Ad.1)
CzasC"R
W mechanice relatywistycznej czas stanowi czwartą współrzędną czasoprzestrzeni, jego upływ zaś
zależy od obserwatora i jest różny dla różnych obserwatorów.
Scenerią ruchu punktu materialnego jest . Ruch punktu materialnego jest zatem
R3
przekształceniem czasu w przestrzeń:
c: R Śą R3
c, c`, c`` - ciągłe
Ad.2)
Mając daną trajektorię ruchu definiuje się wektory:
Śą
t - styczny do trajektorii
%0ł
Śą
t =
%"%0ł%"
Śą
n - prostopadły do wektora t i nazywany wektorem normalnym. %"n%"=1
Śą
Śą=Śą�Śą
Oraz wektor binormalny
b t n
Te trzy wektory rozpinają tzw. trójścian Freneta w każdym punkcie trajektorii.
Ad.3)
Krzywizna określa jak nieprostoliniowa jest trajektoria.
Śą
d t śąsźą %"%0ł%"2"%"c%"2"śą%0ł , cźą2
ćą � �
K śą sźą= =
ds
%"%0ł%"3
Skręcenie określa jak niepłaska jest trajektoria.
Śąśą
d b sźą 1 śą%0ł�c , cźą
� �ą
T śą sźą= =
2
ds
K śą sźą
%"%0ł%"6
Ad.4)
Jesli na ciało nie działa zadna siła, lub działajace siły sie równowaza
to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza sie ruchem jednostajnym.
c=0
�
Jezeli na ciało działa niezrównowazona siła zewnetrzna to ciało
porusza sie ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniem proporcjonalnym
do działajacej siły
1
ci=F śą c , %0łźą= f
�
i
mi i
Jezeli ciało A działa na ciało B siła FAB, to ciało B działa na
ciało A siła reakcji FBA równa co do wartosci i kierunku, lecz o
przeciwnym zwrocie.
ąA ąB
F B=-F A
1
Ad.5)
Ad.6)
Ciało sztywne jest zbiór punktów materialnych, których położenia zajmują zwarty zbiór w .
R3
Przemieszczenie ciała sztywnego nie powoduje zmian w odległościach pomiędzy punktami.
CzasC"R
W mechanice relatywistycznej czas stanowi czwartą współrzędną czasoprzestrzeni, jego upływ zaś
zależy od obserwatora i jest różny dla różnych obserwatorów.
SOśą3źą
Scenerią ruchu ciała sztywnego jest . Ruch ciała sztywnego jest zatem przekształceniem
SOśą3źą
czasu w :
c: R Śą SO śą3źą
SOśą3źą= R"Mat śą3,3źą#"RRT=RT R=I i detR=1
{ }
3
R T
Przemieszczenie ciała sztywnego opisuje się specjalnymi macierzami
[ ]
0 1
2
Ad.7)
Prędkości kątowe:
macierzowe:
 w przestrzeni: śąs= X RT
 w ciele: śąB=RT X
0 -�ą3 �ą2
śą=
�ą3 0 -�ą1
[ ]
-�ą2 �ą1 0
wektorowe:
�ąS
 w przestrzeni:
�ąB
 w ciele:
Prędkości liniowe:
R T X j
RT -RT T
c= c-1= %0ł=
, ,
[ ]
[ ] [ ]
0 1 0 0
0 1
macierzowe:
śąS j �ą[T ]�ąs
V =%0ł"c-1=
 w przestrzeni: S
[ ]
0 0
śąB RT j
V =c-1"%0ł=
 w ciele: B
[ ]
0 0
wektorowe:
j �ą[T ]�ąs
vS=
 w przestrzeni (skrętnik w przestrzeni):
śą źą
�ąs
RT j
vB=
 w ciele (skrętnik w ciele):
śą źą
�ąB
Ad.8)
v
a=
oś obrotu: , gdzie v powstaje z równania
śąR-RT źą v=0
%"v%"
tr R-1
cos�ą=
kąt obrotu:
2
1 1
ąq=cos �ą�ąsin �ąa
kwaternion:
2 2
3
Ad.9)
Energia kinetyczna ciała sztywnego:
1 1 1 1
K = śą I �ąB ,�ąBźą�ą mB TŁ2= �ąT I �ąB�ą mBTŁ2
B B B
2 2 2 2
I  macierz inercji ciała B
B
Ad.10)
Ad.11)
4
Ad.12)
Wikipedia: najkrótsze linie łączące dwa punkty.
Ad.13)
5
Ad.14)
Ad.15)
Wikipedia: Twierdzenie Liouville'a mówi, że objętość w przestrzeni stanów zajęta przez układ
pozostaje stała w czasie, o ile nie następują straty energii, tj. zmiany można opisać równaniami
Hamiltona. Twierdzenie to obowiązuje zarówno w mechanice statystycznej jak i w mechanice
kwantowej (w mechanice klasycznej układ zajmuje jeden punkt w przestrzeni fazowej, więc to
twierdzenie jest trywialne).
Ad.16)
6