Microsoft Word - on dinh_dongluchoc cong trinh full

M C L C

L i nói

u………………………………………………………………………….

M$c l$c……………………………………………………………………..
Kí hi u dùng trong tài li u…………………………………………………..
CH

NG 1: M

U MÔN H C N NH CÔNG TRÌNH

1.1

M% u…………………………………………………………………..

1.2 M t s khái ni m v C h c k t c u, n nh công trình……………….
1.3 Phân lo i v m t n nh công trình…………………………………….

1.3.1 M t n nh lo i m t…………………………………………………….

1.3.2 M t n nh lo i hai……………………………………………………..
1.4 Khái ni m v b&c t do…………………………………………………

1.4.1 Khái ni m………………………………………………………………….

1.4.2 M t s ví d ………………………………………………………………..
1.5 Các tiêu chí v s cân b ng n nh…………………………………….

1.5.1 Bi u hi n t nh h c…………………………………………………………

1.5.2 Tiêu chí d

i d ng n ng l

ng………………………………………….

Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 1………………………………………
CH

NG 2: CÁC PH

NG PHÁP NGHIÊN C U

2.1 M% u………………………………………………………………….
2.2 N i dung các ph ng pháp nghiên c u…………………………………

2.2.1 Các ph

ng pháp t nh h c……………………………………………….

2.2.2 Các ph

ng pháp n ng l

ng…………………………………………..

2.2.3 Các ph

ng pháp

ng l c h c…………………………………………

2.3 V&n d$ng ph ng pháp t'nh h c khi gi i bài toán n nh……………..

2.3.1 Ph

ng pháp thi t l p và gi i các ph

ng trình vi phân……………

2.3.2 Ph

ng pháp thi t l p và gi i các ph

ng trình

i s ……………..

2.3.3 Ph

ng pháp Sai phân h u h n…………………………………………

Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 2………………………………………
CH

NG 3: N NH C A CÁC THANH TH NG

3.1 M% u………………………………………………………………….
3.2 Ph ng trình t ng quát c a (ng àn h i trong thanh ch u u n d c….
3.3

n nh c a các thanh th)ng có liên k t % hai u khác nhau………….

3.3.1 n nh thanh th ng có liên k t c ng hai

u……………………….

3.3.2 n nh thanh th ng có liên k t àn h i……………………………….

2
3
6
8

8
9

10
11

11
12

12
13
14
18
20
21

21
22

22
24

Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 3………………………………………
CH

NG 4: N NH C A H THANH TH NG

3.1 M%  u…………………………………………………………………..
3.2 M t s  gi  thi t khi tính toán  n  nh khung ph)ng…………………….
3.2 Cách tính  n  nh khung ph)ng theo ph ng pháp l c…………………

3.2.1

Các cách xác nh chuy n v trong thanh ch u u n cùng v i nén

ho c kéo……………………………………………………………………………..

3.2.2 Tính n nh c a khung theo ph

ng pháp l c………………………..

3.3 n nh khung ph)ng theo ph ng pháp chuy*n v …………………….

3.3.1 Thi t l p ph n t

m!u cho dùng cho ph

ng pháp chuy n v ……….

3.3.2 Tính n nh c a khung theo ph

ng pháp chuy n v ………………..

3.3.3 n nh c a d m liên t c trên g i c ng theo ph

ng pháp chuy n

v ………………………………………………………………………………………
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 4………………………………………
CH

NG 5: M

U V

NG L C H C CÔNG TRÌNH

5.1 M%  u………………………………………………………………….
5.2 Các d ng t i tr ng  ng…………………………………………………
5.3 Các d ng dao  ng……………………………………………………...
5.4 Khái ni m v  ph ng pháp tính toán c  b n trong dao  ng công trình

5.4.1 Ph

ng pháp t nh…………………………………………………………

5.4.2 Ph

ng pháp n ng l

ng……………………………………………….

5.5 B&c t do c a h àn h i………………………………………………..
Câu h#i ôn t&p và th o lu&n ch ng 5………………………………………
CH

NG 6 DAO

NG C A H CÓ M T B C T DO

6.1 M%  u………………………………………………………………….
6.2 Ph ng trình vi phân t ng quát c a dao  ng…………………………..
6.3 Dao  ng t  do không l c c n………………………………………….

6.3.1

" nh ngh a dao

ng t do………………………………………………

6.3.2 Ph

ng pháp xác nh……………………………………………………

6.4 Dao ng t do có l c c n………………………………………………
6.5 Dao ng c ng b c không l c c n ch u l c kích thích P(t) = Psinrt…

6.5.1 M

u…………………………………………………………………

…...

6.5.2 Ph

ng pháp xác nh ph

ng trình dao

……………………

6.5.3 Cách xác nh h s

ng………………………………………………...

28
29

29
30

30
31
33

33
35

39
40
41

41
42

42
43

43
44

44
45

45
47

47
48

CÁC KÝ HI U VÀ

I L

NG DÙNG TRONG TÀI LI U

H to

Tr$c thanh

x, y

H tr$c chính trung tâm ti t di n

;

ρ θ

To c c

Các c tr ng v t li u

Môdun àn h i khi kéo nén (môdun Young);

H s bi n d ng ngang

Mô un àn h i khi tr t

H s gi n n% vì nhi t c a v&t li u

3. Các c tr ng hình h c

Di n tích m t c"t ngang

Mômen t'nh c a ti t di n

Mômen quán tính

Mômen ch ng u n

, S

Mômen t'nh i v i tr$c x và tr$c y

, I

Mômen quán tính i v i tr$c x và tr$c y

Mômen ch ng u n c a ti t di n trong m t ph)ng yz

Mômen ch ng u n c a ti t di n trong m t ph)ng xz

4. Ngo i l c và ph!n l c

T i t&p trung

T i phân b

Mômen t&p trung

Mômen phân b

Ph n l c g i t a

Ph n l c g i t a n v

T i tr ng tiêu chu+n

T i tr ng tính toán

5. Các "ng su#t

, ,

σ τ

ng su t toàn ph n, ng su t pháp, ng su t ti p

Gi i h n t- l

Gi i h n ch y

Gi i h n b n

trí c a toàn b h theo m t thông s (chuy*n v

c a kh p hay góc xoay

c a

m t trong hai thanh.

Trong th c t công trình xây d ng là h có

vô cùng b&c t  do song trong nhi u tr (ng h p
ta có th*  a h  v  m t s  b&c t  do h u h n  *
nghiên c u g n  úng.
1.5 Các tiêu chí v) s  cân b,ng +n  nh

Trong bài toán n nh công trình có hai tiêu chí v cân b ng n nh là

tiêu chí cân b ng bi*u hi n t'nh h c và tiêu chí cân b ng bi*u hi n n!ng l ng.

1.5.1 Bi u hi n t nh h c

S cân b ng

c mô t d i d ng ph ng trình cân b ng t'nh h c. Song

các i u ki n cân b ng này ch a nói lên

c d ng cân b ng ó là n nh hay

không n nh. * kh)ng nh v n này ta c n kh o sát nó % tr ng thái l ch
kh#i d ng cân b ng ang nghiên c u. * hi*u rõ v n này ta hãy xét m t ví d$

Cho thanh tuy t

i c ng không tr ng l ng,

thanh

c liên k t hai u (hình 1.4)

c ng liên

k t ngàm àn h i (giá tr c a mômen xu t hi n trong
liên k t khi ti t di n % liên k t xoay m t góc b ng

n v ) b ng k. Kh o sát s cân b ng khi

;

Xét thanh % tr ng thái l ch g n v i tr ng thái cân b ng ban u lúc này

thanh b nghiêng m t góc

, trong liên k t ngàm àn h i xu t hi n ph n l c

−

Thi t l&p i u ki n cân b ng

sin

P l

δ θ

θ θ

∗ −

∗

−

Nh ng góc

là góc nh# nên sin

= , do ó ta có:

P l

θ θ

∗

−

= suy ra

∗

;

ó là l c c n thi t * gi cho h % tr ng thái l ch v&y ta có:

khi

, t c là P P

∗

thì h % tr ng thái cân b ng n nh;

khi

, t c là P P

∗

thì h % tr ng thái cân b ng phi m nh;

khi

, t c là P P

∗

thì h % tr ng thái cân b ng không n nh.

& ' (

) *

, -. /

2.3.1 Ph

ng pháp thi t l p và gi i các ph

ng trình vi phân

Theo ph ng pháp này ta ti n hành theo th t 5 b c nh sau:

Thi t l&p ph ng trình vi phân c a (ng bi n d ng c a h % tr ng thái

bi n d ng l ch kh#i tr ng thái ban u.

Tìm nghi m c a ph ng trình vi phân.

Thi t l&p các ph ng trình xác nh nh ng h ng s tích phân và ph n l c

g i t a ch a bi t t các i u ki n biên. T t nhiên s l ng i u ki n biên
c n thi t ph i b ng t ng s các h ng s tích phân và các ph n l c liên k t
ch a bi t.

nh th c c a các h s c a h ph ng trình thu n nh t ph i b ng không

( ) 0

(2.1)

α là h s c a ph

ng trình, ph$ thu c các c tr ng hình h c và ph$ thu c t i

tr ng d i d ng hàm siêu vi t. Ph ng trình (2.1) là ph ng trình c tr ng hay
ph ng trình n nh c a h theo ph ng pháp t'nh.

Ph ng trình n nh (2.1) * tìm các l c t i h n.
Cách gi i này th (ng

c áp d$ng cho nh ng h có vô cùng b&c t do, do

ó v m t lý thuy t ta có th* tìm

c vô s l c t i h n, song ch có l c t i h n

th nh t (nh# nh t) m i là l c t i h n có ý ngh'a th c ti n.

Ph ng pháp này là ph ng pháp chính xác, áp d$ng thích h p cho nh ng

thanh n gi n. Trong các ch ng d i ây, khi nghiên c u s n nh c a các
k t c u c$ th* ta s/ v&n d$ng ph ng pháp này là ch y u.

Ví d 2.1

Xác nh l c t i h n nh# nh t c a thanh có m t u t do và m t u ngàm

nh trên (hình 2.1), EI=const

xác nh l c

tr c tiên ta c n thi t l&p ph ng trình vi phân c a

(

ng àn h i. Cho thanh l ch kh#i d ng cân b ng (ng th)ng và tìm mômen

u n t i ti t di n b t k1 có hoành z:

( )

(

)

M z

= −

−

T giáo trình S c b n v&t li u ta ã bi t:

(

)

EJy

= −

−

Do ó ph ng trình vi phân c a

(

ng bi n d ng có

d ng nh sau:

α δ

. V i

$ -. /

Nghi m c a ph ng trình vi phân

α δ

là

cos

sin

+ ,

trong ó, A và B (là các h ng s tích phân) và δ là i l ng ch a bi t. * xác

nh chúng ta vi t các i u ki n biên:

khi z = 0 ; y = 0 và y’= 0
khi z = l ; y =

T ó suy ra:

cos

sin

Ph ng trình n nh:

( )

cos

sin

= −

suy ra

−

v i

1,2,3...

c t i h n nh# nh t t ng ng v i khi cho

= . Nh v&y, ta tìm

suy ra

2,467

2.3.2 Ph

ng pháp thi t l p và gi i các ph

ng trình

i s

Theo ph ng pháp này ta ti n hành theo th t sau:

T o cho h m t tr ng thái bi n d ng l ch kh#i d ng ban u. Tr ng thái

này

c xác nh theo các chuy*n v t i m t s h u h n các i*m.

C!n c vào các i u ki n cân b ng, i u ki n bi n d ng ta thi t l&p

h  ph ng trình  i s  liên h  gi a các chuy*n v  t i nh ng  i*m kh o sát.
N u xác  nh chuy*n v  t i n  i*m và b# qua các vô cùng bé b&c cao c a
các chuy*n v  thì h  ph ng trình  i s   ó có th*  a v  d ng t ng quát
nh  sau:

12 2

21 11

1 11

2 2

(

)

...

(

)

...

................................................

... (

)

a y

−

(2.2)

Trong ó

- i l ng ph$ thu c thông s c a l c t i h n th i,

- chuy*n v t i i*m th k c a (ng bi n d ng t ng ng v i t i tr ng

t i h n th i,

- các h s ph$ thu c kích th c hình h c và c ng c a h .

H ph ng trình thu n nh t (2.2)

c th#a mãn v i hai tr (ng h p:

* Tr

%ng h p th nh t

: T t c các nghi m

u b ng không. Lúc này h ang

xét không có d ng cân b ng n nh m i khác d ng ban u ngh'a là h ch a
m t n nh.

* Tr

%ng h p th hai

: Các nghi m

t n t i. Lúc này h ang xét có d ng cân

b ng m i khác d ng ban u ngh'a là h % tr ng thái t i h n. i u ki n * cho
h ph ng trình thu n nh t (2.2) có các nghi m

khác không là nh th c các

h s c a (2.2) ph i b ng không.

(

)

...

(

) ...

...

... (

)

−

(2.3)

Ph ng trình (2.3) là ph ng trình c tr ng hay ph ng trình n nh c a

ph ng pháp thi t l&p và gi i ph ng trình i s .
Gi i ph ng trình n nh (2.3) ta s/ xác nh

c n giá tr c a

và t ó suy

ra n giá tr c a l c t i h n.

Mu n tìm bi n d ng c a h t ng ng v i l c t i h n

, ta thay giá tr c a

vào (2.2) ta s/

c h ph ng trình liên h gi a các chuy*n v

. H

ph ng trình này không xác nh nh ng n u cho tr c giá tr c a m t chuy*n v
nào ó, ch)ng h n cho tr c

thì ta có th* xác nh các chuy*n v còn l i theo

và s/ tìm

c d ng bi n d ng c a h .

* Nh n xét

: Ph ng pháp này th (ng

c áp d$ng cho nh ng h có s b&c t

do h u h n.

Ví d 2.2

Xác nh giá tr c a l c t i h n và d ng m t n nh t ng cho h v/ trên

(hình 2.2a), cho bi t c ng c a các thanh b ng vô cùng còn c ng c a c hai
liên k t àn h i b ng k.

H có hai b&c t do ta dùng chuy*n v

và

còn các g i àn h i làm hai

thông s * tính toán (hình 2.2b). Lúc này ph n l c t i các liên k t àn h i:

;

(a)

Còn ph n l c t i các g i c ng A và B

c xác nh t i u ki n cân b ng

c a toàn h :

(b)

T các ph ng trình cân b ng mômen i v i kh p I (xét ph n trên) và i

v i kh p II (xét ph n d i) ta có:

% 2

$ $ -. /

−

(c)

suy ra:

3Py

;

3Py

(c)

ng nh t (b) và (c) ta

(

)

(

)

P y

−

(d)

Ph ng trình n nh:

(

)

(

)

−

(e)

Sau khi khai tri*n nh th c ta

2 2

klP

k l

−

Ph ng trình b&c hai này cho ta hai giá tr l c t i h n:

;

xác nh d ng m t n nh, ta hãy tìm s liên h gi a

và

. T

ph ng trình u c a (d), ta có:

3 )

−

= −

N u cho

= thì t

ng ng v i khi

ta có

= − , còn khi

ta có

= . Các d ng m t n nh v/ trên (hình 2-2c, d)

Ví d 2.3

Xác nh l c t i h n cho thanh có m t u ngàm m t u t do và ch u l c

nén P % u thanh. (Bài toán ã xét trong ví d$ 2.1)

*Nh n xét

: H cho trong ví d$ là h có vô s b&c t do nên khi áp d$ng cách gi i

này s/ cho ta k t qu g n úng
T o cho h m t tr ng thái l ch ban u

* Tr

%ng h p th nh t

: N u ta xem P gây ra bi*u

mômen d ng tam giác. Tính chuy*n v do P gây ra
b ng cách nhân bi*u :

. . .

hay

P l

−

Do ch có m t ph ng trình

i s nên:

Nh v&y sai s so v i k t qu chính xác là 20%

* Tr

%ng h p th hai

: N u ta xem P gây ra bi*u mômen d ng Parabol b&c 2.

Tính chuy*n v do P gây ra b ng cách nhân bi*u

2 .

. . .

hay

5 .

P l

−

Do ch có m t ph ng trình i s nên:

2,4

. Nh v&y sai s so v i k t

qu chính xác là 2,80%

$ & -. /

2.3.3 Ph

ng pháp Sai phân h u h n

N i dung ph ng pháp sai phân là thay th vi c gi i ph ng trình vi phân

b ng vi c gi i h ph ng trình i s thi t l&p d i d ng ph ng trình vi phân.
Theo ph ng pháp này ta ti n hành t ng b c nh sau:

Thay ph ng trình vi phân cân b ng % tr ng thái l ch b ng các ph ng

trình sai phân.

Gi thi t chuy*n v t i m t s i*m c a h % tr ng thái l ch r i s0 d$ng

các ph ng trình sai phân * thi t l&p ph ng trình i s thu n nh t v i
các +n s là chuy*n v .

Thi t l&p các ph ng trình n nh b ng cách cho nh th c c a h

ph ng trình i s b ng không.

Gi i ph ng trình n nh * tìm l c t i h n.

i v i các thanh, khi thay

(

ng chuy*n v là

(

ng cong thành

(

gãy khúc v i kho ng chia z

∆

u nhau d c chi u dài tr$c, ta có sai phân

(hình 2.4).
Ta có

(

)

−

∆ =

−

∆

−

∆

−

∆

= ∆

−

∆

Nên

−

∆

−

∆

N u ph ng trình vi phân (ng bi n d ng c a h có d ng

d y

(2.4)

v i

(2.5)

thì t i m2i i*m i sau khi thay

d y

∆

và thay y b ng

c các ph ng

trình sai phân

−

∆

, v i

$ ,

7 8

hay

(

−

= , v i

1,2,...(

−

(2.6)

trong ó,

∆

(2.7)

* Nh n xét

: Ph ng pháp này áp d$ng có hi u qu cho nh ng tr (ng h p h có

ti t di n thay i theo quy lu&t ph c t p, * t!ng m c chính xác c a ph ng
pháp ta có th* v&n d$ng công th c sai phân b&c cao ho c t!ng s l ng o n
chia, và t t nhiên kh i l ng tính toán c3ng t!ng lên.

hi*u rõ ph ng pháp này ta xét ví d$ sau:

Ví d 2.4

Dùng ph ng pháp sai phân h u h n * xác nh l c t i h n cho thanh có

m t u ngàm m t u t do ch l c nén P (hình 2.5)
Chia i*m chia và ch h tr$c to

nh trên (hình 2.5). Chia thanh thành 3

o n chia b ng

l t c là

= thì s

ph ng trình b ng

1 2

− = còn s +n

s b ng

1 4

+ = . Do ó, c n có hai

i u ki n biên.

i u ki n biên t i u t do:

= .

i u ki n biên t i u ngàm: T i ngàm góc xoay b ng không do ó ta có th*

t %ng t ng kéo dài thanh thêm m t o n r i vi t i u ki n

(hình 2.5).

Nh v&y ta có th* l&p 3 ph ng trình v i s +n s là

y y

và

0 (

(

−

Ph ng trình n nh:

(

2) (

(

−

Nghi m nh# nh t c a ph ng trình:

0,268

P l

∆

v&y

% 2%

$ 9 -. /

NG 3: N NH C A CÁC THANH TH NG

3.1 M& 'u

Trong ch ng 2 chúng ta ã ti n hành nghiên c u các ph ng pháp nghiên

c u bài toán  n  nh công trình. Trong ch ng này chúng ta s/ s0 d$ng nh ng
ph ng pháp nghiên c u  ó  *  i tìm  n  nh cho các thanh th)ng.
N i dung ch  y u c a ch ng này nh  sau:

Ph ng trình t ng quát c a (ng àn h i trong thanh ch u u n d c.

n nh c a các thanh th)ng có liên k t % hai u khác nhau.

K t lu&n và ng d$ng trong tính toán công trình.

3.2 Ph *ng trình t+ng quát c0a

1ng àn h2i trong thanh ch u u(n d c

tìm các ph ng trình t ng quát c a (ng àn h i trong thanh ch u u n

d c m t  n  nh, ta nghiên c u thanh ch u l c nén P % tr ng thái cân b ng bi n
d ng v i các chuy*n v  nh#. Gi  s0 % tr ng thái bi n d ng,  u trái c a thanh có
chuy*n v  theo ph ng tr$c y là  (0)

và chuy*n v góc là '(0)

, ng th(i t i

u trái c a thanh c3ng xu t hi n mômen u n

(0)

và l c c"t (0)

vuông góc

v i v trí ban u c a thanh (hình 3.1)

;+<

B B

Mômen t i ti t di n b t kì c a thanh % tr ng thái bi n d ng:

[

]

( )

(0)

M z

P y

−

T ph ng trình vi phân c a (ng àn h i (trong S c b n v&t li u)

= −

ta có:

[

]

(0)

P y

−

= −

hay:

(0)

(0) )

(0)

−

= −

(3.1)

Trong ó,

(3.2)

Nghi m c a ph ng trình vi phân trên có d ng:

(0)

( )

sin

cos

y z

−

(3.3)

Trong ó,

và

là các h ng s tích phân

c xác nh theo các i u

ki n biên % u trái khi

= . Mu n v&y tr

c tiên ta hãy l y o hàm c a y

theo z , ta có:

(0)

"( )

cos

sin

y z

−

(3.4)

T (3.3) và (3.4) ta có th* vi t i u ki n biên % u trái khi

= nh sau:

(0)

−

(0)

'(0)

−

suy ra

'(0)

(0)

;

(0)

Thay các giá tr v a tìm

c vào

và

vào (3.3) ta

c ph ng trình

c a (ng àn h i:

'(0)

(0)

( )

(0)

sin

(1 cos

)

(

sin

)

y z

−

(3.5)

Trong ph ng trình (3.5) các i l ng (0), '(0), (0)

và (0)

g i là các thông s ban u.

T ph ng trình (3.5) ta tìm

c ph ng trình góc xoay và t ó suy ra

ph ng trình mômen u n trong thanh:

(0)

'( )

'(0)cos

sin

(1 cos

)

y z

−

(3.6)

(0)

( )

"( )

. '(0)sin

(0)cos

sin

M z

EIy z

EI y

= −

−

(3.7)

T i u ki n cân b ng l c nh trên (hình 3.1) ta xác nh

c l c c"t

( )

Q z

theo s thanh không bi n d ng:

( )

(0)

dM z

Q z

−

(3.8)

3.4

n nh c0a các thanh th3ng có liên k$t & hai 'u khác nhau

3.3.1 n nh thanh th ng có liên k t c ng hai

Trong th c t , các thanh th)ng ch u nén có th* có liên k t % hai u d i

các hình th c khác nhau nh sau:

Thanh có hai u là kh p.

Thanh có m t u t do m t u ngàm.

Thanh có m t ngàm, m t u ngàm tr t theo ph ng vuông góc v i tr$c

thanh.

Thanh có m t ngàm, m t u ngàm tr t d c theo tr$c thanh.

Thanh có m t u ngàm và m t u kh p.

xác nh l c t i h n cho nh ng thanh liên k t nói trên, ta có th* áp d$ng

ph ng pháp t'nh h c ho c các ph ng pháp khác nh ph ng pháp n!ng l ng

ã trình bày trong ch ng 2. 4 ây ta áp d$ng ph ng pháp t'nh h c ng th(i

s0 d$ng các ph ng trình t ng quát ã thi t l&p % m$c 3.2, * gi i quy t chính
xác bài toán.

Ch)ng h n xét tr (ng h p th nh t là thanh có liên k t kh p % hai u nh

(hình 3.2)

i v i tr (ng h p này các thông s ba u có các tr (ng h p nh sau:

(0) 0, "(0) ?

(0) 0, '(0) ?

Do ó, t ph ng trình t ng quát (3.5), ta có:

sin

( )

'(0)

y z

Theo i u ki n biên khi

, ( ) 0

y l

= , ta

sin

( )

'(0)

y l

i u ki n này th#a mãn v i hai kh n!ng '(0) 0

= ho c sin

= n u

'(0) 0

= thì ( )

y z

≡ , lúc này thanh v.n th)ng ch a b m t n nh. Mu n cho

l c P t t i giá tr t i h n t ng ng v i tr ng thái m t n nh thì trong h
ph i t n t i tr ng thái cân b ng khác v i tr ng thái cân b ng ban u, do ó

'(0)

ph i khác không .V&y sin

T ó rút ra l k

và t (3.2) ta xác nh

;+<

& $ -. /

v i

1, 2,...

∞ ;

T i tr ng nh# nh t t ng ng v i khi k = 1:

Công th c này là công th c Euler ã quen bi t trong giáo trình S c b n v&t li u.

C3ng áp d$ng ph ng pháp trên ta có th* tìm

c t i tr ng t i h n cho

b n tr (ng h p còn l i, ta có th* bi*u th l c t i h n cho c n!m tr (ng h p trên
d i d ng nh sau:

( )

(3.9)

Trong ó,

là h s ph$ thu c vào d ng liên k t % u thanh có giá tr cho %

B ng 3.1

thanh

0,5

0,7

3.3.2 n nh thanh th ng có liên k t àn h i

Trong th c t , ngoài nh ng thanh có liên k t c ng ã nghiên c u % trên, ta

còn nh ng thanh có liên k t àn h i. Trong m$c này ta s/ nghiên c u cách tính

n nh c a thanh có các d ng liên k t àn h i th (ng g p nh sau:

3.3.2.1 Thanh có m t

u t do m t

u liên k t ngàm àn h i

Trong tr (ng h p này, các thông s ban u có giá tr nh sau:

(0) ?, '(0) ?

(0) 0, (0) 0

Các ph ng trình (3.5) và (3.6) có d ng:

'(0)

( )

(0)

sin

'( )

'(0)cos

y z

i u ki n biên: khi

, ( ) 0

l y l

= và '( )

y l

N u g i

là h s àn h i c a liên k t t c là góc xoay c a ngàm àn h i

do mômen b ng n v gây ra thì trong tr (ng h p này, vì mômen t i ngàm àn
h i b ng

( )

. 0

P y

−

;+<

- -

3π

& & -. /

Nên

(0).

= −

Theo các i u ki n biên ta l&p

c h hai ph ng trình thu n nh t nh sau

xác nh (0)

và '(0)

sin

(0)

'(0)

'(0)cos

(0).

= −

T i u ki n t n t i các thông s (0)

và '(0)

c ph ng trình n nh

sin

( )

cos

−

Sau khi tri*n khai nh th c trên ta có

cos

.sin

−

= hay

l tg l

N u t l v

= và

thì ph ng trình n nh có d ng: cot gv vtg

gi i ph ng trình siêu vi t trên ta dùng ph ng pháp th v i bi n s

là v. Nghi m có ý ngh'a th c t là nghi m cho l c t i h n có giá tr nh# nh t.

Ta có giá tr c a l c t i h n khi

= thì

, do ó:

3.3.2.2 Thanh có m t

u ngàm c ng m t

u có liên k t àn h i

Các thông s ban u:

(0) ?; '(0) ?

(0)

(0) 0; (0)

Trong ó, y là h s àn h i c a liên k t. Ý ngh'a v&t lý c a y là bi n thiên c a

liên k t àn h i do l c n v gây ra.

;+<

3π

& , -. /

Ph ng trình àn h i (3.5) có d ng:

'(0)

(0)

( )

(0)

sin

(

sin

)

y z

−

Theo i u ki n biên khi

l y

= và ' 0

= , ta có:

'(0)

(0)

sin

(

sin ) 0

(0)

'(0)cos

(1 cos ) 0

−

T ó rút ra ph ng trình n nh:

sin

( )

1 cos

cos

−

Sau khi khai tri*n nh th c trên ta

( )

yEI

tg l

−

, hay

yEI

tgv

= −

gi i ph ng trình này ta c3ng dùng ph ng pháp th (hình 3.4b).

T (hình 3.4b) ta th y giá tr c a

n m trong kho ng gi a

và

Khi y = ∞ t c là không có thanh àn h i khi

;

tgv

= −∞

V&y

. Ta l i

c công th c tính l c t i h n cho thanh có m t u

ngàm m t u t do.
Khi

= t c là thanh àn h i tr% thành tuy t

i c ng thì

;

4,493

tgv

v v

V&y

(0,7 )

. Ta l i

c công th c tính l c t i h n c a thanh có m t u

ngàm m t u kh p.

3.2.2.3 Thanh có m t

u ngàm àn h i còn m t

u là liên k t thanh tuy t

c ng
Các thông s ban u:

(0) 0; '(0) ?

(0) 0; (0)

Ph ng trình àn h i (3.5) có d ng:

'(0)

( )

sin

)

y z

−

Các i u ki n biên: khi

; ( ) 0

l y l

= và '( )

. .

y l

R l

. Do ó, ta có:

sin

'(0)

1 cos

'(0)cos

−

Ph ng trình n nh:

sin

( )

1 cos

cos

−

Sau khi khai tri*n nh th c trên ta

1 ( )

tg l

, hay

tgv

tìm nghi m

c a ph ng trình trên, ta c3ng dùng ph ng pháp th

t ng t nh hai tr (ng h p trên. Sau khi bi t

ta d dàng tìm

c l c t i

h n t ng ng.

N u nh

= t c là khi liên k t ngàm àn h i tr% thành ngàm c ng thì

4,493

tgv

v v

& 9 -. /

- chuy*n v t i m t ti t di n nào ó do l c nén P và do t i tr ng ngang

, q

ng th(i tác d$ng gây ra;

- chuy*n v t ng ng do tác d$ng

ng th(i c a l c P và t i tr ng

ngang q

;

- chuy*n v t ng ng do tác d$ng

ng th(i c a l c P và t i tr ng

ngang q

;

Theo nguyên t"c c ng tác d$ng ta có: y= y

T ng t , n u g i y là chuy*n v do tác d$ng ng th(i c a l c P và cho

t i tr ng ngang q b ng n v thì chuy*n v y do tác d$ng ng th(i c a l c P và
t i tr ng ngang q khác n v gây ra s/ b ng:

q y

Nh v&y, ta có th* áp d$ng

c các ph ng pháp tính d a trên c s%

nguyên lí c ng tác d$ng  * gi i bài toán  n  nh h  thanh. Ngoài ra c3ng có th*
m% r ng ph m vi ph m vi áp d$ng công th c xác  nh chuy*n v  và các  nh lí
c  b n % trong C  h c k t c u cho h  thanh ch u u n cùng v i nén.
3.2 Cách tính +n  nh khung ph3ng theo ph *ng pháp l c

3.2.1 Các cách xác nh chuy n v trong thanh ch u u n cùng v i nén ho c kéo

Tr c khi i vào nghiên c u v&n d$ng ph ng pháp l c * gi i quy t bài

toán n nh c a các khung ph)ng ta c n bi t cách xác nh chuy*n v trong
nh ng thanh ch u u n cùng v i nén ho c kéo. T bi*u th c ã quen bi t trong c
h c k t c u

∆

(4.1)

Công th c (4.1) là công th c tính chuy*n v  c a nh ng thanh ch u u n cùng v i
kéo  ho c  nén  trong  ó  ta  ã  b#  qua  các  s   h ng  bi*u  th   nh  h %ng  c a  bi n
d ng d c tr$c và bi n d ng tr t.

3.2.1.1 Thanh

t t do trên hai g i t a kh p

T công th c tính chuy*n v (4.1) ta có

( )

. .

a c l

b d l

a d l

b c l

∆

(4.2)

Trong ó

( )

sin

tgv

−

, tra b ng

(4.3)

3.2.1.2 Thanh m t

u ngàm m t

u t do

T công th c tính chuy*n v (4.1) ta có

. ( )

[ .

]. ( )

b M

a M

b M

∆

(4.4)

Trong ó:

( )

cos

( )

cos

tgv

vgv

tgv

−

, tra b ng

(4.5)

(4.3) và (4.5) là các hàm i u ch nh có k* n nh h %ng c a l c nén P. Có th*
tìm giá tr c a các hàm này theo các i s v qua (B ng 1) c a ph n ph$ l$c.

3.2.2 Tính n nh c a khung theo ph

ng pháp l c

Cho khung siêu t'nh nh (hình 4.1),
Mu n tìm P

ta ti n hành nh sau:

* Ch n h c b n

Vi c ch n h c b n th c hi n nh

trong c h c k t c u. Song c n chú ý v i
các thanh có l c nén P, ph i là các thanh

c thi t l&p % trên. (thanh t t do

trên hai g i t a kh p, ho c thanh m t

u ngàm m t u t do)

* Ph

ng trình chính t

Vì bi*u

(

)

không t n t i nên

các s h ng t do b ng không. Ph ng
trình chính t"c nh sau:

...

(4.6)

xác nh các h s trong ph ng trình chính t"c i v i các thanh không

có l c nén ta nhân bi*u nh bình th (ng.

i v i các thanh nén ta l y k t qu

t m$c trên.

Trong bài toán n nh ta v.n s0 d$ng

c tính ch t t ng h2

* Ph

ng trình n nh

T i u ki n t n t i nghi m X

ta có ph ng trình n nh:

' G H 7 >G

7 C7 *

Ví d 4.1
Xác nh l c t i h n P

cho h khung (hình 4.2)

I32

, $

' G H

* Ch n h c b n nh (hình 4.2b)
* Ph ng trình n nh

xác nh

ta c n v/ bi*u mô men u n do l c

= cùng v i l c

nén P gây ra trong h c b n (hình 4.2c) và bi*u mô men u n do riêng l c

= gây ra trong h c b n. Ti p ó s0 d$ng công th c (4.1) ho c cách nhân

bi*u .

Bi*u mômen u n do riêng l c ngang

= gây ra có d ng

(

nét trên (hình 4.2c).

V i thanh có l c nén P ta c n áp d$ng công th c (4.5) trong ó thay

= , M

= 0; a = 0; b = 1. V i các thanh khác, ta v.n áp d$ng cách nhân

bi*u nh ã quen bi t, k t qu :

[

]

( )

( ) ;

v i

Sau khi v/ bi*u

mô men u n do l c

= gây ra trong h c b n

(hình 4.2d) ta d dàng tìm

c các k t qu còn l i. K t qu :

;

và

;

Ph ng trình n nh:

[

]

[

]

{

}

2 1

( )

4 1

( )

2.25

−

= .

Suy ra:

( )

0.4375

= −

S0 d$ng B ng 1 trong ph$ l$c, ta tìm ra

c: v = 2.79

Do ó:

7.78

3.3 n nh khung ph3ng theo ph *ng pháp chuy%n v

3.3.1 Thi t l p ph n t

m!u cho dùng cho ph

ng pháp chuy n v

Ta có các thông s ban u: ϕ

và ϕ

- góc xoay t i hai u a và b c a thanh

v i quy c chi u d ng là chi u quay thu&n chi u kim ng h .

∆ - chuy*n v t

ng i gi a hai u a, b theo ph ng vuông góc v i tr$c

thanh, chi u d ng quy nh trên (hình 4.3)

, &

B K B

-L

M 1N

N i l c trong thanh

c bi*u th b ng các công th c sau:

(

)

µ ϕ

∆

−

(4.6)

(

)

µ ϕ

∆

−

(4.7)

(

)(

)

∆

= −

−

(4.8)

Trong ó

;

tgv

−

sin

;

2sin

−

;

2 2

v tg

−

;

2 2

−

Trên c s% các bi*u th c (4.6), (4.7) và (4.8) ta có th* d dàng tìm

ph n l c t i hai u thanh cho các ph n t0 m.u th (ng g p khi tính toán n nh
c a h thanh theo ph ng pháp chuy*n v . K t qu c$ th* t ng ng v i t ng
tr (ng h p

c ghi trên B ng 4.1

B!ng 4.1

Th"

D ng chuy%n v và bi%u 2

mômen

( )

3 .i

( )

−

( )

−

( )

4 .i

( )

2 .i

( )

−

( )

−

( )

tgv

sin

−

3.3.2 Tính n nh c a khung theo ph

ng pháp chuy n v

* Ch n h c b n

Vi c ch n h c b n t ng t nh ph ng pháp tính chuy*n v tính b n

c a c h c k t c u, có ngh'a là t thêm các liên k t ng!n c n chuy*n v th)ng
và chuy*n v xoay t i các nút.

* Ph

ng trình chính t

Vì t i tr ng ch có l c nén nên không xu t hi n mômen u n có ngh'a là các

h s t do

= . Ph

ng trình th k có d ng

11 1

...

r Z

(4.9)

Các h s

c xác nh t các bi*u

. i u khác bi t v i khi tính

toán b n là các h s

trong ph ng trình n nh ph$ thu c vào l c nén P

trong ó khi tính b n

ph$ thu c

= .

* Ph

ng trình n nh

H ph ng trình thu n nh t có hai kh n!ng. V i nghi m t m th (ng

= thì h n nh. Khi t n t i

≠ thì xu t hi n d ng cân b ng m i khác

tr c v tính ch t h không n nh. Ta có ph ng trình

T ph ng trình n nh ta tìm

c P

, song ch a th* tìm

(

bi n d ng b%i

≠ nh vô nh. Ta có th* cho m t giá tr

= , r i tìm các

giá tr

còn l i theo h ph ng trình chính t"c.

Ví d 4.2
Xác nh l c t i h n cho h khung trên (hình 4.4a)

, ϕ

; - <

' G H

2+ Q

, ϕ

;- <

6B A R S

G -

6B A R S

G -

, , -. /

1 B

7 >G

7 C7

B%6 -

H có hai +n, h c b n nh trên (hình 4.4). Trên hình có ghi c ng n v c a

các thanh theo

Thông s v trong các thanh ch u nén

- Thanh ng bên ph i:

Thanh ng bên trái:

0,8

αν

Ph ng trình n nh:

11 22

r r

−

= .

Các bi*u mômen u n

n v nh trên (hình 4.4c,d). Áp d$ng ph ng pháp

tách nút ho c m t c"t, ta xác nh

0 2

(

) 3

(

) 11]

ϕ α

4 ;

0 2

( ) 8

4 [ ( ) 2]

Ph ng trình n nh trong tr (ng h p này s/ là:

4 [4 (

) 11 ][ ( ) 2] 16

ϕ α

−

Hay:

( ). (

) 2 (

) 2.75 ( ) 4.5 0

ϕ α

= .

(a)

Có th* gi i ph ng trình siêu vi t này b ng cách th0 d n. * làm gi m nh

vi c tìm nghi m, tr c tiên ta hãy xác nh ph m vi có th* tìm nghi m v

c a

ph ng trình. Vì v

t- l v i t i tr ng t i h n và xu t phát t ý ngh'a v&t lí c a

bài toán là giá tr t i tr ng t i h n c n tìm ph i n m trong kho ng gi a hai
tr (ng h p: khi hai l c P

= P

và khi P

= P

= 0,8P

. Do ó, ta có th* tìm

c&n d i v’ và ti m c&n trên v” c a nghi m v

t ph ng trình (a) nh sau:

Khi P

= P

t c là v

= v

= v’

; ph ng trình (a) có d ng:

( ) 4,75 ( ) 4,5 0

(b)

Nghi m nh# nh t c a (b):

( ')

1,307

= −

suy ra v’= 5,46

Khi P

= P

= 0,8P

t c là v

= v

v”

v i

0,8 0,89443

; ph ng

trình (a) có d ng:

(

") 4.75 (

") 4,5 0

ϕ α

(c)

Nghi m nh# nh t c a (c):

(

1,307

ϕ α

= −

suy ra

" 5,46

và

v”=

6,10.

Nh v&y, nghi m v

c n tìm n m trong kho ng 5,46 < v

<6,10

N u g i:

( ). (

) 2 (

) 2.75 ( ) 4.5

ϕ α

∆ =

(d)

Khi v

5.46 ta có: ∆ > 0;

Khi v

6.10 ta có: ∆ < 0;

Trong l n th0 th nh t, ta ch n v

5.8, s0 d$ng b ng 2, trong ph n ph$

l$c ta tìm

c giá tr c a bi*u th c (d):

2,54

∆ = −

Do ó, ph m vi x+y ra nghi m v

c a ph ng trình (a)

c thu h p nh sau:

5.46 < v

5.8

Ti p t$c thu h p d n ph m vi qua các l n th0 t ng t , cu i cùng ta

5.56

suy ra

30.9

v EI

;

Ví d 4.3

Xác nh l c t i h n cho h khung trên (hình 4.5a)

H có hai +n, h c b n nh trên (hình 4.5b), trên hình có ghi c ng

n v

theo các thanh theo i

Thông s v trong thanh ch u nén:

;

+ 93

+ 9

P 2

' G H

6B A R S

G -

6B A R S

G -

, , @

1 B

7 >G

7 C7

B%6 -

Ph ng trình n nh:

11 22

r r

−

= .

Các bi*u

mômen u n

n v nh trên (hình 4.5c,d). Áp d$ng ph ng

pháp tách nút, ta tìm

7.5 ;

1.5i

= −

xác nh r

ta v&n d$ng ph ng pháp m t c"t và tìm l c c"t trong thanh

ch u nén theo s li u % (B ng 4.1). K t qu :

(1.5

−

Ph ng trình n nh trong tr (ng h p này s/ là:

[7.5(1.5

) 1.5 ] 0

−

= hay

7.5

9 0.

− =

Suy ra:

1.2

và

1.2

v EI

3.3.3 n nh c a d m liên t c trên g i c ng theo ph

ng pháp chuy n v

Bài toán n nh c a d m liên tuc trên các g i c ng ã

c nghiên c u

khá y theo nhi u ph ng pháp khác nhau. Trong m$c này ch c&p cách
tính d m liên t$c ch u các l c d c tr$c theo ph ng pháp chuy*n v .

, 9 @

Th t th c hi n bài toán nh i v i bài toán tính n nh khung ph)ng.

Ph ng trình chính t"c th k

11 1

...

r Z

Ph ng trình n nh:

Ph ng trình n nh có

c t i u ki n

≠ . V i d m liên t$c còn x+y ra

tr (ng h p m t n nh khi

= .

Ví d 4.4

Xác nh l c t i h n cho h d m trên (hình 4.6a)

&I3

;- <

&I3

, U

Thông s v trong thanh ch u nén:

;

1,5.

1,5

.1,5.

Ph ng trình chính t"c:

11 1

r Z

]

%; <

%::^+

P24 %::

]

; <

U Y

NG 6 DAO

NG C A H CÓ M T B C T DO

6.1 M& 'u

nghiên c u dao ng công trình tr c h t ta ph i nghiên c u dao ng

c a h có m t b&c t do t ó khái quát lên cho bài toán nhi u b&c t do c3ng
nh tính toán dao

ng c a các công trình. Trong ch ng này chúng ta s/

nghiên c u nh ng v n sau:

Ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng

Dao ng t do không l c c n

Dao ng t do có l c c n

Dao ng c ng b c không l c c n ch u l c kích thích

( )

sin

P t

6.2 Ph *ng trình vi phân t+ng quát c0a dao ng

Trong tr (ng h p t ng quát xét m t d m

n gi n àn h i không tr ng

l ng có m t kh i l ng t&p trung M ch u tác d$ng c a các nguyên nhân sau:

L c tác d$ng P(t)

L c quán tính c a kh i l ng

. ''

M y

= −

L c c n R t- l v i v&n t c

. '

(R ng c chi u v i chuy*n ng)

t- s d c tr ng cho l c c n

Bài toán dao ng m t b&c t do s/

có các c tr ng nh sau:

là chuy*n v theo ph ng

chuy*n

ng t i i*m

t kh i

l ng M, do l c

n v tác d$ng

t'nh t i M gây ra;

là chuy*n v theo ph ng

chuy*n

ng t i i*m

t kh i

l ng M, do l c

n v tác d$ng

t'nh t i i*m

t l c kích thích

gây ra;

Nh v&y chuy*n v y(t) c a kh i l ng s/ b ng

( )

y t

P t

−

hay

%; <

]

U $ Y

1 R

( )

. . ''

y t

P t

M y

δ β

−

chia c hai v cho

và sau khi chuy*n i và t

và 2

; thì ta

( )

'' 2

P t

ω δ

(6.1)

Ph ng trình (6.1) là ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng h m t

b&c t do có k* n l c c n.
6.3 Dao ng t do không l c c!n

6.3.1

" nh ngh a dao

ng t do

Dao

ng t do c a h là dao

sinh ra b%i m t kích ng b t k1 tác d$ng
trên h r i c t i t c th(i.

6.3.2 Ph

ng pháp xác nh

T ph ng trình t ng quát (6.1) khi b# i các y u t l c c n và l c kích

thích ph ng trình dao ng c a h m t b&c t do không có l c c n có d ng:

(6.2)

ây là ph ng trình vi phân c p hai không có v ph i và h s là h ng s

nghi m c a ph ng trình vi phân có d ng:

cos

sin

(6.3)

Trong ó: A và B là các h ng s tích phân, các h ng s tích phân

c xác nh

theo i u ki n ban u
Khi

= thì

& '

thay các i u ki n này vào ph ng trình (6.2) &

(6.3) ta xác nh

;

Nh v&y ph ng trình dao ng có d ng:

cos

sin

(6.4)

Ph ng trình (6.4) là ph ng trình dao  ng  i u hoà do v&y nó có tính ch t c a
dao  ng  i u hoà nh  dùng véc t  quay  * bi*u di n dao  ng.
* Chu k( dao  ng:

Là th(i gian c n thi t * kh i l ng th c hi n

c m t dao

ng toàn

ph n và

c ký hi u là T

; (s)

(6.5)

* T n s dao ng: Là s l n dao ng c a kh i l ng trong m t giây

; (1/s). t ó suy ra

2 . f

(6.6)

là t n s vòng c a dao ng riêng (hay g i t n s dao ng riêng)

Theo k t qu % trên ta xác nh

c t n s dao ng riêng:

;

(1/s)

(6.7)

Trong ó:

- là gia t c tr ng tr (ng;

- chuy*n v c a kh i l ng M do l c P = M.g tác d$ng t'nh t i i*m t

kh i l ng gây ra;

Ví d 6.1

Xác nh t n s vòng và chu k1 dao ng

riêng c a d m ch u tác d$ng c a l c P= 0,75

(hình 6.3). D m có chi u dài l = 1m ti t

di n vuông m2i c nh là 4cm cho bi t g = 981

cm/s

. E = 2,1.10

kN/cm

Bài gi i

võng c a d m t i i*m C d i tác d$ng t'nh c a l c P

c xác nh:

256

Theo công th c (6.7) ta có:

256 2,1.10 .21,3

981.

70,6

100 .0,75

−

Chu k1 dao ng riêng:

2.3,14

0,089

70,6

Ví d 6.2

Xác nh t n s và chu kì dao ng các gi i h n truy n ng c a thanh thép

không tr ng l ng ch u l c nh (hình 6.4) cho bi t:

P= 3,50 kN

(t i tr ng tác d$ng u thanh)

I = 2140 cm

, E = 2,1.10

kN/cm

U &

-. / U

]

Bài gi i

Chuy*n v t'nh t i u thanh do l c n v tác d$ng (b# qua nh h %ng c a

u n d c)

150

0,025

3.2,1.10 .2140

cm kN

T n s vòng:

981

104,5.

3,50.0,035

−

Chu k1 dao ng:

2.3,14

0,0602

104,5

T n s dao ng:

16,6

0,0602

6.4 Dao ng t do có l c c!n

6.4.1 M

Trong ph n này ta s/ th y r ng v n dao ng

c gi m i r t nhi u n u

gi thi t gi m ch n t- l v i v&n t c. Sau ây ta s/ nghiên c u t- m- tr (ng h p
dao ng t"t d n do s c c n nh t gây ra.

6.4.2 Ph

ng pháp xác nh

T ph ng trình t ng quát (6.1) ph ng trình vi phân dao ng có l c c n

có d ng:

'' 2

(6.8)

Trong ó

và 2

;

Ph ng trình c tr ng c a ph ng trình vi phân (6.8) có d ng

−

Nghi m c a ph ng trình c tr ng này là:

= − +

−

= − −

−

V&y nghi m c a (6.8) có d ng t ng quát

U ,

-. / U $

(

)

C e

−

Ta th y nghi m c a ph ng trình vi phân ph$ thu c quan h t- l gi a

và

N u

α ω

(l c c n nh#) thì nghi m c a ph ng trình c tr ng có nghi m

N u

(l c c n l n) thì nghi m c a ph ng trình c tr ng có nghi m

th c;
Chu k1 dao ng dao ng khi có l c c n:

α
ω

−

(6.9)

Ta th y

α
ω

−

*Nh n xét

Nh v&y l c c n làm cho chu k1 dao ng dài h n, t t nhiên khi ó t n s

dao ng gi m, ngh'a là dao ng x+y ra ch&m h n dao ng t do.
6.5 Dao ng c 4ng b"c không l c c!n ch u l c kích thích P(t) = Psinrt

6.5.1 M

Trong m$c này chúng ta s/ nghiên c u tr (ng h p dao ng không có l c

c n ch u l c kích thích i u hoà P(t) = Psinrt. Vi c nghiên c u bài toán này
nh m m$c ích giúp ng (i thi t k có thêm ki n th c v dao ng kích thích.

6.5.2 Ph

ng pháp xác nh ph

ng trình dao

T ph ng trình (6.1) ph ng trình vi phân dao ng ch u l c kích thích

không l c c n có d ng:

. sin

ω δ

(6.10)

Nghi m c a ph ng trình (6.10) s/ là:

(

)

cos

sin

r d

δ ω

τ τ

−

(6.11)

Tính tích phân bi*u th c

(

)

sin

sin - sin

r d

τ τ

−

Thay k t qu này vào ph ng trình (6.11) k t h p v i ph ng trình (6.4)ta

cos

sin

−

hay

cos

sin

. sin

sin

−

(6.12)

Trong (6.12) ba s h ng u ch là dao ng t do c a h , hai s h ng u

ch a i u ki n ban u c a h .

N u th(i i*m t nào ó khi y

= 0

, v

= 0

, ta có:

. sin

sin

−

(6.13)

(hình 6.5)là chuy*n v t i kh i l ng M do biên P c a l c

kích thích tác d$ng t'nh gây ra, nên

U 9 B%6 - V 1

]

; <

. sin

sin

−

(6.14)

T ph ng trình (6.14) ta th y r ng ph ng trình dao ng g m hai ph n:

m t ph n dao ng v i t n s l c kích thích r và m t ph n v i t n s dao ng
t do. Tuy nhiên, nh ta ã bi t sau khi dao ng i vào n nh thành ph n dao

ng t do s/ b l c c n (tuy nh#) làm m t i. Dao ng chuy*n sang chu kì và

t n s c a dao ng c a l c kích thích:

.sin

−

(6.15)

6.5.3 Cách xác nh h s

H s ng là h s nh h %ng c a t i tr ng ng so v i t i tr ng t'nh, t

ph ng trình (6.15) ta suy ra

.sin

−

(6.16)

Biên l n nh t c a chuy*n v ng khi:

sin

= ; do ó:

−

(6.17)

Trong tr (ng h p này h s ng:

−

(6.18)

T ng t nh vi c xác nh y

ta l n l t thi t l&p cho các giá tr n i l c và

ng su t ng theo các l c tính nh sau:

Giá tr mômen ng:

M K

(6.19)

Giá tr ng su t ng

(6.20)

Ví d. 6.3

Cho d m

n gi n ch u l c c ng b c nh (hình 6.6). T i kh i l ng M

ch u l c kích

( )

sin

P t

. Cho bi t I = 8950 cm

, E = 2,1.10

kN/cm

, l = 6m, g =10m/s

Bài gi i

U U

-. / U &

; <2

]

a. T n s dao ng riêng, t n s dao ng k thu&t

(

)

( )

(

)

3.30. 600

0,404

256

256.2,1.10 .8950

T n s dao ông riêng

(

)

1000

49,75 1/

0,404

Chu kì dao ng riêng

2.3,14

0,126

49,75

T n s dao ng k thu&t

476

0,126

(1/phút)

b. Xác nh h s ng, biên dao ng c ng b c và ng su t l n nh t phát
sinh trong d m

T n s dao ng c ng b c

(

)

2.3,14.400

41,89 1/

H s ng khi ch u l c c ng b c

3,61

41,89

49,75

−

ng su t l n nh t phát sinh trong d m

(

)

3.30.600

3,61.

20,35

16.579

kN cm

6.6 M t s( "ng d.ng trong k5 thu t c0a lý thuy$t dao ng

Lý thuy t dao ng ã

c ng d$ng nhi u trong k thu&t, c bi t là ng

d$ng trong thi t k và thi công các công trình xây d ng. Sau ây chúng ta tìm
hi*u m t s ng d$ng c a lý thuy t dao ng trong thi t k và thi công các công
trình xây d ng.

6.6.1

" m àn h i c a máy

Nh ng máy quay, m t cân b ng s/ truy n vào móng máy nh ng l c kích

ng tu n hoàn, gây n ào và t o nên nh ng dao ng có h i cho máy. * làm

gi m hi n t ng có h i y ng (i ta th (ng dùng m máy àn h i. Ta xem máy
nh là v&t có kh i l ng m, quay v i v&n t c b t k1 r và l c ly tâm là P. N u o

các góc nh trên (hình 6.7a) ta có thành ph n th)ng

ng và thành ph n n m

ngang c a l c kích ng là Psinrt và Pcosrt. N u máy g"n ch t vào móng c ng
(hình 6.7a) thì v&t s/ b t ng v i móng và toàn b l c ly tâm

c truy n vào

móng. * làm gi m tác d$ng vào móng ng (i ta

t máy trên

m àn h i

(hình 6.7b) và t các liên k t sao cho có th* h n ch

c chuy*n ng ngang

c a máy. Do cách b trí nh v&y nên ta có m t h dao ng g m v&t có kh i
l ng là m t trên lò xo th)ng ng. Mu n xác nh

c l c th)ng ng thay

i truy n cho móng qua lò xo, ta c n kh o sát dao ng c a v&t d i tác ng

c a l c kích ng Psinrt. Ta có th* vi t

c ph ng trình dao ng c a máy có

tính n l c c n:

U c d'

C% @

(

)

sin

−

(6.21)

Mu n cho biên

dao

ng nh#, thì t n s dao

ng t do

c a kh i

l ng m t trên lò xo c n ph i nh# h n nhi u l n so v i r c a l c kích ng.

Gi s0 n u

, thì ngay c khi b# qua l c c n, ta có:

(

)

1 10

≈

−

(6.22)

i u ó ch ng t# r ng khi l c c n r t nh#, biên dao ng dao ng l n

nh t b ng 1% chuy*n v t'nh

c a kh i l ng d i tác d$ng c a P. Nh

v&y, áp l c n n do l c Psinrt

c xem nh b ng không nên máy t trên n n

h u nh ch b ng t i tr ng t'nh c a nó.

CÂU H-I ÔN T P VÀ TH O LU N NHÓM CH

NG 6

1. Tìm hi*u k t c u công trình trong th c t có th*

a v h dao ng có m t

b&c t do?

NG 7: DAO

NG C A H CÓ M T S B C T DO

7.1 M& 'u

ch ng tr c chúng ta ã nghiên c u dao ng c a h có m t kh i l ng

tuy nhiên trong th c t công trình xây d ng khi

c n gi n hoá s/ có n b&c t

do n u ta xem kh i l ng c a công trình

c t t i có m c sàn. Trong ch ng

này chúng ta nghiên c u nh ng v n sau:

Ph ng trình vi phân t ng quát c a dao ng có n b&c t do;

Dao ng riêng c a h có n b&c t do;

Phân tích t i tr ng và dao ng theo các d ng chính;

Dao ng c ng b c P(t) = Psinrt.

7.3

Ph *ng trình vi phân t+ng quát c0a dao ng có n b c t do

thi t l&p cho bài toán có n b&c t do tr c h t ta xét cho bài toán có hai

b&c t do sau ó phát tri*n cho bài toán có n b&c t do.

Trong tr (ng h p t ng quát xét m t d m

n gi n àn h i không tr ng

l ng có hai kh i l ng t&p trung

và M

ch u tác d$ng c a các nguyên nhân

L c tác d$ng P(t)

L c quán tính c a kh i l ng

M y

= −

và

M y

= −

(7.1)

L c c n R t- l v i v&n t c

và

ng c chi u v i

chuy*n ng)

(7.2)

t- s c tr ng cho l c c n

c Y

; <

P 24 %::

%::^+

% ; <

]

% ; <

P 24 %::

%::^+

Bài toán dao ng hai b&c t do s/ có các c tr ng nh sau: