1. Podać i omówić prawa Newtona; omówić zakres 11. Podać i udowodnić twierdzenie Steinera. 18. Zdefiniuj pojęcia krętu i pokrętu dla punktu
stosowalności tych praw. materialnego i bryły sztywnej.
Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi
I Prawo Newtona: Punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej Krętem punktu materialnego względem punktu 0 nazywamy
siły, których suma jest równa 0, pozostaje w spoczynku lub porusza przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu
moment pędu tego punktu względem punktu 0.
� �
K0=r�Q
�
się ruchem jednostajnym prostoliniowym. odległości między tymi osiami.
Krętem ciała sztywnego- względem punktu 0, nazywamy sumę
II Prawo Newtona: Siła działająca na punkt materialny jest równa W ten sposób ,znając moment bezwładności względem osi
krętow poszczególnych punktów tego ciała względem punktu 0.
przechodzącej przec środek masy,możemy obliczyć moment
� = d � n
pochodnej względem czasu pędu tego punktu. F (m v )
bezwładności względem dowolnej osi równoległej.Jak wyniki ze
dt
�
K0= (ri�mi vi)
� �
"
wzorów powyższczych,najmniejszy moment bezwładności jest
i =1
III Prawo Newtona: Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów
względem osi przechodzącej przez środek ciężkości
m - masa tego punktu
materialnych, skierowane wzdłuż prostej łączącej te punkty, są
v  prędkość tego punktu
Dowód twierdzenia Steinera
równe co do wartości, a przeciwne co do kierunku.
r - odległość tego punktu od punktu 0
2
Prawo Newtona powszechnej grawitacji: Dwa punkty materialne o
I = r2 dm I = R dm r2= x2+ y2
+" +"
0 Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego
masach m1 i m2 działają na siebie z siłą proporcjonalną do iloczynu
nieruchomego punktu
2 2
tych mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości tych
R =( d -y)2+x2=d +r2-2dy
jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych
mas. F=kMm/r^2.
względem tego samego
R2 dm= r2 dm+d2 dm-2d ydm
+" +" +" +"
2. Czym zajmuje się mechanika, jakie są jej podstawowe
punktu.
działy, omówić zakres zainteresowań tych działów?
Suma pokrętów sił zewnętrznych względem punktu O jest równa
I =I +Md2-2d ydm I =I +Md2
+"
0 0
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu ciał
przyrostowi krętu ciała.
12. Co to są masowe momenty dewiacyjne, jak je liczymy
materialnych. Uczy umiejętności modelowania zjawisk i obiektów w
Twierdzenie to, stanowiące zasadę krętu i pokrętu, zapisujemy
i do czego mają zastosowanie, co to są osie główne i centralne ciała.
t
szczególności zastępowania realnych konstrukcji pewnymi
2
Momentem dewiacyjnym(odśrodkowym) ciała względem dwóch
� � � 0
idealizacjami fizycznymi umożliwiając ich matematyczne
K2- K1= M dt
+"
prostopadłych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas
t
odwzorowanie.
1
elementów przez odległość tych elementów od danych płaszczyzn
19. Podaj i wyprowadz
zasadę krętu w postaci
I Statyka. Zajmuje się równowagą układów sił działających na ciało
Momenty dewiacyjne względem płaszczyzn:
różniczkowej i całkowej.
pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Postać różniczkowa: Moment sił zewnętrznych działających na punk
Dxy= (również dla płaskiego układu współrzędnych)
xydm
+"
(m)
materialny równy jest pochodnej krętu względem czasu.
II Kinematyka. Zajmuje się badaniem geometrycznych właściwości
Dxy= Wyprowadzenie:
ruchu ciał bez uwzględniania ich cech fizycznych i działających na nie xzdm
+"
(m)
sił.
d
� � � � Ł
F =m a=m r � �� =� �m� � �m r � �m v= (� �m v
� r F r r r � =r � r � )
Dxy= �
yzdm
+"
III Dynamika. Zajmuje się ruchem ciał w zależności od działających na
(m) dt
nie sił. Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie,
gdzie � =� i m v=�
v Y � Q
jak i
3. Podać i omówić uproszczenia jakie stosuje się w
ujemne, ponieważ w powyższych wzorach - w przeciwieństwie do
mechanice, w tym w dynamice.
Ł
� 0= d � � � 0=K0
�
zatem M (r�Q) stąd M Postać całkową
momentów
Punkt materialny- ciało o nieskończenie małych wymiarach, dt
bezwładności - występują iloczyny, a nie kwadraty współrzędnych.
otrzymujemy, całkując stronami powyższe równanie:
posiadające masę; modeluje ciała o bardzo małych wymiarach w
t K� t
Ponadto
2 2 2
porównaniu z wymiarami otoczenia; wymiary na tyle małe, by
�
wykażemy, że jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn, względem których � 0= d K0 M dt = d K0=K2-K1 czyli M 0dt=K2-K
� 0 � � � � � �
M
+" +" +"
można pominąć obrót ciała względem układu odniesienia.
dt
�
obliczamy t K t
Ciało doskonale sztywne- odległości między jego punktami nie 1 1 1
momenty dewiacyjne, jest płaszczyzną symetrii rozpatrywanego
zmieniają się, nie podlega odkształceniom pod wpływem 20. Podaj, omów i wyprowadz
zasadę zachowania krętu
układu
działających sił, model ciała rzeczywistego gdy odkształcenia są dla punktu materialnego i bryły sztywnej.
materialnego (bryły), to odpowiednie momenty dewiacyjne są
pomijalnie małe w stosunku do wymiarów.
Krętem (momentem pędu układu punktów materialnych względem
równe zeru.
Zasada zesztywnienia- warunki równowagi sił działających na ciało
stałego punktu 0) nazywamy wektor równy sumie geometrycznej
Powyższa własność momentów dewiacyjnych ma duże znaczenie w
odkształcalne nie zostają naruszone przez zesztywnienie tego ciała,
momentów pędu punktów względem bieguna 0.
obliczeniach praktycznych.
punkt przyłożenia siły nie ulegnie przesunięciu mimo odkształcenia
n n
Głownymi osiami bezwładności figury płaskiej nazywamy takie osie,
konstrukcji. K = ki0= V �mV
" "
0 i i
względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości
i =1 i =1
4. Omówić i wyprowadzić zasadę niezależności działania
ekstremalne, zaś moment dewiacyjny jest równy zeru. Zasada krętu układu punktów materialnych:
sił.
Jeżeli obie główne osie bezwładności orzechodzą przez środek Pochodna krętu względem czasu, względem dowolnego bieguna
Gdy na pkt mat. działa jednocześnie n sił F1,F2...Fn, przyspieszenie
ciężkości figury , to nazywamy je głownymi centralnymi osiami równania jest równa sumie geometrycznej momentów sił
doznane przez rozpatrywany pkt jest równe sumie geometrycznej
bezwładności. zewnętrznych rozpatrywanego układu względem poszczególnych osi:
przyspieszeń, które posiadałby ten sam pkt, gdyby każda z sił działała
13. Wyznaczyć masowy moment bezwładności dla pręta o masie m i � 0 n
d K
na niego osobno.
= M� i ,0
"
długości L, względem osi prostopadłej do osi pręta i przechodzącej
dt
i =1
a=a1+a2+...+an
przez jej środek.
Zasada zachowania krętu układu punktów materialnych:
ma1=F1 , ma2=F2 , man=Fn
14. Zdefiniuj pojęcia pędu, popędu i impulsu siły (wraz z
Kręt układu względem stałego bieguna 0 jest stały, jeżeli suma
ma=F1+F2+...+Fn
interpretacją graficzną) dla punktu materialnego i bryły sztywnej.
geometryczna momentów sił zewnętrznych względem tego bieguna
ŁFi=ma
jest równa zero. Czyli jeżeli M0=0 to dK0/dt=0 i K0=const
Pęd punktu materialnego o masie m i predkości v jest iloczynem
5. Omówić prawo powszechnej grawitacji.
masy oraz prędkości i przedstawia się wzorem Q=mv 21. Wyprowadzić równanie dynamiczne ruchu
Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 działają na siebie z siłą
obrotowego, wraz z drugą zasadą dynamiki w ruchu obrotowym.
Popęd zwany też impulsem i popędem siły  wektorowa wielkość
proporcjonalną do iloczynu tych mas i odwrotnie proporcjonalną do
Moment sił zewnętrznych działający na bryle w ruchu obrotowym
kwadratu odległości tych mas. F=kMm/r^2. fizyczna równa iloczynowi siły i czasu jej działania: I=F"t lub dla siły
wokół stałej osi równa się iloczynowi momentu bezwładności przez
zmieniającej się w czasie I=Fdt
6. Napisać dynamiczne równania ruchu i objaśnić, na
przyśpieszenie kątowe.
15. Podaj i wyprowadz
z drugiej zasady dynamiki, zasadę
czym polegają dwa podstawowe zadania dynamiki.
pędu w postaci różniczkowej i całkowej.
d
F=ma Fx=max Fy=may Fz=maz Ł
� �
M = K= ( I � )=I � =I �
� �
Ł
n
dt
ax=d2x/dt2=x**
� i=m d � )= d �
Postać różniczkowa: F a= (m v (Q) Suma sił
" �
ay=d2y/dt2=y**
dt dt
i =1
az=d2z/dt2=z**
działających na punkt materialny równa się pochodnej względem
Fx=mx** Fy=my** Fz=mz**
22. Jak liczymy kręt w ruchu postępowym a jak w ruchu
d
�
czasu pędu tego punktu. IIZDN F = (m v
� )
Pierwsze zad. dyn.-polega na tym że mamy równania parametryczne
obrotowym wokół stałej osi.
dt
toru (x=x(t), y=y(t), z=z(t)),a chcemy wyznaczyć siłę F, pod której
t
2 Ruch obrotowy:
n
wpływem porusza się punkt materialny. Zadanie rozwiązujemy
� � 2-Q1
�
Postać całkowa: Fi dt =Q
+"" Zasada krętu w ruchu obrotowym: Kręt względem osi obrotu jest
różniczkując dwukrotnie po czasie równania parametryczne toru i
t i =1
1
równy iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrolu i
określamy składowe przyspieszenia. Wstawiając je do dynamicznych
16. Podaj, omów i wyprowadz
zasadę pędu i popędu oraz prędkości kątowej ciała. K=I�
równań ruchu, znajdujemy składowe siły działającej.
zasadę zachowania pędu. Ruch postępowy: K0=mvchc
Drugie zad. dyn.- wyznaczenie przy danej masie i sile, przyspieszenia,
Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v
prędkości, toru poruszającego się punktu. W ruchu postępowym c-środek masy Ciało porusza się
vi=vc
punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest
7. Omówić zasadę d'Alemberta.
ruchem postępowym.Kręt dowolnego punktu o masie Mi względem
Jeżeli do sił rzeczywistych działających na pkt. mat. dodamy fikcyjną zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości . Ruch ciała,
� v
p=m �
punktu 0 ma postać: Kręt ciała
K� i ,0=hi mivi=mi hi vc
siłę bezwładności, to suma ich równa się zeru. Siłę bezwładności
a tym samym i jego prędkość określana jest względem wybranego
n n n
otrzymujemy mnożąc masę ciała przez przyspieszenie rzeczywiste ze
układu odniesienia, dlatego też pęd jest określany względem tego
mi hi vc= m hc a ponieważ mi hi=mhc to
" " "
znakiem -. ŁFi+ B= 0
układu odniesienia. Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły i =1 i =1 i =1
8. Wyprowadzić zależności na rzut ukośny punktu
K0=mvchc. Kręt ciała materialnego względem osi obrotu jest równy
przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest
materialnego.
iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości
popędem siły (I) Jeżeli w układzie
� � = �
" � " t I F " t
p=F
Zasięg, czas lotu, równanie toru, H max
kątowej ciała K=I� Kręt całego ciała równa się sumie krętów
inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub
9. Omówić podstawowe modele ciał w mechanice oraz poszczególnych punktów .
działające siły zewnętrzne równoważą się  pęd nie zmienia się
23. Zdefiniuj pracę w ruchu prostoliniowym oraz
zakres stosowalności tych modeli.
wyprowadz
zależności na pracę w ruchu krzywoliniowym.
17. Podaj i omów zasadę ruchu środka masy bryły
Pkt. mat. to ciało materialne obdarzone masą, którego wymiary
sztywnej.
geom. mogą zostać zaniedbane w porównaniu z wymiarami Praca jest to iloczyn skalarny wektora siły i wektora przesunięcia
otoczenia. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne, gdyż pozwala na
punktu zaczepienia tej siły z def. Iloczynu skalarnego
�
L=F�"s
�
znakomite uproszczenie opisu ruchu układu składającego się z wielu
Układ punktów. materialnych to zbiór pkt mat.
wynika że L=Fscosą. W przypadku gdy punkt przyłożenia siły doznaje
ciał. Zamiast rozpatrywać poszczególne ruchy dużej ilości ciał,
Bryła sztywna to ciało materialne, którego kształt i wymiary nie
krzywoliniowego przesunięcia obliczamy pracę elementarną
wystarczy w wielu przypadkach rozważyć jedynie ruch jednego
ulegają zmianie pod działaniem sił.
punktu będącego środkiem mas układu tych ciał. Środek masy
dr elementarny przyrost wektora wodzącego
dL=� d �
F r
10. Co to jest masowy moment bezwładności, jakie są
układu zachowuje się tak, jak gdyby cała masa układu znajdowała się
rodzaje tych momentów, podać zależności występujące pomiędzy punktu M ponieważ
w punkcie środka masy i jak gdyby wszystkie siły działające na ciała
tymi momentami.
� � możemy zapisać
układu były przyłożone do tego punktu. � +dy � � � +F y �
d r i j+dz k F=F i j+F k
� =dx
x z
Iloczyn masy pkt. mat. przez kwadrat odległości od danego punktu,
prostej lub płaszczyzny. Rodzaje: względem punktu I0(biegunowy,
�
L= F d r
�
� +"
dL=Fd r dx+F dy+F dz
� =F
x y z
równy sumie momentów bezwł. względem 3 prostopadłych M M
1 1
płaszczyzn przecinających się w tym pkcie oraz połowie sumy
24. Wyprowadz
zależności na pracę sił ciężkości oraz sił
momentów względem 3 prostych przecinających się w tym pkcie.),
sprężystości.
względem prostej Ix, Iy, Iz (równy sumie mom. względem 2
Praca siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jako równa
prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej prostej),
różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym wyraża
względem płaszczyzny Ixy, Iy,z Iz x.
się następującym wzorem: L=U1-U2=mg(z1-z2)=mgh h-różnica
I0=Ixy,+Iy,z +Iz x
wysokości
Ix,=Ixy, +Iz x Iy,=Ixy,+Iy,z Iz=Iy,z +Iz x
x
2
I0=0,5*(Ix,+Iy, +Iz )
Praca siły sprężystości: L=-k xdx=-kx
+"
2
0
25. Zdefiniuj i wyprowadz
zależności na moc. 35. Omów problematykę efektu żyroskopowego, podaj 40. Zdefiniuj i omów współczynnik restytucji
przykłady praktyczne zastosowania teorii zjawisk żyroskopowych.
Moc siły jest pochodną względem czasu pracy tej siły N=dL/dt Współczynnik restytucji (odbicia) = określa ilość energii straconej
Efekt żyroskopowy = zjawisko zachodzące, kiedy obracająca się bryła, podczas uderzenia; stosunek impulsów w obu okresach zderzenia.
d r
�
�
ponieważ dL= Fdr to N =F =� � = Moc jest iloczynem
F v
w sposób wymuszony zmienia w przestrzeni położenie osi swojego
v1' -v2' m1 v1+m2v2-km2(v1-v2)
dt
k = v1' =
obrotu; efekt ten wywołuje powstanie dodatkowego momentu sił
skalarnym wektora siły i wektora prędkości punktu jej przyłożenia.
v1-v2 m1+m2
bezwładności, który przeciwdziała zmianie położenia osi obrotu
Gdy zapisujemy wektory w postaci wersorowej
m1 v1+m2v2-km1(v1-v2)
bryły.
v2' =
� =F x� +F y� +F z � m1+m2
F i j k
Zastosowanie:
2
m1(v1' )2+m2( v2' )2 m1 v1+m2v2
2
� więc - tłumik kołysania bocznego statku (prędkości kątowe są prostopadłe " E =[ ]-[ ] K =<0;1>
� i j k i j
v=vx � +vy � +vz � =�� + Ź� +ż k
2 2
=> �1 prostopadłe do �2
Jednostką mocy jest wat 1W h
N =F �+F Ź+ f ż - szybko obracająca się tarcza w zawieszeniu Cardana => żyrokompas,
x y z k = przy spadku swobodnym
"H
żyrohoryzont, automatyczny pilot, itp.
26. Podaj i wyprowadz
zależności na pracę i moc
Znajdziemy reakcję łożysk turbiny na oś turbiny, która jest
momentu obrotowego.
usytuowana w osi wzdłużnej okrętu. Okręt wykonuje kołysania
Praca momentu obrotowego jest równa iloczynowi momentu
wzdłużne.
obrotowego i kąta obrotu wału. W przypadku gdy pracę wykonuje
Przyjęte oznaczenia: n[obr/min]  prędkość obrotowa wirnika
siła styczna do wału na drodze ds elementarna praca dL=Fds=Frd� 41. Wyprowadz
podstawowe zależności dla zderzenia
turbiny , Iz [kgm2]  moment bezwładności wirnika względem osi
ponieważ Fr=M przeto dL=Md� stąd L=Md� moc przenoszona przez prostego centralnego.
obrotu , l [m]  rozstaw łożysk
wał: N=dL/dt=Md�/dt stąd: N=M�
Uderzenie proste = gdy prędkość względna danego ciała leży na linii
2 Ą
Kołysanie wzdłużne można określić wzorem: �=�0sin( t)
27. Podaj i wyprowadz
zależności pomiędzy uderzenia
T
podstawowymi jednostkami technicznymi i jednostkami układu SI,
Q1=Q2= const, mv=const, m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
Gdzie: �0[rad]  wychylenie maksymalne, T [s]  okres kołysania
pracy, energii, mocy, prędkości kątowej.
42. Wyprowadz
podstawowe zależności dla zderzenia
Prędkość kątowa kołysania �2 po zróżniczkowaniu:
28. Zdefiniuj sprawność mechaniczną, podaj uproszczony
ukośnego.
2 Ą
�2=�=�0 2 Ą cos ( t)
przebieg mocy i jej strat w układzie napędowym statku.
Uderzenie ukośne = gdy prędkość względna danego ciała nie leży na
T T
Sprawność mechaniczna maszyny lub silnika nazywamy stosunek
linii uderzenia
Przy czym: (�2)max=�0 2 Ą
pracy(lub mocy) użytecznej do pracy lub mocy włożonej Sprawnością
T
m1v1 cosą1+m2v2cos ą2=m1 v1' cos ą1' +m2v2' cosą '
Lu N 2
u
Prędkość kątowa obrotu własnego: �1=Ąn/30
mechaniczną określamy współczynnikiem �= =
Lo N
o
2 Ą2�0 I n
z
v1' cosą1 '+v2' cosą2 '=-k (v1cos ą1-v2 cosą )
Czyli: R = 2
sprawność jest wielkością bezwymiarową przy czym zawsze �<1 max
30Tl
29. Jak liczymy energię kinetyczną w ruchu postępowym i
Para sił (reakcje łożysk) jest zmienna co do wartości i kierunku.
v1sin ą1=v1' sin ą1' v2sin ą2=v2siną '
2
w ruchu obrotowym, wyprowadz
i omów te zależności.
36. Wyprowadz
uproszczone równanie teorii żyroskopu.
-v1' -v2 '
Energia kinetyczna ciała w ruchu postępowym równa jest połowie
Wektor krętu dla swojego końca jest jednocześnie wektorem k =
v1-v2
iloczynu masy przez kwadrat prędkości środka ciężkości ciała.
wodzącym, stąd obliczona wartość może być
v
Ponieważ w ruchu postępowym prędkości wszystkim punktów ciała �
43. Wyprowadz
zależności na reakcje łożyska podczas
n
przedstawiona jako pierwsza pochodna względem czasu wektora zderzenia mimośrodowego; podaj metodę minimalizacji tych reakcji.
są sobie równe: Zatem otrzymamy E =1 miv2 stąd
"
c
2 Uderzenie mimośrodowe = linia uderzenia nie przechodzi przez
i=1 wodzącego, czyli krętu: czyli
Ł Ł
� �
� ��I
v= K K =� �1
Ł
z
środek masy danego ciała.
E =1 m v2 Ponieważ pochodna krętu równa się momentowi sił zewnętrznych
c
2
Tuż przed uderzeniem:
R =mg +ma �2
otrzymujemy
� 0=�1�I z � y max max
M � �2
Energia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi równa
W trakcie zderzenia: � -> 0 i � < 0 (� ma wyhamować ciało) =>
się połowie iloczynu momentu bezwładności ciała i kwadratu
37. Wyprowadzić i omów przybliżoną metodę
wyznaczania reakcji żyroskopowych łożysk silników okrętowych.
2 R e=I �
u z
prędkości kątowej czyli E =1 miv2=1 mi(� r2)=1 � mi r2
i i i i
2 2 2
Żyroskopowe reakcje łożysk:
�2+a2
n n n e=
- są zmienne, co do wielkości i kierunku (zanurzanie się i wynurzanie
1 2 2 1� 2 a
E = Ei= � mi r2=1 � mi r2= I
" " "
i i
statku)
2 2 2 e  środek uderzenia, przy którym łożysko nie przenosi dodatkowych
i -1 i=1 i =1
- mogą osiągnąć duże wartości (większe od reakcji statycznych obciążeń związanych z uderzeniem
30. Wyprowadz
zależność pomiędzy energią kinetyczną a
związanych z ciężarem wirnika) w przypadku turbin. �  promień bezwładności ciała względem osi centralnej równoległej
pracą punktu materialnego, omów zasadę energii i pracy.
38. Omów zagadnienia związane z siłami zderzeniowymi. do osi obrotu
Przyrost energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił na drodze
Z drugiej zasady dynami dla ruchu obrotowego:
na której ten przyrost nastąpił-zasada pracy i energii Energia
kinetyczna układu punktów materialnych lub ciała sztywnego równa 2
�
M = I � I =I0+m�2 I =m �2+ma
r
z z
jest sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów układu.
2
31. Podaj postać różniczkową zasady energii, zdefiniuj
R e=m� (�2+a )
u
energię kinetyczną bryły sztywnej oraz energię kinetyczną ciała
Twierdzenie o ruchu środka masy:
materialnego w ruchu płaskim. R -Ru=-m pc
x
Postać różniczkowa zasady energii. Ponieważ iloczyn siły i prędkości
(gdzie p  przyspieszenie całkowite; a  odległość
pc=� a
jest równy mocy siły Fv=N ostatnie wyrażenie przyjmuje postać
miedzy krawędzią jednej masy a środkiem drugiej)
d mv2)= d
Siły zderzeniowe (chwilowe) = szczególny rodzaj sił, które odznaczają
N = ( ( E ) czyli N =

�2+a2
dt 2 dt się bardzo dużymi wartościami w bardzo krótkim przedziale czasu.
R =m �( -a )
R =Rx+m �a x
u
e
Energia kinetyczna bryły sztywnej jest sumą dwóch składników:
Modelowy przebieg siły o bardzo krótkim czasie działania i
44. Wyprowadz
podstawowe równanie drgań w ruchu
energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i obrotowego.
skończonej wartości impulsu siły jest zbliżony do delty Diraca.
postępowym; omów wielkości składowe.
Delta Diraca = charakteryzuje się nieskończenie krótkim trwaniem
E =1 mv2+1 I �2
siły przy nieskończenie dużej wartości siły, ale o skończonym,
2 2 � =m �
F a m ć=F (x , � , t)
równym rzeczywistemu, impulsie siły.
32. Podaj i omów twierdzenie o zasadzie zachowania
Matematycznie => całka z delty Diraca po nieskończonym czasie
F (x , � , t)=F1( x)+F (�)+F (t)
energii mechanicznej, podaj przykłady zastosowania. 2 3
równa się jedności:
w układzie izolowanym Em ( Em = Ep + Ek) ciała materialnego jest
t +�
- oddziaływanie sprężyste np. sprężyna,
0
" F ( x)
1
wielkością stałą.
F (t) dt= J � (t-t0)dt=J
+" +"
Np. w obliczaniu zadań (klocek zsuwa się po równi, krążek toczy się
t 0
opory ruchu linowego,
0
F ( �)
2
bez tarcia), do obliczenia prędkości.
39. Omów podstawowe pojęcia w teorii zderzenia,
33. Podaj i omów rodzaje reakcji pochodzących od
- statyczna siła wymuszenia z
zdefiniuj rodzaje zderzeń.
F (t )=F +F sin (�t )
3 S D
niewyważenia obracającej się bryły sztywnej; jakie zależności są
Przy analizie zderzenia operujemy impulsem siły (a nie siłą), który ma
zaburzeniami harmonicznymi. Równanie dynamiczne ruchu
niezbędne do wyznaczenia tych reakcji.
skończoną wartość, bo powoduje skończone zmiany pędu ciała.
postępowego:
Statyczne pochodzące od niewyrównoważenia statycznego: m ć+c �+kx=F sin( �t)
Rzeczywisty przebieg siły zderzeniowej nie musi być znany. D
* Reakcje statyczne - występują, gdy środek masy ciała nie leży na osi
45. Wyprowadz
podstawowe równanie drgań w ruchu
Podstawowe równanie teorii zderzenia:
obrotu , ale oś obrotu jest jedną z osi głównych ciała; wektor pędu J=m� -m �0
obrotowym; omów wielkości składowe.
jest const., ale obraca się razem z bryłą, a wektor krętu jest stały i
Zderzenie = oddziaływanie ciał na siebie w bardzo krótkim przedziale
� 0=I � � Ł
leży na osi obrotu. M � I Ć =M (Ć , Ć ,t)
czasu.
Dynamiczne pochodzące od niewyrównoważenia dynamicznego:
Impulsy sił = nieokreślone siły w zjawisku zderzenia; jeśli zderzenia
M1(�)  oddziaływania
M (Ć , Ć , t )=M (Ć)+M (Ć)+M ( t)
* Reakcje dynamiczna  występują, gdy środek masy ciała leży na osi Ł Ł
nastąpiło w chwili t0 i trwa przez czas d�, możemy je określić wzorem: 1 2 3
t +d �
obrotu, ale oś obrotu nie pokrywa się z żadną z osi głównych ciała; o sprężyste, M2(�*) - opory ruchu obrotowego, M3(t) = Mn+Mz
� = �
wektor pędu jest równy zeru, a wektor krętu porusza się wokół S P dt sin(n�t)  moment nominalny maszyny z harmonicznymi
+"
t
pobocznicy stożka. 0
zaburzeniami
I Ć+C Ć+K Ć=M +M sin (n �t)
� Ł
N Z
* Reakcje statyczno-dynamiczne  występują, gdy środek masy ciała Siła chwilowa = gdy siła P ma wartość nieskończenie wielką.
nie leży na osi obrotu oraz oś obrotu nie pokrywa się z żadną z osi Współczynnik restytucji (k) = równy ilorazowi prędkości względnej 46. Omówić i przedstawić graficznie podstawowe
głównych ciała; wektor pędu jest stały, ale obraca się razem z bryła, a ciał po odbiciu przez prędkość względną ciał przed odbiciem. [w wielkości opisujące ruch drgający.
wektor krętu zatacza się wokół pobocznicy stożka. zderzeniu prostym centralnym]
Zależności niezbędne do wyznaczania tych reakcji: Środek uderzenia (e) = taki punkt ciała materialnego osadzonego na
n n
nieruchomej osi, przez który musi przechodzić linia działania siły
d
� i ,0 d � � i= d �
M = K M� i ,0= (I �) F Q
" "
chwilowej, aby siła ta nie wywołała reakcji chwilowych łożysk osi
dt dt dt
i =1 i =1
I I +mh2
34. Podaj cele ułożenia okrętowej linii wałów; omów z c
obrotu. e= =
problematykę związaną z tym zagadnieniem (jakie zjawiska mają mh mh
Rodzaje zderzeń:
wpływ na poprawne ułożenie linii wałów).
- centralne = linia zderzenia przechodzi przez środki masy obu ciał
Cele: - rozkład reakcji łożyskowych - obciążenie wału korbowego -
- mimośrodowe (ekscentryczne) = linia zderzenia nie przechodzi
naprężenia linii wałów
Częstotliwość drgań: = liczba cykli drgań odbywających się w
przez środki masy obu ciał
Problematyka:
jednostce czasu; jednostką [Hz].
- proste = prędkości obu ciał przed zderzeniem leżą na linii zderzenia
Rozkład reakcji łożyskowych:
Częstość drgań: � [1/s]= częstość kołowa / kątowa
- ukośne = prędkości obu ciał przed zderzeniem nie leżą na linii
- statyczne ułożenie linii wałów (liczba Somerfelda)
Cykl drgań = ciąg kolejno następujących położeń (od zerowego, przez
zderzenia
2
R d
max wychylenie, do zerowego).
- idealnie plastyczne = trwałe odkształcenia ciał po ich zderzeniu,
S= ( ) S  liczba Somerfelda
�U c
Okres drgań (T) = czas trwania jednego cyklu drgania; jednostką [s]
brak odbicia (poruszają się dalej razem), k=0
R  bearings loading unitary force �  lubricating oil absolute
Amplituda: A - maksymalne wychylenie z położenia równowagi;
 idealnie sprężyste = ciała po zderzeniu wracają do
viscosity U  prędkość względna
jednostką jest jednostka długości; może przyjmować wartości
swego stanu przed uderzeniem, k=1
d  średnica shaft journal c  bearing slackess
dodatnie lub ujemne, czyli wychylenie może być zgodne ze zwrotem

przyjętego układu odniesienia ( + ) lub przeciwne ( - ).
47. Wymienić i omówić różne klasyfikacje drgań 54. Podać metody wyznaczania (szacowania) tłumień
mechanicznych; podać przykłady typów drgań na statkach. konstrukcji.
Klasyfikacje drgań ze względu na:
x1
Logarytmiczny dekrement tłumienia: �=ln gdzie
a) charakter kolejnych cykli drgań: - okresowe (periodyczne) x2
(szczególnym przypadkiem drgania harmoniczne) - quasi-okresowe -
x1=xmax=x(t1), x2=x(t1+T), T=2 /�,
�=�0 1-�2 ,
"
nieokresowe (aperiodyczne)
2
b) siły działające na drgający układ - swobodne (własne) -
k c
�-częstość drgań tłumionych,
�= -( )
wymuszone - tłumione
"m 2m
c) liczbę stopni swobody: - o jednym stopniu swobody - o  n
�
�=2 Ą =2 Ą �=�
stopniach swobody - drgania układów ciągłych
1-�2
""
d) kierunek działania drgań: - wzdłużne - giętne (poprzeczne) -
�-energetyczny współczynnik tłumienia
skrętne
e) rozmieszczenie drgań: - globalne - strefowe - lokalne 55. Co to są drgania własne, wyznaczyć drgania własne
48. Podaj wektorową interpretację drgań mechanicznych, układu o jednym stopniu swobody; przedstawić wykres drgań
wyprowadz
i omów podstawowe zależności. swobodnych tłumionych.
Drgania własne (drgania swobodne) = odbywają się bez udziału sił
zewnętrznych, wyjąwszy ewentualny impuls początkowy wytracający
układ z położenia równowagi. D.s. odbywają się z właściwą dla
danego układu drgającego częstością drgań własnych (zależna od
masy i sprężystości tego układu).
M ć+C �+kx=0
m ć+kx =0 x=Acos(� t+Ć0)
m [Acos(� t+Ć0)]+k [Acos (�t +Ć0)]=0
�
dx(t)
v (t)= =A �cos( �t )
x(t)=Asin (�t)
dt
2
d x (t)
a(t)= =-A �2sin(� t)
dt2
49. Co to są drgania harmoniczne, omów składanie drgań
harmonicznych.
56. Co to są drgania wymuszone, omówić zjawisko
Drgania harmoniczne = szczególny przypadek drgań okresowych, w
rezonansu drgań.
których wychylenie zmienia się w czasie zgodnie ze zmiennością
Drgania wymuszone = zachodzą, gdy do układu przykładamy
funkcji sin lub cos:
zmienne w czasie siły wymuszające. Jeżeli częstość wymuszeń
(impulsów wymuszających) jest równa częstości drgań własnych
x=x(t)=asin(Ć ) x=x(t)=acos (Ć)
układu, mamy do czynienia ze zjawiskiem rezonansu, podczas
a  amplituda drgań
którego obserwuje się wzrost amplitudy drgań.
Składanie drgań harmonicznych = występuje, gdy pewien punkt jest
57. Zdefiniować podkrytyczny i nadkrytyczny okrętowy
poddany jednoczesnemu pobudzeniu przez dwa niezależne z
ródła
układ napędowy (z punktu widzenia drgań skrętnych); omówić wady
drgań; wtedy ten punkt będzie wykonywał drganie będące sumą obu
i zalety obu typów układów.
drgań. Możemy wyróżnić dwa szczególne przypadki:
Układ podkrytyczny = układ oscyluje ze zmniejszającą się
a) składanie drgań równoległych - drgania odbywają się w tym
wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu
samym kierunku, co powoduje powstanie tzw. zdudnienia, czyli
nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy
okresowego dużego zmniejszenia drgań w krótkim czasie;
oraz zmniejszenie częstości drgań układu.
b) składaniu drgań prostopadłych - oba drgania odbywają się w
Układ nadkrytyczny = układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według
kierunkach prostopadłych do siebie; pod działaniem drgania
zaniku wykładniczego do równowagi. Im większa jest wartość
wypadkowego punkt porusza się po torze, który często jest bardzo
tłumienia, tym układ powraca wolniej do równowagi.
skomplikowaną krzywą;
50. Omów zjawiska występujące podczas sumowania się
drgań harmonicznych.
Zdudnienie = okresowego dużego zmniejszenia drgań w krótkim
czasie.
51. Omów wpływ drgań na człowieka i na konstrukcje; w
tym okrętowe.
Na statku wyróżniamy główne z
ródła hałasu i drgań: silnik główny i
zespoły prądotwórcze, wydech silnika, układ śruby i wału
napędowego.
y
ródło drgań mechanicznych - układ fizyczny wytwarzający drgania
mechaniczne, które są przekazywane do innych układów fizycznych,
w tym także do organizmu człowieka.
Wpływ drgań na organizm człowieka:
- skutki biologiczne: zmiany chorobowe w układach (krążenia
naczyniowym, nerwowym, kostno-stawowym), uszkodzenia układu
kostnego i narządów wewnętrznych;
- skutki funkcjonalne: wydłużenie czasu reakcji ruchowej, wydłużenie
czasu reakcji wzrokowej, zakłócenia w koordynacji ruchów,
nadmierne zmęczenie, bezsenność, rozdrażnienie, osłabienie
pamięci.
Wpływ drgań na konstrukcje:
- zmęczenie materiału (szybsze, im częstsza zmiana amplitudy
drgań),
52. Podaj przykłady i zasady normowania drgań
okrętowych.
Klasyfikacje drgań ze względu na:
a) charakter kolejnych cykli drgań: - okresowe (periodyczne)
(szczególnym przypadkiem drgania harmoniczne) - quasi-okresowe -
nieokresowe (aperiodyczne)
b) siły działające na drgający układ - swobodne (własne) -
wymuszone - tłumione
c) liczbę stopni swobody: - o jednym stopniu swobody - o  n
stopniach swobody - drgania układów ciągłych
d) kierunek działania drgań: - wzdłużne - giętne (poprzeczne) -
skrętne
e) rozmieszczenie drgań: - globalne - strefowe - lokalne
53. Podać metody wyznaczania (szacowania) sztywności
podstawowych elementów konstrukcyjnych.
k=EA/L0 np. dla podkładek
E  moduł Younga
A  powierzchnia przekroju poprzecznego
L  wymiar
62. Omów problematykę wymuszeń okrętowego układu
napędowego; co to jest "rząd" wymuszeń, jaka jest różnica pomiędzy
silnikiem dwusuwowym a czterosuwowym z uwagi na "rząd"
wymuszeń.