobody (do opisu jego po o enia w
przestrzeni potrzebne s trzy wspó rz dne)
Bry a sztywna ma sze stopni swobody:
- trzy post powe (translacyjne), zwi zane z
opisem po o enia rodka masy ( ),
- trzy obrotowe (rotacyjne), zwi zane
opisem po o enia osi bry y w przestrzeni
( ).
Uk ad punktów materialnych, które nie s ze sob sztywno zwi zane ma
stopni swobody. Ka de sztywne wi zanie mi dzy dwoma punktami
zmniejsza liczb stopni swobody o jeden.
Uk ad dwóch punktów materialnych o sta ej
wzajemnej odleg o ci posiada pi stopni
swobody. (Wspó rz dne i
nie s ca kowicie niezale ne)
Fizyka statystyczna 8
Do opisu po o enia uk adu dwóch punktów
materialnych o sta ej wzajemnej odleg o ci
potrzeba pi wspó rz dnych, trzy wspó rz dne
rodka masy oraz k ty i .
Uk ad dwóch punktów materialnych
po czonych wi zaniem, które nie jest sztywne,
ma sze stopni swobody
- trzy translacyjne,
- dwa rotacyjne,
- jeden oscylacyjny (drganiowy).
Dla uk adu punktów materialnych (przy równowagowych po o eniach
punktów nie le cych na jednej prostej) liczba oscylacyjnych stopni swobody
wynosi .
Obliczanie redniej energii kinetycznej cz steczki
- przy obliczaniu ilo ci stopni swobody cz steczki atomy traktuje si jak
punkty materialne,
- oscylacyjnym stopniom swobody przypisuje si podwojon energi
translacyjnego (lub rotacyjnego) stopnia swobody. (Ruchy post powe lub
obrotowe zwi zane s tylko z energi kinetyczna, natomiast ruchy
oscylacyjne z energi kinetyczn i potencjaln , których rednie warto ci
z osobna wynosz po ).
- liczba stopni swobody cz steczki.
Fizyka statystyczna 9
Energia wewn trzna i ciep o w a ciwe cz steczek gazu doskona ego
,
Fizyka statystyczna 10
Zale no ciep a w a ciwego gazów od temperatury
Otrzymali my teoretycznie
Do wiadczalna zale no gazu
dwuatomowego od temperatury
Uproszczony schemat rotacyjnych i
os c yl a c yj nyc h poz i omów
energetycznych dla cz steczki
dwuatomowej
Fizyka statystyczna 11