NapręŜenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym
Czyste zginanie – bez działania siły poprzecznej.
W kaŜdy przekroju pręt obciąŜony momentem gnącym o stałej wartości.
Linie prostopadłe do osi pręta, np. bb i cc, pozostają proste, a kontur nadal
płaski. Całe przekroje zachowują swoją płaskość. Dzieląc w myśli belkę na
podłuŜne elementy, zwane włóknami – po stronie wklęsłej ulegają skróceniu i
odległości między przekrojami prostopadłymi do osi zmniejszyły się.
W pręcie istnieje warstwa, w której włókna nie zmieniły swojej długości.
Warstwa – warstwa obojętna, a ślad w płaszczyźnie przekroju pręta –linią (
osią
)
obojętną
. W przekroju występują
napręŜenia normalne
.
x
y
M
g
M
g
z
M
x
dx
dx
y
x
y
b
c
b
c
x
b
’
M
g
M
g
b
’
c
’
c
’
a)
x
y
M
g
M
g
z
M
x
dx
dx
y
x
y
b
c
b
c
b)
x
y
M
g
M
g
ρ
M
g
y
z
y
dA
σ
ds=dx
ds(1+
ε
)
ρ
y
y
σ
-
+
d
ϕ
( )
ρ
−
=
+
ρ
−
ε
+
ds
y
1
ds
Po odkształceniu wszystkie linie siatki są do siebie prostopadłe
1. Warunki geometryczne
Rys. a) – pręt przed odkształceniem i po zgięciu (rys. b).
y – włókno odległe od osi obojętnej – długość pierwotna
ds
dx
=
, po odkształceniu
wynosi
)
1
(
ε
+
ds
,
−
ε
wydłuŜenie właściwe. Z zaleŜności geometrycznych
(
)
ρ
−
=
+
ρ
−
ε
+
ds
y
1
ds
a stąd
ρ
−
=
ε
y
(1)
−
ρ
promień krzywizny warstwy obojętnej.
Siły zewnętrzne działające po jednej stronie przekroju belki redukują się do momentu M
g.
Uwzględniając wewnętrzne siły elementarne
dA
σ
tworząc przestrzenny układ sił
równoległych, moŜna dla odciętej części belki napisać równania równowagi.
2. Warunki równowagi
0
dA
,
0
P
A
x
=
σ
=
∑
∫
(2)
0
dA
z
,
0
M
A
y
=
σ
=
∑
∫
(3)
∑
∫
=
−
σ
=
0
M
dA
y
,
0
M
g
A
z
(4)
3. Warunki fizyczne (prawo Hooke’a):
σσσσ
= E
εεεε
.
Wykorzystując warunki geometryczne otrzymujemy:
ρ
−
=
σ
y
E
(5)
Rozkład napręŜeń w przekroju – wartość proporcjonalna do odległości od osi
obojętnej przekroju.
∫
∫
∫
=
−
=
−
=
−
A
g
A
A
M
dA
y
E
dA
z
y
E
dA
y
E
2
,
0
,
0
ρ
ρ
ρ
(6)
Uwzględniając
∫
=
A
z
I
dA
y
2
osiowy moment bezwładności, moŜna zapisać
z
g
EI
M
−
=
ρ
1
,
EI
z
–
sztywność na zginanie
.
Wstawiając
Ey
σ
ρ
=
−
1
z
I
y
g
M
σ
=
Wytrzymałość na zginanie
NapręŜenia w przekrojach poprzecznych belki. ZauwaŜalne róŜnice
promienia krzywizny włókien poprzecznych
ρ
’
.
Wytrzymałość na zginanie.
y
e
1
e
2
y
σ
σ
2
σ
1
Oś obojętna
.
I
e
M
,
I
e
M
z
2
g
2
z
1
g
1
=
σ
=
σ
Przyjmując
2
z
2
1
z
1
e
I
W
,
e
I
W
=
=
, otrzymujemy
2
g
2
1
g
1
W
M
,
W
M
=
σ
=
σ
, gdzie W
1
, W
2
są to wskaźniki wytrzymałości na zginanie. JeŜeli e
1
=e
2
, W
1
=W
2
= W i wtedy warunek
wytrzymałości belki zginanej będzie miał postać:
dop
max
g
W
M
σ
≤
σ
=
.
Przykład.
d
d+2g
Przykład. Taśmę stalową o grubości g i szerokości b
opasano wokół pobocznicy walca o średnicy d.
Wyznaczyć
ś
rednicę
walca
jeŜeli
napręŜenia
dopuszczalne dla stalowej taśmy wynoszą 470 [MPa].
Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy:
∫
∫
∫
=
ρ
−
→
=
ρ
−
=
ρ
−
=
ρ
−
A
g
z
g
2
A
A
.
M
I
E
,
M
dA
y
E
,
0
dA
z
y
E
,
0
dA
y
E
Po przekształceniach napręŜenie wyrazi się wzorem:
z
g
I
y
M
=
σ
.
Przykład:
Dla belki jak na rysunku przyjmiemy l=200[mm],a=40[mm], b=4[mm], h=8[mm],
P=120[N]. W środkowej części belki dla -60 < x < 60[mm] będzie istniał stały moment
zginający M
g
= 4800[Nmm]. Moment bezwładności przekroju belki względem osi z wynosi:
]
[
12
8
4
4
3
mm
I
z
⋅
=
natomiast napręŜenia po wysokości belki zmieniają się następująco
12
8
4
y
4800
3
=
σ
Dla y =0.5h napręŜenia posiadają wartość maksymalną
σ
max
= 112.5[MPa].
Belkę tą obliczono metodą elementów skończonych jako bryłę przestrzenną. W
zdeformowanej postaci belki (przemieszczenia w skali 20:1) rozkład napręŜenia
przedstawiono na rysunku poniŜej.
y
x
60
σ
[MPa]
W kaŜdym przekroju belki występuje identyczny rozkład napręŜeń. Przekroje poprzeczne
belki odkształconej są nadal płaskie ale doznają deformacji jak na rysunku poniŜej.
σ
y
-
σ
max
σ
max
σ
[MPa]
y
ρ
’
WydłuŜenie względne włókien poprzecznych wynosi
ε
’
= -
ν
ε
. ZaleŜności geometryczne
dla włókien poprzecznych są identyczne jak dla włókien podłuŜnych, czyli
.
stąt
,
y
'
'
'
ν
ρ
−
=
ρ
ρ
−
=
ε
x
y
σ
[MPa
y
max
P
NapręŜenia normalne w symetrycznej połowie belki.
z
y
σ
[MPa]
ρ
’
σ
[MPa]
z
y
ρ
’
NapręŜenia normalne w zdeformowanym
przekroju x=20[mm], (przemieszczenia w
skali 30:1).
NapręŜenia normalne w zdeformowanym
przekroju x=70[mm],
(przemieszczenia w skali 30:1).
x
R
R
Q
Q
L
Q
Q
a
a
Przykład belki drewnianej jako niejednorodnej.
P
40
240
300
P
40
1
2
3
Włókna miękkie
20
20
Włókna twarde
Przekrój poprzeczny belki.
P
40
120
150
1
2
3
Model zastępczy belki.
P
R
1
R
3
M
1
x
Belka uwolniona z więzów
x
2
1
3
Mg
+
Wykres momentów
gnących.
x
2
1
3
T
R
3
-
Wykres sił tnących.
y
x
W
0
a)
b)
σ
x
[MPa]
Rozkład napręŜenia
σ
x
od zginania belki
obliczanej jakotarczy:
a) w całej tarczy (przemieszczenia w
skali(50 :1),
b) w środkowej części tarczy.
σ
x
[MPa]
y[mm]
a)
b)
Rys.6 Zmiana składowej napręŜenia po wysokości tarczy w jej przekroju środkowym:
krzywa a) dla drewna naturalnego, krzywa b) dla drewna modyfikowanego.