B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TR
NG
I H C VINH
------------
Vinh – 2008
2
L I NÓI
U
Vi c tính toán và thi t k các công trình nói chung, c bi t là thi t k nhà
cao t ng không ch thi t k theo i u ki n b n và i u ki n c ng mà m t i u
quan tr ng là ph i m b o i u ki n n nh và rung ng.
c bi t là tác ng
c a gió bão, ng t. Xu t phát t nh ng yêu c u ó vi c trang b cho k s
xây d ng nh ng ki n th c c b n v n nh và ng l c h c công trình là h t
s c c n thi t.
Tài li u “ n nh và
ng l c h c công trình” biên so n là chuyên
h p nh m b i d ng thêm ki n th c v thi t k n nh và dao ng c a công
trình. Tài li u
c biên so n v i n i dung chính bao g m:
Ph n 1: n nh công trình
Ph n 2:
ng l c h c công trình
Tác gi xin chân thành c m n “ D án giáo d c i h c theo nh h ng
ngh nghi p Vi t Nam - Hà Lan
” ã tài tr v kinh phí cho cu n tài li u hoàn
thành và chân thành c m n GS.TS Nguy n V!n Phó, PGS.TS D ng V!n Th
ã có nhi u ý ki n óng góp cho vi c biên so n tài li u và ã c b n th o cho
b n in này. Tuy ã có nhi u c g"ng song không tránh kh#i nh ng thi u sót r t
mong b n c quan tâm góp ý ki n.
Tác gi
Nguy n Tr ng Hà - B môn k t c u xây d ng
(*) Tài li u biên so n trong ch ng trình d án giáo d$c i h c nh h ng
ngh nghi p Vi t Nam – Hà Lan.
3
M C L C
L i nói
u………………………………………………………………………….
M$c l$c……………………………………………………………………..
Kí hi u dùng trong tài li u…………………………………………………..
CH
NG 1: M
U MÔN H C N NH CÔNG TRÌNH
1.1
M% u…………………………………………………………………..
1.2 M t s khái ni m v C h c k t c u, n nh công trình……………….
1.3 Phân lo i v m t n nh công trình…………………………………….
1.3.1 M t n nh lo i m t…………………………………………………….
1.3.2 M t n nh lo i hai……………………………………………………..
1.4 Khái ni m v b&c t do…………………………………………………
1.4.1 Khái ni m………………………………………………………………….
1.4.2 M t s ví d ………………………………………………………………..
1.5 Các tiêu chí v s cân b ng n nh…………………………………….
1.5.1 Bi u hi n t nh h c…………………………………………………………
1.5.2 Tiêu chí d
i d ng n ng l
ng………………………………………….
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 1………………………………………
CH
NG 2: CÁC PH
NG PHÁP NGHIÊN C U
2.1 M% u………………………………………………………………….
2.2 N i dung các ph ng pháp nghiên c u…………………………………
2.2.1 Các ph
ng pháp t nh h c……………………………………………….
2.2.2 Các ph
ng pháp n ng l
ng…………………………………………..
2.2.3 Các ph
ng pháp
ng l c h c…………………………………………
2.3 V&n d$ng ph ng pháp t'nh h c khi gi i bài toán n nh……………..
2.3.1 Ph
ng pháp thi t l p và gi i các ph
ng trình vi phân……………
2.3.2 Ph
ng pháp thi t l p và gi i các ph
ng trình
i s ……………..
2.3.3 Ph
ng pháp Sai phân h u h n…………………………………………
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 2………………………………………
CH
NG 3: N NH C A CÁC THANH TH NG
3.1 M% u………………………………………………………………….
3.2 Ph ng trình t ng quát c a (ng àn h i trong thanh ch u u n d c….
3.3
n nh c a các thanh th)ng có liên k t % hai u khác nhau………….
3.3.1 n nh thanh th ng có liên k t c ng hai
u……………………….
3.3.2 n nh thanh th ng có liên k t àn h i……………………………….
2
3
6
8
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
11
11
12
12
12
12
12
12
12
13
14
18
20
21
21
21
22
22
24
4
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 3………………………………………
CH
NG 4: N NH C A H THANH TH NG
3.1 M% u…………………………………………………………………..
3.2 M t s gi thi t khi tính toán n nh khung ph)ng…………………….
3.2 Cách tính n nh khung ph)ng theo ph ng pháp l c…………………
3.2.1
Các cách xác nh chuy n v trong thanh ch u u n cùng v i nén
ho c kéo……………………………………………………………………………..
3.2.2 Tính n nh c a khung theo ph
ng pháp l c………………………..
3.3 n nh khung ph)ng theo ph ng pháp chuy*n v …………………….
3.3.1 Thi t l p ph n t
m!u cho dùng cho ph
ng pháp chuy n v ……….
3.3.2 Tính n nh c a khung theo ph
ng pháp chuy n v ………………..
3.3.3 n nh c a d m liên t c trên g i c ng theo ph
ng pháp chuy n
v ………………………………………………………………………………………
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 4………………………………………
CH
NG 5: M
U V
NG L C H C CÔNG TRÌNH
5.1 M% u………………………………………………………………….
5.2 Các d ng t i tr ng ng…………………………………………………
5.3 Các d ng dao ng……………………………………………………...
5.4 Khái ni m v ph ng pháp tính toán c b n trong dao ng công trình
5.4.1 Ph
ng pháp t nh…………………………………………………………
5.4.2 Ph
ng pháp n ng l
ng……………………………………………….
5.5 B&c t do c a h àn h i………………………………………………..
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 5………………………………………
CH
NG 6 DAO
NG C A H CÓ M T B C T DO
6.1 M% u………………………………………………………………….
6.2 Ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng…………………………..
6.3 Dao ng t do không l c c n………………………………………….
6.3.1
" nh ngh a dao
ng t do………………………………………………
6.3.2 Ph
ng pháp xác nh……………………………………………………
6.4 Dao ng t do có l c c n………………………………………………
6.5 Dao ng c ng b c không l c c n ch u l c kích thích P(t) = Psinrt…
6.5.1 M
u…………………………………………………………………
…...
6.5.2 Ph
ng pháp xác nh ph
ng trình dao
ng
……………………
6.5.3 Cách xác nh h s
ng………………………………………………...
28
29
29
29
30
30
31
33
33
35
39
40
41
41
41
41
42
42
43
43
43
44
44
44
45
45
45
47
47
48
48
48
5
6.6 M t s ng d$ng trong k thu&t c a lý thuy t dao ng………………..
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 6………………………………………
CH
NG 7: DAO
NG C A H CÓ M T S B C T DO
7.1 M% u…………………………………………………………………..
7.2
Ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng có n b&c t do………….
7.3 Dao ng riêng c a h có n b&c t do…………………………………..
7.3.1. Ph
ng trình c b n c a dao
ng riêng……………………………..
7.3.2 Cách s
d ng tính ch t
i x ng c a h ……………………………….
7.4
Dao ông c ng b c c a h ch u l c P(t) = Psinrt………………………
7.4.1 Nhi m v bài toán………………………………………………………...
7.4.2 Bi u th c n i l c
ng và chuy n v
ng……………………………..
7.4.3H ph
ng trình chính t
#c
xác nh các l c quán tính……………
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 7………………………………………
CH
NG 8 DAO
NG C A KHUNG VÀ D M LIÊN T C
8.1 M% u………………………………………………………………….
8.2 Dùng ph ng pháp chuy*n v * tính dao ng c a khung…………….
8.2.1 Dao
ng c
$ng b c……………………………………………………...
8.2.2 Ph
ng trình biên
chuy n v và n i l c khi ch u t i tr ng c
$ng
b c……………………………………………………………………………………
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 8………………………………………
PH L C…………………………………………………………………..
TÀI LI U THAM KH O………………………………………………...
49
51
52
52
53
53
53
54
54
56
57
57
57
58
62
63
63
64
68
72
95
6
CÁC KÝ HI U VÀ
I L
NG DÙNG TRONG TÀI LI U
1.
H to
z
Tr$c thanh
x, y
H tr$c chính trung tâm ti t di n
;
ρ θ
To c c
2.
Các c tr ng v t li u
E
Môdun àn h i khi kéo nén (môdun Young);
µ
H s bi n d ng ngang
G
Mô un àn h i khi tr t
α
H s gi n n% vì nhi t c a v&t li u
3. Các c tr ng hình h c
A
Di n tích m t c"t ngang
S
Mômen t'nh c a ti t di n
I
Mômen quán tính
W
Mômen ch ng u n
S
x
, S
y
,
Mômen t'nh i v i tr$c x và tr$c y
I
x
, I
y
Mômen quán tính i v i tr$c x và tr$c y
W
x
Mômen ch ng u n c a ti t di n trong m t ph)ng yz
W
y
Mômen ch ng u n c a ti t di n trong m t ph)ng xz
4. Ngo i l c và ph!n l c
P
T i t&p trung
q
T i phân b
M
Mômen t&p trung
m
Mômen phân b
R
Ph n l c g i t a
R
Ph n l c g i t a n v
P
tc
T i tr ng tiêu chu+n
P
t
T i tr ng tính toán
5. Các "ng su#t
, ,
p
σ τ
,
ng su t toàn ph n, ng su t pháp, ng su t ti p
tl
σ
Gi i h n t- l
ch
σ
Gi i h n ch y
b
σ
Gi i h n b n
7
6. N i l c
M,N,Q
Các thành ph n n i l c trong bài toán ph)ng
, ,
M N Q
Các thành ph
n n i l c do l c n v gây ra
7. Bi$n d ng và chuy%n v
Ψ
Bi n d ng xoay t- i
ε
Bi n d ng d c t- i
γ
Bi n d ng tr t t- i
l
∆ Bi n d ng dài o n thanh
θ
Góc xo"n t- i c a thanh
km
∆ Chuy*n v t
ng ng v i v trí và ph ng c a l c P
k
do l c P
m
km
δ
Chuy*n v t ng ng v i v trí và ph ng c a l c P
k
do l c P
m
8
PH N I N NH CÔNG TRÌNH
CH
NG 1: M
U V MÔN H C N NH CÔNG TRÌNH
1.2
M& 'u
Khi thi t k k t c u công trình, n u ch ki*m tra i u ki n b n và i u ki n
c ng không thôi thì ch a
* phán oán kh n!ng làm vi c c a công trình.
Trong nhi u tr (ng h p, c bi t k t c u ch u nén ho c cùng nén u n. Khi t i
tr ng ch a t n giá tr phá ho i và có khi còn nh# h n giá tr cho phép v
i u ki n b n và i u ki n c ng nh ng k t c u v.n m t kh n!ng b o toàn hình
d ng ban u % tr ng thái bi n d ng mà chuy*n sang d ng cân b ng khác. N i
l c trong d ng cân b ng m i ó s/ phát tri*n r t nhanh và làm cho công trình b
phá ho i. Thì ó là hi n t ng k t c u b m t n nh.
Trong ch ng m% u này chúng ta s/ nghiên c u nh ng v n sau:
- M t s khái ni m v c h c k t c u, n nh công trình
- Phân lo i m t n nh
- Các tiêu chí v s cân b ng n nh.
1.2 M t s( khái ni m v) C* h c k$t c#u, +n nh công trình
*
nghiên c u bài toán n nh công trình tr c h t ta i tìm hi*u nh ng
khái ni m c b n sau c a c h c công trình:
a. Khái ni m v
b n công trình
: i u ki n nh m m b o cho công trình
không b phá ho i d i s tác ng c a các nguyên nhân bên ngoài: T i tr ng,
chuy*n v …
b. Khái ni m v
c ng công trình
: i u ki n nh m m b o cho công trình s0
d$ng m t các bình th (ng trong quá trình s0 d$ng d i s tác
ng c a các
nguyên nhân bên ngoài: T i tr ng, chuy*n v …
c. Khái ni m v
n nh công trình
: i u ki n nh m m b o cho công trình
có kh n!ng gi
c v trí ban u ho c gi
c d ng cân bàng ban u trong
tr ng thái bi n d ng t ng ng v i t i tr ng tác d$ng.
1.3 Phân lo i v) m#t +n nh công trình
T hai quan ni m khác nhau v tr ng thái t i h n ng (i ta phân lo i thành
m t n nh lo i m t và m t n nh lo i hai nh sau:
1.3.1 M t n nh lo i m t
9
Các c tr ng v hi n t ng m t n nh lo i m t hai g i là m t n nh Euler
nh sau:
-
D ng cân b ng có kh n!ng phân nhánh
-
Phát sinh d ng cân b ng m i khác d ng cân b ng ban u v tính ch t
-
Tr c tr ng thái t i h n d ng cân b ng ban u là duy nh t và n nh sau
tr ng thái t i h n d ng cân b ng ban u là không n nh.
M t s ví d$ v các d ng m t n nh lo i m t nh :
-
M t n nh ch u nén úng tâm
-
M t n nh bi n d ng i x ng
-
M t n nh d ng u n ph)ng.
1.3.2 M t n nh lo i hai
Các c tr ng c a hi n t ng m t n nh lo i hai nh sau:
-
D ng cân b ng không phân nhánh
-
Bi n d ng và cân b ng c a h không thay i v tính ch t.
Nh v&y nhi m v$
chính c a môn h c này là
nghiên c u các ph ng
pháp xác
nh t i tr ng
c a công trình. Thông s
t i h n là
an toàn v
m t n nh c a công trình i v i m t nhóm l c nh t nh.
1.4 Khái ni m v) b c t do
1.4.1 Khái ni m
B&c t do c a h là thông s hình h c
c l&p
* xác nh t t c các
i*m c a h khi h m t n nh.
1.4.2 M t s ví d
H g m hai thanh tuy t i c ng liên k t v i nhau trên (hình 1.3) có m t
b&c t do vì % tr ng thái m t n nh ( (ng nét t) ta có th* xác nh
c v
!
"
#
$
$
10
trí c a toàn b h theo m t thông s (chuy*n v
1
y
c a kh p hay góc xoay
1
ϕ
c a
m t trong hai thanh.
Trong th c t công trình xây d ng là h có
vô cùng b&c t do song trong nhi u tr (ng h p
ta có th* a h v m t s b&c t do h u h n *
nghiên c u g n úng.
1.5 Các tiêu chí v) s cân b,ng +n nh
Trong bài toán n nh công trình có hai tiêu chí v cân b ng n nh là
tiêu chí cân b ng bi*u hi n t'nh h c và tiêu chí cân b ng bi*u hi n n!ng l ng.
1.5.1 Bi u hi n t nh h c
S cân b ng
c mô t d i d ng ph ng trình cân b ng t'nh h c. Song
các i u ki n cân b ng này ch a nói lên
c d ng cân b ng ó là n nh hay
không n nh. * kh)ng nh v n này ta c n kh o sát nó % tr ng thái l ch
kh#i d ng cân b ng ang nghiên c u. * hi*u rõ v n này ta hãy xét m t ví d$
Cho thanh tuy t
i c ng không tr ng l ng,
thanh
c liên k t hai u (hình 1.4)
.
c ng liên
k t ngàm àn h i (giá tr c a mômen xu t hi n trong
liên k t khi ti t di n % liên k t xoay m t góc b ng
n v ) b ng k. Kh o sát s cân b ng khi
;
;
k
k
k
P
P
P
l
l
l
<
=
>
.
Xét thanh % tr ng thái l ch g n v i tr ng thái cân b ng ban u lúc này
thanh b nghiêng m t góc
θ
, trong liên k t ngàm àn h i xu t hi n ph n l c
k
−
θ
.
Thi t l&p i u ki n cân b ng
0
.
sin
M
P
k
P l
k
δ θ
θ θ
=
∗ −
=
∗
−
Nh ng góc
θ
là góc nh# nên sin
0
θ
= , do ó ta có:
0
P l
k
θ θ
∗
−
= suy ra
k
P
l
∗
=
;
ó là l c c n thi t * gi cho h % tr ng thái l ch v&y ta có:
khi
k
P
l
<
, t c là P P
∗
<
thì h % tr ng thái cân b ng n nh;
khi
k
P
l
=
, t c là P P
∗
=
thì h % tr ng thái cân b ng phi m nh;
khi
k
P
l
>
, t c là P P
∗
>
thì h % tr ng thái cân b ng không n nh.
%
ϕ
& ' (
) *
θ
δ
+
, -. /
11
1.5.2 Tiêu chí d
i d ng n ng l
ng
Nh ta ã bi t, nguyên lý chuy*n v kh d' và tính ch t th n!ng toàn ph n
c a h t giá tr c c tr là nh ng bi*u hi n v s cân b ng. Tuy nhiên, c hai
bi*u hi n này u ch a nói lên
c tr ng thái cân b ng ang xét là n nh hay
không n nh. * gi i quy t v n
ó ta ph i dùng nguyên lý L gi!ng -
irichlê.
N u h % tr ng thái cân b ng n nh thì th n!ng toàn ph n t giá tr c c
ti*u so v i t t c các v trí c a h % lân c&n v trí ban u v i nh ng chuy*n v vô
cùng bé. N u h % tr ng thái cân b ng không n nh thì th n!ng toàn ph n t
giá tr c c i còn n u % tr ng thái cân b ng phi m nh thì th n!ng toàn ph n
không i.
Xét tr ng thái lân c&n sau:
U
V
T
δ
δ
δ
=
−
(1.1)
Trong ó, U
δ
- s gia c a th n!ng bi n d ng, T
δ
- s gia c a công ngo i l c.
Nh v&y theo nguyên lý L gi!ng - irichlê.
N u V
T
δ
δ
>
thì tr ng thái cân b ng là n nh.
N u V
T
δ
δ
<
thì tr ng thái cân b ng là không n nh.
N u V
T
δ
δ
=
thì tr ng thái cân b ng là phi m nh.
Trong giáo trình này s cân b ng n nh ch y u ch xét bi*u di n d i
d ng t'nh h c còn bi*u di n d i d ng n!ng l ng ch có tính ch t tham kh o.
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N NHÓM CH
NG 1
1.
Khái ni m v n nh và m t n nh?
2.
S c n thi t nghiên c u n nh công trình?
3.
Các tiêu chí v n nh công trình?
4.
B&c t do c a h ?
12
CH
NG 2: CÁC PH
NG PHÁP NGHIÊN C U
2.1 M& 'u
Hi n nay, khi gi i quy t các bài toán n nh công trình ta có th* v&n d$ng
nhi u ph ng pháp tính khác nhau. Nguyên lý c a các ph ng pháp này u xây
d ng trên c s% các bi*u hi n v s cân b ng n nh.
Trong ch ng này chúng ta s/
c nghiên c u nh ng ph ng pháp s0
d$ng bi*u hi n cân b ng n nh d i d ng t'nh h c g i là ph ng pháp t nh
h c
. Nh ng ph ng pháp s0 d$ng bi*u hi n cân b ng n nh d i d ng n!ng
l ng g i là ph ng pháp n ng l ng. Còn nh ng ph ng pháp s0 d$ng bi*u
hi n cân b ng n nh d i d ng ng l c h c là ph ng pháp ng l c h c.
2.2 N i dung các ph *ng pháp nghiên c"u
2.2.1 Các ph
ng pháp t nh h c
N i dung c a ph ng pháp này nh sau: T o cho h ang nghiên c u m t
h tr ng thái cân b ng l ch kh#i d ng cân b ng ban u, xác nh giá tr c a l c
(l c t i h n) có kh n!ng gi h % tr ng thái cân b ng m i. L c t i h n
c xác
nh t các ph ng trình c tr ng hay g i là ph ng trình n nh bi*u th i u
ki n d ng cân b ng m i.
Có th* v&n d$ng các ph ng pháp t'nh h c d i nhi u hình th c khác nhau
tuy nhiên chúng ta s/ nghiên c u các ph ng pháp sau
:
-
Ph ng pháp tr c ti p thi t l&p và gi i các ph ng trình vi phân.
-
Ph ng pháp thi t l&p và gi i các ph ng trình i s .
-
Ph ng pháp sai phân.
2.2.2 Các ph
ng pháp n ng l
ng
Theo các ph ng pháp này ta c n cho tr c d ng bi n d ng c a h % tr ng
thái l ch, c!n c vào d ng bi n d ng gi thi t này ta thi t l&p các bi*u th c th
n!ng bi n d ng và công c a ngo i l c * vi t i u ki n t i h n c a h theo các
bi*u hi n d i d ng n!ng l ng ã xét % ch ng 1, t i u ki n t i h n ta xác
nh d c t i tr ng t i h n c n tìm.
2.2.3 Các ph
ng pháp
ng l c h c
N i dung tóm t"t c a ph ng pháp này nh sau: Áp d$ng các ph ng pháp
nghiên c u trong ng l c h c công trình, thi t l&p ph ng trình giao ng riêng
c a h thanh ch u l c nén, xác nh t i tr ng t i h n t i u ki n t n s giao
ng riêng b ng không.
2.3 V n d.ng ph *ng pháp t/nh h c khi gi!i bài toán +n nh
13
2.3.1 Ph
ng pháp thi t l p và gi i các ph
ng trình vi phân
Theo ph ng pháp này ta ti n hành theo th t 5 b c nh sau:
1.
Thi t l&p ph ng trình vi phân c a (ng bi n d ng c a h % tr ng thái
bi n d ng l ch kh#i tr ng thái ban u.
2.
Tìm nghi m c a ph ng trình vi phân.
3.
Thi t l&p các ph ng trình xác nh nh ng h ng s tích phân và ph n l c
g i t a ch a bi t t các i u ki n biên. T t nhiên s l ng i u ki n biên
c n thi t ph i b ng t ng s các h ng s tích phân và các ph n l c liên k t
ch a bi t.
4.
nh th c c a các h s c a h ph ng trình thu n nh t ph i b ng không
( ) 0
D
α
=
(2.1)
α là h s c a ph
ng trình, ph$ thu c các c tr ng hình h c và ph$ thu c t i
tr ng d i d ng hàm siêu vi t. Ph ng trình (2.1) là ph ng trình c tr ng hay
ph ng trình n nh c a h theo ph ng pháp t'nh.
5.
Ph ng trình n nh (2.1) * tìm các l c t i h n.
Cách gi i này th (ng
c áp d$ng cho nh ng h có vô cùng b&c t do, do
ó v m t lý thuy t ta có th* tìm
c vô s l c t i h n, song ch có l c t i h n
th nh t (nh# nh t) m i là l c t i h n có ý ngh'a th c ti n.
Ph ng pháp này là ph ng pháp chính xác, áp d$ng thích h p cho nh ng
thanh n gi n. Trong các ch ng d i ây, khi nghiên c u s n nh c a các
k t c u c$ th* ta s/ v&n d$ng ph ng pháp này là ch y u.
Ví d 2.1
Xác nh l c t i h n nh# nh t c a thanh có m t u t do và m t u ngàm
nh trên (hình 2.1), EI=const
*
xác nh l c
th
P
tr c tiên ta c n thi t l&p ph ng trình vi phân c a
(
ng àn h i. Cho thanh l ch kh#i d ng cân b ng (ng th)ng và tìm mômen
u n t i ti t di n b t k1 có hoành z:
( )
(
)
M z
P
y
δ
= −
−
.
T giáo trình S c b n v&t li u ta ã bi t:
"
(
)
EJy
M
P
y
δ
= −
=
−
Do ó ph ng trình vi phân c a
(
ng bi n d ng có
d ng nh sau:
"
2
2
y
y
α
α δ
+
=
. V i
P
EJ
δ
=
$ -. /
+
δ
0
0
%
%
14
Nghi m c a ph ng trình vi phân
"
2
2
y
y
α
α δ
+
=
là
cos
sin
y
A
z
B
z
α
α
δ
=
+
+ ,
trong ó, A và B (là các h ng s tích phân) và δ là i l ng ch a bi t. * xác
nh chúng ta vi t các i u ki n biên:
khi z = 0 ; y = 0 và y’= 0
khi z = l ; y =
δ
T ó suy ra:
0
0
cos
sin
A
B
A
l
B
l
δ
α
α
α
δ
δ
+
=
=
+
+
=
Ph ng trình n nh:
1
0
1
( )
0
1
0
cos
0
cos
sin
0
D
l
l
l
α
α
α
α
=
= −
=
suy ra
(2
1)
2
l
k
π
α
=
−
v i
1,2,3...
k
=
L
c t i h n nh# nh t t ng ng v i khi cho
1
k
= . Nh v&y, ta tìm
c
.
2
P
l
l
EJ
π
α
=
=
suy ra
2
2
2
2,467
4
th
EJ
EJ
P
l
l
π
=
=
2.3.2 Ph
ng pháp thi t l p và gi i các ph
ng trình
i s
Theo ph ng pháp này ta ti n hành theo th t sau:
1.
T o cho h m t tr ng thái bi n d ng l ch kh#i d ng ban u. Tr ng thái
này
c xác nh theo các chuy*n v t i m t s h u h n các i*m.
2.
C!n c vào các i u ki n cân b ng, i u ki n bi n d ng ta thi t l&p
c
h ph ng trình i s liên h gi a các chuy*n v t i nh ng i*m kh o sát.
N u xác nh chuy*n v t i n i*m và b# qua các vô cùng bé b&c cao c a
các chuy*n v thì h ph ng trình i s ó có th* a v d ng t ng quát
nh sau:
11
11
12 2
1
21 11
22
2
2
1 11
2 2
(
)
...
0
(
)
...
0
................................................
... (
)
0
i
i
n
ni
i
i
n
ni
n
n
i
nn
i
ni
a
y
a y
a y
a y
a
y
a y
a y
a y
a
y
λ
λ
λ
−
+
+
+
=
+
−
+
+
=
+
+
+
−
=
(2.2)
Trong ó
1
λ
- i l ng ph$ thu c thông s c a l c t i h n th i,
15
ki
y
- chuy*n v t i i*m th k c a (ng bi n d ng t ng ng v i t i tr ng
t i h n th i,
kn
a
- các h s ph$ thu c kích th c hình h c và c ng c a h .
H ph ng trình thu n nh t (2.2)
c th#a mãn v i hai tr (ng h p:
* Tr
%ng h p th nh t
: T t c các nghi m
ki
y
u b ng không. Lúc này h ang
xét không có d ng cân b ng n nh m i khác d ng ban u ngh'a là h ch a
m t n nh.
* Tr
%ng h p th hai
: Các nghi m
ki
y
t n t i. Lúc này h ang xét có d ng cân
b ng m i khác d ng ban u ngh'a là h % tr ng thái t i h n. i u ki n * cho
h ph ng trình thu n nh t (2.2) có các nghi m
ki
y
khác không là nh th c các
h s c a (2.2) ph i b ng không.
11
12
1
21
22
2
1
2
(
)
...
(
) ...
0
...
...
...
...
... (
)
i
n
i
n
n
n
nn
i
a
a
a
a
a
a
D
a
a
a
λ
λ
λ
−
−
=
=
−
(2.3)
Ph ng trình (2.3) là ph ng trình c tr ng hay ph ng trình n nh c a
ph ng pháp thi t l&p và gi i ph ng trình i s .
Gi i ph ng trình n nh (2.3) ta s/ xác nh
c n giá tr c a
i
λ
và t ó suy
ra n giá tr c a l c t i h n.
Mu n tìm bi n d ng c a h t ng ng v i l c t i h n
i
P
, ta thay giá tr c a
i
P
vào (2.2) ta s/
c h ph ng trình liên h gi a các chuy*n v
ki
y
. H
ph ng trình này không xác nh nh ng n u cho tr c giá tr c a m t chuy*n v
nào ó, ch)ng h n cho tr c
li
y
thì ta có th* xác nh các chuy*n v còn l i theo
li
y
và s/ tìm
c d ng bi n d ng c a h .
* Nh n xét
: Ph ng pháp này th (ng
c áp d$ng cho nh ng h có s b&c t
do h u h n.
Ví d 2.2
Xác nh giá tr c a l c t i h n và d ng m t n nh t ng cho h v/ trên
(hình 2.2a), cho bi t c ng c a các thanh b ng vô cùng còn c ng c a c hai
liên k t àn h i b ng k.
H có hai b&c t do ta dùng chuy*n v
1
y
và
2
y
còn các g i àn h i làm hai
thông s * tính toán (hình 2.2b). Lúc này ph n l c t i các liên k t àn h i:
1
1
R
ky
=
;
2
2
R
ky
=
(a)
16
Còn ph n l c t i các g i c ng A và B
c xác nh t i u ki n cân b ng
c a toàn h :
1
2
1
2
2
3
2
3
y
y
A
k
y
y
B
k
+
=
+
=
(b)
T các ph ng trình cân b ng mômen i v i kh p I (xét ph n trên) và i
v i kh p II (xét ph n d i) ta có:
&
&
&
1
1
"
!
1
1
$
%
%
"
!
1%
1%
$
% 2
% 2
$
% 2
% 2
$
$
33
3
$ $ -. /
1
2
0
3
0
3
I
II
l
M
Py
A
l
M
Py
B
=
−
=
=
−
=
(c)
suy ra:
1
3Py
A
l
=
;
2
3Py
B
l
=
(c)
ng nh t (b) và (c) ta
c
1
2
1
2
2
(
)
0
9
9
2
(
)
0
9
9
kl
kl
P y
y
kl
kl
y
P y
−
+
=
+
−
=
(d)
Ph ng trình n nh:
2
(
)
9
9
0
2
(
)
9
9
kl
kl
P
D
kl
kl
P
−
=
=
−
(e)
Sau khi khai tri*n nh th c ta
c:
17
2
2 2
1
9
4
0
3
P
klP
k l
−
+
=
Ph ng trình b&c hai này cho ta hai giá tr l c t i h n:
1,
9
th
kl
P
=
;
2,
3
th
kl
P
=
*
xác nh d ng m t n nh, ta hãy tìm s liên h gi a
1
y
và
2
y
. T
ph ng trình u c a (d), ta có:
2
1
2
3(
3 )
3
.
kl
P
y
y
kl
−
= −
N u cho
1
1
y
= thì t
ng ng v i khi
9
kl
P
=
ta có
2
1
y
= − , còn khi
3
kl
P
=
ta có
2
1
y
= . Các d ng m t n nh v/ trên (hình 2-2c, d)
Ví d 2.3
Xác nh l c t i h n cho thanh có m t u ngàm m t u t do và ch u l c
nén P % u thanh. (Bài toán ã xét trong ví d$ 2.1)
*Nh n xét
: H cho trong ví d$ là h có vô s b&c t do nên khi áp d$ng cách gi i
này s/ cho ta k t qu g n úng
T o cho h m t tr ng thái l ch ban u
δ
.
* Tr
%ng h p th nh t
: N u ta xem P gây ra bi*u
mômen d ng tam giác. Tính chuy*n v do P gây ra
b ng cách nhân bi*u :
.
2
.
. . .
2
3
P
EI
l
l
δ
δ
=
hay
2
.
0
3
P l
EI
δ
−
=
Do ch có m t ph ng trình
i s nên:
2
3
th
EI
P
l
=
.
Nh v&y sai s so v i k t qu chính xác là 20%
* Tr
%ng h p th hai
: N u ta xem P gây ra bi*u mômen d ng Parabol b&c 2.
Tính chuy*n v do P gây ra b ng cách nhân bi*u
2 .
5
.
. . .
3
8
P
EI
l
l
δ
δ
=
hay
2
5 .
0
12
P l
EI
δ
−
=
Do ch có m t ph ng trình i s nên:
2
2,4
th
EI
P
l
=
. Nh v&y sai s so v i k t
qu chính xác là 2,80%
%
0
δ
δ
δ
1
2
$ & -. /
18
2.3.3 Ph
ng pháp Sai phân h u h n
N i dung ph ng pháp sai phân là thay th vi c gi i ph ng trình vi phân
b ng vi c gi i h ph ng trình i s thi t l&p d i d ng ph ng trình vi phân.
Theo ph ng pháp này ta ti n hành t ng b c nh sau:
1.
Thay ph ng trình vi phân cân b ng % tr ng thái l ch b ng các ph ng
trình sai phân.
2.
Gi thi t chuy*n v t i m t s i*m c a h % tr ng thái l ch r i s0 d$ng
các ph ng trình sai phân * thi t l&p ph ng trình i s thu n nh t v i
các +n s là chuy*n v .
3.
Thi t l&p các ph ng trình n nh b ng cách cho nh th c c a h
ph ng trình i s b ng không.
4.
Gi i ph ng trình n nh * tìm l c t i h n.
i v i các thanh, khi thay
(
ng chuy*n v là
(
ng cong thành
(
ng
gãy khúc v i kho ng chia z
∆
u nhau d c chi u dài tr$c, ta có sai phân
(hình 2.4).
Ta có
(
)
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
y
y
tg
z
z
y
y
y
y
y
tg
z
z
z
α
α
−
−
+
−
∆ =
−
∆
−
=
=
∆
∆
∆
−
−
∆
= ∆
=
−
∆
∆
∆
Nên
2
1
1
2
2
2
.
i
i
i
i
y
y
y
y
y
y
z
z
z
z
z
+
−
∆
∆
∆
−
−
=
=
−
∆
∆
∆
∆
∆
N u ph ng trình vi phân (ng bi n d ng c a h có d ng
2
2
2
0
d y
y
dz
α
+
=
(2.4)
v i
2
P
EI
α
=
(2.5)
thì t i m2i i*m i sau khi thay
2
2
2
2
d y
y
dz
z
∆
=
∆
và thay y b ng
i
y
ta
c các ph ng
trình sai phân
2
1
1
2
2
0
i
i
i
i
i
y
y
y
y
z
α
+
−
−
+
+
=
∆
, v i
2
i
i
P
EI
α
=
0
0
%
4
%
%
5
$ ,
6
7 8
19
hay
2
1
1
(
2)
0
i
i
i
i
y
y
y
β
−
−
+
−
+
= , v i
1,2,...(
1)
i
n
=
−
(2.6)
trong ó,
2
2
2
2
.
i
i
i
P
z
z
EI
β
α
=
∆
=
∆
(2.7)
* Nh n xét
: Ph ng pháp này áp d$ng có hi u qu cho nh ng tr (ng h p h có
ti t di n thay i theo quy lu&t ph c t p, * t!ng m c chính xác c a ph ng
pháp ta có th* v&n d$ng công th c sai phân b&c cao ho c t!ng s l ng o n
chia, và t t nhiên kh i l ng tính toán c3ng t!ng lên.
*
hi*u rõ ph ng pháp này ta xét ví d$ sau:
Ví d 2.4
Dùng ph ng pháp sai phân h u h n * xác nh l c t i h n cho thanh có
m t u ngàm m t u t do ch l c nén P (hình 2.5)
Chia i*m chia và ch h tr$c to
nh trên (hình 2.5). Chia thanh thành 3
o n chia b ng
3
l t c là
3
n
= thì s
ph ng trình b ng
1 2
n
− = còn s +n
s b ng
1 4
n
+ = . Do ó, c n có hai
i u ki n biên.
i u ki n biên t i u t do:
0
0
y
= .
i u ki n biên t i u ngàm: T i ngàm góc xoay b ng không do ó ta có th*
t %ng t ng kéo dài thanh thêm m t o n r i vi t i u ki n
4
2
y
y
=
(hình 2.5).
Nh v&y ta có th* l&p 3 ph ng trình v i s +n s là
1
2
,
y y
và
3
y
.
2
1
2
2
1
2
3
2
2
3
2
0 (
2)
0
(
2)
0
(
2)
0
y
y
y
y
y
y
y
y
β
β
β
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
Ph ng trình n nh:
2
2
2
2
2
2
(
2)
1
0
1
(
2)
1
(
2) (
2)
3
0
0
2
(
2)
D
β
β
β
β
β
−
=
−
=
−
−
−
=
−
Nghi m nh# nh t c a ph ng trình:
2
0,268
β
=
2
2
2
.
.
0,268
9
P
P l
z
EI
EI
β
=
∆
=
=
v&y
%
&
&
&
&
%
%
$
%
&
% 2%
,
$
0
$ 9 -. /
20
2
2,41
EI
P
l
=
so sánh v i k t qu chính xác
2
2,47
EI
P
l
=
, sai s là
0
0
2,43 .
K t thúc ch ng này ta ã có nh ng khái ni m c b n c a ph ng pháp
nghiên c u bài toán n nh. Trong ch ng ti p theo ta ti p t$c nghiên c u các
ph ng pháp tính n nh c a các thanh và h thanh.
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N NHÓM CH
NG 2
1.
Tìm hi*u l i v ph ng pháp thông s ban u trong S c b n v&t li u?
2.
Ph ng trình vi phân t ng quát c a h ch u u n d c?
3.
Ph ng pháp thi t l&p và gi i ph ng trình vi phân?
4.
Ph ng pháp thi t l&p và gi i ph ng trình i s ?
21
CH
NG 3: N NH C A CÁC THANH TH NG
3.1 M& 'u
Trong ch ng 2 chúng ta ã ti n hành nghiên c u các ph ng pháp nghiên
c u bài toán n nh công trình. Trong ch ng này chúng ta s/ s0 d$ng nh ng
ph ng pháp nghiên c u ó * i tìm n nh cho các thanh th)ng.
N i dung ch y u c a ch ng này nh sau:
-
Ph ng trình t ng quát c a (ng àn h i trong thanh ch u u n d c.
-
n nh c a các thanh th)ng có liên k t % hai u khác nhau.
-
K t lu&n và ng d$ng trong tính toán công trình.
3.2 Ph *ng trình t+ng quát c0a
1ng àn h2i trong thanh ch u u(n d c
*
tìm các ph ng trình t ng quát c a (ng àn h i trong thanh ch u u n
d c m t n nh, ta nghiên c u thanh ch u l c nén P % tr ng thái cân b ng bi n
d ng v i các chuy*n v nh#. Gi s0 % tr ng thái bi n d ng, u trái c a thanh có
chuy*n v theo ph ng tr$c y là (0)
y
và chuy*n v góc là '(0)
y
, ng th(i t i
u trái c a thanh c3ng xu t hi n mômen u n
(0)
M
và l c c"t (0)
Q
vuông góc
v i v trí ban u c a thanh (hình 3.1)
%
0
%:
;+<
;+<
=
;+<
;+<
%
%
0
=
5
%
0
&
>?
@
A
BC
B B
D
Mômen t i ti t di n b t kì c a thanh % tr ng thái bi n d ng:
[
]
( )
(0)
(0)
(0)
M z
M
Q
z
P y
y
=
+
+
−
T ph ng trình vi phân c a (ng àn h i (trong S c b n v&t li u)
"
M
y
EI
= −
ta có:
[
]
(0)
(0)
(0)
"
M
Q
P y
y
y
EI
+
+
−
= −
hay:
22
2
(0)
(0) )
(0)
"
M
Q
z
Py
y
y
EI
α
+
−
+
= −
(3.1)
Trong ó,
2
P
EI
α
=
(3.2)
Nghi m c a ph ng trình vi phân trên có d ng:
2
(0)
(0)
(0)
( )
sin
cos
M
Q
z
Py
y z
A
z
B
z
EI
α
α
α
+
−
=
+
−
(3.3)
Trong ó,
A
và
B
là các h ng s tích phân
c xác nh theo các i u
ki n biên % u trái khi
0
z
= . Mu n v&y tr
c tiên ta hãy l y o hàm c a y
theo z , ta có:
2
(0)
"( )
cos
sin
Q
y z
A
z
B
z
EI
α
α
α
α
α
=
−
−
(3.4)
T (3.3) và (3.4) ta có th* vi t i u ki n biên % u trái khi
0
z
= nh sau:
2
(0)
(0)
(0)
M
Py
y
B
EI
α
−
=
−
2
(0)
'(0)
Q
y
A
EI
α
α
=
−
suy ra
3
'(0)
(0)
y
Q
A
EI
α
α
=
+
;
2
(0)
M
B
EI
α
=
.
Thay các giá tr v a tìm
c vào
A
và
B
vào (3.3) ta
c ph ng trình
c a (ng àn h i:
2
3
'(0)
(0)
(0)
( )
(0)
sin
(1 cos
)
(
sin
)
y
M
Q
y z
y
z
z
z
z
EI
EI
α
α
α
α
α
α
α
=
+
−
−
−
−
(3.5)
Trong ph ng trình (3.5) các i l ng (0), '(0), (0)
y
y
M
và (0)
Q
c
g i là các thông s ban u.
T ph ng trình (3.5) ta tìm
c ph ng trình góc xoay và t ó suy ra
ph ng trình mômen u n trong thanh:
2
(0)
(0)
'( )
'(0)cos
sin
(1 cos
)
M
Q
y z
y
z
z
z
EI
EI
α
α
α
α
α
=
−
−
−
(3.6)
(0)
( )
"( )
. '(0)sin
(0)cos
sin
Q
M z
EIy z
EI y
z
M
z
z
α
α
α
α
α
= −
=
−
+
(3.7)
T i u ki n cân b ng l c nh trên (hình 3.1) ta xác nh
c l c c"t
( )
Q z
theo s thanh không bi n d ng:
23
( )
( )
(0)
dM z
dy
Q z
P
Q
dz
dz
=
−
=
(3.8)
3.4
n nh c0a các thanh th3ng có liên k$t & hai 'u khác nhau
3.3.1 n nh thanh th ng có liên k t c ng hai
u
Trong th c t , các thanh th)ng ch u nén có th* có liên k t % hai u d i
các hình th c khác nhau nh sau:
1.
Thanh có hai u là kh p.
2.
Thanh có m t u t do m t u ngàm.
3.
Thanh có m t ngàm, m t u ngàm tr t theo ph ng vuông góc v i tr$c
thanh.
4.
Thanh có m t ngàm, m t u ngàm tr t d c theo tr$c thanh.
5.
Thanh có m t u ngàm và m t u kh p.
*
xác nh l c t i h n cho nh ng thanh liên k t nói trên, ta có th* áp d$ng
ph ng pháp t'nh h c ho c các ph ng pháp khác nh ph ng pháp n!ng l ng
ã trình bày trong ch ng 2. 4 ây ta áp d$ng ph ng pháp t'nh h c ng th(i
s0 d$ng các ph ng trình t ng quát ã thi t l&p % m$c 3.2, * gi i quy t chính
xác bài toán.
Ch)ng h n xét tr (ng h p th nh t là thanh có liên k t kh p % hai u nh
(hình 3.2)
i v i tr (ng h p này các thông s ba u có các tr (ng h p nh sau:
(0) 0, "(0) ?
(0) 0, '(0) ?
y
y
M
Q
=
=
=
=
Do ó, t ph ng trình t ng quát (3.5), ta có:
sin
( )
'(0)
z
y z
y
α
α
=
Theo i u ki n biên khi
, ( ) 0
x
l
y l
=
= , ta
c:
sin
( )
'(0)
0
l
y l
y
α
α
=
=
i u ki n này th#a mãn v i hai kh n!ng '(0) 0
y
= ho c sin
0
l
α
= n u
'(0) 0
y
= thì ( )
0
y z
≡ , lúc này thanh v.n th)ng ch a b m t n nh. Mu n cho
l c P t t i giá tr t i h n t ng ng v i tr ng thái m t n nh thì trong h
ph i t n t i tr ng thái cân b ng khác v i tr ng thái cân b ng ban u, do ó
'(0)
y
ph i khác không .V&y sin
0
l
α
=
T ó rút ra l k
α
π
=
và t (3.2) ta xác nh
c
;+<
%:
0
& $ -. /
24
2
2
2
th
k
EI
P
l
π
=
v i
1, 2,...
k
=
∞ ;
T i tr ng nh# nh t t ng ng v i khi k = 1:
2
2
th
EI
P
l
π
=
Công th c này là công th c Euler ã quen bi t trong giáo trình S c b n v&t li u.
C3ng áp d$ng ph ng pháp trên ta có th* tìm
c t i tr ng t i h n cho
b n tr (ng h p còn l i, ta có th* bi*u th l c t i h n cho c n!m tr (ng h p trên
d i d ng nh sau:
2
2
( )
th
EI
P
l
π
µ
=
(3.9)
Trong ó,
µ
là h s ph$ thu c vào d ng liên k t % u thanh có giá tr cho %
B ng 3.1
S*
2
thanh
µ
1
2
1
0,5
0,7
3.3.2 n nh thanh th ng có liên k t àn h i
Trong th c t , ngoài nh ng thanh có liên k t c ng ã nghiên c u % trên, ta
còn nh ng thanh có liên k t àn h i. Trong m$c này ta s/ nghiên c u cách tính
n nh c a thanh có các d ng liên k t àn h i th (ng g p nh sau:
3.3.2.1 Thanh có m t
u t do m t
u liên k t ngàm àn h i
Trong tr (ng h p này, các thông s ban u có giá tr nh sau:
(0) ?, '(0) ?
(0) 0, (0) 0
y
y
M
Q
=
=
=
=
Các ph ng trình (3.5) và (3.6) có d ng:
'(0)
( )
(0)
sin
'( )
'(0)cos
y
y z
y
z
y z
y
z
α
α
α
=
+
=
25
i u ki n biên: khi
, ( ) 0
z
l y l
=
= và '( )
y l
ϕ
=
N u g i
ϕ
là h s àn h i c a liên k t t c là góc xoay c a ngàm àn h i
do mômen b ng n v gây ra thì trong tr (ng h p này, vì mômen t i ngàm àn
h i b ng
( )
. 0
P y
−
%
ϕ
%
;+<
0
-
-
-
- -
π
$
π
3π
$
& & -. /
β
Nên
(0).
Py
ϕ
ϕ
= −
Theo các i u ki n biên ta l&p
c h hai ph ng trình thu n nh t nh sau
*
xác nh (0)
y
và '(0)
y
.
sin
(0)
'(0)
0
'(0)cos
(0).
l
y
y
y
l
Py
α
α
α
ϕ
+
=
= −
T i u ki n t n t i các thông s (0)
y
và '(0)
y
ta
c ph ng trình n nh
sin
1
( )
0
cos
l
D
P
l
α
α
α
ϕ
α
=
=
−
Sau khi tri*n khai nh th c trên ta có
cos
.sin
0
P
l
l
ϕ
α
α
α
−
= hay
.
l
l tg l
EI
α
α
ϕ
=
N u t l v
α
= và
1
l
EI
tg
ϕ
θ
=
thì ph ng trình n nh có d ng: cot gv vtg
θ
=
*
gi i ph ng trình siêu vi t trên ta dùng ph ng pháp th v i bi n s
là v. Nghi m có ý ngh'a th c t là nghi m cho l c t i h n có giá tr nh# nh t.
Ta có giá tr c a l c t i h n khi
0
ϕ
= thì
2
th
v
π
=
, do ó:
2
2
4
th
EI
P
l
π
=
3.3.2.2 Thanh có m t
u ngàm c ng m t
u có liên k t àn h i
Các thông s ban u:
26
(0) ?; '(0) ?
(0)
(0) 0; (0)
y
y
y
M
Q
R
y
=
=
=
=
=
Trong ó, y là h s àn h i c a liên k t. Ý ngh'a v&t lý c a y là bi n thiên c a
liên k t àn h i do l c n v gây ra.
;+<
%
E2
;+<
%
%
0
$
3π
π
$
π
-
-
-
-
& , -. /
%
Ph ng trình àn h i (3.5) có d ng:
3
'(0)
(0)
( )
(0)
sin
(
sin
)
y
y
y z
y
z
z
z
y
EI
α
α
α
α
α
=
+
−
−
Theo i u ki n biên khi
,
0
z
l y
=
= và ' 0
y
= , ta có:
3
2
'(0)
(0)
(0)
sin
(
sin ) 0
(0)
'(0)cos
(1 cos ) 0
y
y
y
l
l
l
y
EI
y
y
l
l
y
EI
α
α
α
α
α
α
α
α
+
−
−
=
−
−
=
T ó rút ra ph ng trình n nh:
3
2
sin
sin
1
( )
0
1 cos
cos
l
l
l
y
EJ
D
l
l
y
EJ
α
α
α
α
α
α
α
α
α
−
−
=
=
−
−
Sau khi khai tri*n nh th c trên ta
c:
3
3
( )
yEI
tg l
l
l
l
α
α
α
=
−
, hay
3
3
yEI
tgv
v
v
l
= −
*
gi i ph ng trình này ta c3ng dùng ph ng pháp th (hình 3.4b).
T (hình 3.4b) ta th y giá tr c a
th
v
n m trong kho ng gi a
2
π
và
3
2
π
.
Khi y = ∞ t c là không có thanh àn h i khi
;
2
tgv
v
π
= −∞
=
.
27
V&y
2
2
4
th
EI
P
l
π
=
. Ta l i
c công th c tính l c t i h n cho thanh có m t u
ngàm m t u t do.
Khi
0
y
= t c là thanh àn h i tr% thành tuy t
i c ng thì
;
4,493
tgv
v v
=
=
.
V&y
2
2
(0,7 )
th
EI
P
l
π
=
. Ta l i
c công th c tính l c t i h n c a thanh có m t u
ngàm m t u kh p.
3.2.2.3 Thanh có m t
u ngàm àn h i còn m t
u là liên k t thanh tuy t
i
c ng
Các thông s ban u:
(0) 0; '(0) ?
(0) 0; (0)
y
y
M
Q
R
=
=
=
=
Ph ng trình àn h i (3.5) có d ng:
3
'(0)
( )
sin
.(
sin
)
y
R
y z
z
z
z
EI
α
α
α
α
α
=
−
−
Các i u ki n biên: khi
; ( ) 0
z
l y l
=
= và '( )
. .
y l
R l
ϕ
=
. Do ó, ta có:
3
2
sin
sin
'(0)
.
0
1 cos
'(0)cos
.
0
l
l
l
y
R
EI
l
y
l
R
l
EI
α
α
α
α
α
α
α
ϕ
α
−
−
=
−
−
+
=
Ph ng trình n nh:
3
2
sin
sin
( )
0
1 cos
cos
l
l
l
EI
D
l
l
l
EI
α
α
α
α
α
α
α
α
ϕ
α
−
−
=
=
−
−
+
Sau khi khai tri*n nh th c trên ta
c:
2
.
1 ( )
l
tg l
EI
l
l
α
α
ϕ
α
=
+
, hay
2
.
1
v
tgv
EI
v
l
ϕ
=
+
*
tìm nghi m
th
v
c a ph ng trình trên, ta c3ng dùng ph ng pháp th
t ng t nh hai tr (ng h p trên. Sau khi bi t
th
v
ta d dàng tìm
c l c t i
h n t ng ng.
N u nh
0
ϕ
= t c là khi liên k t ngàm àn h i tr% thành ngàm c ng thì
,
4,493
tgv
v v
=
=
.
0
ϕ
%
E
& 9 -. /
28
V&y
2
2
(0,7 )
th
EI
P
l
π
=
.
N u
ϕ
= ∞ t c là khi ngàm àn h i tr% thành kh p thì ph
ng trình n
nh tr% thành sin
0
v
= . Do ó v
l
α
π
=
=
. V&y
2
2
th
EJ
P
l
π
=
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N CH
NG 3
1.
n nh thanh th)ng có hai u liên k t c ng?
2.
n nh thanh th)ng có hai u liên k t àn h i?
29
CH
NG 4: N NH C A H THANH TH NG
3.1 M& 'u
Trong ba ch ng u chúng ta ã ti n hành nghiên c u s n nh cho các
d ng thanh th)ng. Tuy nhiên, trong th c t thi t k công trình thì h k t c u
c c u t o t nhi u thanh hay nói chính xác h n là
c c u t o t m t h
thanh. Do ó, trong ch ng này chúng ta s/ ti n hành nghiên c u nh ng n i
dung chính nh sau:
-
Các tính toán n nh khung ph)ng theo ph ng pháp l c.
-
Cách tính toán n nh khung ph)ng theo ph ng pháp chuy*n v .
-
Cách tính toán n nh d m liên t$c b ng ph ng pháp chuy*n v .
3.2 M t s( gi! thi$t khi tính toán +n nh khung ph3ng
Khi nghiên c u s n nh c a các khung ph)ng ta dùng các gi thi t d i
ây nh m n gi n hóa vi c xác nh t i tr ng t i h n
1.
V&t li u c a khung làm vi c trong gi i h n àn h i.
2.
Các nút c a khung xem nh tuy t i c ng, do ó chuy*n v c a u
thanh quy t$ vào nút u nh nhau.
3.
Các thanh c a khung xem nh không co dãn
c. Kho ng cách các nút
c a khung tr c và sau bi n d ng không thay i.
4.
Khi xác nh chuy*n v trong khung ch k* n nh h ng c a bi n d ng
u n do mômen u n và do l c d c xu t hi n tr c bi n d ng gây ra nh
h %ng c a s gia l c d c xu t hi n sau khi h m t n nh b# qua.
5.
T i tr ng tác d$ng trên khung ch t % các nút. Nh ng t i tr ng ch gây ra
hi n t ng kéo ho c nén mà không gây ra hi n t ng u n ngang trong các
thanh c a khung khi h ch a m t n nh.
N u bài toán n nh
c nghiên c u theo gi thi t trên thì khi b"t u
m t n nh, h % tr ng thái bi n d ng r t g n v i tr ng thái ban u, các l c
ngang phát sinh sau khi h m t n nh v i nh ng giá tr r t nh#, ngoài ra n u
không coi l c d c P là t i tr ng mà quy
c chúng nh là m t tính ch t c
tr ng P c a h thì có th* phát bi*u là gi a chuy*n v và t i tr ng ngang có liên
h tuy n tính.
Trên c s% ó ta có th* k t lu&n: Trong bài toán n nh c a h thanh
th ng có áp d ng nguyên lý c ng tác d ng
i v i các t i tr ng ngang, m
&i t i
tr ng ngang x
'y ra kèm theo y u t
c tr ng riêng P c a h .
*
làm sáng t# v n này ta xét ví d$:
30
y
- chuy*n v t i m t ti t di n nào ó do l c nén P và do t i tr ng ngang
q
1
, q
2
ng th(i tác d$ng gây ra;
y
1
- chuy*n v t ng ng do tác d$ng
ng th(i c a l c P và t i tr ng
ngang q
1
;
y
2
- chuy*n v t ng ng do tác d$ng
ng th(i c a l c P và t i tr ng
ngang q
2
;
Theo nguyên t"c c ng tác d$ng ta có: y= y
1
+y
2
T ng t , n u g i y là chuy*n v do tác d$ng ng th(i c a l c P và cho
t i tr ng ngang q b ng n v thì chuy*n v y do tác d$ng ng th(i c a l c P và
t i tr ng ngang q khác n v gây ra s/ b ng:
.
y
q y
=
.
Nh v&y, ta có th* áp d$ng
c các ph ng pháp tính d a trên c s%
nguyên lí c ng tác d$ng * gi i bài toán n nh h thanh. Ngoài ra c3ng có th*
m% r ng ph m vi ph m vi áp d$ng công th c xác nh chuy*n v và các nh lí
c b n % trong C h c k t c u cho h thanh ch u u n cùng v i nén.
3.2 Cách tính +n nh khung ph3ng theo ph *ng pháp l c
3.2.1 Các cách xác nh chuy n v trong thanh ch u u n cùng v i nén ho c kéo
Tr c khi i vào nghiên c u v&n d$ng ph ng pháp l c * gi i quy t bài
toán n nh c a các khung ph)ng ta c n bi t cách xác nh chuy*n v trong
nh ng thanh ch u u n cùng v i nén ho c kéo. T bi*u th c ã quen bi t trong c
h c k t c u
m
km
k
M
M
ds
EI
∆
=
(4.1)
Công th c (4.1) là công th c tính chuy*n v c a nh ng thanh ch u u n cùng v i
kéo ho c nén trong ó ta ã b# qua các s h ng bi*u th nh h %ng c a bi n
d ng d c tr$c và bi n d ng tr t.
3.2.1.1 Thanh
t t do trên hai g i t a kh p
T công th c tính chuy*n v (4.1) ta có
( )
( )
. .
. .
. .
. .
.
3
3
6
6
km
r
r
a c l
b d l
a d l
b c l
EI
α
β
∆
=
+
+
+
(4.2)
Trong ó
2
2
3
( )
1
6
( )
1
sin
v
v
v
tgv
v
v
v
v
α
β
=
−
=
−
, tra b ng
(4.3)
31
3.2.1.2 Thanh m t
u ngàm m t
u t do
T công th c tính chuy*n v (4.1) ta có
0
0
0
1
2
3
1
1
1
.
.
. ( )
.
. ( )
[ .
.
]. ( )
3
3
6
km
B
B
B
A
EI
b M
v
a M
v
a M
b M
v
θ
θ
θ
∆
=
+
+
+
(4.4)
Trong ó:
1
2
2
2
3
2
3
( )
1
3
2
( )
1
cos
6
1
( )
cos
tgv
v
v
v
tgv
v
vgv
v
v
v
tgv
v
v
v
v
θ
θ
θ
=
−
=
+
−
+
=
−
, tra b ng
(4.5)
(4.3) và (4.5) là các hàm i u ch nh có k* n nh h %ng c a l c nén P. Có th*
tìm giá tr c a các hàm này theo các i s v qua (B ng 1) c a ph n ph$ l$c.
3.2.2 Tính n nh c a khung theo ph
ng pháp l c
Cho khung siêu t'nh nh (hình 4.1),
Mu n tìm P
th
ta ti n hành nh sau:
* Ch n h c b n
Vi c ch n h c b n th c hi n nh
trong c h c k t c u. Song c n chú ý v i
các thanh có l c nén P, ph i là các thanh
ã
c thi t l&p % trên. (thanh t t do
trên hai g i t a kh p, ho c thanh m t
u ngàm m t u t do)
* Ph
ng trình chính t
#c
Vì bi*u
(
)
0
P
M
không t n t i nên
các s h ng t do b ng không. Ph ng
trình chính t"c nh sau:
11
1
12
2
1
...
0
n
n
X
X
X
δ
δ
δ
+
+
+
=
(4.6)
*
xác nh các h s trong ph ng trình chính t"c i v i các thanh không
có l c nén ta nhân bi*u nh bình th (ng.
i v i các thanh nén ta l y k t qu
t m$c trên.
Trong bài toán n nh ta v.n s0 d$ng
c tính ch t t ng h2
km
mk
δ
δ
=
.
* Ph
ng trình n nh
T i u ki n t n t i nghi m X
k
ta có ph ng trình n nh:
0
mk
D
δ
=
=
&
F
F
F
$
$
F
F
&
,
' G H 7 >G
7 C7 *
32
Ví d 4.1
Xác nh l c t i h n P
th
cho h khung (hình 4.2)
F
F
$
F
F
$
F
F
$
F
F
$
I32
$
, $
'
JB
' G H
* Ch n h c b n nh (hình 4.2b)
* Ph ng trình n nh
11
12
21
22
0
D
δ
δ
δ
δ
=
=
*
xác nh
11
δ
ta c n v/ bi*u mô men u n do l c
1
1
X
= cùng v i l c
nén P gây ra trong h c b n (hình 4.2c) và bi*u mô men u n do riêng l c
1
1
X
= gây ra trong h c b n. Ti p ó s0 d$ng công th c (4.1) ho c cách nhân
bi*u .
Bi*u mômen u n do riêng l c ngang
1
1
X
= gây ra có d ng
(
ng
t
nét trên (hình 4.2c).
V i thanh có l c nén P ta c n áp d$ng công th c (4.5) trong ó thay
0
1
B
M
= , M
A
= 0; a = 0; b = 1. V i các thanh khác, ta v.n áp d$ng cách nhân
bi*u nh ã quen bi t, k t qu :
[
]
3
3
3
11
1
.
( )
1
( ) ;
3
3
3
l
l
l
EI
v
v
δ
θ
θ
=
+
=
+
v i
P
v
l
EI
=
.
Sau khi v/ bi*u
mô men u n do l c
2
1
X
= gây ra trong h c b n
(hình 4.2d) ta d dàng tìm
c các k t qu còn l i. K t qu :
33
3
3
3
22
4
.
;
3
3
l
EI
l
l
δ
=
+
=
và
3
12
21
1
;
2
EJ
EJ
l
δ
δ
=
=
Ph ng trình n nh:
[
]
[
]
{
}
3
3
1
1
2 1
( )
3
2
4 1
( )
2.25
0
6
3
3
8
v
l
l
D
v
EI
EI
θ
θ
+
=
=
+
−
= .
Suy ra:
1
( )
0.4375
v
θ
= −
S0 d$ng B ng 1 trong ph$ l$c, ta tìm ra
c: v = 2.79
Do ó:
2
2
2
7.78
th
EI
EI
P
v
l
l
=
=
3.3 n nh khung ph3ng theo ph *ng pháp chuy%n v
3.3.1 Thi t l p ph n t
m!u cho dùng cho ph
ng pháp chuy n v
Ta có các thông s ban u: ϕ
a
và ϕ
b
- góc xoay t i hai u a và b c a thanh
v i quy c chi u d ng là chi u quay thu&n chi u kim ng h .
∆ - chuy*n v t
ng i gi a hai u a, b theo ph ng vuông góc v i tr$c
thanh, chi u d ng quy nh trên (hình 4.3)
0
=
%
%
0
=
ϕ
ϕ
, &
B K B
-L
M 1N
1O
N i l c trong thanh
c bi*u th b ng các công th c sau:
1
2
1
2
2
(
)
a
a
b
M
i
l
µ ϕ
µ ϕ
µ
µ
∆
=
+
−
+
(4.6)
2
1
1
2
2
(
)
b
a
b
M
i
l
µ ϕ
µ ϕ
µ
µ
∆
=
+
−
+
(4.7)
1
2
3
2
(
)(
)
a
b
a
b
i
Q
Q
l
l
ϕ
ϕ
µ
µ
µ
∆
=
= −
+
+
−
(4.8)
Trong ó
;
EI
i
l
=
;
P
v
l
l
EI
α
=
=
34
1
;
2
2
2
v
tgv
v
v
tgv
tg
v
µ
−
=
×
−
2
sin
;
2sin
2
2
v
v
v
v
v
tg
v
µ
−
=
×
−
2
1
2
1
2
.
;
2 2
2
v
v tg
v
tg
v
µ
µ
+
=
−
3
3
1
.
;
2 2
2
v
v
tg
v
µ
=
−
Trên c s% các bi*u th c (4.6), (4.7) và (4.8) ta có th* d dàng tìm
c
ph n l c t i hai u thanh cho các ph n t0 m.u th (ng g p khi tính toán n nh
c a h thanh theo ph ng pháp chuy*n v . K t qu c$ th* t ng ng v i t ng
tr (ng h p
c ghi trên B ng 4.1
B!ng 4.1
Th"
t
D ng chuy%n v và bi%u 2
mômen
a
M
b
M
a
b
Q
Q
=
1
=
=
( )
1
3 .i
v
ϕ
0
( )
1
3
.
i
v
l
ϕ
−
2
=
=
( )
1
3
.
i
v
l
ϕ
−
0
( )
1
2
3
.
i
v
l
η
3
=
=
( )
2
4 .i
v
ϕ
( )
3
2 .i
v
ϕ
( )
3
6
.
i
v
l
η
35
4
=
=
( )
4
6
.
i
v
l
ϕ
−
( )
4
6
.
i
v
l
ϕ
−
( )
3
2
12
.
i
v
l
η
5
=
=
.
v
i
tgv
.
sin
v
i
v
−
0
3.3.2 Tính n nh c a khung theo ph
ng pháp chuy n v
* Ch n h c b n
:
Vi c ch n h c b n t ng t nh ph ng pháp tính chuy*n v tính b n
c a c h c k t c u, có ngh'a là t thêm các liên k t ng!n c n chuy*n v th)ng
và chuy*n v xoay t i các nút.
* Ph
ng trình chính t
#c
:
Vì t i tr ng ch có l c nén nên không xu t hi n mômen u n có ngh'a là các
h s t do
0
kP
R
= . Ph
ng trình th k có d ng
11 1
12
2
1
...
0
n
n
r Z
r Z
r Z
+
+
+
=
(4.9)
Các h s
km
km
r
r
=
c xác nh t các bi*u
k
M
. i u khác bi t v i khi tính
toán b n là các h s
km
r
trong ph ng trình n nh ph$ thu c vào l c nén P
trong ó khi tính b n
km
r
ph$ thu c
1
k
Z
= .
* Ph
ng trình n nh
:
H ph ng trình thu n nh t có hai kh n!ng. V i nghi m t m th (ng
0
k
Z
= thì h n nh. Khi t n t i
0
k
Z
≠ thì xu t hi n d ng cân b ng m i khác
tr c v tính ch t h không n nh. Ta có ph ng trình
0
ik
D
r
=
=
T ph ng trình n nh ta tìm
c P
th
, song ch a th* tìm
c
(
ng
bi n d ng b%i
0
k
Z
≠ nh vô nh. Ta có th* cho m t giá tr
1
k
Z
= , r i tìm các
giá tr
k
Z
còn l i theo h ph ng trình chính t"c.
36
Ví d 4.2
Xác nh l c t i h n cho h khung trên (hình 4.4a)
+
, ϕ
$
; - <
+
P
+
&
α
'
JB
' G H
$
2+ Q
2
$
$3
3
3
3
$
$
2
2+ Q
+
+
+
+
P
P
$
$
P
$
+
Q
,
+
+
, ϕ
$
;- <
+
+
Q
,
+
$
6B A R S
G -
$
6B A R S
G -
, , -. /
@
C
1 B
T
7 >G
7 C7
B%6 -
H có hai +n, h c b n nh trên (hình 4.4). Trên hình có ghi c ng n v c a
các thanh theo
0
EI
i
l
=
.
Thông s v trong các thanh ch u nén
- Thanh ng bên ph i:
1
1
0
P
P
v
l
l
v
EI
EI
=
=
=
.
-
Thanh ng bên trái:
2
2
0
0
0,8
0,8
P
P
v
l
l
v
EI
EI
αν
=
=
=
=
.
Ph ng trình n nh:
11
12
2
11 22
12
21
22
0
r
r
D
r r
r
r
r
=
=
−
= .
Các bi*u mômen u n
n v nh trên (hình 4.4c,d). Áp d$ng ph ng pháp
tách nút ho c m t c"t, ta xác nh
c:
11
0 2
0
0
0
0
0 2
0
4
(
) 3
8
[4
(
) 11]
r
i
v
i
i
i
i
v
ϕ α
ϕ α
=
+
+
=
+
12
21
0
4 ;
r
r
i
=
=
37
22
0 2
0
0
0
2
0
4
( ) 8
4 [ ( ) 2]
r
i
v
i
i
v
ϕ
ϕ
=
+
=
+
Ph ng trình n nh trong tr (ng h p này s/ là:
2
2
0
2
0
0
2
0
0
4 [4 (
) 11 ][ ( ) 2] 16
0
i
v
i
v
i
ϕ α
ϕ
+
+
−
=
Hay:
2
0
2
0
2
0
2
0
( ). (
) 2 (
) 2.75 ( ) 4.5 0
v
v
v
v
ϕ
ϕ α
ϕ α
ϕ
+
+
+
= .
(a)
Có th* gi i ph ng trình siêu vi t này b ng cách th0 d n. * làm gi m nh
vi c tìm nghi m, tr c tiên ta hãy xác nh ph m vi có th* tìm nghi m v
0
c a
ph ng trình. Vì v
0
t- l v i t i tr ng t i h n và xu t phát t ý ngh'a v&t lí c a
bài toán là giá tr t i tr ng t i h n c n tìm ph i n m trong kho ng gi a hai
tr (ng h p: khi hai l c P
1
= P
2
= P
và khi P
1
= P
2
= 0,8P
. Do ó, ta có th* tìm
c&n d i v’ và ti m c&n trên v” c a nghi m v
0
t ph ng trình (a) nh sau:
Khi P
1
= P
2
= P
t c là v
1
= v
2
= v’
; ph ng trình (a) có d ng:
2
,
,
2
2
( ) 4,75 ( ) 4,5 0
v
v
ϕ
ϕ
+
+
=
(b)
Nghi m nh# nh t c a (b):
2
( ')
1,307
v
ϕ
= −
suy ra v’= 5,46
Khi P
1
= P
2
= 0,8P
t c là v
1
= v
2
=
α
v”
v i
0,8 0,89443
α
=
=
; ph ng
trình (a) có d ng:
2
2
2
(
") 4.75 (
") 4,5 0
v
v
ϕ α
ϕ α
+
+
=
(c)
Nghi m nh# nh t c a (c):
2
(
")
1,307
v
ϕ α
= −
suy ra
" 5,46
v
α
=
và
v”=
6,10.
Nh v&y, nghi m v
0
c n tìm n m trong kho ng 5,46 < v
0
<6,10
N u g i:
2
0
2
0
2
0
2
0
( ). (
) 2 (
) 2.75 ( ) 4.5
v
v
v
v
ϕ
ϕ α
ϕ α
ϕ
∆ =
+
+
+
(d)
Khi v
0
=
5.46 ta có: ∆ > 0;
Khi v
0
=
6.10 ta có: ∆ < 0;
Trong l n th0 th nh t, ta ch n v
0
=
5.8, s0 d$ng b ng 2, trong ph n ph$
l$c ta tìm
c giá tr c a bi*u th c (d):
2,54
∆ = −
Do ó, ph m vi x+y ra nghi m v
0
c a ph ng trình (a)
c thu h p nh sau:
5.46 < v
0
<
5.8
Ti p t$c thu h p d n ph m vi qua các l n th0 t ng t , cu i cùng ta
c:
0
5.56
v
=
suy ra
2
0
2
2
30.9
th
v EI
EI
P
l
l
=
=
;
Ví d 4.3
Xác nh l c t i h n cho h khung trên (hình 4.5a)
H có hai +n, h c b n nh trên (hình 4.5b), trên hình có ghi c ng
n v
theo các thanh theo i
0
.
38
Thông s v trong thanh ch u nén:
P
v
l
EI
=
;
$3
+ 93
3
+ 9
$
P
$
P
P 2
$
$
-
$
$
9
P 2
9
U
'
JB
' G H
$
6B A R S
G -
6B A R S
G -
$
, , @
C
1 B
T
7 >G
7 C7
B%6 -
Ph ng trình n nh:
11
12
2
11 22
12
21
22
0
r
r
D
r r
r
r
r
=
=
−
= .
Các bi*u
mômen u n
n v nh trên (hình 4.5c,d). Áp d$ng ph ng
pháp tách nút, ta tìm
c:
11
7.5 ;
r
i
=
12
21
1.5i
r
r
l
=
= −
*
xác nh r
22
ta v&n d$ng ph ng pháp m t c"t và tìm l c c"t trong thanh
ch u nén theo s li u % (B ng 4.1). K t qu :
2
22
2
(1.5
).
i
r
v
l
=
−
Ph ng trình n nh trong tr (ng h p này s/ là:
2
2
2
2
[7.5(1.5
) 1.5 ] 0
i
v
l
−
−
= hay
2
7.5
9 0.
v
− =
Suy ra:
2
1.2
v
=
và
2
2
2
1.2
th
v EI
EI
P
l
l
=
=
.
39
3.3.3 n nh c a d m liên t c trên g i c ng theo ph
ng pháp chuy n v
Bài toán n nh c a d m liên tuc trên các g i c ng ã
c nghiên c u
khá y theo nhi u ph ng pháp khác nhau. Trong m$c này ch c&p cách
tính d m liên t$c ch u các l c d c tr$c theo ph ng pháp chuy*n v .
+
1
15
+
P
P
1
P
15
P
, 9 @
C
V
J
M
/
Th t th c hi n bài toán nh i v i bài toán tính n nh khung ph)ng.
Ph ng trình chính t"c th k
11 1
12
2
1
...
0
n
n
r Z
r Z
r Z
+
+
+
=
Ph ng trình n nh:
0
ik
D
r
=
=
Ph ng trình n nh có
c t i u ki n
0
k
Z
≠ . V i d m liên t$c còn x+y ra
tr (ng h p m t n nh khi
0
k
Z
= .
Ví d 4.4
Xác nh l c t i h n cho h d m trên (hình 4.6a)
U
W
93
3
$
$
&I3
ϕ
;- <
$
$
$
;- <
ϕ
&I3
, U
V
J
M
/
P
Thông s v trong thanh ch u nén:
1
1
1
2P
v
l
EI
=
;
2
2
1
1
2
1
3
2
1,5.
1,5
.1,5.
P
P
v
l
l
v
EI
E
I
=
=
=
Ph ng trình chính t"c:
11 1
0
r Z
=
40
Ph ng trình n nh:
11
0
D
r
=
=
T bi*u mômen n v ta xác nh
c
11
r
b ng cách tách nút
( )
( )
1
2
11
1
1
1
2
1
2
3
3
EI
EI
r
v
v
l
l
ϕ
ϕ
=
+
Hay
( )
(
)
1
1
1
1
1,5.
0
v
v
ϕ
ϕ
+
=
B ng cách th0 úng d n ta xác nh
c
1
2,355
0,077
th
v
P
EI
=
→
=
.
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N CH
NG 4
1.
Các gi thi t trong tính toán n nh h thanh? Vì sao?
2.
Tính ch t i x ng và ph n x ng trong bài toán n nh?
3.
Tính n nh khung theo ph ng pháp l c? Nh ng i*m c n chú ý
4.
Tính n nh khung theo ph ng pháp chuy*n v ? Nh ng i*m c n chú ý
5.
Cách thi t l&p các ph n t0 m.u?
41
PH N II
NG L C H C CÔNG TRÌNH
CH
NG 5: M
U V
NG L C H C CÔNG TRÌNH
5.1 M& 'u
ng l c h c công trình là m t ph n c a môn c h c k t c u. Môn h c
trình bày ph ng pháp nghiên c u tính toán t i tr ng
ng. Khi tác d$ng lên
công trình t i tr ng ng s/ gây ra l c quán tính t kh i l ng c a t i tr ng và
b n thân công trình.
T i tr ng
ng
: Là t i tr ng có v trí, tr s ph ng chi u thay i theo th(i
gian, t i tr ng ng sinh ra l c quán tính;
Nhi m v nghiên c u ch y u c a bài toán
ng l c h c công trình
:
-
Tính toán thi t k sao cho tránh
c kh n!ng x+y ra c ng h %ng là h
h#ng công trình;
-
Xác nh n i l c ng t ó tính toán ki*m tra kh n!ng ch u l c c a
công trình;
-
Xác nh chuy*n v ng, ki*m tra c ng;
-
Tìm bi n pháp x0 lý rung ng và gi m rung hi u qu nh t;
Trên th c t *
n gi n vi c tính toán trong nhi u tr (ng h p ng (i ta
dùng t i tr ng ng d i d ng mô t hàm i u hoà. Trong giáo trình này chúng
ta ch y u nghiên c u t i tr ng ng d i d ng i u hoà là ch y u.
5.2 Các d ng t!i tr ng ng
Trong th c t ta th (ng g p m t s d ng t i tr ng ng ch y u sau:
-
T i tr ng có v trí không i còn tr s bi n thiên theo th(i gian P(t). Nh
oàn xe ch y trên c u.
-
T i tr ng di ng có tr s thay i P(z,t);
-
L c a ch n, xu t hi n khi có ng t;
-
L c khí ng, do gió tác ng lên công trình…;
5.3 Các d ng dao ng
Do t i tr ng tác d$ng có tính ch t khác nhau, ng th(i c u t o k t c u có
tính ch t c3ng khác nhau nên dao ng c a công trình c3ng có tính ch t khác
nhau. Ta có th* phân lo i nh sau:
-
Theo d ng bi*u dao ng: nh hình v/ sau
42
%
%
%
%
X
Y
Y
7 Z
7 (
B 1O
X
Y
[
J
Y
\
J
9
-
Theo tính ch t c a nguyên nhân gây ra dao ng:
Dao ng t do, dao ng c ng b c, dao ng ng.u nhiên;
5.4 Khái ni m v) ph *ng pháp tính toán c* b!n trong dao ng công trình
Trong dao ng công trình có hai ph ng pháp tính c b n là ph ng pháp
t'nh và ph ng pháp n!ng l ng.
5.4.1 Ph
ng pháp t nh
Ph ng pháp này d a trên c s% nh ng nguyên t"c cân b ng t'nh h c trong
ó b sung thêm l c quán tính theo nguyên lý al!mbe, lúc này các ph ng
trình cân b ng t'nh s/ tr% thành các ph ng trình cân b ng
ng.
i v i bài
toán ph)ng các ph ng trình cân b ng và có d ng:
( )
2
2
0
d X t
X
m
dt
−
=
( )
2
2
0
d Y t
Y
m
dt
−
=
( )
2
( )
2
0
u
u
m u
d
t
M
J
dt
α
−
=
Trong ó:
( ) ( )
,
X t Y t
- là chuy*n v t nh ti n c a kh i l ng m theo tr$c x và tr$c y
α
- là chuy*n v xoay c a kh i l ng m
( )
m u
J
- mô men quán tính c a kh i l ng m i v i tr$c u
43
5.4.2 Ph
ng pháp n ng l
ng
Ph ng pháp n!ng l ng
c xây d ng trên c s% nh lu&t b o toàn n!ng
l ng: t ng th n!ng và ng n!ng c a hê trong quá trình chuy*n ng là không
i.
-
G i K là ng n!ng c a h
-
U là th n!ng c a h
Thì:
onst
K
U
c
+
=
5.5 B c t do c0a h àn h2i
B&c t do c a h àn h i là thông s c l&p c n thi t * xác nh v trí c a
t t c các kh i l ng trên h ó. Sau ây ta xét m t s ví d$ trên hình v/ sau:
]
%
9 $ ") *
V
'
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N NHÓM CH
NG 5
1.
Các d ng t i tr ng ng th (ng g p khi thi t k công trình?
2.
Ph ng pháp tính toán dao ng công trình?
44
]
%; <
%::^+
P24 %::
E
]
δ
δ
]
; <
2
U Y
BC
CH
NG 6 DAO
NG C A H CÓ M T B C T DO
6.1 M& 'u
*
nghiên c u dao ng công trình tr c h t ta ph i nghiên c u dao ng
c a h có m t b&c t do t ó khái quát lên cho bài toán nhi u b&c t do c3ng
nh tính toán dao
ng c a các công trình. Trong ch ng này chúng ta s/
nghiên c u nh ng v n sau:
-
Ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng
-
Dao ng t do không l c c n
-
Dao ng t do có l c c n
-
Dao ng c ng b c không l c c n ch u l c kích thích
( )
sin
P t
rt
=
6.2 Ph *ng trình vi phân t+ng quát c0a dao ng
Trong tr (ng h p t ng quát xét m t d m
n gi n àn h i không tr ng
l ng có m t kh i l ng t&p trung M ch u tác d$ng c a các nguyên nhân sau:
-
L c tác d$ng P(t)
-
L c quán tính c a kh i l ng
. ''
Z
M y
= −
-
L c c n R t- l v i v&n t c
. '
R
y
β
=
(R ng c chi u v i chuy*n ng)
-
β
t- s d c tr ng cho l c c n
kN
s
cm
Bài toán dao ng m t b&c t do s/
có các c tr ng nh sau:
-
11
δ
là chuy*n v theo ph ng
chuy*n
ng t i i*m
t kh i
l ng M, do l c
n v tác d$ng
t'nh t i M gây ra;
-
1P
δ
là chuy*n v theo ph ng
chuy*n
ng t i i*m
t kh i
l ng M, do l c
n v tác d$ng
t'nh t i i*m
t l c kích thích
gây ra;
Nh v&y chuy*n v y(t) c a kh i l ng s/ b ng
( )
( )
1
11
11
.
.
.
P
y t
P t
Z
R
δ
δ
δ
=
+
−
hay
45
%; <
]
%
U $ Y
*
1 R
H
( )
( )
1
11
11
.
. . ''
.
'
P
y t
P t
M y
y
δ
δ
δ β
=
−
−
chia c hai v cho
11
.
M
δ
và sau khi chuy*n i và t
2
11
1
M
ω
δ
=
và 2
M
β
α
=
; thì ta
c
( )
2
2
1
'' 2
'
.
P
y
y
y
P t
α
ω
ω δ
+
+
=
(6.1)
Ph ng trình (6.1) là ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng h m t
b&c t do có k* n l c c n.
6.3 Dao ng t do không l c c!n
6.3.1
" nh ngh a dao
ng t do
Dao
ng t do c a h là dao
ng
sinh ra b%i m t kích ng b t k1 tác d$ng
trên h r i c t i t c th(i.
6.3.2 Ph
ng pháp xác nh
T ph ng trình t ng quát (6.1) khi b# i các y u t l c c n và l c kích
thích ph ng trình dao ng c a h m t b&c t do không có l c c n có d ng:
2
''
0
y
y
ω
+
=
(6.2)
ây là ph ng trình vi phân c p hai không có v ph i và h s là h ng s
nghi m c a ph ng trình vi phân có d ng:
cos
sin
y
A
t
B
t
ω
ω
=
+
(6.3)
Trong ó: A và B là các h ng s tích phân, các h ng s tích phân
c xác nh
theo i u ki n ban u
Khi
0
t
= thì
0
0
& '
y
y
y
v
=
=
thay các i u ki n này vào ph ng trình (6.2) &
(6.3) ta xác nh
c:
0
0
;
v
A
y
B
ω
=
=
Nh v&y ph ng trình dao ng có d ng:
0
0
cos
sin
v
y
y
t
t
ω
ω
ω
=
+
(6.4)
Ph ng trình (6.4) là ph ng trình dao ng i u hoà do v&y nó có tính ch t c a
dao ng i u hoà nh dùng véc t quay * bi*u di n dao ng.
* Chu k( dao ng:
Là th(i gian c n thi t * kh i l ng th c hi n
c m t dao
ng toàn
ph n và
c ký hi u là T
46
2
T
π
ω
=
; (s)
(6.5)
* T n s dao ng: Là s l n dao ng c a kh i l ng trong m t giây
1
2
f
T
ω
π
=
=
; (1/s). t ó suy ra
2 . f
ω
π
=
(6.6)
ω
là t n s vòng c a dao ng riêng (hay g i t n s dao ng riêng)
Theo k t qu % trên ta xác nh
c t n s dao ng riêng:
11
11
1
;
.
.
t
g
g
M
P
y
ω
δ
δ
=
=
=
(1/s)
(6.7)
Trong ó:
g
- là gia t c tr ng tr (ng;
y
t
- chuy*n v c a kh i l ng M do l c P = M.g tác d$ng t'nh t i i*m t
kh i l ng gây ra;
Ví d 6.1
Xác nh t n s vòng và chu k1 dao ng
riêng c a d m ch u tác d$ng c a l c P= 0,75
kN
(hình 6.3). D m có chi u dài l = 1m ti t
di n vuông m2i c nh là 4cm cho bi t g = 981
cm/s
2
. E = 2,1.10
4
kN/cm
2
Bài gi i
võng c a d m t i i*m C d i tác d$ng t'nh c a l c P
c xác nh:
3
3
.
.
256
t
l
y
P
EI
=
Theo công th c (6.7) ta có:
4
1
3
256 2,1.10 .21,3
981.
.
70,6
3
100 .0,75
t
g
s
y
ω
−
=
=
=
Chu k1 dao ng riêng:
2
2.3,14
0,089
70,6
T
s
π
ω
=
=
=
Ví d 6.2
Xác nh t n s và chu kì dao ng các gi i h n truy n ng c a thanh thép
không tr ng l ng ch u l c nh (hình 6.4) cho bi t:
P= 3,50 kN
(t i tr ng tác d$ng u thanh)
I = 2140 cm
4
, E = 2,1.10
4
kN/cm
2
U &
-_
-. / U
%
]
,
,
&
47
Bài gi i
Chuy*n v t'nh t i u thanh do l c n v tác d$ng (b# qua nh h %ng c a
u n d c)
3
2
11
4
150
0,025
/
3
3.2,1.10 .2140
l
cm kN
EI
δ
=
=
=
T n s vòng:
1
11
11
1
981
104,5.
.
.
3,50.0,035
g
s
M
P
ω
δ
δ
−
=
=
=
=
Chu k1 dao ng:
2
2.3,14
0,0602
104,5
T
s
π
ω
=
=
=
T n s dao ng:
1
1
16,6
0,0602
f
T
=
=
=
6.4 Dao ng t do có l c c!n
6.4.1 M
u
Trong ph n này ta s/ th y r ng v n dao ng
c gi m i r t nhi u n u
gi thi t gi m ch n t- l v i v&n t c. Sau ây ta s/ nghiên c u t- m- tr (ng h p
dao ng t"t d n do s c c n nh t gây ra.
6.4.2 Ph
ng pháp xác nh
T ph ng trình t ng quát (6.1) ph ng trình vi phân dao ng có l c c n
có d ng:
2
'' 2
'
0
y
y
y
α
ω
+
+
=
(6.8)
Trong ó
2
11
1
M
ω
δ
=
và 2
M
β
α
=
;
Ph ng trình c tr ng c a ph ng trình vi phân (6.8) có d ng
2
2
2
0
S
S
α
ω
−
+
=
Nghi m c a ph ng trình c tr ng này là:
2
2
1
2
2
1
S
S
α
α
ω
α
α
ω
= − +
−
= − −
−
V&y nghi m c a (6.8) có d ng t ng quát
%
δ
+
2
U ,
-_
-. / U $
48
(
)
2
2
2
2
1
2
t
t
t
y
e
C e
C e
α
α
ω
α
ω
−
−
−
−
=
+
Ta th y nghi m c a ph ng trình vi phân ph$ thu c quan h t- l gi a
α
và
ω
N u
α ω
<
(l c c n nh#) thì nghi m c a ph ng trình c tr ng có nghi m
o;
N u
α
ω
>
(l c c n l n) thì nghi m c a ph ng trình c tr ng có nghi m
th c;
Chu k1 dao ng dao ng khi có l c c n:
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
T
π
π
π
ω
ω
ω
α
α
ω
=
=
=
−
−
(6.9)
Ta th y
1
2
0
1
1
1
T
T
α
ω
=
>
−
*Nh n xét
Nh v&y l c c n làm cho chu k1 dao ng dài h n, t t nhiên khi ó t n s
dao ng gi m, ngh'a là dao ng x+y ra ch&m h n dao ng t do.
6.5 Dao ng c 4ng b"c không l c c!n ch u l c kích thích P(t) = Psinrt
6.5.1 M
u
Trong m$c này chúng ta s/ nghiên c u tr (ng h p dao ng không có l c
c n ch u l c kích thích i u hoà P(t) = Psinrt. Vi c nghiên c u bài toán này
nh m m$c ích giúp ng (i thi t k có thêm ki n th c v dao ng kích thích.
6.5.2 Ph
ng pháp xác nh ph
ng trình dao
ng
T ph ng trình (6.1) ph ng trình vi phân dao ng ch u l c kích thích
không l c c n có d ng:
2
2
1
''
.
. sin
P
y
y
P
rt
ω
ω δ
+
=
(6.10)
Nghi m c a ph ng trình (6.10) s/ là:
(
)
1
0
cos
sin
.
.
sin
sin
t
P
y
A
t
B
t
P
t
r d
ω
ω
δ ω
ω
τ
τ τ
=
+
+
−
(6.11)
Tính tích phân bi*u th c
(
)
2
2
0
sin
sin
sin - sin
t
r
I
t
r d
rt
t
r
ω
ω
τ
τ τ
ω
ω
ω
=
−
=
−
Thay k t qu này vào ph ng trình (6.11) k t h p v i ph ng trình (6.4)ta
c
49
0
1
0
2
2
.
cos
sin
sin
sin
1
P
v
P
r
y
y
t
t
rt
t
r
δ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
+
+
−
−
hay
0
1
1
0
2
2
2
2
.
.
cos
sin
. sin
sin
1
1
P
P
v
P
r
P
y
y
t
t
t
rt
r
r
δ
δ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
+
−
+
−
−
(6.12)
Trong (6.12) ba s h ng u ch là dao ng t do c a h , hai s h ng u
ch a i u ki n ban u c a h .
N u th(i i*m t nào ó khi y
0
= 0
, v
0
= 0
, ta có:
1
2
2
.
. sin
sin
1
P
P
r
y
rt
t
r
δ
ω
ω
ω
=
−
−
(6.13)
t
*
1
.
t
P
y
P
δ
=
(hình 6.5)là chuy*n v t i kh i l ng M do biên P c a l c
kích thích tác d$ng t'nh gây ra, nên
U 9 B%6 - V 1
>`
%
]
; <
%
a
*
2
2
1
. sin
sin
1
t
r
y
y
rt
t
r
ω
ω
ω
=
−
−
(6.14)
T ph ng trình (6.14) ta th y r ng ph ng trình dao ng g m hai ph n:
m t ph n dao ng v i t n s l c kích thích r và m t ph n v i t n s dao ng
t do. Tuy nhiên, nh ta ã bi t sau khi dao ng i vào n nh thành ph n dao
ng t do s/ b l c c n (tuy nh#) làm m t i. Dao ng chuy*n sang chu kì và
t n s c a dao ng c a l c kích thích:
*
2
2
1
.sin
1
t
y
y
rt
r
ω
=
−
(6.15)
6.5.3 Cách xác nh h s
ng
50
H s ng là h s nh h %ng c a t i tr ng ng so v i t i tr ng t'nh, t
ph ng trình (6.15) ta suy ra
2
*
2
1
.sin
1
d
t
y
K
rt
r
y
ω
=
=
−
(6.16)
Biên l n nh t c a chuy*n v ng khi:
sin
1
rt
= ; do ó:
*
2
2
1
1
d
t
y
y
r
ω
=
−
(6.17)
Trong tr (ng h p này h s ng:
2
*
2
1
1
d
t
y
K
r
y
ω
=
=
−
(6.18)
T ng t nh vi c xác nh y
d
ta l n l t thi t l&p cho các giá tr n i l c và
ng su t ng theo các l c tính nh sau:
Giá tr mômen ng:
.
d
t
d
M
M K
=
(6.19)
Giá tr ng su t ng
.
d
t
d
K
σ
σ
=
(6.20)
Ví d. 6.3
Cho d m
n gi n ch u l c c ng b c nh (hình 6.6). T i kh i l ng M
ch u l c kích
ng
( )
sin
P t
rt
=
. Cho bi t I = 8950 cm
4
, E = 2,1.10
4
kN/cm
2
.
3
M
kg
=
, l = 6m, g =10m/s
2
Bài gi i
%
U U
-_
-. / U &
; <2
b
U
&
&
U
2
1
&
,
,
]
51
a. T n s dao ng riêng, t n s dao ng k thu&t
(
)
( )
(
)
3
3
4
3.30. 600
3
.
.
0,404
256
256.2,1.10 .8950
k
t
G
l
y
M
M
P
cm
EI
=
=
=
=
T n s dao ông riêng
(
)
1000
49,75 1/
0,404
t
g
s
y
ω
=
=
=
Chu kì dao ng riêng
2
2.3,14
0,126
49,75
T
s
π
ω
=
=
=
T n s dao ng k thu&t
60
60
476
0,126
n
T
=
=
=
(1/phút)
b. Xác nh h s ng, biên dao ng c ng b c và ng su t l n nh t phát
sinh trong d m
T n s dao ng c ng b c
(
)
2
2.3,14.400
41,89 1/
60
60
n
r
s
π
=
=
=
H s ng khi ch u l c c ng b c
2
2
2
2
1
1
3,61
41,89
1
1
49,75
d
K
r
ω
=
=
=
−
−
,
ng su t l n nh t phát sinh trong d m
(
)
2
3.30.600
.
3,61.
20,35
/
16.579
d
d
t
K
kN cm
σ
σ
=
=
=
6.6 M t s( "ng d.ng trong k5 thu t c0a lý thuy$t dao ng
Lý thuy t dao ng ã
c ng d$ng nhi u trong k thu&t, c bi t là ng
d$ng trong thi t k và thi công các công trình xây d ng. Sau ây chúng ta tìm
hi*u m t s ng d$ng c a lý thuy t dao ng trong thi t k và thi công các công
trình xây d ng.
6.6.1
" m àn h i c a máy
Nh ng máy quay, m t cân b ng s/ truy n vào móng máy nh ng l c kích
ng tu n hoàn, gây n ào và t o nên nh ng dao ng có h i cho máy. * làm
gi m hi n t ng có h i y ng (i ta th (ng dùng m máy àn h i. Ta xem máy
nh là v&t có kh i l ng m, quay v i v&n t c b t k1 r và l c ly tâm là P. N u o
52
các góc nh trên (hình 6.7a) ta có thành ph n th)ng
ng và thành ph n n m
ngang c a l c kích ng là Psinrt và Pcosrt. N u máy g"n ch t vào móng c ng
(hình 6.7a) thì v&t s/ b t ng v i móng và toàn b l c ly tâm
c truy n vào
móng. * làm gi m tác d$ng vào móng ng (i ta
t máy trên
m àn h i
(hình 6.7b) và t các liên k t sao cho có th* h n ch
c chuy*n ng ngang
c a máy. Do cách b trí nh v&y nên ta có m t h dao ng g m v&t có kh i
l ng là m t trên lò xo th)ng ng. Mu n xác nh
c l c th)ng ng thay
i truy n cho móng qua lò xo, ta c n kh o sát dao ng c a v&t d i tác ng
c a l c kích ng Psinrt. Ta có th* vi t
c ph ng trình dao ng c a máy có
tính n l c c n:
b
b
U c d'
C% @
A
(
)
1
2
2
2
2
2
2
.
sin
1
P
P
rt
y
r
r
δ
λ
γ
ω
ω
−
=
−
+
(6.21)
Mu n cho biên
dao
ng nh#, thì t n s dao
ng t do
ω
c a kh i
l ng m t trên lò xo c n ph i nh# h n nhi u l n so v i r c a l c kích ng.
Gi s0 n u
10
r
ω
=
, thì ngay c khi b# qua l c c n, ta có:
(
)
1
1
ax
2
2
2
.
.
99
1 10
10
P
P
m
P
P
y
δ
δ
γ
=
≈
−
+
(6.22)
i u ó ch ng t# r ng khi l c c n r t nh#, biên dao ng dao ng l n
nh t b ng 1% chuy*n v t'nh
1
.
P
P
δ
c a kh i l ng d i tác d$ng c a P. Nh
v&y, áp l c n n do l c Psinrt
c xem nh b ng không nên máy t trên n n
h u nh ch b ng t i tr ng t'nh c a nó.
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N NHÓM CH
NG 6
1. Tìm hi*u k t c u công trình trong th c t có th*
a v h dao ng có m t
b&c t do?
53
CH
NG 7: DAO
NG C A H CÓ M T S B C T DO
7.1 M& 'u
4
ch ng tr c chúng ta ã nghiên c u dao ng c a h có m t kh i l ng
tuy nhiên trong th c t công trình xây d ng khi
c n gi n hoá s/ có n b&c t
do n u ta xem kh i l ng c a công trình
c t t i có m c sàn. Trong ch ng
này chúng ta nghiên c u nh ng v n sau:
-
Ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng có n b&c t do;
-
Dao ng riêng c a h có n b&c t do;
-
Phân tích t i tr ng và dao ng theo các d ng chính;
-
Dao ng c ng b c P(t) = Psinrt.
7.3
Ph *ng trình vi phân t+ng quát c0a dao ng có n b c t do
*
thi t l&p cho bài toán có n b&c t do tr c h t ta xét cho bài toán có hai
b&c t do sau ó phát tri*n cho bài toán có n b&c t do.
Trong tr (ng h p t ng quát xét m t d m
n gi n àn h i không tr ng
l ng có hai kh i l ng t&p trung
1
M
và M
2
ch u tác d$ng c a các nguyên nhân
sau:
-
L c tác d$ng P(t)
-
L c quán tính c a kh i l ng
''
1
1
1
.
Z
M y
= −
và
''
2
2
2
.
Z
M y
= −
(7.1)
-
L c c n R t- l v i v&n t c
'
1
1
.
R
y
β
=
và
'
2
2
.
R
y
β
=
(R
k
ng c chi u v i
chuy*n ng)
(7.2)
-
β
t- s c tr ng cho l c c n
kN
s
cm
c Y
BC
; <
E
P 24 %::
%::^+
% ; <
]
% ; <
P 24 %::
E
%::^+
$
$
$
$
$
Bài toán dao ng hai b&c t do s/ có các c tr ng nh sau:
-
11
δ
là chuy*n v theo ph ng chuy*n ng t i i*m t kh i l ng M
1
,
do l c n v tác d$ng t'nh t i M
1
gây ra;
-
22
δ
là chuy*n v theo ph ng chuy*n ng t i i*m t kh i l ng M
2
,
do l c n v tác d$ng t'nh t i M
2
gây ra;
54
-
12
δ
là chuy*n v theo ph ng chuy*n ng t i i*m t kh i l ng M
2
,
do l c n v tác d$ng t'nh t i M
1
gây ra;
-
21
δ
là chuy*n v theo ph ng chuy*n ng t i i*m t kh i l ng M
1
,
do l c n v tác d$ng t'nh t i M
2
gây ra;
-
1P
δ
là chuy*n v theo ph ng chuy*n ng t i i*m t kh i l ng M
1
,
do l c n v tác d$ng t'nh t i i*m t l c kích thích gây ra;
-
2P
δ
là chuy*n v theo ph ng chuy*n ng t i i*m t kh i l ng M
2
,
do l c n v tác d$ng t'nh t i i*m t l c kích thích gây ra;
Nh v&y chuy*n v y(t) c a kh i l ng s/ b ng
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
11
1
1
12
2
2
1
.
.
P
y t
Z t
R t
Z t
R t
t
δ
δ
δ
=
−
+
−
+
(7.3)
Hay
( )
( )
( )
( )
( )
( )
''
''
1
11
1 1
1
12
2 2
2
1
.
.
0
P
y t
m y t
R t
m y t
R t
t
δ
δ
δ
+
+
+
+
−
=
(7.4)
Phát tri*n t ng t cho bài toán có n b&c t do, ta
c ph ng trình t ng
quát c a dao ng hay còn g i là ph ng trình t ng chính t"c c a bài toán dao
ng c a h có n b&c t do:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
''
''
1
1 1
1
2
2 2
2
.
.
...
0
k
k
k
kP
y t
m y t
R t
m y t
R t
t
δ
δ
δ
+
+
+
+
+
−
= (7.5)
v i (k = 1, 2, …n)
7.3 Dao ng riêng c0a h có n b c t do
7.3.1. Ph
ng trình c b n c a dao
ng riêng
Khi không k* n l c c n và l c kích thích t ph ng trình (7.4) ta suy ra
ph ng trình vi phân dao ng riêng i v i h có n (n = 2) b&c t do nh sau:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
''
''
1
11
1 1
12
2 2
''
''
2
21
1 1
22
2 2
.
.
0
.
.
0
y t
m y t
m y t
y t
m y t
m y t
δ
δ
δ
δ
+
+
=
+
+
=
(7.6)
Xét m t nghi m riêng c a (7.6) t ng ng v i các kh i l ng
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
''
2
1
1
1
1
''
2
2
2
2
2
sin
sin
sin
sin
y t
y
t
y
y
t
y t
y
t
y
y
t
ω
λ
ω
ω
λ
ω
λ
ω
ω
λ
=
+
→
= −
+
=
+
→
= −
+
Thay nghi m riêng này vào h ph ng trình (7.6) gi n c cho
(
)
sin
t
ω
λ
+
ta
c:
(
)
(
)
2
2
1 11
1
2 12
2
2
2
1 21
1
2 22
2
1
0
1
0
m
y
m
y
m
y
m
y
δ ω
δ ω
δ ω
δ ω
−
+
=
+
−
=
(7.7)
55
Chia cho
2
ω
và t
2
1
u
ω
= ta có ph
ng trình c b n
(
)
(
)
2
1 11
1
2 12
2
1 21 1
2 22
2
0
0
m
u y
m
y
m
y
m
u y
δ
δ ω
δ
δ
−
+
=
+
−
=
(7.8)
H ph ng trình (7.8) là h ph ng trình thu n nh t i v i +n chuy*n v
1
2
;
y y
. ó là ph ng trình c b n c a dao ng riêng. T h ph ng trình này ta
xác nh
c tr s c a các t n s dao
ng riêng và ph ng trình dao
ng
riêng. Ta th y ngay nghi m t m th (ng v i
0
i
y
= nó s/ không thích h p v i bài
toán % ây. V&y i u ki n t n t i nghi m (t c là t n t i dao ng) là nh th c
các h s các +n b ng không.
(
)
(
)
1 11
2 12
1 21
2 22
0
m
u
m
m
m
u
δ
δ
δ
δ
−
=
−
(7.9)
nh th c này chính là ph ng trình b&c 2 i v i các u
i
khi xác nh
c u
i
thì
ta xác nh
c
i
ω
là t n s dao ng c a h có n b&c t do.
Ví d. 7.1
Cho d m có hai kh i l ng t&p trung m
1
= m
2
= m
(hình 7.2a) tìm t n s
dao ng riêng.
H có hai b&c t do, nên ph ng trình t n s có d ng
(
)
(
)
1 11
2 12
1 21
2 22
0
m
u
m
m
m
u
δ
δ
δ
δ
−
=
−
Áp d$ng công th c tính chuy*n v c a Macwell – Morh (ho c ph ng pháp
nhân bi*u ) ta có các chuy*n v n v :
$
&
&
&
I3 2
P 2
P 2
$
$
W
W
$
c $
-_
-. / c
$
56
3
1
1
11
3
2
2
22
4
.
.
243
4
.
.
243
l
M M
EI
l
M M
EI
δ
δ
=
=
=
=
3
1
2
12
7
.
.
486
l
M M
EI
δ
=
=
Sau khi tri*n khai nh th c và thay các tr s chuy*n v
n v vào ta
c
ph ng trình b&c hai:
(
)
(
)
2
2
1 11
2 22
1
2
11 22
12
0
u
u m
m
m m
δ
δ
δ δ
δ
−
+
+
+
=
Hay
2
2
3
3
3
2
2
4
4
7
. .2.
.
.
.
0
243
243
486
l
l
l
u
u m
m
EI
EI
EI
−
+
−
=
Nghi m c a ph ng trình:
3
1
1
3
1
3
2
2
3
2
5
1
.
;
5,69
162
1
1
.
;
22
486
ml
EI
u
EI
u
ml
ml
EI
u
EI
u
ml
ω
ω
=
→
=
=
=
→
=
=
7.3.2 Cách s
d ng tính ch t
i x ng c a h
C3ng t ng t nh bài toán n nh, trong bài toán dao ng công trình h
i x ng d ng chính c a dao ng riêng c3ng có hai lo i: Dao ng i x ng và
dao ng ph n x ng. Sau ó ta th c hi n chia h theo ph ng pháp c h c k t
c u và s0 d$ng nh th c * tính dao ng nh bình th (ng.
Ví d. 7.2
Cho d m có hai kh i l ng t&p trung m
1
= m
2
= m
(hình 7.3a) s0 d$ng tính
ch t i x ng c a h tìm t n s dao ng riêng.
I3 2
&
&
&
$
c &
-_
-. / c $
S0 d$ng tính ch t c a h i x ng ta chia h thanh h dao ng i x ng
và h dao ng ph n x ng
Khi a v xét n0a h ph ng trình t n s có d ng:
57
(
)
2
1 11
11
1
1
0
.
D
m
m
δ ω
ω
δ
=
−
= →
=
Trong ó:
Chuy*n v n v khi h i x ng
3
11
5
162
l
EI
δ
=
;
Chuy*n v n v khi h i x ng
3
11
486
l
EI
δ
=
;
T n s dao ng riêng d ng i x ng
3
11
1
5,69
.
EI
m
ml
ω
δ
=
=
;
T n s dao ng riêng d ng ph n x ng
3
11
1
22
.
EI
m
ml
ω
δ
=
=
;
&
U
U
&
Y
]Z
]K
e
'
Y
7 H ]Z
]K
e
'
&
W
7.5
Dao ông c 4ng b"c c0a h ch u l c P(t) = Psinrt
7.5.1
Nhi m v bài toán
a s tr (ng h p hay g p trong k thu&t, ng (i ta th (ng a các t i tr ng
P(t)
v d ng g n úng là dao ng i u hoà, ho c phân tích theo chu2i Fuarie.
Do v&y, vi c nghiên c u dao ng có l c kích thích là Psinrt hay Pcosrt là m t
bài toán c b n c a ng l c h c công trình.
4
ây ta xét l c kính thích thay i theo th(i gian trên m t chu k1, Vì v&y
k t c u ch u l c c3ng thay
i theo th(i gian nên n i l c và ng su t c3ng là
hàm thay i theo th(i gian:
( )
( )
( )
;
;
M
M t
N
N t
Q
Q t
=
=
=
Nh v&y nhi m v$ c b n c a bài toán dao ng c ng b c là:
1.
Ki*m tra hi n t ng công h %ng (s0 d$ng k t qu trong ph n nghi m c a
dao ng riêng)
2.
V/ bi*u biên c a n i l c ng và chuy*n v ng * ki*m tra
b n, c ng c a công trình.
7.5.2
Bi u th c n i l c ng và chuy n v ng
58
Nh ã bi t m t dao ng c ng b c bao g m hai thành ph n: Dao ng
riêng và dao ng c ng b c. Tuy nhiên sau m t th(i gian làm vi c thì dao ng
riêng s/ m t i do l c c n (dù là r t bé), do v&y sau m t th(i gian hay khi dao
ng n nh thì ch còn là dao ng c a l c kích thích.
Gi s0 khi dao ng h ch u tác ng c a các ngo i l c sau:
-
Các l c kích thích P(t);
-
Các l c quán tính
( )
( )
1
2
,
Z t Z t
tác d$ng t i kh i l ng theo ph ng
chuy*n v c a kh i l ng t ng ng;
4
th(i k1 ã n nh, t t c các y u t ph$ thu c vào l c kích thích nên:
( )
( )
sin
sin
k
k
i
i
S t
S
rt
Z t
Z
rt
=
=
Khi t i tr ng t c c tr thì n i l c c3ng t c c tr , bi*u th c c a n i l c ng:
2
1
2
.
.
...
.
k
kn
k
kP
n
S
S
S Z
S
Z
S
Z
=
+
+
+
+
(7.10)
Trong ó
kP
S
- n i l c t i ti t di n k do biên c a l c kích thích tác d$ng t'nh gây ra;
i
Z
- là biên l c quán tính t t i kh i l ng th i;
ki
S
- n i l c t i ti t di n k, do Z
i
=
1 tác d$ng t'nh t i kh i l ng th i gây ra;
T ng t , ta có bi*u th c c a chuy*n v c c i t i k
1 1
2
2
...
k
kP
k
k
kn
n
Z
Z
Z
δ
δ
δ
∆ = ∆ +
+
+
+
(7.11)
Trong ó
kP
∆ - chuy*n v t i ti t di n k do biên
c a l c kích thích tác d$ng t'nh gây ra;
ki
δ
- là chuy*n v t i k do biên l c kích thích tác d$ng t'nh t i kh i l ng
th i gây ra;
V&y v n còn t n t i cu i cùng là ph i xác nh các biên l c c a quán tính
1
2
, ...
n
Z Z
Z
.
7.5.3
H ph ng trình chính t#c xác nh các l c quán tính
4
th(i i*m t ng ng khi l c và chuy*n v t giá tr biên
, ph ng
trình có d ng:
1
1
2
2
2
1
.
.
...
.
...
.
0
k
k
kk
k
kn
n
kP
k
Z
Z
Z
Z
m r
δ
δ
δ
δ
+
+
+
−
+
+
+ ∆
=
(7.12)
v i
1,2,3...
k
n
=
L n l t cho
1,2,3...
k
n
=
, ta
c h ph ng trình:
59
*
11
1
12
2
1
1
*
21
1
22
2
2
2
*
1
1
2
2
2
.
.
...
.
0
.
.
...
.
0
..........................................................
.
.
...
.
0
n
n
P
n
n
P
n
n
nn
n
P
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
+
+
+
+ ∆
=
+
+
+
+ ∆
=
+
+
+
+ ∆
=
(7.13)
Trong ó:
*
2
1
kk
kk
k
m r
δ
δ
=
−
(7.14)
H ph ng trình (7.13) là h ph ng trình chính t"c * xác nh l c quán tính.
Th t th c hi n bài toán tìm n i l c và chuy n v
ng nh sau:
B c 1: Xác nh t n s dao ng riêng
i
ω
(th c hi n nh ví d$ 7.1)
B c 2: Xác nh biên c a l c quán tính s0 d$ng h ph ng trình (7.13)
Tìm các s h ng t do trong h b ng cách nhân bi*u Vêrêxaghin
1
1
2
2
1
2
11
22
12
1
11
.
;
.
,
.
,
.
P
M M
M M
M M
P
δ
δ
δ
δ
=
=
=
∆
=
*
2
1
kk
kk
k
m r
δ
δ
=
−
Thay vào gi i h ph ng trình chính t"c ta tìm
c
i
Z
B c 3: V/ bi*u mômen ng áp d$ng công th c:
1
1
2
2
.
.
d
P
M
M Z
M Z
M
=
+
+
H s ng t i m2i ti t di n
c xác nh theo các bi*u th c
d
d
P
M
K
M
=
Bi*u mô men t ng c ng:
*
tc
d
t
M
M
M
=
+
*
t
M
do tr ng l ng c a kh i l ng gây ra;
T bi*u mômen cu i cùng ta có th* xác nh b n, c ng;
Ví d. 7.3
V/ bi*u biên c a mômen ng trong d m do tác ng c a m t môt ,
l c li tâm c a kh i l ng môt khi quay là
5
P
kN
=
, s vòng quay c a môt là
n
= 480 vòng/phút, tr ng l ng c a môt G = 10 kN,
8880
I
=
cm
4
, E = 2,1.10
4
kN/cm
2
, g = 1000 cm/s
2
, l = 6 m. (B# qua kh i l ng c a tr ng l ng d m)
a. Xác nh t n s dao ng riêng
3
1
1
1
3
1
5
1
.
;
5,69
52,8
162
ml
EI
u
s
EI
u
ml
ω
−
=
→
=
=
=
60
3
1
2
2
3
2
1
1
.
;
22
204,4
486
ml
EI
u
s
EI
u
ml
ω
−
=
→
=
=
=
V i kh i l ng c a môt là
2
10
.
1
10
G
kN s
m
g
m
=
=
=
T n s dao ng c ng b c do môt l ch tâm gây ra
1
2
2.3,14.480
50
60
60
n
r
s
π
−
=
=
=
b. Xác nh biên c a l c quán tính
H ph ng trình chính t"c
c vi t d i d ng
*
11
1
12
2
1
*
21
1
22
2
2
.
.
0
.
.
0
P
P
Z
Z
Z
Z
δ
δ
δ
δ
+
+ ∆
=
+
+ ∆
=
Xác nh các h s trong h ph ng trình
$
c ,
-_
-. / c &
$
W
W
$
$
P 2
P 2
I3 2
&
&
&
$
; <
f
f
3
4
1
1
11
3
4
2
2
22
4
.
.
1,9.10
243
4
.
.
1,9.10
243
l
m
M M
EI
kN
l
m
M M
EI
kN
δ
δ
−
−
=
=
=
=
=
=
3
4
1
2
12
21
7
.
.
1,7.10
486
l
m
M M
EI
kN
δ
δ
−
=
=
=
=
Do ó
*
*
4
11
22
11
2
2
1
1
1,9.10
1.50
k
m r
δ
δ
δ
−
=
=
−
=
−
61
Xác nh
1
2
,
P
P
∆
∆ b ng bi*u th c
4
1
11
4
2
21
.
5.1,9.10
.
5.1,7.10
P
P
P
m
P
m
δ
δ
−
−
∆ =
=
∆
=
=
Thay vào h ph ng trình chính t"c gi i h ta tìm
c
1
2
25,7
25,7
Z
kN
Z
kN
=
=
V/ bi*u mômen ng áp d$ng công th c:
1
1
2
2
.
.
d
P
M
M Z
M Z
M
=
+
+
H s ng t i m2i ti t di n
c xác nh theo các bi*u th c
54,8
16,5
3,33
d
d
P
M
K
M
=
=
=
f
f
; <
$
&
&
&
I3 2
P
U Uc
9, Q
c 9
-_
-. / c &
5P
$
9Q 9
Bi*u mô men t ng c ng:
*
tc
d
t
M
M
M
=
+
*
t
M
do tr ng l ng c a kh i l ng gây ra;
$+
c U
-_
-. / c &
f
$+
f
cQ 9
c, Q
a
62
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N CH
NG 7
1.
Tìm hi*u nh ng k t c u có th* a v tính toán h có m t s b&c t do
trong th c t ?
2.
Th c hành tính toán gió ng và ng t?
63
CH
NG 8 DAO
NG C A KHUNG VÀ D M LIÊN T C
8.1 M& 'u
*
gi i bài toán v ng l c h c c a khung siêu t'nh và d m liên t$c ta có
th* ti n hành theo nhi u ph ng pháp khác nhau. Trong giáo trình này chúng ta
s/ ti n hành nghiên c u theo ph ng pháp chuy*n v nh ã quen bi t trong giáo
trình c h c k t c u.
8.2 Dùng ph *ng pháp chuy%n v % tính dao ng c0a khung
8.2.1 Dao
ng c
$ng b c
Khi nghiên c u ph ng pháp chuy*n v * gi i bài toán dao ng ta c3ng
th a nh&n các gi thi t khi s0 d$ng cho bài toán t'nh nh sau:
1. Nút khung là c ng tuy t i ngh'a là khi nút xoay m t góc
ϕ
thì thanh quy
t$ vào nút c3ng xoay m t góc t ng t (hình 8.1a);
2. Kho ng cách gi a các nút tr c và sau khi bi n d ng theo ph ng ban u là
không i (hình 8.1b);
3. Chuy*n v c a h là chuy*n v bé;
4. B# qua nh h %ng c a l c d c và l c c"t trong khi tính chuy*n v ;
ϕ
ϕ
ϕ
Q C
H
N V 7 >G
7 C7
B%6 -
Th t th c hi n bài toán
B c 1: H c b n % ây c3ng
c xác nh nh h c b n trong bài toán b n
c a c h c k t c u ch u t i tr ng tác d$ng t'nh.
B c 2: H chính t"c
(
)
1
1
2
2
.
.
...
.
0
1,2,3...
i
i
in
n
iP
r Z
r Z
r Z
R
i
+
+
+
+
=
=
(8.1)
Trong ó
i
Z
- là giá tr biên
ch a bi t c a nh ng chuy*n v góc ho c các chuy*n v
th)ng t i các nút khung (t i nh ng liên k t ph$ t vào);
64
ik
r
- tr s biên c a ph n l c t i liên k t ph$ th i do chuy*n v ng n v
( )
1.sin
k
Z
t
rt
=
t t i liên k t ph$ th k gây ra trong h c b n (tra b ng 8.1);
iP
R
- tr s biên c a ph n l c t i liên k t ph$ th i do các t i tr ng ng gây
ra trong h c% b n (tra b ng 8.2);
Theo ph ng trình (8.1) ta thi t l&p
c n ph ng trình chính t"c *
gi i
c Z
i
. Sau khi gi i
c các tr s
1
2
, ...
n
Z Z
Z
ta s/ tìm
c biên cu i
cùng c a biên theo nguyên lý c ng tác d$ng:
0
1
1
2
2
.
.
...
.
d
d
d
d
d
P
n
n
P
M
M Z
M Z
M Z
M
=
+
+
+
+
(8.2)
N u h có tính ch t i x ng thì ta có th* s0 d$ng phép
n gi n hoá *
gi m nh kh i l ng tính toán nh ã trình bày trong ch ng tr c.
8.2.2 Ph
ng trình biên
chuy n v và n i l c khi ch u t i tr ng c
$ng b c
a.
" i v i o n thanh liên t c không có b
c nh y
( )
(
)
'
0
0
0
0
2
3
4
1 ;
kz
kz
kz
kz
kz
y
M
Q
q
y z
y A
B
C
D
A
k
k EI
k EI
k EI
=
+
−
−
−
−
( )
'
0
0
0
0
2
2
3
'
;
kz
kz
kz
kz
kz
M
Q
q
y z
ky D
y A
B
C
D
k EI
k EI
k EI
=
+
−
−
−
(8.3)
( )
( )
2
'
0
0
0
0
2
''
;
kz
kz
kz
kz
kz
Q
q
M z
EIy
z
k EIy C
kEIy D
M A
B
C
k
k
= −
= −
−
+
+
+
Trong tr (ng h p t ng quát, gi s0 t i to z thanh có s thay i không
liên t$c t c là có b c nh y
;
'
ai
ai
y
y
∆
∆
(B c nh y v chuy*n v )
;
ai
ai
M
Q
∆
∆
(B c nh y v n i l c)
;
ai
q
∆
(B c nh y v t i tr ng)
Các ph ng trình chuy*n v và n i l c vi t cho o n th (m+1) có d ng
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
'
2
3
4
1 ;
m
m
ai
k z ai
ai
ai
ai
ai
k z ai
k z ai
k z ai
k z ai
y
z
y
z
y A
y
M
Q
q
B
C
D
A
k
k EI
k EI
k EI
+
−
−
−
−
−
=
+ ∆
+
∆
∆
∆
∆
+
−
−
−
−
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
'
0
2
2
3
'
;
m
m
ai
k z ai
ai
ai
ai
k z ai
k z ai
k z ai
k z ai
y
z
y
z
k y D
M
Q
q
y A
B
C
D
k EI
k EI
k EI
+
−
−
−
−
−
=
+ ∆
+
∆
∆
∆
+ ∆
−
−
−
(8.4)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
'
2
;
m
m
ai
k z ai
ai
ai
ai
ai
k z ai
k z ai
k z ai
k z ai
M
z
M
z
k EI y C
Q
q
kEI y D
M A
B
C
k
k
+
−
−
−
−
−
=
−
∆
−
∆
∆
−
∆
+ ∆
+
+
65
Ví d. 8.1
V/ bi*u
mômen u n
ng c a khung cho nh trên hình 8.2 cho bi t:
1
1
1
,
0,6
,
0,3
,
0,5
ab
ac
ad
EI
const
k
m
k
m
k
m
−
−
−
=
=
=
=
I3 2
; <
,
U
,
&
; <
Q $
-_
-. / Q
Q & ' G H
B c1: Ch n h c b n nh (hình 8.3)
B c 2: H ph ng trình chính t"c
11
1
1
.
0
P
r Z
R
+
=
Xác nh các h s trong ph ng trình chính t"c (tra b ng 8.1)
(
)
(
)
(
)
11
1
1
1
4
1
1
1
4
ab
ac
ad
ab
ac
ad
EI
r
EI
l
l
l
l
µ λ
µ λ
µ λ
=
=
+
+
Trong ó
.
0,6.6 3,6
.
0,3.4 1,2
.
0,5.4 2,0
ab
ab
ab
ac
ac
ac
ab
ab
ab
k l
k l
k l
λ
λ
λ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Tra b ng 5 ph n ph$ l$c ta tìm
c giá tr c a hàm s vòng
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
3,6
0,42845;
1,2
0,99505;
2,0
0,96083;
ab
ac
ad
µ λ
µ
µ λ
µ
µ λ
µ
=
=
=
=
=
=
Do ó
11
1
1
1
4
.0,12845
.0,99505
.0,96083
2,24151
6
4
4
r
EI
EI
=
+
+
=
Theo b ng tra (8.2) ta
c:
(
)
(
)
1
0
2
1
.
.
P
k l a
k l a
P
R
M
C D
D C
k
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
=
=
−
−
66
v i
2
4
.
m r
k
EI
=
(là h s c tr ng c a d m khi dao ng)
Thay s vào ta
c:
1
0
2
9,60477.0,98416 9,36399.1,66823
.
1,18024
0,6
9,60477
8,92147.9,36399
P
P
R
M
P
−
=
=
= −
−
Giá tr biên
c xác nh t ph ng trình chính t"c:
1
1
11
1,18024
0,526536
2,24151
P
R
P
Z
r
EI
EI
= −
=
=
B c 3: V/ bi*u mômen ng:
" i v i thanh a-b ta có các i u ki n ban
u trái c a thanh:
( )
( )
( )
'
0
1
0
1
0
0
0
0,526536
0
.
P
y
P
y
Z
EI
M
M Z
M
=
=
=
=
+
;
Trong ó
1
4.
.0,42845 0,285633
6
EI
M
EI
=
=
;
0
1
1,18024 ;
P
P
M
R
P
=
= −
Nên
( )
0
0,285663. .0,526536
1,18024
1,02984
P
M
EI
P
P
EI
=
−
= −
L c c"t
0
0
1
1
.
P
Q
Q Z
Q
=
+
T b ng tra (8.1) ta có
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
2
2
6
.
3,6
.
0,1672
6
6 6.
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
C
A
B
EI
EI
Q
EI
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε
−
= −
= −
=
−
T b ng tra (8.2) ta có
0
2
2
2
.
.
0,83145
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
P
C
C
B
D
Q
P
P
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
=
=
−
Do ó
0
0,1672 .0,526535
0,83145
0,919488
P
Q
EI
P
P
EI
=
+
=
Theo công th c (8.3) và (8.4) ta vi t
c ph ng trình biên
mômen
u n ng trong thanh a-b nh sau:
67
Khi 0
;
2
l
z
≤ ≤
( )
( )
1
1
0,919488
0,6 .0,526536.
.
1,02984
0,6
0,315922 .
1,02984 .
1,532 .
kz
kz
kz
kz
kz
kz
P
M
z
EI
D
PA
B
EI
M
z
P D
P A
P B
= −
−
+
= −
−
+
(a)
Khi
;
2
l
z
l
≤ ≤
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2
1
2
1
1
2
2
1,666667 .
0,6
a
k z a
l
l
k z
k z
Q
M
z
M
z
B
k
P
M
z
M
z
B
M
z
P B
−
−
−
∆
=
+
=
−
=
−
(b)
" i v i thanh d-a ta có các i u ki n ban
u trái c a thanh:
0,5;
2,0
ad
ad
k
λ
=
=
N u ch n g c to % u trái, ta có các thông s ban u:
( )
( )
( )
2
1
2
0
0;
0
2
0,278861 ;
4
EI
y
M
Z
P
µ
=
=
=
( )
( )
( )
2
1
2
6
' 0
0;
0
2
0,214378 ;
4
EI
y
Q
Z
P
ε
=
= −
= −
Theo công th c (8.3) và (8.4) ta vi t
c ph ng trình biên
mômen
u n ng trong thanh d-a nh sau:
( )
0,214378
0,278861 .
.
0,5
kz
kz
M z
P A
P A
=
−
" i v i thanh a-c
0,3;
1,5
ad
ad
k
λ
=
=
N u ch n g c to % u c, ta có các thông s ban u:
( )
( )
2
0
0;
0
1,00744.0,52654
0,265229 ;
4
EI
P
y
M
P
EI
=
=
=
( )
( )
2
6
' 0
0;
0
1,01075.0,52654
0,199575 ;
4
EI
y
Q
P
=
= −
= −
Theo công th c (8.3) và (8.4) ta vi t
c ph ng trình biên
mômen
u n ng trong thanh a-c nh sau:
( )
0,265229 .
0,66525 .
kz
kz
M z
P A
P A
=
−
L n l t cho z các giá tr khác nhau, theo b ng 4 ta có k t qu các giá tr
c a các hàm s vòng và t ó suy ra mômen u n ng trong b ng sau:
68
Tung bi%u 2 mômen u(n ng
z
Thanh a-b
Thanh d-a
Thanh c-a
0
-1,0298P
0,2789P
0,2652P
1
-0,1263P
2
0,6606P
-0,1418P
-0,1329P
3
1,2066P
4
0,4665P
-0,5059P
-0,5239P
5
-0,4848P
6
-1,5175P
Bi*u mômen u n ng:
Q , " 6B A R S B
; <
+ $cW
+ ,$
+ 9+U
9 Q
+ Q,,
$+
+ cWc
+&+
+ 9$,
+ $U9
; C
C b bM
8 -L
b <
CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N NHÓM CH
NG 8
1.
Các gi thi t khi tính toán dao ng khung?
2.
Th c hành tính toán dao ng khung khi ch u ng t?
69
B!ng 8.1
Tr s( biên mômen
Tr s( l c c6t
Th"
t
S* 2
( )
0
ab
M
M
=
( )
0
ba
M
M
=
( )
0
ab
Q
M
=
1
=
=
b
( )
1
4EI
l
µ λ
( )
2
2EI
l
µ λ
( )
1
2
6EI
l
ε λ
−
2
b
=
=
( )
3
2
6EI
l
µ λ
−
( )
4
2
6EI
l
µ λ
−
( )
4
3
12EI
l
ε λ
−
3
b
=
=
( )
5
3EI
l
µ λ
−
0
( )
5
2
3EI
l
ε λ
−
4
=
=
b
( )
6
2
3EI
l
µ λ
−
0
( )
6
3
3EI
l
ε λ
5
=
=
b
( )
7
2
3EI
l
µ λ
−
0
( )
7
3
3EI
l
ε λ
6
=
b
( )
8
EI
l
µ λ
( )
9
EI
l
µ λ
−
( )
9
2
EI
l
ε λ
70
B!ng 8.1 (ti$p)
Th" t
Các hàm s( trong các ph'n t7 m8u
1
1
2
.
;
4
B C
A D
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ
−
=
−
2
( )
( )
2
2
1
3
2
.
;
6
A C
B
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
µ λ
−
=
= −
−
3
( )
2
2
.
;
2
D
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
µ λ
=
−
4
( )
( )
2
2
4
2
.
;
6
C
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
µ λ
=
=
−
5
( )
3
3
2
.
;
12
A B
C D
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
−
=
−
6
( )
3
4
2
.
;
12
B
C
B D
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
=
−
7
( )
2
2
5
2
.
;
3
D
B
A D
B C
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ λ
−
=
−
8
( )
( )
2
5
6
.
;
3
A B
C D
A D
B C
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
µ λ
−
=
= −
−
9
( )
2
2
2
6
.
;
3
C
A
A D
B C
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
−
=
−
10
( )
2
7
.
;
3
B
A D
B C
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ λ
= −
−
11
( )
2
7
.
;
3
A
A D
B C
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
= −
−
12
( )
2
2
2
8
.
;
3
A
C
A B
C D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ λ
−
=
−
13
( )
2
2
8
.
;
3
B D
A
A D
B C
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
−
=
−
14
( )
9
.
;
A
A B
C D
λ
λ
λ
λ
λ
µ λ
λ
=
−
15
( )
2
9
.
;
B C
A D
A B
C D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε λ
λ
−
=
−
71
B!ng 8.2
Th"
t
S* 2
Công th"c xác nh biên c0a
n i l c và chuy%n v
1
=
=
+
+
b
(
)
(
)
0
1
.
.
:
k l a
k l a
P
M
C D
D C
k
λ
λ
−
−
=
−
∆
(
)
(
)
0
1
.
.
.
:
k l a
k l a
Q
P C C
B D
λ
λ
−
−
=
−
∆
[
]
1
.
.
:
l
ka
ka
P
M
D C
C D
k
λ
λ
=
−
∆
[
]
1
.
.
.
:
l
ka
ka
Q
P B D
C C
λ
λ
=
−
∆
2
b
+
+
=
=
(
)
2
0
1
2
.
1
:
l
q
M
M
C
A
D
k
λ
λ
λ
= −
=
−
−
∆
(
)
0
1
.
.
1 :
l
l
q
Q
Q
M
C D
B
A
k
λ
λ
λ
λ
= −
=
=
−
−
∆
3
b
+
+
=
=
%:
(
)
(
)
0
2
.
.
:
k l a
k l a
P
M
D B
B D
k
λ
λ
−
−
=
−
∆
(
)
(
)
0
2
.
.
.
:
k l a
k l a
Q
P A D
C B
λ
λ
−
−
=
−
∆
[
]
2
.
.
.
:
l
ka
ka
Q
P B C
A D
λ
λ
=
−
∆
[
]
'
2
2
:
l
ka
ka
P
y
C D
D C
k EI
λ
λ
=
−
∆
4
=
=
+
+
b
%:
(
)
0
2
2
.
.
1 :
q
M
C D
B
A
k
λ
λ
λ
λ
=
−
−
∆
(
)
2
0
2
.
.
1
:
q
Q
A
A
C
k
λ
λ
λ
=
−
−
∆
(
)
2
.
.
1
.
:
l
q
Q
A
A
B D
k
λ
λ
λ
λ
=
−
−
∆
(
)
'
2
2
2
1 :
l
P
y
D
C
A
k EI
λ
λ
λ
=
−
−
∆
5
b
+
+
=
=
%
+
(
)
(
)
0
3
.
.
:
k l a
k l a
P
M
A C
D D
k
λ
λ
−
−
=
−
∆
(
)
(
)
0
3
2
.
.
.
:
k l a
k l a
P
Y
B D
C C
k EI
λ
λ
−
−
=
−
∆
[
]
3
.
.
:
l
ka
ka
P
M
C A
A C
k
λ
λ
=
−
∆
[
]
3
.
.
.
:
l
ka
ka
Q
P D C
B A
λ
λ
=
−
∆
6
+
%
=
=
+
+
b
[ ]
2
0
3
/
:
M
q k
D
λ
=
∆
[
]
3
.
.
.
:
l
q
M
A D
B C
k
λ
λ
λ
λ
= −
−
∆
2
2
3
.
:
l
q
Q
D
B
k
λ
λ
=
−
∆
(
)
4
0
3
/
.
.
1 :
y
P k EI C D
B
A
λ
λ
λ
λ
=
−
−
∆
2
1
2
3
;
;
C
B D
A D
B C
A B
C D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
∆ =
−
∆ =
−
∆ =
−
72
PH L C
B NG GIÁ TR C A CÁC HÀM S
( )
( )
( )
1
2
3 1
1
6
1
1
3
.
;
.
;
1
sin
tgv
v
v
v
v
v
tgv
v
v
v
v
v
α
β
θ
=
−
=
−
=
−
( )
( )
2
3
2
2
3
2
6
1
1
;
cos
cos
tgv
tgv
v
vtgv
v
v
v
v
v
v
v
θ
θ
=
+
−
+
=
−
B!ng 1
v
( )
v
α
( )
v
β
( )
1
v
θ
( )
2
v
θ
( )
3
v
θ
( )
tg v
0,00
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,0000
0,20
1,0027
1,0047
1,0163
1,0061
1,0183
0,20271
0,40
1,0108
1,0190
1,0684
1,0255
1,0771
0,42279
0,60
1,0249
1,0437
1,1686
1,0621
1,1900
0,68414
0,80
1,0454
1,0801
1,3455
1,1255
1,3901
1,02964
1,00
1,0737
1,1304
1,6722
1,2396
1,7604
1,55741
1,10
1,0912
1,1617
1,9491
1,3343
2,0750
1,96476
1,20
1,1114
1,1979
2,3822
1,4805
2,5677
2,57215
1,30
1,1345
1,2396
3,1435
1,7342
3,4349
3,60210
1,40
1,1610
1,2878
4,8082
2,2828
5,3331
5,79788
1,50
1,1915
1,3434
11,2013
4,3725
12,6290
14,10142
π/2
1,2159
1,3880
∞
∞
∞
∞
1,60
1,2266
1,4078
-26,2445
-7,8201
-30,1214
-34,23253
1,70
1,2673
1,4830
-5,7378
-1,1305
-6,7139
-7,69660
1,80
1,3148
1,5710
-3,1308
-0,2720
-3,7409
-4,28626
1,90
1,3704
1,6750
-2,1113
0,0701
-2,5805
-2,92710
2,00
1,4365
1,7993
-1,5694
0,2575
-1,9657
-2,18504
2,02
1,4512
1,8270
-1,4902
0,2856
-1,8762
-2,07437
2,04
1,4664
1,8558
-1,4179
0,3115
-1,7944
-1,97252
2,06
1,4822
1,8858
-1,3516
0,3355
-1,7195
-1,87841
2,08
1,4987
1,9169
-1,2905
0,3579
-1,6507
-1,79111
2,10
1,5158
1,9494
-1,2342
0,3787
-1,5872
-1,70985
2,12
1,5335
1,9832
-1,1820
0,3982
-1,5285
-1,63396
2,14
1,5521
2,0184
-1,1335
0,4166
-1,4741
-1,56288
2,16
1,5713
2,0551
-1,0884
0,4339
-1,4235
-1,49610
2,18
1,5914
2,0935
-1,0463
0,4503
-1,3763
-1,43321
2,20
1,6124
2,1336
-1,0069
0,4659
-1,3324
-1,37382
2,22
1,6343
2,1755
-0,9700
0,4807
-1,2912
-1,31761
2,24
1,6572
2,2194
-0,9354
0,4948
-1,2526
-1,26429
2,26
1,6812
2,2653
-0,9028
0,5083
-1,2165
-1,21359
73
2,28
1,7062
2,3135
-0,8721
0,5212
-1,1824
-1,16530
2,30
1,7325
2,3641
-0,8431
0,5336
-1,1504
-1,11921
2,32
1,7601
2,4172
-0,8157
0,5456
-1,1202
-1,07514
2,34
1,7891
2,4731
-0,7897
0,5571
-1,0917
-1,03293
2,36
1,8195
2,5319
-0,7651
0,5683
-1,0647
-0,99242
2,38
1,8516
2,5940
-0,7418
0,5791
-1,0392
-0,95349
2,40
1,8854
2,6595
-0,7196
0,5897
-1,0151
-0,91601
2,42
1,9212
2,7287
-0,6985
0,5999
-0,9921
-0,87989
2,44
1,9589
2,8021
-0,6784
0,6099
-0,9704
-0,84501
2,46
1,9989
2,8798
-0,6592
0,6196
-0,9497
-0,81130
2,48
2,0413
2,9624
-0,6409
0,6291
-0,9301
-0,77866
2,50
2,0864
3,0502
-0,6234
0,6384
-0,9114
-0,74702
2,52
2,1344
3,1438
-0,6067
0,6476
-0,8936
-0,71632
2,54
2,1855
3,2438
-0,5907
0,6566
-0,8767
-0,68648
2,56
2,2402
3,3508
-0,5753
0,6654
-0,8605
-0,65745
2,58
2,2988
3,4656
-0,5606
0,6741
-0,8451
-0,62917
2,60
2,3618
3,5890
-0,5465
0,6828
-0,8304
-0,60160
2,62
2,4295
3,7221
-0,5329
0,6913
-0,8164
-0,57468
2,64
2,5027
3,8659
-0,5199
0,6997
-0,8030
-0,54837
2,66
2,5819
4,0218
-0,5073
0,7081
-0,7902
-0,52264
2,68
2,6680
4,1914
-0,4952
0,7164
-0,7780
-0,49743
2,70
2,7619
4,3766
-0,4836
0,7246
-0,7663
-0,47273
2,72
2,8648
4,5795
-0,4724
0,7328
-0,7551
-0,44848
2,74
2,9778
4,8029
-0,4615
0,7410
-0,7444
-0,42467
2,76
3,1027
5,0499
-0,4511
0,7491
-0,7342
-0,40126
2,78
3,2414
5,3245
-0,4410
0,7572
-0,7244
-0,37822
2,80
3,3963
5,6315
-0,4312
0,7654
-0,7151
-0,35553
2,82
3,5704
5,9769
-0,4218
0,7735
-0,7061
-0,33316
2,84
3,7676
6,3685
-0,4127
0,7817
-0,6976
-0,31108
2,86
3,9928
6,8160
-0,4039
0,7898
-0,6894
-0,28928
2,88
4,2525
7,3322
-0,3953
0,7980
-0,6816
-0,26773
2,90
4,5550
7,9343
-0,3870
0,8063
-0,6742
-0,24641
2,92
4,9121
8,6455
-0,3790
0,8146
-0,6670
-0,22529
2,94
5,3401
9,4982
-0,3712
0,8229
-0,6603
-0,20437
2,96
5,8622
10,5393
-0,3636
0,8313
-0,6538
-0,18362
2,98
6,5134
11,8386
-0,3563
0,8398
-0,6476
-0,16301
3,00
7,3486
13,5057
-0,3492
0,8484
-0,6417
-0,14255
3,02
8,4583
15,7219
-0,3422
0,8570
-0,6361
-0,12220
3,04
10,0049
18,8117
-0,3355
0,8657
-0,6308
-0,10194
3,06
12,3094
23,4173
-0,3290
0,8746
-0,6258
-0,08177
3,08
16,1102
31,0155
-0,3226
0,8835
-0,6210
-0,06167
74
3,10
23,5659
45,9233
-0,3164
0,8926
-0,6165
-0,04162
3,12
44,8321
88,4522
-0,3103
0,9018
-0,6122
-0,02160
π
∞
∞
-0,3044
0,9111
-0,6082
-0,00159
3,16
-51,2692
-103,7576
-0,2987
0,9206
-0,6045
0,01841
3,18
-24,2542
-49,7312
-0,2931
0,9303
-0,6009
0,03843
3,20
-15,7398
-32,7063
-0,2876
0,9401
-0,5976
0,05847
3,22
-11,5688
-24,3681
-0,2823
0,9501
-0,5946
0,07857
3,24
-9,0929
-19,4202
-0,2771
0,9602
-0,5918
0,09873
3,26
-7,4532
-16,1447
-0,2720
0,9706
-0,5892
0,11896
3,28
-6,2872
-13,8166
-0,2670
0,9812
-0,5868
0,13930
3,30
-5,4154
-12,0770
-0,2621
0,9920
-0,5846
0,15975
3,32
-4,7389
-10,7281
-0,2574
1,0030
-0,5827
0,18032
3,34
-4,1986
-9,6517
-0,2527
1,0143
-0,5810
0,20105
3,36
-3,7571
-8,7729
-0,2482
1,0258
-0,5795
0,22195
3,38
-3,3895
-8,0421
-0,2437
1,0377
-0,5782
0,24303
3,40
-3,0787
-7,4248
-0,2393
1,0498
-0,5772
0,26432
3,42
-2,8124
-6,8966
-0,2351
1,0622
-0,5764
0,28583
3,44
-2,5817
-6,4397
-0,2308
1,0749
-0,5758
0,30759
3,46
-2,3798
-6,0405
-0,2267
1,0880
-0,5755
0,32962
3,48
-2,2017
-5,6889
-0,2227
1,1014
-0,5753
0,35195
3,50
-2,0433
-5,3768
-0,2187
1,1152
-0,5755
0,37459
3,50
-2,0433
-5,3768
-0,2187
1,1152
-0,5755
0,37459
3,52
-1,9016
-5,0981
-0,2148
1,1294
-0,5758
0,39757
3,54
-1,7740
-4,8477
-0,2109
1,1440
-0,5764
0,42092
3,56
-1,6584
-4,6215
-0,2071
1,1591
-0,5773
0,44466
3,58
-1,5533
-4,4163
-0,2034
1,1747
-0,5784
0,46884
3,60
-1,4573
-4,2293
-0,1998
1,1907
-0,5797
0,49347
3,62
-1,3691
-4,0582
-0,1961
1,2073
-0,5814
0,51859
3,64
-1,2879
-3,9011
-0,1926
1,2244
-0,5833
0,54424
3,66
-1,2129
-3,7564
-0,1890
1,2421
-0,5855
0,57045
3,68
-1,1434
-3,6227
-0,1856
1,2604
-0,5880
0,59727
3,70
-1,0787
-3,4989
-0,1821
1,2795
-0,5908
0,62473
3,72
-1,0184
-3,3839
-0,1787
1,2992
-0,5939
0,65289
3,74
-0,9620
-3,2768
-0,1754
1,3196
-0,5974
0,68180
3,76
-0,9092
-3,1769
-0,1720
1,3409
-0,6012
0,71151
3,78
-0,8595
-3,0835
-0,1687
1,3630
-0,6053
0,74207
3,80
-0,8128
-2,9961
-0,1655
1,3861
-0,6099
0,77356
3,82
-0,7687
-2,9140
-0,1622
1,4101
-0,6149
0,80603
3,84
-0,7271
-2,8369
-0,1590
1,4351
-0,6203
0,83957
3,86
-0,6876
-2,7643
-0,1557
1,4613
-0,6261
0,87425
3,88
-0,6502
-2,6959
-0,1525
1,4887
-0,6324
0,91017
75
3,90
-0,6147
-2,6314
-0,1493
1,5173
-0,6392
0,94742
3,92
-0,5809
-2,5704
-0,1461
1,5474
-0,6466
0,98612
3,94
-0,5486
-2,5127
-0,1429
1,5789
-0,6545
1,02636
3,96
-0,5178
-2,4580
-0,1397
1,6121
-0,6631
1,06830
3,98
-0,4884
-2,4062
-0,1365
1,6470
-0,6723
1,11206
4,00
-0,4603
-2,3570
-0,1332
1,6838
-0,6823
1,15782
4,02
-0,4333
-2,3103
-0,1300
1,7227
-0,6930
1,20575
4,04
-0,4074
-2,2660
-0,1267
1,7639
-0,7045
1,25604
4,06
-0,3825
-2,2238
-0,1233
1,8074
-0,7169
1,30893
4,08
-0,3586
-2,1836
-0,1199
1,8537
-0,7304
1,36467
4,10
-0,3355
-2,1453
-0,1165
1,9030
-0,7449
1,42353
4,20
-0,2317
-1,9792
-0,0981
2,2057
-0,8378
1,77778
4,30
-0,1430
-1,8475
-0,0760
2,6529
-0,9821
2,28585
4,40
-0,0652
-1,7429
-0,0459
3,3835
-1,2265
3,09632
4,50
0,0044
-1,6603
0,0045
4,7980
-1,7109
4,63733
4,60
0,0682
-1,5962
0,1313
8,7215
-3,0744
8,86017
4,70
0,1279
-1,5483
2,1964
75,9114
-26,5890
80,71276
4,80
0,1851
-1,5152
-0,4390
-10,2704
3,5939
-11,38487
4,90
0,2412
-1,4963
-0,2593
-4,5742
1,6085
-5,26749
5,00
0,2975
-1,4914
-0,2011
-2,8355
1,0083
-3,38052
5,10
0,3555
-1,5014
-0,1707
-1,9912
0,7211
-2,44939
5,20
0,4169
-1,5280
-0,1512
-1,4908
0,5541
-1,88564
5,30
0,4838
-1,5738
-0,1371
-1,1585
0,4458
-1,50127
5,40
0,5592
-1,6436
-0,1261
-0,9209
0,3706
-1,21754
5,50
0,6470
-1,7446
-0,1171
-0,7417
0,3158
-0,99558
5,60
0,7538
-1,8886
-0,1096
-0,6010
0,2745
-0,81394
5,70
0,8901
-2,0962
-0,1030
-0,4868
0,2426
-0,65973
5,80
1,0750
-2,4050
-0,0972
-0,3917
0,2176
-0,52467
5,90
1,3476
-2,8924
-0,0921
-0,3105
0,1976
-0,40311
6,00
1,8015
-3,7456
-0,0874
-0,2398
0,1817
-0,29101
6,10
2,7353
-5,5609
-0,0831
-0,1769
0,1689
-0,18526
2π
∞
∞
-0,0760
-0,0760
0,1520
0,00000
B NG GIÁ TR C A CÁC HÀM S DÙNG 9 TÍNH N NH CÔNG TRÌNH
THEO PH
NG PHÁP CHUY9N V
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2
1
2
3
sin
;
;
;
3
8
4sin
2 2
2 2
v tgv
v
v v
v
v tgv
v
v
v
v
v
v
v
tgv
v
tgv tg
v tg
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
=
=
=
−
−
−
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
3
4
4
1
2
1
3
4
;
;
;
2
3
2
v
v
v
v
v
v
v
v
tgv
v
ϕ
ϕ
η
η
η
η
ϕ
=
=
=
=
−
.
76
B!ng 2
v
( )
1
v
ϕ
( )
2
v
ϕ
( )
3
v
ϕ
( )
4
v
ϕ
( )
1
v
η
( )
2
v
η
0,00
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,20
0,9973
0,9987
1,0007
0,9993
0,9840
0,9960
0,40
0,9893
0,9947
1,0027
0,9973
0,9360
0,9840
0,60
0,9757
0,9879
1,0061
0,9940
0,8557
0,9640
0,80
0,9565
0,9785
1,0109
0,9893
0,7432
0,9360
1,00
0,9313
0,9662
1,0172
0,9832
0,5980
0,8999
1,10
0,9164
0,9590
1,0209
0,9797
0,5131
0,8788
1,20
0,8998
0,9511
1,0251
0,9757
0,4198
0,8557
1,30
0,8814
0,9424
1,0297
0,9715
0,3181
0,8307
1,40
0,8613
0,9329
1,0348
0,9669
0,2080
0,8035
1,50
0,8393
0,9227
1,0403
0,9619
0,0893
0,7744
π/2
0,8225
0,9149
1,0445
0,9581
0,0000
0,7525
1,60
0,8152
0,9116
1,0463
0,9565
-0,0381
0,7432
1,70
0,7891
0,8998
1,0529
0,9508
-0,1743
0,7100
1,80
0,7606
0,8871
1,0600
0,9447
-0,3194
0,6747
1,90
0,7297
0,8735
1,0676
0,9382
-0,4736
0,6374
2,00
0,6961
0,8590
1,0760
0,9313
-0,6372
0,5980
2,02
0,6891
0,8560
1,0777
0,9299
-0,6710
0,5899
2,04
0,6819
0,8530
1,0795
0,9285
-0,7053
0,5817
2,06
0,6747
0,8499
1,0813
0,9270
-0,7399
0,5734
2,08
0,6673
0,8468
1,0831
0,9256
-0,7749
0,5650
2,10
0,6597
0,8436
1,0849
0,9241
-0,8103
0,5566
2,12
0,6521
0,8404
1,0868
0,9226
-0,8461
0,5480
2,14
0,6443
0,8372
1,0887
0,9210
-0,8822
0,5394
2,16
0,6364
0,8339
1,0907
0,9195
-0,9188
0,5307
2,18
0,6284
0,8306
1,0926
0,9180
-0,9558
0,5219
2,20
0,6202
0,8273
1,0946
0,9164
-0,9931
0,5131
2,22
0,6119
0,8239
1,0967
0,9148
-1,0309
0,5041
2,24
0,6034
0,8204
1,0987
0,9132
-1,0691
0,4951
2,26
0,5948
0,8170
1,1008
0,9116
-1,1077
0,4859
2,28
0,5861
0,8134
1,1030
0,9099
-1,1467
0,4767
2,30
0,5772
0,8099
1,1051
0,9083
-1,1861
0,4675
2,32
0,5681
0,8063
1,1073
0,9066
-1,2260
0,4581
2,34
0,5589
0,8026
1,1095
0,9049
-1,2663
0,4486
2,36
0,5496
0,7990
1,1118
0,9032
-1,3069
0,4391
2,38
0,5401
0,7952
1,1141
0,9015
-1,3481
0,4295
2,40
0,5304
0,7915
1,1164
0,8998
-1,3896
0,4198
2,42
0,5205
0,7877
1,1188
0,8980
-1,4316
0,4100
2,44
0,5105
0,7838
1,1212
0,8963
-1,4740
0,4001
2,46
0,5003
0,7799
1,1236
0,8945
-1,5169
0,3902
77
2,48
0,4899
0,7760
1,1261
0,8927
-1,5603
0,3801
2,50
0,4793
0,7720
1,1286
0,8908
-1,6040
0,3700
2,52
0,4685
0,7679
1,1311
0,8890
-1,6483
0,3598
2,54
0,4576
0,7638
1,1337
0,8871
-1,6930
0,3495
2,56
0,4464
0,7597
1,1363
0,8853
-1,7381
0,3391
2,58
0,4350
0,7555
1,1390
0,8834
-1,7838
0,3287
2,60
0,4234
0,7513
1,1417
0,8814
-1,8299
0,3181
2,62
0,4116
0,7470
1,1445
0,8795
-1,8765
0,3075
2,64
0,3996
0,7427
1,1473
0,8776
-1,9236
0,2968
2,66
0,3873
0,7383
1,1501
0,8756
-1,9712
0,2860
2,68
0,3748
0,7339
1,1530
0,8736
-2,0193
0,2751
2,70
0,3621
0,7295
1,1559
0,8716
-2,0679
0,2641
2,72
0,3491
0,7249
1,1589
0,8696
-2,1171
0,2531
2,74
0,3358
0,7204
1,1619
0,8675
-2,1667
0,2419
2,76
0,3223
0,7158
1,1650
0,8655
-2,2169
0,2307
2,78
0,3085
0,7111
1,1681
0,8634
-2,2676
0,2194
2,80
0,2944
0,7064
1,1712
0,8613
-2,3189
0,2080
2,82
0,2801
0,7016
1,1744
0,8592
-2,3707
0,1965
2,84
0,2654
0,6967
1,1777
0,8571
-2,4231
0,1849
2,86
0,2504
0,6918
1,1810
0,8549
-2,4761
0,1733
2,88
0,2352
0,6869
1,1844
0,8527
-2,5296
0,1615
2,90
0,2195
0,6819
1,1878
0,8505
-2,5838
0,1497
2,92
0,2036
0,6769
1,1913
0,8483
-2,6386
0,1378
2,94
0,1873
0,6717
1,1948
0,8461
-2,6939
0,1258
2,96
0,1706
0,6666
1,1984
0,8438
-2,7499
0,1137
2,98
0,1535
0,6613
1,2020
0,8416
-2,8066
0,1015
3,00
0,1361
0,6560
1,2057
0,8393
-2,8639
0,0893
3,02
0,1182
0,6507
1,2095
0,8370
-2,9219
0,0769
3,04
0,1000
0,6453
1,2133
0,8346
-2,9806
0,0645
3,06
0,0812
0,6398
1,2172
0,8323
-3,0400
0,0520
3,08
0,0621
0,6343
1,2211
0,8299
-3,1001
0,0394
3,10
0,0424
0,6287
1,2251
0,8275
-3,1609
0,0267
3,12
0,0223
0,6230
1,2292
0,8251
-3,2225
0,0139
π
0,0017
0,6173
1,2334
0,8227
-3,2849
0,0010
3,16
-0,0195
0,6115
1,2376
0,8202
-3,3480
-0,0119
3,18
-0,0412
0,6057
1,2419
0,8177
-3,4120
-0,0250
3,20
-0,0635
0,5997
1,2462
0,8152
-3,4769
-0,0381
3,22
-0,0864
0,5937
1,2506
0,8127
-3,5426
-0,0513
3,24
-0,1100
0,5877
1,2551
0,8102
-3,6092
-0,0646
3,26
-0,1342
0,5816
1,2597
0,8076
-3,6767
-0,0780
3,28
-0,1591
0,5753
1,2644
0,8050
-3,7452
-0,0915
3,30
-0,1847
0,5691
1,2691
0,8024
-3,8147
-0,1051
3,32
-0,2110
0,5627
1,2739
0,7998
-3,8852
-0,1187
78
3,34
-0,2382
0,5563
1,2788
0,7971
-3,9567
-0,1325
3,36
-0,2662
0,5498
1,2838
0,7945
-4,0294
-0,1463
3,38
-0,2950
0,5432
1,2889
0,7918
-4,1032
-0,1603
3,40
-0,3248
0,5366
1,2940
0,7891
-4,1781
-0,1743
3,42
-0,3556
0,5298
1,2993
0,7863
-4,2544
-0,1884
3,44
-0,3873
0,5230
1,3046
0,7835
-4,3319
-0,2026
3,46
-0,4202
0,5161
1,3100
0,7808
-4,4107
-0,2169
3,48
-0,4542
0,5091
1,3156
0,7779
-4,4910
-0,2313
3,50
-0,4894
0,5021
1,3212
0,7751
-4,5727
-0,2457
3,50
-0,4894
0,5021
1,3212
0,7751
-4,5727
-0,2457
3,52
-0,5259
0,4949
1,3269
0,7723
-4,6560
-0,2603
3,54
-0,5637
0,4877
1,3327
0,7694
-4,7409
-0,2749
3,56
-0,6030
0,4804
1,3387
0,7665
-4,8275
-0,2897
3,58
-0,6438
0,4730
1,3447
0,7635
-4,9159
-0,3045
3,60
-0,6862
0,4655
1,3509
0,7606
-5,0062
-0,3194
3,62
-0,7304
0,4579
1,3571
0,7576
-5,0985
-0,3344
3,64
-0,7764
0,4502
1,3635
0,7546
-5,1930
-0,3495
3,66
-0,8244
0,4424
1,3700
0,7516
-5,2896
-0,3647
3,68
-0,8746
0,4345
1,3766
0,7485
-5,3887
-0,3800
3,70
-0,9270
0,4265
1,3834
0,7455
-5,4904
-0,3954
3,72
-0,9819
0,4184
1,3902
0,7424
-5,5947
-0,4108
3,74
-1,0395
0,4102
1,3973
0,7392
-5,7020
-0,4264
3,76
-1,0999
0,4019
1,4044
0,7361
-5,8124
-0,4421
3,78
-1,1634
0,3935
1,4117
0,7329
-5,9262
-0,4578
3,80
-1,2303
0,3850
1,4191
0,7297
-6,0436
-0,4736
3,82
-1,3008
0,3764
1,4266
0,7265
-6,1650
-0,4896
3,84
-1,3754
0,3676
1,4344
0,7232
-6,2906
-0,5056
3,86
-1,4542
0,3588
1,4422
0,7199
-6,4208
-0,5217
3,88
-1,5379
0,3498
1,4502
0,7166
-6,5561
-0,5379
3,90
-1,6269
0,3407
1,4584
0,7133
-6,6969
-0,5542
3,92
-1,7216
0,3315
1,4668
0,7099
-6,8437
-0,5706
3,94
-1,8228
0,3221
1,4753
0,7065
-6,9973
-0,5871
3,96
-1,9311
0,3126
1,4840
0,7031
-7,1583
-0,6037
3,98
-2,0474
0,3030
1,4928
0,6996
-7,3275
-0,6204
4,00
-2,1726
0,2933
1,5019
0,6961
-7,5060
-0,6372
4,02
-2,3079
0,2834
1,5111
0,6926
-7,6947
-0,6541
4,04
-2,4546
0,2734
1,5205
0,6891
-7,8952
-0,6710
4,06
-2,6143
0,2632
1,5302
0,6855
-8,1088
-0,6881
4,08
-2,7887
0,2529
1,5400
0,6819
-8,3375
-0,7053
4,10
-2,9802
0,2424
1,5501
0,6783
-8,5836
-0,7225
4,20
-4,3156
0,1878
1,6037
0,6597
-10,1956
-0,8103
4,30
-6,9947
0,1287
1,6636
0,6404
-13,1581
-0,9005
4,40
-15,3271
0,0648
1,7310
0,6202
-21,7805
-0,9931
4,50
227,9292
-0,0048
1,8070
0,5991
221,1792
-1,0884
79
4,60
14,6693
-0,0809
1,8933
0,5772
7,6160
-1,1861
4,70
7,8186
-0,1645
1,9920
0,5543
0,4553
-1,2865
4,80
5,4023
-0,2572
2,1056
0,5304
-2,2777
-1,3896
4,90
4,1463
-0,3607
2,2375
0,5054
-3,8570
-1,4954
5,00
3,3615
-0,4772
2,3923
0,4793
-4,9719
-1,6040
5,10
2,8130
-0,6099
2,5757
0,4520
-5,8570
-1,7155
5,20
2,3986
-0,7629
2,7960
0,4234
-6,6147
-1,8299
5,30
2,0668
-0,9422
3,0648
0,3935
-7,2965
-1,9474
5,40
1,7884
-1,1563
3,3989
0,3621
-7,9316
-2,0679
5,50
1,5455
-1,4182
3,8236
0,3291
-8,5379
-2,1917
5,60
1,3266
-1,7481
4,3794
0,2944
-9,1268
-2,3189
5,70
1,1235
-2,1803
5,1346
0,2580
-9,7065
-2,4495
5,80
0,9302
-2,7777
6,2139
0,2195
-10,2831
-2,5838
5,90
0,7421
-3,6679
7,8727
0,1790
-10,8613
-2,7219
6,00
0,5551
-5,1594
10,7270
0,1361
-11,4449
-2,8639
6,10
0,3656
-8,2336
16,7392
0,0907
-12,0377
-3,0102
2π
0,0000
∞
∞
0,0000
-13,1595
-3,2899
B NG CÁC HÀM S
B!ng 3
v
v/tgv
v/sinv
vtgv
cosv
sinv
0,00
1,0000
1,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,20
0,98663
1,00670
0,04054
0,98007
0,19867
0,40
0,94609
1,02717
0,16912
0,92106
0,38942
0,60
0,87702
1,06262
0,41048
0,82534
0,56464
0,80
1,00
0,64209
1,18840
1,55741
0,54030
0,84147
1,10
0,55986
1,23428
2,16124
0,45360
0,89121
1,20
0,46654
1,28750
3,08658
0,36236
0,93204
1,30
0,36090
1,34917
4,68273
0,26750
0,96356
1,50
0,10637
1,50377
21,15213
0,07074
0,99749
π/2
0,00125
1,57000
1971,55198
0,00080
1,00000
1,60
-0,04674
1,60068
-54,77205
-0,02920
0,99957
1,70
-0,22088
1,71429
-13,08422
-0,12884
0,99166
1,80
-0,41995
1,84834
-7,71527
-0,22720
0,97385
1,90
-0,64911
2,00782
-5,56149
-0,32329
0,94630
2,00
-0,91532
2,19950
-4,37008
-0,41615
0,90930
2,02
-0,97379
2,24247
-4,19023
-0,43425
0,90079
2,04
-1,03421
2,28718
-4,02395
-0,45218
0,89193
2,06
-1,09667
2,33373
-3,86952
-0,46992
0,88271
2,08
-1,16129
2,38223
-3,72550
-0,48748
0,87313
80
2,10
-1,22818
2,43278
-3,59068
-0,50485
0,86321
2,12
-1,29746
2,48552
-3,46400
-0,52201
0,85294
2,14
-1,36927
2,54057
-3,34456
-0,53896
0,84233
2,16
-1,44375
2,59808
-3,23158
-0,55570
0,83138
2,18
-1,52106
2,65820
-3,12440
-0,57221
0,82010
2,20
-1,60137
2,72110
-3,02241
-0,58850
0,80850
2,22
-1,68487
2,78696
-2,92510
-0,60455
0,79657
2,24
-1,77175
2,85599
-2,83201
-0,62036
0,78432
2,26
-1,86224
2,92840
-2,74272
-0,63592
0,77175
2,28
-1,95657
3,00442
-2,65689
-0,65123
0,75888
2,30
-2,05501
3,08433
-2,57419
-0,66628
0,74571
2,32
-2,15786
3,16840
-2,49433
-0,68106
0,73223
2,34
-2,26541
3,25694
-2,41704
-0,69556
0,71846
2,36
-2,37803
3,35032
-2,34211
-0,70979
0,70441
2,38
-2,49610
3,44890
-2,26930
-0,72374
0,69007
2,40
-2,62005
3,55312
-2,19843
-0,73739
0,67546
2,42
-2,75034
3,66344
-2,12933
-0,75075
0,66058
2,44
-2,88752
3,78040
-2,06184
-0,76382
0,64543
2,46
-3,03217
3,90457
-1,99580
-0,77657
0,63003
2,48
-3,18496
4,03663
-1,93108
-0,78901
0,61437
2,50
-3,34662
4,17730
-1,86756
-0,80114
0,59847
2,52
-3,51800
4,32744
-1,80512
-0,81295
0,58233
2,54
-3,70005
4,48798
-1,74365
-0,82444
0,56596
2,56
-3,89385
4,66001
-1,68306
-0,83559
0,54936
2,58
-4,10064
4,84475
-1,62326
-0,84641
0,53253
2,60
-4,32183
5,04363
-1,56415
-0,85689
0,51550
2,62
-4,55907
5,25828
-1,50566
-0,86703
0,49826
2,64
-4,81425
5,49059
-1,44770
-0,87682
0,48082
2,66
-5,08958
5,74277
-1,39021
-0,88626
0,46319
2,68
-5,38765
6,01741
-1,33312
-0,89534
0,44537
2,70
-5,71153
6,31756
-1,27636
-0,90407
0,42738
2,72
-6,06487
6,64689
-1,21988
-0,91244
0,40921
2,74
-6,45204
7,00974
-1,16360
-0,92044
0,39088
2,76
-6,87832
7,41140
-1,10748
-0,92807
0,37240
2,78
-7,35018
7,85834
-1,05146
-0,93533
0,35376
2,80
-7,87557
8,35850
-0,99548
-0,94222
0,33499
2,82
-8,46445
8,92185
-0,93951
-0,94873
0,31608
2,84
-9,12942
9,56096
-0,88347
-0,95486
0,29704
2,86
-9,88663
10,29199
-0,82734
-0,96061
0,27789
2,88
-10,75720
11,13606
-0,77106
-0,96598
0,25862
2,90
-11,76922
12,12125
-0,71458
-0,97096
0,23925
81
2,92
-12,96094
13,28579
-0,65785
-0,97555
0,21978
2,94
-14,38577
14,68312
-0,60084
-0,97975
0,20023
2,96
-16,12065
16,39015
-0,54350
-0,98356
0,18060
2,98
-18,28064
18,52194
-0,48578
-0,98697
0,16089
3,00
-21,04576
21,25850
-0,42764
-0,98999
0,14112
3,02
-24,71450
24,89833
-0,36903
-0,99262
0,12129
3,04
-29,82041
29,97496
-0,30991
-0,99484
0,10142
3,06
-37,42011
37,54502
-0,25023
-0,99667
0,08150
3,08
-49,94271
50,03760
-0,18995
-0,99810
0,06155
3,10
-74,48941
74,55389
-0,12901
-0,99914
0,04158
3,12
-144,47113
144,50482
-0,06738
-0,99977
0,02159
π
-1971,55073
1971,55323
-0,00500
-1,00000
0,00159
3,16
171,65120
-171,68028
0,05817
-0,99983
-0,01841
3,18
82,75594
-82,81702
0,12220
-0,99926
-0,03840
3,20
54,72531
-54,81879
0,18712
-0,99829
-0,05837
3,22
40,98339
-41,10969
0,25299
-0,99693
-0,07833
3,24
32,81802
-32,97757
0,31987
-0,99516
-0,09825
3,26
27,40329
-27,59652
0,38782
-0,99300
-0,11813
3,28
23,54665
-23,77400
0,45690
-0,99044
-0,13797
3,30
20,65783
-20,91975
0,52716
-0,98748
-0,15775
3,32
18,41124
-18,70819
0,59868
-0,98413
-0,17746
3,34
16,61258
-16,94501
0,67152
-0,98038
-0,19711
3,36
15,13870
-15,50709
0,74574
-0,97624
-0,21668
3,38
13,90779
-14,31261
0,82144
-0,97172
-0,23616
3,40
12,86335
-13,30510
0,89868
-0,96680
-0,25554
3,42
11,96512
-12,44430
0,97754
-0,96149
-0,27482
3,44
11,18364
-11,70075
1,05812
-0,95581
-0,29400
3,46
10,49685
-11,05239
1,14049
-0,94974
-0,31305
3,48
9,88788
-10,48240
1,22477
-0,94328
-0,33199
3,50
9,34366
-9,97767
1,31105
-0,93646
-0,35078
3,50
9,34366
-9,97767
1,31105
-0,93646
-0,35078
3,52
8,85385
-9,52791
1,39944
-0,92925
-0,36944
3,54
8,41021
-9,12487
1,49005
-0,92168
-0,38795
3,56
8,00605
-8,76188
1,58300
-0,91374
-0,40631
3,58
7,63593
-8,43349
1,67843
-0,90543
-0,42450
3,60
7,29532
-8,13522
1,77648
-0,89676
-0,44252
3,62
6,98049
-7,86331
1,87729
-0,88773
-0,46037
3,64
6,68827
-7,61463
1,98102
-0,87835
-0,47803
3,66
6,41600
-7,38652
2,08784
-0,86861
-0,49550
3,68
6,16140
-7,17672
2,19794
-0,85853
-0,51277
3,70
5,92253
-6,98329
2,31151
-0,84810
-0,52984
82
3,72
5,69770
-6,80457
2,42877
-0,83733
-0,54669
3,74
5,48547
-6,63912
2,54994
-0,82623
-0,56333
3,76
5,28456
-6,48569
2,67527
-0,81480
-0,57974
3,78
5,09385
-6,34316
2,80503
-0,80305
-0,59592
3,80
4,91238
-6,21059
2,93951
-0,79097
-0,61186
3,82
4,73927
-6,08713
3,07904
-0,77857
-0,62755
3,84
4,57377
-5,97202
3,22395
-0,76587
-0,64300
3,86
4,41519
-5,86460
3,37462
-0,75285
-0,65819
3,88
4,26292
-5,76428
3,53147
-0,73954
-0,67311
3,90
4,11642
-5,67053
3,69496
-0,72593
-0,68777
3,92
3,97519
-5,58288
3,86557
-0,71203
-0,70215
3,94
3,83880
-5,50091
4,04387
-0,69785
-0,71625
3,96
3,70683
-5,42422
4,23046
-0,68338
-0,73006
3,98
3,57893
-5,35249
4,42601
-0,66865
-0,74358
4,00
3,45476
-5,28539
4,63129
-0,65364
-0,75680
4,02
3,33403
-5,22266
4,84711
-0,63838
-0,76972
4,04
3,21645
-5,16402
5,07442
-0,62286
-0,78234
4,06
3,10176
-5,10926
5,31427
-0,60709
-0,79464
4,08
2,98974
-5,05816
5,56784
-0,59107
-0,80662
4,10
2,88017
-5,01053
5,83646
-0,57482
-0,81828
4,20
2,36250
-4,81886
7,46668
-0,49026
-0,87158
4,30
1,88114
-4,69347
9,82915
-0,40080
-0,91617
4,40
1,42104
-4,62378
13,62382
-0,30733
-0,95160
4,50
0,97039
-4,60344
20,86799
-0,21080
-0,97753
4,60
0,51918
-4,62921
40,75680
-0,11215
-0,99369
4,70
0,05823
-4,70036
379,34999
-0,01239
-0,99992
4,80
-0,42161
-4,81848
-54,64738
0,08750
-0,99616
4,90
-0,93023
-4,98752
-25,81072
0,18651
-0,98245
5,00
-1,47906
-5,21418
-16,90258
0,28366
-0,95892
5,10
-2,08215
-5,50866
-12,49189
0,37798
-0,92581
5,20
-2,75768
-5,88598
-9,80534
0,46852
-0,88345
5,30
-3,53034
-6,36815
-7,95675
0,55437
-0,83227
5,40
-4,43517
-6,98790
-6,57472
0,63469
-0,77276
5,50
-5,52440
-7,79544
-5,47571
0,70867
-0,70554
5,60
-6,88009
-8,87105
-4,55808
0,77557
-0,63127
5,70
-8,63989
-10,35073
-3,76046
0,83471
-0,55069
5,80
-11,05465
-12,48380
-3,04306
0,88552
-0,46460
5,90
-14,63617
-15,78061
-2,37835
0,92748
-0,37388
6,00
-20,61812
-21,47340
-1,74604
0,96017
-0,27942
6,10
-32,92630
-33,48658
-1,13010
0,98327
-0,18216
2π
∞
∞
0,00000
1,00000
0,00000
83
B NG CÁC HÀM S 9 TÍNH
NG L C H C C A KHUNG VÀ
D M LIÊN T C
Bi*u th c c a các hàm nh h %ng:
cos
sin
;
;
2
2
kz
kz
chkz
kz
shkz
kz
A
B
+
+
=
=
cos
sin
; D
;
2
2
kz
kz
chkz
kz
shkz
kz
C
−
+
=
=
o hàm c a các hàm s :
.
;
.
;
kz
kz
kz
kz
dA
dC
k D
k B
dz
dz
=
=
.
;
.
;
kz
kz
kz
kz
dB
dD
k A
k C
dz
dz
=
=
Tích phân c a các hàm s :
2
1
; .
;
kz
kz
kz
kz
kz
C
z
A dz
B
z A dz
B
k
k
k
=
=
−
2
1
; .
;
kz
kz
kz
kz
kz
D
z
B dz
C
z B dz
C
k
k
k
=
=
−
2
1
; .
;
kz
kz
kz
kz
kz
A
z
C dz
D
z C dz
D
k
k
k
=
=
−
2
1
; .
;
kz
kz
kz
kz
kz
B
z
D dz
A
z D dz
A
k
k
k
=
=
−
B!ng 4
kz
Akz
Bkz
Ckz
Dkz
0,00
1,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,20
1,00007
0,20000
0,02000
0,20000
0,40
1,00107
0,40009
0,08001
0,40009
0,60
1,00540
0,60065
0,18006
0,60065
0,80
1,01707
0,80273
0,32036
0,80273
1,00
1,04169
1,00834
0,50139
1,00834
1,10
1,06106
1,11343
0,60746
1,11343
1,20
1,08651
1,22075
0,72415
1,22075
1,30
1,11921
1,33097
0,85171
1,33097
1,40
1,16043
1,44488
0,99047
1,44488
1,50
1,21157
1,56339
1,14084
1,56339
π/2
1,25407
1,64965
1,25328
1,64965
1,60
1,27413
1,68757
1,30333
1,68757
1,70
1,34974
1,81865
1,47858
1,81865
84
1,80
1,44014
1,95801
1,66734
1,95801
1,90
1,54722
2,10723
1,87051
2,10723
2,00
1,67302
2,26808
2,08917
2,26808
2,02
1,70062
2,30181
2,13487
2,30181
2,04
1,72907
2,33611
2,18125
2,33611
2,06
1,75839
2,37098
2,22832
2,37098
2,08
1,78861
2,40645
2,27609
2,40645
2,10
1,81973
2,44253
2,32458
2,44253
2,12
1,85179
2,47925
2,37380
2,47925
2,14
1,88479
2,51661
2,42375
2,51661
2,16
1,91877
2,55464
2,47447
2,55464
2,18
1,95373
2,59337
2,52594
2,59337
2,20
1,98970
2,63280
2,57820
2,63280
2,22
2,02671
2,67296
2,63126
2,67296
2,24
2,06477
2,71388
2,68513
2,71388
2,26
2,10390
2,75556
2,73982
2,75556
2,28
2,14413
2,79804
2,79536
2,79804
2,30
2,18547
2,84133
2,85175
2,84133
2,32
2,22796
2,88547
2,90901
2,88547
2,34
2,27161
2,93046
2,96717
2,93046
2,36
2,31645
2,97634
3,02624
2,97634
2,38
2,36249
3,02313
3,08623
3,02313
2,40
2,40978
3,07085
3,14717
3,07085
2,42
2,45832
3,11953
3,20907
3,11953
2,44
2,50814
3,16919
3,27196
3,16919
2,46
2,55928
3,21986
3,33585
3,21986
2,48
2,61174
3,27157
3,40076
3,27157
2,50
2,66557
3,32434
3,46672
3,32434
2,52
2,72079
3,37820
3,53374
3,37820
2,54
2,77742
3,43318
3,60185
3,43318
2,56
2,83549
3,48931
3,67107
3,48931
2,58
2,89502
3,54661
3,74143
3,54661
2,60
2,95606
3,60512
3,81295
3,60512
2,62
3,01862
3,66486
3,88564
3,66486
2,64
3,08273
3,72587
3,95955
3,72587
2,66
3,14843
3,78818
4,03469
3,78818
2,68
3,21574
3,85182
4,11109
3,85182
2,70
3,28470
3,91682
4,18877
3,91682
2,72
3,35533
3,98322
4,26777
3,98322
2,74
3,42767
4,05105
4,34811
4,05105
2,76
3,50175
4,12034
4,42982
4,12034
2,78
3,57760
4,19113
4,51293
4,19113
2,80
3,65525
4,26345
4,59748
4,26345
85
2,82
3,73475
4,33735
4,68348
4,33735
2,84
3,81612
4,41286
4,77098
4,41286
2,86
3,89939
4,49001
4,86001
4,49001
2,88
3,98461
4,56884
4,95059
4,56884
2,90
4,07181
4,64941
5,04277
4,64941
2,92
4,16103
4,73173
5,13658
4,73173
2,94
4,25230
4,81586
5,23205
4,81586
2,96
4,34567
4,90184
5,32923
4,90184
2,98
4,44117
4,98970
5,42814
4,98970
3,00
4,53883
5,07950
5,52883
5,07950
3,02
4,63871
5,17127
5,63133
5,17127
3,04
4,74085
5,26506
5,73569
5,26506
3,06
4,84527
5,36092
5,84195
5,36092
3,08
4,95204
5,45889
5,95014
5,45889
3,10
5,06118
5,55902
6,06032
5,55902
3,12
5,17275
5,66135
6,17252
5,66135
π
5,28679
5,76594
6,28679
5,76594
3,16
5,40334
5,87284
6,40317
5,87284
3,18
5,52245
5,98209
6,52172
5,98209
3,20
5,64418
6,09375
6,64247
6,09375
3,22
5,76855
6,20788
6,76548
6,20788
3,24
5,89564
6,32452
6,89080
6,32452
3,26
6,02548
6,44372
7,01848
6,44372
3,28
6,15813
6,56555
7,14857
6,56555
3,30
6,29364
6,69007
7,28112
6,69007
3,32
6,43206
6,81732
7,41619
6,81732
3,34
6,57345
6,94737
7,55383
6,94737
3,36
6,71786
7,08028
7,69410
7,08028
3,38
6,86535
7,21610
7,83706
7,21610
3,40
7,01597
7,35491
7,98277
7,35491
3,42
7,16978
7,49676
8,13128
7,49676
3,44
7,32685
7,64172
8,28266
7,64172
3,46
7,48723
7,78986
8,43697
7,78986
3,48
7,65099
7,94124
8,59427
7,94124
3,50
7,81818
8,09592
8,75464
8,09592
3,50
7,81818
8,09592
8,75464
8,09592
3,52
7,98888
8,25399
8,91813
8,25399
3,54
8,16314
8,41550
9,08482
8,41550
3,56
8,34104
8,58054
9,25478
8,58054
3,58
8,52264
8,74917
9,42807
8,74917
3,60
8,70801
8,92147
9,60477
8,92147
3,62
8,89722
9,09751
9,78495
9,09751
3,64
9,09035
9,27738
9,96869
9,27738
3,66
9,28746
9,46115
10,15607
9,46115
86
3,68
9,48864
9,64891
10,34717
9,64891
3,70
9,69396
9,84073
10,54206
9,84073
3,72
9,90349
10,03669
10,74082
10,03669
3,74
10,11732
10,23690
10,94355
10,23690
3,76
10,33553
10,44142
11,15033
10,44142
3,78
10,55819
10,65035
11,36124
10,65035
3,80
10,78540
10,86377
11,57637
10,86377
3,82
11,01725
11,08179
11,79582
11,08179
3,84
11,25381
11,30450
12,01968
11,30450
3,86
11,49518
11,53198
12,24803
11,53198
3,88
11,74145
11,76434
12,48099
11,76434
3,90
11,99271
12,00167
12,71864
12,00167
3,92
12,24906
12,24408
12,96109
12,24408
3,94
12,51059
12,49167
13,20844
12,49167
3,96
12,77740
12,74454
13,46079
12,74454
3,98
13,04961
13,00280
13,71825
13,00280
4,00
13,32729
13,26656
13,98094
13,26656
4,02
13,61058
13,53593
14,24895
13,53593
4,04
13,89956
13,81102
14,52241
13,81102
4,06
14,19435
14,09195
14,80143
14,09195
4,08
14,49506
14,37883
15,08613
14,37883
4,10
14,80180
14,67179
15,37663
14,67179
4,20
16,43020
16,23205
16,92046
16,23205
4,30
18,22794
17,96347
18,62874
17,96347
4,40
20,21212
19,88385
20,51945
19,88385
4,50
22,40166
22,01274
22,61246
22,01274
4,60
24,81752
24,37172
24,92967
24,37172
4,70
27,48287
26,98456
27,49526
26,98456
4,80
30,42341
29,87746
30,33591
29,87746
4,90
33,66756
33,07936
33,48105
33,07936
5,00
37,24681
36,62214
36,96314
36,62214
5,10
41,19599
40,54105
40,81801
40,54105
5,20
45,55370
44,87495
45,08518
44,87495
5,30
50,36264
49,66682
49,80826
49,66682
87
5,40
55,67008
54,96409
55,03539
54,96409
5,50
61,52834
60,81919
60,81967
60,81919
5,60
67,99531
67,29004
67,21974
67,29004
5,70
75,13504
74,44067
74,30033
74,44067
5,80
83,01841
82,34183
82,13289
82,34183
5,90
91,72379
91,07174
90,79631
91,07174
6,00
101,33790
100,71687
100,37773
100,71687
6,10
111,95664
111,37280
110,97337
111,37280
2π
134,37338
133,87245
133,37338
133,87245
B!ng 5
λ
( )
1
µ λ
( )
2
µ λ
( )
3
µ λ
( )
4
µ λ
( )
5
µ λ
( )
6
µ λ
0,0
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,20
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,40
0,9999
1,0001
0,9998
1,0001
0,9998
0,9993
0,60
0,9997
1,0005
0,9989
1,0007
0,9992
0,9963
0,80
0,9990
1,0015
0,9964
1,0021
0,9974
0,9883
1,00
0,9976
1,0036
0,9913
1,0052
0,9936
0,9713
1,10
0,9965
1,0052
0,9872
1,0076
0,9907
0,9580
1,20
0,9950
1,0074
0,9818
1,0107
0,9867
0,9403
1,30
0,9932
1,0103
0,9750
1,0148
0,9817
0,9176
1,40
0,9908
1,0138
0,9663
1,0200
0,9753
0,8888
1,50
0,9878
1,0183
0,9555
1,0264
0,9672
0,8529
π/2
0,9854
1,0220
0,9465
1,0318
0,9605
0,8228
1,60
0,9842
1,0237
0,9422
1,0343
0,9573
0,8086
1,70
0,9798
1,0304
0,9262
1,0439
0,9452
0,7545
1,80
0,9745
1,0384
0,9069
1,0555
0,9306
0,6892
1,90
0,9683
1,0479
0,8840
1,0693
0,9130
0,6107
2,00
0,9608
1,0592
0,8569
1,0857
0,8919
0,5170
2,02
0,9592
1,0617
0,8510
1,0893
0,8872
0,4962
2,04
0,9575
1,0643
0,8448
1,0931
0,8823
0,4747
2,06
0,9558
1,0670
0,8385
1,0970
0,8773
0,4524
2,08
0,9540
1,0697
0,8319
1,1009
0,8721
0,4294
2,10
0,9521
1,0725
0,8252
1,1051
0,8667
0,4055
2,12
0,9502
1,0755
0,8182
1,1093
0,8611
0,3808
2,14
0,9482
1,0785
0,8110
1,1137
0,8554
0,3553
2,16
0,9462
1,0816
0,8036
1,1183
0,8494
0,3289
2,18
0,9441
1,0849
0,7960
1,1229
0,8432
0,3016
2,20
0,9419
1,0882
0,7881
1,1278
0,8368
0,2733
2,22
0,9396
1,0916
0,7800
1,1328
0,8301
0,2441
88
2,24
0,9373
1,0952
0,7717
1,1379
0,8233
0,2139
2,26
0,9350
1,0988
0,7631
1,1432
0,8162
0,1826
2,28
0,9325
1,1026
0,7542
1,1487
0,8088
0,1503
2,30
0,9300
1,1065
0,7451
1,1544
0,8012
0,1169
2,32
0,9274
1,1105
0,7357
1,1602
0,7933
0,0823
2,34
0,9247
1,1146
0,7261
1,1662
0,7852
0,0465
2,36
0,9220
1,1188
0,7161
1,1724
0,7767
0,0095
2,38
0,9191
1,1232
0,7059
1,1788
0,7680
-0,0288
2,40
0,9162
1,1278
0,6953
1,1854
0,7589
-0,0684
2,42
0,9132
1,1324
0,6845
1,1922
0,7495
-0,1093
2,44
0,9101
1,1372
0,6733
1,1991
0,7398
-0,1517
2,46
0,9069
1,1422
0,6618
1,2064
0,7298
-0,1956
2,48
0,9036
1,1473
0,6500
1,2138
0,7193
-0,2410
2,50
0,9003
1,1525
0,6379
1,2215
0,7086
-0,2879
2,52
0,8968
1,1579
0,6254
1,2294
0,6974
-0,3365
2,54
0,8932
1,1635
0,6126
1,2375
0,6858
-0,3869
2,56
0,8895
1,1693
0,5993
1,2459
0,6738
-0,4390
2,58
0,8858
1,1752
0,5858
1,2545
0,6613
-0,4929
2,60
0,8819
1,1813
0,5718
1,2635
0,6484
-0,5488
2,62
0,8779
1,1876
0,5574
1,2726
0,6350
-0,6068
2,64
0,8737
1,1940
0,5427
1,2821
0,6211
-0,6668
2,66
0,8695
1,2007
0,5275
1,2919
0,6066
-0,7290
2,68
0,8651
1,2076
0,5119
1,3019
0,5917
-0,7935
2,70
0,8606
1,2146
0,4958
1,3123
0,5761
-0,8604
2,72
0,8560
1,2219
0,4793
1,3230
0,5599
-0,9298
2,74
0,8513
1,2295
0,4624
1,3340
0,5431
-1,0019
2,76
0,8464
1,2372
0,4449
1,3453
0,5257
-1,0766
2,78
0,8414
1,2452
0,4270
1,3570
0,5075
-1,1543
2,80
0,8362
1,2534
0,4086
1,3691
0,4886
-1,2350
2,82
0,8309
1,2619
0,3897
1,3815
0,4690
-1,3188
2,84
0,8254
1,2706
0,3702
1,3943
0,4485
-1,4061
2,86
0,8197
1,2796
0,3502
1,4075
0,4272
-1,4968
2,88
0,8139
1,2889
0,3296
1,4211
0,4049
-1,5912
2,90
0,8080
1,2984
0,3084
1,4352
0,3817
-1,6895
2,92
0,8018
1,3083
0,2867
1,4497
0,3575
-1,7920
2,94
0,7955
1,3185
0,2643
1,4646
0,3323
-1,8988
2,96
0,7890
1,3289
0,2413
1,4801
0,3059
-2,0103
2,98
0,7823
1,3397
0,2177
1,4960
0,2783
-2,1266
3,00
0,7754
1,3509
0,1934
1,5124
0,2494
-2,2482
3,02
0,7683
1,3624
0,1683
1,5294
0,2191
-2,3752
3,04
0,7610
1,3743
0,1426
1,5469
0,1874
-2,5082
3,06
0,7535
1,3865
0,1162
1,5649
0,1542
-2,6474
3,08
0,7457
1,3991
0,0889
1,5836
0,1192
-2,7933
3,10
0,7377
1,4122
0,0609
1,6028
0,0826
-2,9464
89
3,12
0,7295
1,4256
0,0321
1,6227
0,0440
-3,1071
π
0,7210
1,4395
0,0024
1,6433
0,0033
-3,2760
3,16
0,7123
1,4539
-0,0281
1,6645
-0,0395
-3,4538
3,18
0,7033
1,4687
-0,0596
1,6865
-0,0847
-3,6412
3,20
0,6940
1,4840
-0,0920
1,7091
-0,1325
-3,8388
3,22
0,6844
1,4999
-0,1253
1,7326
-0,1831
-4,0476
3,24
0,6745
1,5162
-0,1597
1,7569
-0,2367
-4,2684
3,26
0,6644
1,5332
-0,1950
1,7820
-0,2936
-4,5024
3,28
0,6538
1,5507
-0,2315
1,8079
-0,3541
-4,7507
3,30
0,6430
1,5688
-0,2691
1,8348
-0,4185
-5,0147
3,32
0,6318
1,5875
-0,3078
1,8627
-0,4872
-5,2959
3,34
0,6202
1,6069
-0,3478
1,8915
-0,5607
-5,5959
3,36
0,6083
1,6270
-0,3890
1,9214
-0,6394
-5,9169
3,38
0,5960
1,6478
-0,4315
1,9523
-0,7240
-6,2609
3,40
0,5832
1,6693
-0,4753
1,9844
-0,8150
-6,6306
3,42
0,5700
1,6916
-0,5206
2,0177
-0,9133
-7,0290
3,44
0,5564
1,7148
-0,5674
2,0523
-1,0197
-7,4596
3,46
0,5423
1,7388
-0,6157
2,0881
-1,1353
-7,9264
3,48
0,5277
1,7637
-0,6656
2,1253
-1,2612
-8,4343
3,50
0,5126
1,7896
-0,7172
2,1640
-1,3991
-8,9890
3,50
0,5126
1,7896
-0,7172
2,1640
-1,3991
-8,9890
3,52
0,4970
1,8164
-0,7705
2,2041
-1,5504
-9,5973
3,54
0,4808
1,8444
-0,8257
2,2459
-1,7175
-10,2674
3,56
0,4640
1,8734
-0,8828
2,2893
-1,9028
-11,0095
3,58
0,4465
1,9035
-0,9420
2,3345
-2,1095
-11,8359
3,60
0,4284
1,9349
-1,0032
2,3816
-2,3415
-12,7620
3,62
0,4097
1,9676
-1,0667
2,4306
-2,6037
-13,8072
3,64
0,3902
2,0016
-1,1325
2,4817
-2,9025
-14,9962
3,66
0,3699
2,0371
-1,2008
2,5350
-3,2461
-16,3615
3,68
0,3489
2,0741
-1,2717
2,5907
-3,6453
-17,9458
3,70
0,3269
2,1127
-1,3453
2,6487
-4,1148
-19,8068
3,72
0,3041
2,1530
-1,4218
2,7094
-4,6751
-22,0248
3,74
0,2804
2,1951
-1,5014
2,7729
-5,3554
-24,7143
3,76
0,2556
2,2392
-1,5842
2,8393
-6,1988
-28,0452
3,78
0,2297
2,2852
-1,6704
2,9088
-7,2719
-32,2794
3,80
0,2027
2,3335
-1,7603
2,9817
-8,6838
-37,8450
3,82
0,1745
2,3841
-1,8541
3,0582
-10,6250
-45,4908
3,84
0,1450
2,4372
-1,9519
3,1384
-13,4622
-56,6578
3,86
0,1141
2,4929
-2,0542
3,2228
-18,0024
-74,5174
3,88
0,0817
2,5515
-2,1611
3,3115
-26,4381
-107,6855
3,90
0,0478
2,6131
-2,2730
3,4048
-47,5554
-190,6880
3,92
0,0122
2,6780
-2,3904
3,5033
-196,5999
-776,4008
3,94
-0,0253
2,7464
-2,5134
3,6071
99,3353
386,5029
90
3,96
-0,0647
2,8187
-2,6427
3,7168
40,8300
156,5772
3,98
-0,1063
2,8950
-2,7786
3,8328
26,1491
98,8658
4,00
-0,1501
2,9758
-2,9218
3,9557
19,4676
72,5892
4,02
-0,1964
3,0614
-3,0727
4,0861
15,6465
57,5526
4,04
-0,2454
3,1523
-3,2321
4,2245
13,1723
47,8085
4,06
-0,2973
3,2489
-3,4007
4,3717
11,4391
40,9760
4,08
-0,3524
3,3518
-3,5793
4,5286
10,1571
35,9161
4,10
-0,4110
3,4615
-3,7688
4,6961
9,1701
32,0149
4,20
-0,7700
4,1402
-4,9232
5,7343
6,3934
20,9844
4,30
-1,2950
5,1472
-6,5952
7,2796
5,0927
15,7435
4,40
-2,1357
6,7817
-9,2490
9,7956
4,3307
12,6074
4,50
-3,7021
9,8635
-14,1553
14,5521
3,8236
10,4603
4,60
-7,6655
17,7346
-26,4922
26,7259
3,4560
8,8476
4,70
-37,9478
78,2384
-120,3744
120,4307
3,1721
7,5480
4,80
18,3048
-34,3328
53,8390
-53,9758
2,9413
6,4399
4,90
8,3438
-14,4830
22,9053
-23,2522
2,7452
5,4497
5,00
5,7486
-9,3716
14,7866
-15,3625
2,5722
4,5289
5,10
4,5445
-7,0495
10,9712
-11,7966
2,4142
3,6433
5,20
3,8417
-5,7383
8,7024
-9,8001
2,2652
2,7666
5,30
3,3749
-4,9080
7,1570
-8,5522
2,1207
1,8767
5,40
3,0368
-4,3454
6,0024
-7,7233
1,9765
0,9537
5,50
2,7759
-3,9483
5,0778
-7,1556
1,8292
-0,0221
5,60
2,5639
-3,6619
4,2951
-6,7650
1,6752
-1,0721
5,70
2,3842
-3,4545
3,6012
-6,5032
1,5105
-2,2202
5,80
2,2260
-3,3067
2,9618
-6,3409
1,3306
-3,4958
5,90
2,0819
-3,2061
2,3526
-6,2605
1,1300
-4,9360
6,00
1,9465
-3,1450
1,7551
-6,2514
0,9016
-6,5901
6,10
1,8158
-3,1186
1,1542
-6,3082
0,6356
-8,5259
2π
1,5767
-3,1533
0,0000
-6,5797
0,0000
-13,1595
B!ng 5 (ti$p)
λ
( )
7
µ λ
( )
3
ε λ
( )
4
ε λ
( )
6
ε λ
( )
7
ε λ
( )
8
ε λ
0,0
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,20
1,00002
0,99995
1,00002
0,99974
1,00002
0,99987
0,40
1,00034
0,99921
1,00027
0,99585
1,00034
0,99799
0,60
1,00170
0,99599
1,00139
0,97901
1,00170
0,98981
0,80
1,00537
0,98732
1,00439
0,93362
1,00537
0,96779
1,00
1,01316
0,96902
1,01074
0,83772
1,01316
0,92125
1,10
1,01931
0,95462
1,01575
0,76214
1,01931
0,88458
1,20
1,02743
0,93569
1,02234
0,66264
1,02743
0,83630
1,30
1,03792
0,91135
1,03083
0,53448
1,03792
0,77412
1,40
1,05125
0,88064
1,04157
0,37238
1,05125
0,69549
1,50
1,06794
0,84252
1,05495
0,17050
1,06794
0,59757
91
π/2
1,08194
0,81081
1,06612
0,00206
1,08194
0,51588
1,60
1,08859
0,79583
1,07141
-0,07768
1,08859
0,47721
1,70
1,11391
0,73933
1,09144
-0,37944
1,11391
0,33090
1,80
1,14470
0,67166
1,11557
-0,74297
1,14470
0,15468
1,90
1,18194
0,59133
1,14442
-1,17751
1,18194
-0,05591
2,00
1,22675
0,49673
1,17870
-1,69362
1,22675
-0,30593
2,02
1,23674
0,47595
1,18628
-1,80767
1,23674
-0,36117
2,04
1,24710
0,45451
1,19410
-1,92557
1,24710
-0,41827
2,06
1,25785
0,43239
1,20220
-2,04743
1,25785
-0,47728
2,08
1,26899
0,40959
1,21056
-2,17336
1,26899
-0,53826
2,10
1,28054
0,38609
1,21920
-2,30347
1,28054
-0,60126
2,12
1,29252
0,36187
1,22812
-2,43790
1,29252
-0,66634
2,14
1,30493
0,33691
1,23734
-2,57676
1,30493
-0,73356
2,16
1,31781
0,31120
1,24686
-2,72019
1,31781
-0,80298
2,18
1,33115
0,28472
1,25668
-2,86831
1,33115
-0,87467
2,20
1,34499
0,25746
1,26683
-3,02127
1,34499
-0,94869
2,22
1,35934
0,22939
1,27730
-3,17920
1,35934
-1,02511
2,24
1,37421
0,20049
1,28811
-3,34227
1,37421
-1,10400
2,26
1,38964
0,17075
1,29927
-3,51062
1,38964
-1,18545
2,28
1,40563
0,14015
1,31078
-3,68441
1,40563
-1,26951
2,30
1,42221
0,10867
1,32266
-3,86381
1,42221
-1,35628
2,32
1,43941
0,07629
1,33492
-4,04900
1,43941
-1,44583
2,34
1,45725
0,04299
1,34756
-4,24015
1,45725
-1,53826
2,36
1,47575
0,00875
1,36061
-4,43745
1,47575
-1,63365
2,38
1,49494
-0,02646
1,37406
-4,64111
1,49494
-1,73210
2,40
1,51485
-0,06265
1,38794
-4,85132
1,51485
-1,83370
2,42
1,53552
-0,09986
1,40225
-5,06830
1,53552
-1,93856
2,44
1,55696
-0,13809
1,41701
-5,29228
1,55696
-2,04678
2,46
1,57921
-0,17737
1,43223
-5,52348
1,57921
-2,15847
2,48
1,60232
-0,21774
1,44793
-5,76216
1,60232
-2,27376
2,50
1,62631
-0,25921
1,46412
-6,00856
1,62631
-2,39277
2,52
1,65122
-0,30180
1,48082
-6,26297
1,65122
-2,51561
2,54
1,67710
-0,34556
1,49803
-6,52566
1,67710
-2,64244
2,56
1,70399
-0,39049
1,51578
-6,79694
1,70399
-2,77338
2,58
1,73194
-0,43663
1,53409
-7,07711
1,73194
-2,90860
2,60
1,76099
-0,48401
1,55296
-7,36650
1,76099
-3,04824
2,62
1,79120
-0,53266
1,57243
-7,66547
1,79120
-3,19247
2,64
1,82263
-0,58260
1,59250
-7,97438
1,82263
-3,34147
2,66
1,85532
-0,63387
1,61319
-8,29361
1,85532
-3,49542
2,68
1,88935
-0,68649
1,63454
-8,62359
1,88935
-3,65451
2,70
1,92479
-0,74051
1,65655
-8,96474
1,92479
-3,81896
92
2,72
1,96169
-0,79595
1,67925
-9,31752
1,96169
-3,98898
2,74
2,00015
-0,85285
1,70267
-9,68243
2,00015
-4,16480
2,76
2,04023
-0,91125
1,72682
-10,05998
2,04023
-4,34667
2,78
2,08204
-0,97117
1,75173
-10,45074
2,08204
-4,53485
2,80
2,12566
-1,03267
1,77743
-10,85528
2,12566
-4,72963
2,82
2,17119
-1,09577
1,80394
-11,27424
2,17119
-4,93130
2,84
2,21874
-1,16052
1,83130
-11,70829
2,21874
-5,14018
2,86
2,26843
-1,22697
1,85952
-12,15816
2,26843
-5,35662
2,88
2,32038
-1,29514
1,88865
-12,62461
2,32038
-5,58097
2,90
2,37473
-1,36510
1,91871
-13,10847
2,37473
-5,81363
2,92
2,43162
-1,43688
1,94974
-13,61064
2,43162
-6,05503
2,94
2,49121
-1,51053
1,98177
-14,13207
2,49121
-6,30562
2,96
2,55367
-1,58611
2,01484
-14,67381
2,55367
-6,56588
2,98
2,61918
-1,66366
2,04898
-15,23697
2,61918
-6,83636
3,00
2,68795
-1,74324
2,08425
-15,82277
2,68795
-7,11762
3,02
2,76020
-1,82490
2,12067
-16,43251
2,76020
-7,41028
3,04
2,83616
-1,90871
2,15830
-17,06764
2,83616
-7,71503
3,06
2,91609
-1,99472
2,19717
-17,72970
2,91609
-8,03260
3,08
3,00029
-2,08299
2,23735
-18,42040
3,00029
-8,36379
3,10
3,08906
-2,17360
2,27887
-19,14159
3,08906
-8,70948
3,12
3,18275
-2,26660
2,32180
-19,89533
3,18275
-9,07065
π
3,28175
-2,36208
2,36619
-20,68384
3,28175
-9,44834
3,16
3,38646
-2,46010
2,41210
-21,50960
3,38646
-9,84373
3,18
3,49735
-2,56074
2,45959
-22,37535
3,49735
-10,25810
3,20
3,61495
-2,66408
2,50873
-23,28409
3,61495
-10,69289
3,22
3,73982
-2,77021
2,55959
-24,23920
3,73982
-11,14969
3,24
3,87261
-2,87922
2,61223
-25,24442
3,87261
-11,63026
3,26
4,01404
-2,99120
2,66675
-26,30395
4,01404
-12,13658
3,28
4,16492
-3,10625
2,72322
-27,42247
4,16492
-12,67089
3,30
4,32616
-3,22447
2,78172
-28,60530
4,32616
-13,23567
3,32
4,49879
-3,34596
2,84236
-29,85840
4,49879
-13,83376
3,34
4,68399
-3,47085
2,90521
-31,18858
4,68399
-14,46836
3,36
4,88309
-3,59925
2,97040
-32,60357
4,88309
-15,14313
3,38
5,09764
-3,73128
3,03803
-34,11226
5,09764
-15,86227
3,40
5,32940
-3,86709
3,10821
-35,72483
5,32940
-16,63059
3,42
5,58043
-4,00681
3,18106
-37,45312
5,58043
-17,45367
3,44
5,85310
-4,15058
3,25673
-39,31084
5,85310
-18,33800
3,46
6,15023
-4,29857
3,33534
-41,31410
6,15023
-19,29118
3,48
6,47511
-4,45094
3,41704
-43,48185
6,47511
-20,32216
3,50
6,83166
-4,60787
3,50200
-45,83658
6,83166
-21,44157
93
3,50
6,83166
-4,60787
3,50200
-45,83658
6,83166
-21,44157
3,52
7,22456
-4,76954
3,59038
-48,40520
7,22456
-22,66210
3,54
7,65949
-4,93615
3,68236
-51,22019
7,65949
-23,99910
3,56
8,14333
-5,10792
3,77813
-54,32108
8,14333
-25,47124
3,58
8,68458
-5,28507
3,87791
-57,75652
8,68458
-27,10147
3,60
9,29380
-5,46784
3,98191
-61,58705
9,29380
-28,91840
3,62
9,98433
-5,65649
4,09036
-65,88900
9,98433
-30,95806
3,64
10,77322
-5,85129
4,20353
-70,75998
10,77322
-33,26654
3,66
11,68263
-6,05254
4,32169
-76,32686
11,68263
-35,90375
3,68
12,74192
-6,26054
4,44514
-82,75765
12,74192
-38,94900
3,70
13,99082
-6,47565
4,57418
-90,27965
13,99082
-42,50963
3,72
15,48445
-6,69823
4,70918
-99,20815
15,48445
-46,73450
3,74
17,30153
-6,92867
4,85049
-109,99355
17,30153
-51,83626
3,76
19,55863
-7,16740
4,99853
-123,30252
19,55863
-58,12969
3,78
22,43589
-7,41486
5,15372
-140,16547
22,43589
-66,10128
3,80
26,22732
-7,67158
5,31656
-162,26386
26,22732
-76,54495
3,82
31,44754
-7,93807
5,48754
-192,54094
31,44754
-90,85034
3,84
39,08658
-8,21494
5,66725
-236,65879
39,08658
-111,69077
3,86
51,32368
-8,50282
5,85630
-307,08036
51,32368
-144,95061
3,88
74,07903
-8,80241
6,05535
-437,66309
74,07903
-206,61553
3,90
131,07642
-9,11447
6,26517
-764,08214 131,07642 -360,74411
3,92
533,50006
-9,43985
6,48655
-3065,9828 533,50006 -1447,5901
3,94
-265,60268
-9,77947
6,72040
1503,5707 -265,60268 709,89846
3,96
-107,65216 -10,13434
6,96771
599,78162 -107,65216 283,16589
3,98
-68,03595
-10,50559
7,22957
372,73131
-68,03595
175,95316
4,00
-50,02016
-10,89446
7,50722
269,20394
-50,02016
127,06118
4,02
-39,72853
-11,30234
7,80200
209,84186
-39,72853
99,02149
4,04
-33,07426
-11,73077
8,11543
171,27271
-33,07426
80,79891
4,06
-28,42145
-12,18148
8,44921
144,14070
-28,42145
67,97613
4,08
-24,98736
-12,65639
8,80525
123,96924
-24,98736
58,43953
4,10
-22,35037
-13,15768
9,18569
108,34702
-22,35037
51,05063
4,20
-15,00173
-16,15895
11,55200
63,46715
-15,00173
29,79274
4,30
-11,65411
-20,38805
15,09226
41,20977
-11,65411
19,21004
4,40
-9,77808
-26,92539
20,88286
27,08607
-9,77808
12,46116
4,50
-8,60964
-38,72544
31,87389
16,70067
-8,60964
7,47031
4,60
-7,83952
-67,82154
60,09392
8,25541
-7,83952
3,38788
4,70
-7,31942
-286,43151 277,75548
0,86831
-7,31942
-0,20327
4,80
-6,96999
117,88148 -127,58412
-5,95313
-6,96999
-3,53645
4,90
-6,74570
45,47061
-56,28453
-12,51442
-6,74570
-6,75683
5,00
-6,61931
26,03475
-38,05188
-19,02403
-6,61931
-9,96388
5,10
-6,57441
16,55684
-29,87725
-25,63813
-6,57441
-13,23259
5,20
-6,60156
10,62835
-25,36136
-32,48520
-6,60156
-16,62508
94
5,30
-6,69622
6,33368
-22,59903
-39,68111
-6,69622
-20,19784
5,40
-6,85771
2,89633
-20,82580
-47,33980
-6,85771
-24,00677
5,50
-7,08877
-0,06147
-19,67771
-55,58199
-7,08877
-28,11152
5,60
-7,39562
-2,74869
-18,96187
-64,54397
-7,39562
-32,57972
5,70
-7,78837
-5,29338
-18,56902
-74,38778
-7,78837
-37,49207
5,80
-8,28201
-7,78152
-18,43542
-85,31456
-8,28201
-42,94897
5,90
-8,89804
-10,27615
-18,52452
-97,58373
-8,89804
-49,08009
6,00
-9,66722
-12,82790
-18,81763 -111,54197
-9,66722
-56,05894
6,10
-10,63399
-15,48127
-19,30912 -127,66960 -10,63399
-64,12602
2π
-13,15947
-20,74820
-20,74820 -165,36796 -13,15947
-82,99280
95
TÀI LI U THAM KH O
1.
GS.TS Ph m Kh6c Hùng (1974), n nh và ng l c h c công trình.
Nhà xu t b n i h c và trung h c chuyên nghi p.
2.
Nguy:n Xuân Ng c (1997), Bài gi ng n nh và ng l c h c công
trình
. Tr (ng i h c Ki n trúc Hà N i.
3.
PGS.TS D *ng V;n Th" (2007), C h c môi tr ng liên t c. Nhà xu t
b n Bách khoa Hà N i.
4.
Nguy:n Y Tô (1970), S c b n v t li u. Nhà xu t b n i h c và trung
h c chuyên nghi p.
5.
Ninh Quang H!i (1999), C h c lý thuy t. Nhà xu t b n xây d ng.
6.
GS.TS L)u Th Trình (2006), C h c k t c u (t p 1&2). Nhà xu t b n
khoa h c k thu&t
7.
GS.TS Lê Xuân Hu<nh (2006), ng l c h c công trình, Bài gi ng cho
h c viên cao h c xây d ng.
i h c xây d ng.