STATYKA 15. Ruch złożony bryły 15. Twierdzenie o ruchu środka układu punktów materialnych
1. Postulaty statyki: Ruchem bezwzględnym punktu materialnego nazywamy ruch względem Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza się tak jakby
1. postulat  równoległoboku  jak dodawać siły. 2 siły P i P dodaje się, nieruchomego układu. była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone
1 2
że ich suma jest wektorem utworzonym z przekątnej równoległoboku R= Ruchem względnym punktu materialnego nazywamy ruch punktu były wszystkie siły zewnętrzne. ma =W lub mv (t)-mv (0)= +"t Wdt
c c c 0
2 2
"P + P + 2P P cosÄ… jeżeli mamy wiÄ™cej niż dwie siÅ‚y dodajemy je za wzglÄ™dem ruchomego ukÅ‚adu współrzÄ™dnych. 16. PÄ™d UPM
1 2 1 2
pomocÄ… wielokÄ…tów Ruchem unoszenia punktu materialnego nazywamy ruch punktu sztywno Q=Sði=n m v dQ/dt=SðP  Pochodna wzglÄ™dem czasu pÄ™du ukÅ‚adu
i=1 i i i
2. postulat  dwie siły działające na ciało sztywne pozostają w związanego z układem ruchomym obserwowanym względem punktów materialnych równa jest sumie geometrycznej wszystkich sił
równowadze, jeśli działają wzdłuż jednej prostej i mają te same wartości i nieruchomego układu. zewnętrznych działających na punkty tego układu.
są przeciwnie skierowane  tworzą układ zerowy v=v +v Q=d/dt (mr )=mv  pęd układu punktów materialnych równy jest
u w c c
3. postulat  jeżeli na ciaÅ‚o dziaÅ‚a pewien ukÅ‚ad siÅ‚ to jego dziaÅ‚anie nie v =v +É´ðr iloczynowi masy caÅ‚kowitej ukÅ‚adu i prÄ™dkoÅ›ci jego Å›rodka masy.
u o
ulega zmianie przez dodanie lub odjęcie zerowego układu sił. Siła jest a=a +a +a 17. Kręt UPM
u w c
wektorem przesuwnym, można go przesuwać wzdÅ‚uż jego kierunku. a =a +µ´ðr +É´ð(É´ðr ) Nazywamy sumÄ™ geometrycznÄ… momentów pÄ™du wszystkich punktów
u o
4. postulat  zesztywnienia  ukÅ‚ad siÅ‚ przyÅ‚ożonych do ciaÅ‚a a =2É´ðv materialnych należących do rozpatrywanego ukÅ‚adu. K =Sðr ´ðm v
c w o i i i
odkształcalnego nie zmienia się (jego działanie się nie zmienia) po Kręt ciała materialnego względem odi obrotu róny jest iloczynowi
zesztywnieniu tego ciała DYNAMIKA momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości kątowej ciala.
5. postulat  akcji i reakcji  każdemu dziaÅ‚aniu towarzyszy leżące na tej 1. Prawa Newtona: K =I É
z z
samej prostej, przeciwnie skierowane i o tej samej wartości I prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub Pochodna względem czasu krętu upm względem środka masy równa jest
przeciwdziałanie działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się sumie geometrycnaej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem
6. postulat  oswobodzenie od wiÄ™zów  każde ciaÅ‚o nieswobodne na ruchem jednostajnym po linii prostej. tegoż Å›rodka. dK /dt=SðM
c ic
które działa układ sił zew.  czynnych można myślowo oswobodzić od II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły 18. En. kinetyczna UPM
więzów zastępując ich działanie siłami reakcji więzów. Dalej rozpatrujemy działającej na ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła. F=ma. Nazywamy sumę energii kinetycznych wszystkich jego punktów
ciaÅ‚o jako poddane dziaÅ‚aniu siÅ‚ czynnych i reakcji wiÄ…zów. III prawo akcji i reakcji: siÅ‚y wzajemnego oddziaÅ‚ywania dwóch punktów T=Sði=n (m v2 )/2
i=1 i i
2. Układy sił: materialnych mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty 19. Geometria mas
1. zbieżne  kierunki wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie i są przeciwnie skierowane. Środek masy- punkt geometryczny względem którego obliczany moment
2. równoległe  siły są do siebie równoległe IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na punkt materialny działa statyczny wynosi 0.
3. dowolne jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a Momentem statycznym układu punktów materialnych względem
3. Tw. o trzech siłach: wszystkie razem działają jak jedna siła równa wektorowej sumie danych dowolnego punktu O nazywamy wektor będący sumą iloczynów mas tych
Trzy nierównoległe do siebie działające w jednej płaszczyz
nie pozostają w sił. punktów i ich promieni  wektorów
równowadze wtedy i tylko w tedy gdy tworzÄ… ukÅ‚ad zbieżny a ich kierunki V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa punkty materialne o masach S = Sð m r bryÅ‚a: S = òð rdm, S= r M r
i i m c c- promień do środka masy, M -
tworzą trójkąt zamknięty.P =P +P m i m przyciągają się z siłą wprost masa
1 2 3
1 2
4. Moment sił względem punktu: M =r"F 20. Zasada Dirichleta
o
proporcjonalnÄ… do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalnÄ… do
5. Moment sił względem osi: Gdy układ materialny znajduje się w zachowawczym polu sił, wówczas
kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te
M=r"P , moment ten jest wektorem swobodnym do płaszczyzny Ą czuli ma położenie w którym energia potencjalna osiąga minimum jest położeniem
punkty. F=k m m /r2
1 2
kierunek prostej l równowagi trwałej.
2. Pierwsze i drugie zagadnienie dynamiki
6. Tw. Varignona: 21. Zasada Torricellego
1 polega na wyznaczaniu siły działającej na poruszający się znanym
Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest dla pola grawitacyjnego położenie w którym środek masy nieswobodnego
ruchem punkt materialny. Jest ono również znane jako zagadnienie proste
równa momentowi wypadkowej tego układu względem punktu układu materialnego o więzach idealnych znajdującego się w jednorodnym
dynamiki. F=m d2r/dt2
"n r""P =r"W polu sił ciężkości osiąga minimalne wzniesienie na wybrany poziom jest
i=1 i
2 polega na wyznaczaniu ruchu punktu materialnego poddanego działaniu
7. Para sił: położeniem równowagi trwałej.
nieznanej siły. Zagadnienie to jest odwróceniem pierwszego zagadnienia
Parą sił nazywamy układ 2 sił równoległych do siebie, równych co do 22. Twierdzenie Koeniga
dynamiki i stąd jest ono również znane pod nazwą  zagadnienie
wielkości, przeciwnie skierowanych P +P =0 Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii
1 2
odwrotne dynamiki. m d2r/dt2=F(t,r,v)
8. Redukcja dowolnego układu płaskiego: kinetycznej w ruch postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym
3. Zasada d Alamberta: 2 2
Redukcja ukÅ‚adu polega na wyznaczeniu wektora głównego oraz momentu dookoÅ‚a Å›rodka masy C ukÅ‚adu. E = ½ mv + ½ Sð m v
c i wi
Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt
głównego R="n P M ="n M 23. Twierdzenie Steinera
i=1 i o i=1 i
materialny jest w każdej chwili równa zeru.
9. Kratownice Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi jest równy
F+(-ma)=0
Kratownicą nazywamy układ sztywno nieważkich prętów połączonych sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej
4. Dynamiczne równania ruchu punktu:
przegubowo. Kratownica ma zastąpić ciało sztywne, kratownice obciążamy przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między
a=dv/dt e +v2/Á e
s n
zawsze w więzach, siły muszą działać wzdłuż pręta. Kratownica musi
tymi dwiema osiami.
e =m dv/dt
s
spełniać warunek sztywności p=2w-3 gdzie p  ilość prętów, w  ilość I = I + I = I + md2 ,( I = I = md2 )
z xx yy z l 0
e =m v2/Á
n
więzów. Musi byś kinematycznie niezmienna. Metody rozwiązywania Momenty bezwładności względem punktu
e =e ´ðe
b s n
kratownic: wÄ™złów  polega na rozpatrywaniu poszczególnych wÄ™złów, I =òð x2 dm
xx
5. Drgania:
Rittera  pozwala obliczyć siÅ‚y w wybranych prÄ™tach. I =òð y2 dm
yy
Drgania swobodne mx  =-kx ; É2=k/m x  + É2x=0
10. Redukcja dowolnego przestrzennego ukÅ‚adu siÅ‚: I =òð z2 dm
zz
x=AsinÉ t gdzie. x-wychylenie ciaÅ‚a z poÅ‚ożenia równowagi w chwili czasu
o
Każdą siłę działającą na ciało sztywne możemy sprowadzić do dowolnego
Momenty bezwładności względem osi
t, A  amplituda drgaÅ„, É  czÄ™stość koÅ‚owa drgaÅ„. Brak tÅ‚umienia i brak
punktu O przekładając parę sił o momencie równym momentowi siły wzg.
I =òð (y2 + z2 ) dm = I + I
x yy zz
wymuszenia.
punktu O R=P +P +& +P ="P , M =M +M +& +M ="M I =òð (x2 + z2 ) dm = I + I
1 2 n i o 1o 2o no io y xx zz
Drgania tÅ‚umione mx  +²x +kx=0 ; x  +²/m x +k/m x=0 ; ²/m = 2u ;
11. Zagadnienia statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne:
I =òð (x2 + y2 ) dm = I + I
z xx yy
k/m=É2
Nie można projektować kratownic aby pręt leżał w jednej linii łączone
Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyz
nie dwóch osi układu
Drgania sÅ‚abo tÅ‚umione(u<É).Okres drgaÅ„ jest dÅ‚uższy od okresy drgaÅ„
przegubowo  układ statycznie niewyznaczalny.
współrzędnych kartezjańskich jest całka iloczynów mas i ich odległości od
nie tłumionych zachodzących pod działaniem takiej samej siły sprężystej.
płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.
Drgania tłumione nie są drganiami periodycznymi. Drgania silnie tłumione
KINEMATYKA
I = I = òð xy dm
xy yx
(u>É) drgania tÅ‚umione sÄ… drganiami aperiodycznymi dla tych drgaÅ„
1. Opis ruchu
I = I = òð yz dm
yz zy
wychylenie maleje wykÅ‚adniczo z czasem. TÅ‚umienie krytyczne (u=É).
Aby zbadać ruch musimy to sprawdzić względem jakiegoś punktu
I = I = òð zx dm
zx xz
Drgania wymuszone mx  +kx=Hsinpt gdzie p- częstość kołowa siły
odniesienia. Ruch jest to zmiana położenia w czasie. r  wektor położenia
wymuszajÄ…cej, H- amplituda wymuszenia;
(początek w początku ukł. A koniec wodzi za punktem) r=xi+yj+zk
MECHANIKA ANALITYCZNA
x  +k/m x=H/m sinpt; x  +É2x=hsinp
Współrzędne zmieniają się w czasie więc są funkcjami czasu x=x(t) y=y(t)
1. Stopnie swobody
p<É  wówczas przesuniÄ™cie fazowe dąży do 0 i mówimy że czÄ™stość siÅ‚y
z=z(t). Krzywa po której porusza się punkt to tor ruchu, jest to krzywa
S=3n-k gdzie k-ilość więzów działających na obiekt, n-ilość punktów, które
wymuszającej jest zgodna w fazie z siłą wymuszającą
przestrzenna.
w sposób jednoznaczny modelują konstrukcję.
p>É  przesuniÄ™cie fazowe dąży do  Ä„ i wychylenia drgaÅ„ harmonicznych
2. Prędkość
2. Więzy
zależy od masy ciała wykonującego drgania
v=lim "r/"t = dr/dt = r prędkość zawsze jest styczna do toru i zawsze
Więzy są to ograniczenia ruchu ciał
p=É  przesuniÄ™cie fazowe dąży do Ä„/2 i zachodzi zjawisko rezonansu.
jest wektorem v=x i+y j+z k v="(x )2+(y )2+(z )2
Rodzaje więzów:
6. Pęd punktu
3. Przyspieszenie
skleronomiczne lub reonomiczne (ze względu na czas)
Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn
a=lim "v/"t = dv/dt = r  przyspieszenie nigdy nie jest styczne do toru
geometryczne i kinematyczne (ze względu na prędkość)
masy punktu i jego prędkości: p=mv
chyba że jest liniÄ… prostÄ… v=x  i+y  j+z  k v="(x  )2+(y  )2+(z  )2
holonomiczne i nieholonomiczne
Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu układu punktów
4. Naturalny układ współrzędnych:
jednostronne i dwustronne
materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych
Płaszczyzna styczna do krzywej w punkcie A to każda płaszczyzna
idealne i nieidealne (ze względu na opory)
działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt m dv/dt=F ; m=const. d/dt
zawierającą styczną do tej krzywej w punkcie. Płaszczyzna ściśle styczna
3. Przesunięciem przygotowanym punktu swobodnego jest każde
(mv)=F dp/dt=F.
jest to płaszczyzna do której dąży płaszczyzna styczna A równoległa do
1
przesunięcie tego punktu.
Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu
stycznej do krzywej w punkcie A gdy punkt A dąży do A.
1
Przemieszczeniem przygotowanym swobodnego ciała sztywnego jest
układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi
Płaszczyzna normalna do stycznej w punkcie A jest to płaszczyzna
każde przesunięcie postępowe, każdy obrót lub każdy skręt chwilowy.
wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ. p(t)-
zawierająca wszystkie proste prostopadłe do stycznej do tej krzywej w tym
Przesunięcie przygotowane jest nieskończenie małe, dowolne, zgodne z
p(0)=+"t Fdt
0
punkcie. Na przecięciu pł. normalnej i pł. stycznej leży linia normalna
więzami, rzeczywiste
Zasada zachowania pędu: jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych
główna.
dðr = dðxi + dðyj + dðzk
działających na ten układ materialny jest równy zeru, to pęd tego układu
Płaszczyzna prostująca to pł. prostopadła do pł. normalniej pł. ściśle
4. Zasada prac przygotowanych - wirtualnych
materialnego jest stały: dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const.
stycznej zawierajÄ…cej punkt A.
Pracę elementarną siły P na przygotowanym przesunięciu jej punktu
7. Kręt punktu
5. Przyspieszenie styczne i normalne:
przyÅ‚ożenia nazywamy pracÄ… przygotowanÄ… dðL = Pdðr
Krętem k punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy
o
a =dv/dt  przyspieszenie styczne
s
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego
moment pędu p=mv tego punktu materialnego względem punktu O:
a =v2/Á  przyspieszenie normalne
n
jest aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji
k =r´ðp=r´ðmv.
o
6. Droga: s=+"t2 Vdt
t1
więzów przy dowolnym przesunięciu przygotowanym układu była równa
Zasada krętu: pochodna względem czasu krętu układu punktów
7. Kinematyczne równania ruchu: x=x(t). y=y(t). z=z(t)
zeru.
materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu jest równa
10. Przyspieszenie Coriolisa
5. Siła uogólniona
momentowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych względem tego
Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi
Q ="i=n (P "x /"q + P "y /"q + P "z /"q ) j=1,2,& s Wielkości
j i=1 ix i j iy i j iz i j
samego punktu. dk /dt=M
o o
wektorowemu prędkości kątowej układu ruchomego i prędkości względem
Q ,Q ,& Q noszą nazwę sił uogólnionych odpowiadających współrzędnym
1 2 s
Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny sił zewnętrznych
punktu A. p =2É×v Przyspieszenie Coliolisa nie wystÄ™puje gdy ruchem
c r.
uogólnionym q ,q & q
1 2 s
względem nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu
unoszenia sÄ… ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty i postÄ™powy (wð=
6. Równanie Lagrange a II rodzaju
materialnego (bryły) względem tego punktu jest wielkością stałą. Jeżeli
zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora prędkości
Są to równania różniczkowe ruchu układu materialnego o węzłach
M =0 to k =const.
o 0
względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru.
idealnych, holonomicznych i nie zawierają niewiadomych reakcji więzów.
8. Praca mechaniczna
11. Rodzaje ruchów bryły sztywnej:
d/dt ("T/"q )- "T/"q =Q
j j j
PracÄ… mechanicznÄ… nazywamy energiÄ™ dostarczonÄ… z zewnÄ…trz za pomocÄ…
l. ruch postępowy - to taki ruch w którym dowolna prosta sztywno
L=T-V  funkcja Lagrange a, q  prędkość uogólnina
układu sił do rozpatrywanego układu materialnego w czasie jego ruchu.
związana z tą bryłą zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3 stopnie
W zachowawczym polu sił: d/dt ("T/"q )- "T/"q = "V/"q
j j j
dL=Pdr  praca elementarna L =+" Pdr=+" (FxdxFydyFzdz)  praca
AB AB AB
swobody).
wykonana pomiędzy punktami krzywej
2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w którym dowolne dwa punkty bryły
9. Moc
sÄ… nieruchome, prosta przechodzÄ…ca przez dwa punkty to oÅ› obrotu (1
MocÄ… chwilowÄ… nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt:
stopień swobody).
N=dL/dt.
3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym dowolny przekrój tej bryły
Moc jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu
płaszczyzną zajmuje położenie równoległe i jest równoległy do pewnej
przyłożenia. N=P"v
stałej płaszczyzny zwanej kierującą (3 stopnie swobody).
Moc układu sił działających na bryłę sztywną: moc układu sił
4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w którym bryła porusza się dookoła
zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie iloczynu
nieruchomego punktu bryły (3 stopnie swobody).
skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna redukcji
5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch postępowego i kulistego.
oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż
12. Ruch postępowy bryły sztywnej:
bieguna i prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej. N=W"v +M "É.
o o
v=dr /dt=v a=d2r /dt2=dv /dt=a
o o o o o
10. Zasada równoważności pracy i en. kinetycznej
- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same
Przyrost energii kinetycznej układu na pewnym przesunięciu jest
prędkości v i przyśpieszenia a w tej samej chwili czasu.
o o
równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) i wewnętrznych
- tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.
działających na punkty układu na tym przesunięciu. L+L*=E
2-E
1
- dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu
Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu
jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O .
jest równa sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym
13. Ruch obrotowy bryły:
przesunięciu. L=E
2-E
1
É=dĆ/dt µ=dÉ/dt=d2Ć/dt2 v=É´ðr a=µ´ðr +É´ð(É´ðr )
11. Pole sił
a=µ´ðr +É(É"r )-É2r
Jest to przestrzeń o takiej własności że na dowolnie umieszczony w niej
14. Ruch płaski bryły:
punkt materialny działa ściśle określona siła zależna tylko od położenia
v=v +É´ðr a=a +µ´ðr +É(É"r )-É2r
o o
punktu.
Tw. o trzech rzutach  jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty
14. Zasada zachowania energii
prędkości 2 dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe.
Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii
Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma
kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą. E+U=const.
prędkość 0 nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy
pomocy chwilowego środka obrotu możemy znalez
ć prędkość punktów
posÅ‚ugujÄ…c siÄ™ wzorem v=É´ðCA. Wektor prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej jest zawsze
taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły.