Naprężenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym

Czyste zginanie – bez działania siły poprzecznej.

W każdy przekroju pręt obciążony momentem gnącym o stałej wartości.

Linie prostopadłe do osi pręta, np. bb i cc, pozostają proste, a kontur nadal

płaski. Całe przekroje zachowują swoją płaskość. Dzieląc w myśli belkę na

podłużne elementy, zwane włóknami – po stronie wklęsłej ulegają skróceniu i

odległości między przekrojami prostopadłymi do osi zmniejszyły się.

W pręcie istnieje warstwa, w której włókna nie zmieniły swojej długości.

Warstwa – warstwa obojętna, a ślad w płaszczyźnie przekroju pręta –linią (

osią

)

obojętną

. W przekroju występują

naprężenia normalne

.

x

y

M

g

M

g

z

M

x

dx

dx

y

x

y

b

c

b

c

x

b

’

M

g

M

g

b

’

c

’

c

’

a)

x

y

M

g

M

g

z

M

x

dx

dx

y

x

y

b

c

b

c

b)

x

y

M

g

M

g

ρ

M

g

y

z

y

dA

σ

ds=dx

ds(1+

ε

)

ρ

y

y

σ

-

+

d

ϕ

( )

ρ

−

=

+

ρ

−

ε

+

ds

y

1

ds

Po odkształceniu wszystkie linie siatki są do siebie prostopadłe

1. Warunki geometryczne

Rys. a) – pręt przed odkształceniem i po zgięciu (rys. b).

y – włókno odległe od osi obojętnej – długość pierwotna

ds

dx

=

, po odkształceniu

wynosi

)

1

(

ε

+

ds

,

−

ε

wydłużenie właściwe. Z zależności geometrycznych

(

)

ρ

−

=

+

ρ

−

ε

+

ds

y

1

ds

a stąd

ρ

−

=

ε

y

(1)

−

ρ

promień krzywizny warstwy obojętnej.

Siły zewnętrzne działające po jednej stronie przekroju belki redukują się do momentu M

g.

Uwzględniając wewnętrzne siły elementarne

dA

σ

tworząc przestrzenny układ sił

równoległych, można dla odciętej części belki napisać równania równowagi.

2. Warunki równowagi

0

dA

,

0

P

A

x

=

σ

=

∑

∫

(2)

0

dA

z

,

0

M

A

y

=

σ

=

∑

∫

(3)

∑

∫

=

−

σ

=

0

M

dA

y

,

0

M

g

A

z

(4)

3. Warunki fizyczne (prawo Hooke’a):

σσσσ

= E

εεεε

.

Wykorzystując warunki geometryczne otrzymujemy:

ρ

−

=

σ

y

E

(5)

Rozkład naprężeń w przekroju – wartość proporcjonalna do odległości od osi
obojętnej przekroju.

∫

∫

∫

=

−

=

−

=

−

A

g

A

A

M

dA

y

E

dA

z

y

E

dA

y

E

2

,

0

,

0

ρ

ρ

ρ

(6)

Uwzględniając

∫

=

A

z

I

dA

y

2

osiowy moment bezwładności, można zapisać

z

g

EI

M

−

=

ρ

1

,

EI

z

–

sztywność na zginanie

.

Wstawiając

Ey

σ

ρ

=

−

1

z

I

y

g

M

σ

=

Wytrzymałość na zginanie

Naprężenia w przekrojach poprzecznych belki. Zauważalne różnice

promienia krzywizny włókien poprzecznych

ρ

’

.

Wytrzymałość na zginanie.

y

e

1

e

2

y

σ

σ

2

σ

1

Oś obojętna

.

I

e

M

,

I

e

M

z

2

g

2

z

1

g

1

=

σ

=

σ

Przyjmując

2

z

2

1

z

1

e

I

W

,

e

I

W

=

=

, otrzymujemy

2

g

2

1

g

1

W

M

,

W

M

=

σ

=

σ

, gdzie W

1

, W

2

są to wskaźniki wytrzymałości na zginanie. Jeżeli e

1

=e

2

, W

1

=W

2

= W i wtedy warunek

wytrzymałości belki zginanej będzie miał postać:

dop

max

g

W

M

σ

≤

σ

=

.

Przykład.

d

d+2g

Przykład. Taśmę stalową o grubości g i szerokości b
opasano wokół pobocznicy walca o średnicy d.
Wyznaczyć

ś

rednicę

walca

jeżeli

naprężenia

dopuszczalne dla stalowej taśmy wynoszą 470 [MPa].

Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy:

∫

∫

∫

=

ρ

−

→

=

ρ

−

=

ρ

−

=

ρ

−

A

g

z

g

2

A

A

.

M

I

E

,

M

dA

y

E

,

0

dA

z

y

E

,

0

dA

y

E

Po przekształceniach naprężenie wyrazi się wzorem:

z

g

I

y

M

=

σ

.

Przykład:

Dla belki jak na rysunku przyjmiemy l=200[mm],a=40[mm], b=4[mm], h=8[mm],

P=120[N]. W środkowej części belki dla -60 < x < 60[mm] będzie istniał stały moment
zginający M

g

= 4800[Nmm]. Moment bezwładności przekroju belki względem osi z wynosi:

]

[

12

8

4

4

3

mm

I

z

⋅

=

natomiast naprężenia po wysokości belki zmieniają się następująco

12

8

4

y

4800

3

=

σ

Dla y =0.5h naprężenia posiadają wartość maksymalną

σ

max

= 112.5[MPa].

Belkę tą obliczono metodą elementów skończonych jako bryłę przestrzenną. W

zdeformowanej postaci belki (przemieszczenia w skali 20:1) rozkład naprężenia
przedstawiono na rysunku poniżej.

y

x

60

σ

[MPa]

W każdym przekroju belki występuje identyczny rozkład naprężeń. Przekroje poprzeczne

belki odkształconej są nadal płaskie ale doznają deformacji jak na rysunku poniżej.

σ

y

-

σ

max

σ

max

σ

[MPa]

y

ρ

’

Wydłużenie względne włókien poprzecznych wynosi

ε

’

= -

ν

ε

. Zależności geometryczne

dla włókien poprzecznych są identyczne jak dla włókien podłużnych, czyli

.

stąt

,

y

'

'

'

ν

ρ

−

=

ρ

ρ

−

=

ε

x

y

σ

[MPa

y

max

P

Naprężenia normalne w symetrycznej połowie belki.

z

y

σ

[MPa]

ρ

’

σ

[MPa]

z

y

ρ

’

Naprężenia normalne w zdeformowanym

przekroju x=20[mm], (przemieszczenia w

skali 30:1).

Naprężenia normalne w zdeformowanym

przekroju x=70[mm],

(przemieszczenia w skali 30:1).

x

R

R

Q

Q

L

Q

Q

a

a

Przykład belki drewnianej jako niejednorodnej.

P

40

240

300

P

40

1

2

3

Włókna miękkie

20

20

Włókna twarde

Przekrój poprzeczny belki.

P

40

120

150

1

2

3

Model zastępczy belki.

P

R

1

R

3

M

1

x

Belka uwolniona z więzów

x

2

1

3

Mg

+

Wykres momentów
gnących.

x

2

1

3

T

R

3

-

Wykres sił tnących.

y

x

W

0

a)

b)

σ

x

[MPa]

Rozkład naprężenia

σ

x

od zginania belki

obliczanej jakotarczy:
a) w całej tarczy (przemieszczenia w
skali(50 :1),
b) w środkowej części tarczy.

σ

x

[MPa]

y[mm]

a)

b)

Rys.6 Zmiana składowej naprężenia po wysokości tarczy w jej przekroju środkowym:

krzywa a) dla drewna naturalnego, krzywa b) dla drewna modyfikowanego.