Naprężenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym

Czyste zginanie – bez działania siły poprzecznej.

W każdy przekroju pręt obciążony momentem gnącym o stałej wartości.

Linie prostopadłe do osi pręta, np. bb i cc, pozostają proste, a kontur nadal

płaski. Całe przekroje zachowują swoją płaskość. Dzieląc w myśli belkę na

podłużne elementy, zwane włóknami – po stronie wklęsłej ulegają skróceniu i

odległości między przekrojami prostopadłymi do osi zmniejszyły się.

W pręcie istnieje warstwa, w której włókna nie zmieniły swojej długości.

Warstwa – warstwa obojętna, a ślad w płaszczyźnie przekroju pręta –linią (

osią

)

obojętną

. W przekroju występują

naprężenia normalne

.

x

y

M

g

M

g

z

M

x

dx

dx

y

x

y

b

c

b

c

x

b

’

M

g

M

g

b

’

c

’

c

’

a)

x

y

M

g

M

g

z

M

x

dx

dx

y

x

y

b

c

b

c

b)

x

y

M

g

M

g

ρ

M

g

y

z

y

dA

σ

ds=dx

ds(1+

ε

)

ρ

y

y

σ

-

+

d

ϕ

( )

ρ

−

=

+

ρ

−

ε

+

ds

y

1

ds

Po odkształceniu wszystkie linie siatki są do siebie prostopadłe

1. Warunki geometryczne

Rys. a) – pręt przed odkształceniem i po zgięciu (rys. b).

y – włókno odległe od osi obojętnej – długość pierwotna

ds

dx

=

, po odkształceniu

wynosi

)

1

(

ε

+

ds

,

−

ε

wydłużenie właściwe. Z zależności geometrycznych

(

)

ρ

−

=

+

ρ

−

ε

+

ds

y

1

ds

a stąd

ρ

−

=

ε

y

(1)

−

ρ

promień krzywizny warstwy obojętnej.

Siły zewnętrzne działające po jednej stronie przekroju belki redukują się do momentu M

g.

Uwzględniając wewnętrzne siły elementarne

dA

σ

tworząc przestrzenny układ sił

równoległych, można dla odciętej części belki napisać równania równowagi.

2. Warunki równowagi

0

dA

,

0

P

A

x

=

σ

=

∑

∫

(2)

0

dA

z

,

0

M

A

y

=

σ

=

∑

∫

(3)

∑

∫

=

−

σ

=

0

M

dA

y

,

0

M

g

A

z

(4)

3. Warunki fizyczne (prawo Hooke’a):

σσσσ

= E

εεεε

.

Wykorzystując warunki geometryczne otrzymujemy:

ρ

−

=

σ

y

E

(5)

Rozkład naprężeń w przekroju – wartość proporcjonalna do odległości od osi
obojętnej przekroju.

∫

∫

∫

=

−

=

−

=

−

A

g

A

A

M

dA

y

E

dA

z

y

E

dA

y

E

2

,

0

,

0

ρ

ρ

ρ

(6)

Uwzględniając

∫

=

A

z

I

dA

y

2

osiowy moment bezwładności, można zapisać

z

g

EI

M

−

=

ρ

1

,

EI

z

–

sztywność na zginanie

.

Wstawiając

Ey

σ

ρ

=

−

1

z

I

y

g

M

σ

=

Wytrzymałość na zginanie

Naprężenia w przekrojach poprzecznych belki. Zauważalne różnice

promienia krzywizny włókien poprzecznych

ρ

’

.

Wytrzymałość na zginanie.

y

e

1

e

2

y

σ

σ

2

σ

1

Oś obojętna

.

I

e

M

,

I

e

M

z

2

g

2

z

1

g

1

=

σ

=

σ

Przyjmując

2

z

2

1

z

1

e

I

W

,

e

I

W

=

=

, otrzymujemy

2

g

2

1

g

1

W

M

,

W

M

=

σ

=

σ

, gdzie W

1

, W

2

są to wskaźniki wytrzymałości na zginanie. Jeżeli e

1

=e

2

, W

1

=W

2

= W i wtedy warunek

wytrzymałości belki zginanej będzie miał postać:

dop

max

g

W

M

σ

≤

σ

=

.