powietrznych, kosmicznych) z jednego punktu do drugiego. W pierwszych podró(ach cz)owiek
u(ywa) swoich zmys)ów do okre*lania kierunku, odleg)o*ci, pr dko*ci i pozycji obiektu, w którym
podró(owa). Nie by)o to zbyt trudne na l#dzie bogatym w ró(norodne punkty orientacyjne. Kiedy
jednak cz)owiek sta) si na tyle *mia)y, aby wyp)yn#- na morze, wówczas musia) si gn#- do
pomocy przyrz#dów u)atwiaj#cych obserwacj zjawisk przyrody (wiatru, fal wody, cia) niebieskich).
Przez wiele wieków jednak nawigacja by)a raczej sztuk# ni( nauk#. Pod koniec dwudziestego
stulecia nawigacja rozwin )a si w wiedz , umo(liwiaj#c# cz)owiekowi podró(owanie zarówno na
Ziemi, jak i w przestrzeni kosmicznej, wykorzystuj#c w wysokim stopniu najnowsze osi#gni cia
matematyki, elektroniki, mechaniki, ekonomii i filozofii. Przekszta)cenie nawigacji ze sztuki w
wiedz

odby)o si

stosunkowo niedawno i jest *ci*le zwi#zane z rozwojem teorii systemów,

matematyki, informatyki i technologii elektronowej.
Podstawowym zadaniem nawigacji jest doprowadzenie poruszaj#cego si pojazdu (l#dowego,
morskiego, powietrznego, kosmicznego) do okre*lonego punktu z za)o(on# dok)adno*ci# i we
w)a*ciwym czasie. W celu dok)adnego wykonania tego zadania stosuje si ró(ne urz#dzenia i
systemy nawigacyjne, w*ród których mo(na wyró(ni-:

- mechaniczne i elektromechaniczne (logi, (yrokompasy, inercyjne systemy nawigacyjne),

- magnetyczne (kompasy magnetyczne, magnetometry),

- optyczne i kwantowo-optyczne (sekstanty, pelengatory podczerwieni, dalmierze, lokatory

optyczne),

- akustyczne i hydroakustyczne (pelengatory akustyczne, echosondy, hydrolokatory),

radiolokacyjne

(dalmierze),

radiowe.

Wszystkie wymienione *rodki nawigacyjne mog# by- stosowane w rozmaitych warunkach, a w
celu zwi kszenia dok)adno*ci okre*lenia pozycji statku informacje z nich otrzymane musz# by-
wzajemnie uzupe)niane. Zastosowanie ka(dego z tych *rodków oddzielnie nie zawsze jest
mo(liwe, ze wzgl du na z)e warunki meteorologiczne, ograniczon# widoczno*- ziemskich i
niebieskich punktów orientacyjnych, dzia)anie anomalii magnetycznych na wskazania kompasu,
zak)ócenia wyst puj#ce na S)o1cu oraz burze magnetyczne powoduj#ce pogorszenie si
warunków rozchodzenia si fal radiowych itd.

Z tego wzgl du w celu wykonania zada1 nawigacyjnych na pojazdach instaluje si ró(ne przyrz#dy
i urz#dzenia nawigacyjne, które umo(liwiaj# okre*lenie pozycji pojazdu w zale(no*ci od ró(nych
warunków, w jakich pojazd si znajduje. Szczególnie jest to istotne w warunkach d)ugotrwa)ego
poruszania si pojazdu w rejonach nie zbadanych i pozbawionych znaków orientacyjnych (np.
okr ty podwodne p)ywaj#ce w zanurzeniu).

Szczególnie atrakcyjne s# systemy radionawigacyjne. Ju( pierwsi u(ytkownicy radia stwierdzili, (e
mo(e ono zapewni- zarówno )#czno*-, jak i informacj nawigacyjn#. Pocz#tkowo zastosowanie
radia w nawigacji by)o ograniczone do wykonywania namiarów na istniej#ce radiostacje
komunikacyjne, a pó2niej tak(e radiofoniczne. Z biegiem czasu rozwin )y si wyspecjalizowane
systemy radionawigacyjne. Urz#dzenia i systemy radionawigacyjne umo(liwiaj# otrzymanie
okre*lonych informacji o parametrach nawigacyjnych i mog# by- stosowane samodzielnie lub te(
kompleksowo. W zale(no*ci od rodzaju wyposa(enia mog# one by- autonomiczne lub zale(ne.

Aparatura autonomicznych *rodków nawigacyjnych jest zainstalowana na pok)adzie pojazdu, a
okre*lenie parametrów nawigacyjnych odbywa si

bez otrzymywania informacji powsta)ych z

wykorzystaniem innych urz#dze1 radionawigacyjnych.

Zale(ne *rodki tworz# systemy radionawigacyjne sk)adaj#ce si z pok)adowego (ruchomego) i
naziemnego (zasadniczo stacjonarnego) wyposa(enia.

Urz#dzenia i systemy radionawigacyjne, w zale(no*ci od zestawu wykonywanych zada1 i ich
wykorzystania, mo(na scharakteryzowa- przez:
-

zasi g dzia)ania, czyli najwi ksz# odleg)o*- pomi dzy pojazdem i punktem

radionawigacyjnym, w której uzyskuje si jeszcze wymagan# dok)adno*- (wed)ug zasi gu

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 4 -

dzia)ania systemy radionawigacyjne dzieli si na systemy bliskiego (do 800 km), *redniego (do
3000 km) i dalekiego (powy(ej 3000 km) zasi gu);
-

dok)adno*- pomiaru parametrów nawigacyjnych, które okre*la przeznaczenie urz#dze1 i

systemów radionawigacyjnych;
-

szybko*- uzyskiwania danych (co jest szczególnie wa(ne w lotnictwie i technice

rakietowej);
-

przepustowo*-, czyli zdolno*- systemu do jednoczesnego obs)ugiwania okre*lonej liczby

obiektów;
-

odporno*- na zak)ócenia;

niezawodno*-;

- ekonomiczno*-;
- rozmiary i masa, które maj# szczególne znaczenie przy umieszczaniu urz#dze1 na

samolotach i rakietach;
-

zdolno*- do pracy w okre*lonych warunkach *rodowiskowych.

2. Podstawowe poj*cia stosowane w nawigacji

Podczas prowadzenia pojazdu i okre*lania jego pozycji stosuje si nast puj#ce podstawowe
poj cia:
-

pr dko

pojazdu, która charakteryzuje si przesuni ciem jego *rodka ci (ko*ci w

jednostce czasu,
-

tor ruchu pojazdu, którym jest linia, jak# zakre*la w przestrzeni *rodek ci (ko*ci pojazdu,

trasa, czyli rzut toru na powierzchni Ziemi,

kurs, którym jest k#t mierzony w p)aszczy2nie poziomej mi dzy kierunkiem pó)nocnym

po)udnika przechodz#cego przez *rodek ci (ko*ci pojazdu i jego pod)u(n# osi#,

- namiar, który jest k#tem mierzonym w p)aszczy2nie poziomej mi dzy pó)nocnym

kierunkiem po)udnika przechodz#cego przez *rodek ci (ko*ci pojazdu i kierunkiem na dany punkt
orientacyjny,
-

pozycja w dowolnym czasie, która okre*la rzut *rodka ci (ko*ci pojazdu na powierzchni

Ziemi,
-

pozycja obserwowana, czyli otrzymana na podstawie obserwacji przedmiotów sta)ych,

których po)o(enie jest *ci*le okre*lone na mapie lub na podstawie obserwacji cia) niebieskich,
-

pozycja zliczona, któr# jest miejsce pojazdu liczone od ostatniej pozycji obserwowanej, a

otrzymane na podstawie znajomo*ci kursu rzeczywistego i przebytej odleg)o*ci stwierdzonej
wed)ug przyrz#dów, z uwzgl dnieniem oddzia)ywania si) zewn trznych (pr#dów morskich,
wiatrów).

Zasadniczo pozycj pojazdu okre*la si w stosunku do powierzchni Ziemi wed)ug przyj tego
uk)adu wspó)rz dnych. Podczas lotu w przestrzeni kosmicznej wspó)rz dne pojazdu kosmicznego
okre*la si w stosunku do planet i gwiazd, których po)o(enie w przestrzeni jest znane. W celu
okre*lenia pozycji pojazdu za pomoc# *rodków technicznych, wyznacza si okre*lone parametry
nawigacyjne, jak np. odleg)o*- od oznaczonych punktów na Ziemi lub k#ty, pod jakimi te punkty s#
widoczne ze pojazdu; parametry te nie s# wspó)rz dnymi geograficznymi.

Mierzone parametry nawigacyjne i wspó)rz dne geograficzne s# ze sob# zwi#zane okre*lonymi
równaniami, których graficzne rozwi#zania stanowi# tzw. linie pozycyjne. Lini# pozycyjn# nazywa
si miejsce geometryczne punktów na powierzchni Ziemi, odpowiadaj#cej sta)ej warto*ci mierzonej
wielko*ci, a wi c k#ta, odleg)o*ci, ró(nicy lub sumy odleg)o*ci.

Na przyk)ad lini# pozycyjn#, czyli miejscem geometrycznym punktów na powierzchni Ziemi, z
których pomierzona zosta)a w okre*lonym momencie wysoko*- obserwowanej gwiazdy jest okr#g,
którego *rodkiem jest rzut gwiazdy (punkt podgwiezdny), a promieniem sferycznym odmierzona
odleg)o*- zenitalna, czyli dope)nienie wysoko*ci.

Jedna obserwacja daje tylko jedn# lini pozycyjn#, dwie ró(ne obserwacje dokonane w jednym
momencie daj# dwie linie pozycyjne, w których przeci ciu znajduje si miejsce obserwacji. Ka(dy
system nawigacyjny charakteryzuje si *ci*le okre*lon# lini# pozycyjn#.

Rozpatrzmy g)ówne linie pozycyjne spotykane w systemach nawigacyjnych.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 5 -

Ortodroma jest lini# najkrótszej odleg)o*ci mi dzy dwoma punktami na powierzchni kuli. Jak
wynika z podstawowych poj - geometrii, najkrótsz# odleg)o*ci# na powierzchni kuli pomi dzy
dwoma punktami jest )uk ko)a wielkiego.

Rys 2.1. Ortodroma

Jak wida- na rysunku 2.1, )uk ko)a wielkiego przechodz#cego przez dwa dane punkty jest nie tylko
najkrótszym, ale równie( jedynym. Wynika st#d wniosek, (e przez dwa punkty na powierzchni
Ziemi nie le(#ce na przeciwleg)ych ko1cach *rednicy kuli ziemskiej mo(na przeprowadzi- tylko
jedn# ortodrom . Ortodroma jest wi c lini# pozycyjn# wszystkich punktów, których suma odleg)o*ci
od dwóch punktów danych znajduj#cych si na niej jest sta)a i najmniejsza.

Linia równych namiarów (lub linia równych azymutów) jest to linia pozycyjna na sferze, maj#ca t
w)a*ciwo*-, (e z ka(dego punktu tej linii namiar (azymut) na pewien punkt sta)y jest zawsze taki
sam (rys. 2.2).

Rys. 2.2. Linie równych namiarów

Linia równych odleg o ci jest to linia pozycyjna, której wszystkie punkty znajduj# si w
jednakowej odleg)o*ci od danego punktu T (rys. 2.3). Linia ta jest zwi#zana z systemami
radionawigacyjnymi opartymi na pomiarach odleg)o*ci.

Rys. 2.3. Linie równych odleg)o*ci

Linia równych sum odleg o ci jest to linia pozycyjna, której wszystkie punkty s# w takich
odleg)o*ciach od dwóch danych punktów T

i T

(rys. 2.4), (e sumy tych odleg)o*ci s# wielko*ci#

sta)a. Wykres tej linii na p)aszczy2nie przedstawia elips , na powierzchni kuli za* elips sferyczn#.

Rys. 2.4. Linie równych sum odleg)o*ci

Linia równych ró nic odleg o ci jest to linia pozycyjna, b d#ca miejscem geometrycznych
punktów, których ró(nica odleg)o*ci od dwóch punktów o znanych pozycjach jest sta)a. Dla
obserwatora znajduj#cego si w dowolnym punkcie R linii pozycyjnej (rys. 2.5) ró(nica odleg)o*ci
(d

- d

) od tego punktu do dwóch punktów T

i T

(których po)o(enie jest okre*lone) jest sta)a i

równa 2a. W przypadku rozpatrywania zagadnienia na p)aszczy2nie omawiana linia pozycyjna jest
hiperbol#, a na powierzchni kuli - hiperbol# sferyczn#.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 6 -

Rys. 2.5. Linie równych ró(nic odleg)o*ci

Systemy radionawigacyjne umo(liwiaj#ce wyznaczanie ró(nic odleg)o*ci od dwóch radiostacji
znajduj#cych si w okre*lonych punktach nosz# nazw systemów hiperbolicznych.

Wprowad2my jeszcze poj cie loksodromy, któr# nazywamy drog pojazdu, przecinaj#c# po)udniki
rzeczywiste pod jednakowymi k#tami (rys. 2.6). Na ma)ych odleg)o*ciach ró(nica drogi wed)ug
ortodromy i loksodromy jest niedu(a i zwykle nie bierze si jej pod uwag przy obliczaniu drogi
wed)ug loksodromy.

Rys. 2.6. Ortodroma i loksodroma

Nawigacja trójwymiarowa opiera si na powierzchniach pozycyjnych. Powierzchni# pozycyjn# jest
powierzchnia, z której ka(dego punktu parametr nawigacyjny mierzony w stosunku do okre*lonego
obiektu kosmicznego (naturalnego lub sztucznego) ma warto*- sta)#. W nawigacji l#dowej pozycj
pojazdu mo(na okre*li- na podstawie dwóch linii pozycyjnych; do okre*lenia pozycji pojazdu w
uk)adzie trójwymiarowym nale(y zna- nie mniej ni( trzy powierzchnie pozycyjne. Przeci cie si
dwóch powierzchni pozycyjnych daje lini pozycyjn#, która, przecinaj#c si z trzeci# powierzchni
pozycyjn#, wyznacza dwa punkty okre*laj#ce przypuszczaln# pozycj statku. Przybli(ona pozycja
pojazdu jest znana, wi c wyst puj#c# niejednoznaczno*- okre*lenia pozycji )atwo wyja*ni-.

3. Charakterystyka satelitarnych systemów nawigacyjnych

Satelitarne systemy radionawigacyjne charakteryzuj# si nast puj#cymi zaletami w porównaniu z
klasycznymi systemami radionawigacyjnymi:
-

globalno*ci# systemów (systemy klasyczne, z wyj#tkiem systemu Omega nie maj# tej

cechy),
-

du(# i prawie jednakow# dok)adno*ci# okre*lania pozycji na ca)ym obszarze

stosowalno*ci,
-

niezawodno*ci# od warunków meteorologicznych,

niezawodno*ci# od pory roku i doby,

mo(liwo*ci# przekazywania dodatkowych informacji, nie zwi#zanych z nawigacj#.

Satelitarny system nawigacyjny tworz# nast puj#ce elementy:
-

okre*lona liczba satelitów nawigacyjnych poruszaj#cych si dooko)a Ziemi po

wyznaczonych orbitach;
-

sie- stacji obserwacyjnych odbieraj#cych sygna)y nadawane przez urz#dzenia

zainstalowane na satelitach; stacje te maj# )#czno*- z centrum sterowania systemem, w którym
oblicza si efemerydy satelitów;
-

*rodki )#czno*ci, s)u(#ce do przekazywania obliczonych efemeryd satelitów

poszczególnym u(ytkownikom;
-

autonomiczne

urz#dzenia nawigacyjne, wyznaczaj#ce pozycj obiektu.

W zale(no*ci od rodzaju aparatury radionawigacyjnej systemy satelitarne mog# opiera- si na
pomiarze odleg)o*ci, k#ta lub na zjawisku Dopplera. Zawsze jednak podstawowym elementem
systemu jest znany i okre*lony wzgl dem Ziemi tor lotu satelity, na którego podstawie wyznacza
si linie pozycyjne.

Systemy dopplerowskie opieraj# si na pomiarze szybko*ci zmiany odleg)o*ci od obiektu do
satelity, któr# okre*la cz stotliwo*- Dopplera. Przeci cie si powierzchni sto(kowej
odpowiadaj#cej sta)ej warto*ci cz stotliwo*ci Dopplera z powierzchni# kuli ziemskiej wyznacza
lini pozycyjn#, zwan# izodopp# (rys. 3.1). Do okre*lenia pozycji obiektu w uk)adzie
trójwymiarowym trzeba wyznaczy- trzy linie pozycyjne, tzn. zmierzy- warto*ci pr dko*ci satelity
wzgl dem punktu obserwacji w trzech kolejnych chwilach.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 7 -

Zasada okre*lania pozycji obiektu na podstawie pomiaru cz stotliwo*ci Dopplera jest analogiczna
do zasady klasycznych hiperbolicznych systemów nawigacyjnych, w których baza jest równa
odleg)o*ci przebywanej przez satelit w wybranym przedziale czasu.

Rys. 3.1. Tworzenie linii pozycyjnej - izodoppy - w satelitarnym dopplerowskim systemie
nawigacyjnym

Dopplerowskim satelitarnym systemem nawigacyjnym by) system Transit opracowany na pocz#tku
lat sze*-dziesi#tych na potrzeby ameryka1skiej flotylli )odzi podwodnych Polaris. W roku 1968
system ten, po udoskonaleniu, zosta) oddany do u(ytku cywilnego pod nazw# NNSS (ang. Naval
Navigation Satellite System). Szybko sta) si on popularnym i niezawodnym *rodkiem okre*lania
pozycji statków morskich w skali ca)ego globu. Credni b)#d okre*lenia pozycji wynosi 0,5 mili
morskiej w skali globalnej.

Systemy odleg o%ciowe. Powierzchnia pozycyjna ma posta- sfery ze *rodkiem w punkcie, w
którym znajduje si satelita w momencie dokonywania pomiaru odleg)o*ci i promieniu równym
odleg)o*ci mi dzy obiektem i satelit#. Do okre*lenia pozycji obiektu w uk)adzie trójwymiarowym
nale(y wyznaczy- co najmniej trzy powierzchnie pozycyjne (rys. 3.2). Mo(na tego dokona- b#d2
mierz#c w tym samym czasie odleg)o*ci od trzech ró(nych satelitów, b#d2 mierz#c trzy odleg)o*ci
do tego samego satelity w ró(nych momentach.

Rys. 3.2. Powierzchnia pozycyjna w postaci sfery (a); przeci cie si dwóch powierzchni
pozycyjnych (dwóch sfer) wyznacza lini pozycyjn# w postaci okr gu (b); przeci cie si tej linii
pozycyjnej z trzeci# powierzchni# pozycyjn# wyznacza dwa mo(liwe po)o(enia pojazdu (c); zwykle
nie ma k)opotu ze stwierdzeniem, które z tych po)o(e1 jest w)a*ciwe

Pomiar odleg)o*ci do jednego satelity wyznacza powierzchni pozycyjn# w postaci sfery. Pomiar
odleg)o*ci do drugiego satelity wyznacza drug# powierzchni pozycyjn#, równie( w postaci sfery.
Przeci cie tych powierzchni pozycyjnych wyznacza lini pozycyjn# w postaci okr gu. Przeci cie
si tej linii pozycyjnej z trzeci# powierzchni# pozycyjn#, uzyskan# w wyniku pomiaru odleg)o*ci do
trzeciego satelity, wyznacza dwa mo(liwe po)o(enia pojazdu. Zwykle nie ma k)opotu ze
stwierdzeniem, które z tych po)o(e1 jest w)a*ciwe.

4. Uk ady wspó rz*dnych

W celu sformu)owania równa1 umo(liwiaj#cych okre*lenie pozycji i pr dko*ci pojazdu na
podstawie pomiaru odleg)o*ci do satelitów nale(y wybra- odpowiednie uk)ady wspó)rz dnych.
Zwykle wektory po)o(enia i pr dko*ci satelity i wektory po)o(enia i pr dko*ci odbiornika
nawigacyjnego okre*la si w kartezja1skich uk)adach wspó)rz dnych.

4.1. Geocentryczny inercyjny uk ad wspó rz*dnych

Geocentryczny inercyjny uk)ad wspó)rz dnych (ang. ECI - Earth-Centered Inertial Coordinate
System) jest to kartezja1ski uk)ad wspó)rz dnych, którego p)aszczyzna x-y pokrywa si z
p)aszczyzn# równikow# Ziemi, o* x jest stale skierowana ku ustalonemu punktowi na sferze
niebieskiej (zwykle jest to punkt równonocy wiosennej), o* z pokrywa si z osi# Ziemi i jest
skierowana ku biegunowi pó)nocnemu, o* y dobiera si tak, aby utworzy- prawoskr tny uk)ad
wspó)rz dnych (rys. 4.1).

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 8 -

Rys. 4.1. Geocentryczny inercyjny uk)ad wspó)rz dnych (ECI)

Uk)ad ECI jest inercyjny w tym sensie, (e równania ruchu sztucznych satelitów Ziemi zapisane w
tym uk)adzie spe)niaj# niutonowskie prawa ruchu i grawitacji.

Pewien k)opot z podan# definicj# uk)adu ECI wynika z nieregularno*ci ruchu Ziemi. Wskutek
niesferycznego kszta)tu Ziemi i niejednorodnego rozk)adu masy, grawitacyjne oddzia)ywanie
S)o1ca i Ksi (yca powoduje przemieszczanie si ziemskiej p)aszczyzny równikowej wzgl dem
sfery niebieskiej. Poniewa( o* x jest okre*lona wzgl dem ustalonego punktu na sferze niebieskiej,
a o* z - wzgl dem ziemskiej p)aszczyzny równikowej, to podana wcze*niej definicja uk)adu ECI nie
zapewnia w rzeczywisto*ci jego inercyjno*ci. Rozwi#zaniem tego k)opotu jest zdefiniowanie
po)o(enia osi uk)adu wspó)rz dnych w ustalonym momencie czasu, zwanym epok$. Na potrzeby
systemu GPS przyj to po)o(enie osi uk)adu ECI 1 stycznia 2000 roku o godzinie 12.00 czasu UTC
(ang. Coordinated Universal Time). O* x jest skierowana od *rodka Ziemi ku punktowi równonocy
wiosennej, pozosta)e osie - zgodnie z wcze*niejszym opisem. W ten sposób po)o(enie osi zosta)o
dla danej epoki jednoznacznie ustalone, a wi c uk)ad ECI sta) si rzeczywi*cie uk)adem
inercyjnym.

4.2. Geocentryczny obracaj4cy si* wraz z Ziemi4 uk ad wspó rz*dnych

Do okre*lenia po)o(enia odbiornika nawigacyjnego (GPS) wygodniej jest stosowa- uk)ad
wspó)rz dnych, który obraca si wraz z Ziemi# (ang. ECEF - Earth-Centered Earth-Fixed
Coordinate System). W takim uk)adzie wspó)rz dnych )atwiej jest wyznaczy- wspó)rz dne
geograficzne i wysoko*- pojazdu. Podobnie jak w uk)adzie ECI, w uk)adzie ECEF p)aszczyzna x-y
pokrywa si z równikow# p)aszczyzn# Ziemi, o* x jest jednak skierowana na po)udnik Greenwich

( )

, a o* y - na po)udnik

(

)

. Osie x i y obracaj# si wi c zgodnie z obrotem Ziemi i nie

opisuj# ustalonych kierunków w inercjalnej przestrzeni. O* z jest prostopad)a do p)aszczyzny
równikowej i skierowana ku biegunowi pó)nocnemu.

W celu okre*lenia pozycji odbiornika GPS nale(y najpierw dokona- przetworzenia efemeryd
satelitów z uk)adu wspó)rz dnych ECI do uk)adu wspó)rz dnych ECEF. W dalszym ci#gu nie
b dziemy si zajmowali problemem przetworzeniem efemeryd satelitów z uk)adu ECI do uk)adu
ECEF. Zak)adamy wi c, (e znane s# wspó)rz dne satelitów GPS w uk)adzie ECEF.

4.3. 6wiatowy system geodezyjny (WGS-84)

Standardowym modelem fizycznym Ziemi stosowanym w systemie GPS jest model opisany w
(wiatowym systemie geodezyjnym WGS-84 (ang. World Geodetic System - 84). W modelu tym
rzeczywisty kszta)t Ziemi aproksymuje si elipsoid# obrotow#. Przekroje modelu p)aszczyznami
równoleg)ymi do p)aszczyzny równikowej s# ko)ami. Promie1 przekroju równikowego wynosi
6378,137 km. Jest to *redni równikowy promie1 Ziemi. Przekroje modelu p)aszczyznami
normalnymi do p)aszczyzny równikowej s# elipsami (rys. 4.2). Wielka o* przekroju zawieraj#cego
o* z pokrywa si z równikow# *rednic# ziemi; wielka pó)o* a ma wi c tak# sam# d)ugo*- jak *redni
promie1 równikowy. Ma)a pó)o* przekroju pokazanego na rysunku 9 pokrywa si z biegunow#
*rednic# Ziemi. Ma)a pó)o* b ma w modelu WGS-84 d)ugo*- 6356,7523142 km.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 9 -

Rys. 4.2. Elipsoidalny model Ziemi (przekrój p)aszczyzna normaln# do p)aszczyzny równikowej)

Parametry modelu WGS-84:

- mimo*ród

b
a

6356 7523142

6378 137

0 08181919093

(4.1)

- sp)aszczenie

b
a

6356 7523142

6378 137

0 003352810672

(4.2)

Czasem u(ywa si dodatkowego parametru, zwanego drugim mimo*rodem

a
b

0 0820944379496

(4.3)

W celu okre*lenia wspó)rz dnych geodezyjnych: szeroko*ci ( ) i d)ugo*ci ( ) oraz wysoko*ci (h)
u(ytkownika (odbiornika nawigacyjnego GPS). wprowad2my nast puj#ce oznaczenia (rys. X.12).
Po)o(enie u(ytkownika (punkt S) okre*la wektor

= ( , , ),

x y z

przy czym

( , , )

x y z

wspó)rz dnymi u(ytkownika (odbiornika nawigacyjnego) w uk)adzie wspó)rz dnych ECEF; O jest
*rodkiem Ziemi. Punktem na powierzchni elipsoidy najbli(szym wzgl dem po)o(enia u(ytkownika
jest punkt N. Prosta wyznaczona przez wektor n normalny do powierzchni elipsoidy wystawiony w
punkcie N przecina p)aszczyzn równikow# w punkcie P. Punkt A jest punktem na równiku
najbli(szym do punktu P.

D)ugo*- geodezyjna jest to k#t mi dzy u(ytkownikiem i osi# x, mierzony w p)aszczy2nie x-y

arctg

180

(4.4)

przy czym k#ty ujemne odpowiadaj# d)ugo*ci zachodniej.

Szeroko*- geodezyjn#

wyznacza k#t mi dzy wektorem normalnym do powierzchni elipsoidy i

jego rzutem na p)aszczyzn równikow# (k#t NPA na rysunku 4.2). Konwencjonalnie przyjmuje si ,
(e

jest dodatnie, je*li

> 0

(u(ytkownik znajduje si na pó)kuli pó)nocnej) i ujemne, je*li

< 0.

Wysoko*- geodezyjna h jest równa d)ugo*ci odcinka SN na rysunku 4.2. Obliczona przez
odbiornik GPS, stosuj#cy model WGS-84, wysoko*- geodezyjna mo(e znacznie ró(ni- si od
wysoko*ci odczytanej z mapy. Wynika to z ró(nic mi dzy elipsoid# WGS-4 i geoid# (lokalny *redni
poziom morza). W celu zwi kszenia dok)adno*ci okre*lenia wysoko*ci odbiornika mo(na stosowa-
modele Ziemi obowi#zuj#ce lokalnie, np. European Datum 1950 (ED-50).

Wzory umo(liwiaj#ce okre*lenie wspó)rz dnych geodezyjnych ( , ,h) u(ytkownika na podstawie
jego wspó)rz dnych w uk)adzie kartezja1skim ECEF

( , , )

x y z

zebrano w tabeli 4.1.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 10 -

Tabela 4.1

Obliczenie wspó)rz dnych geodezyjnych na podstawie wspó)rz dnych u(ytkownika

x y z

w uk)adzie ECEF

(1)

(2)

(3)

b z

= 54

2 2

(4)

e z

e E

(

)

(5)

e Fr

(6)

+ +

(7)

+ +

(8)

e P

1 2

(9)

(

)

(

)

Pe r

e z

1
2

(10)

r e r

(

)

(11)

r e r

e z

(

)

(

)

(12)

b z

(13)

h U

(14)

arctg

e z

(15)

arctg

Okre*lenie wektora po)o(enia u(ytkownika

= ( , , ),

x y z

na podstawie znajomo*ci jego

wspó)rz dnych geodezyjnych ( , ,h) opisuje wzór

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 11 -

(

)

(

)

(

)

e
e

cos

cos cos

sin

sin cos

sin

1 1

1
1

sin

(4.5)

5. Orbity sztucznych satelitów Ziemi

Ruch sztucznego satelity w polu grawitacyjnym Ziemi mo(na okre*li- na podstawie newtonowskich
zasad mechaniki i prawa powszechnego ci#(enia. Rozwa(my jednorodn# kulist# Ziemi o masie
m i satelit o masie m

znajduj#ce si w odleg)o*ciach odpowiednio r

i r

od pocz#tku dowolnie

wybranego inercjalnego uk)adu odniesienia (rys. 5.1). Z drugiego

Rys. 5.1. Ziemia i satelita w inercjalnym uk)adzie wspó)rz dnych

prawa Newtona (iloczyn masy cia)a przez jego przyspieszenie jest równy sile dzia)aj#cej na to
cia)o) wynika, (e si)y dzia)aj#ce na Ziemi i satelit s# opisane równaniami:

= m

(5.1a)

= m

(5.1bb)

Prawo powszechnego ci#(enia g)osi, (e si)a przyci#gania mi dzy dwoma dowolnymi cia)ami jest
wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleg)o*ci
mi dzy nimi, zatem

= g

(5.2)

przy czym g = 6,67 x 10

-11

-1

-2

jest sta)# grawitacyjn#.

Z równa1 (X.6) i (X.7) wynika, (e:

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 12 -

;

(5.3a)

(5.3b)

Po odj ciu stronami równa1 (5.3b) i (5.3a) oraz podstawieniu r = r

- r

otrzymujemy

g m m

(

)

(5.4)

Masa sztucznego satelity jest nieporównywalnie ma)a w stosunku do masy Ziemi, mo(emy wi c j#
zaniedba- w równaniu (5.4). Otrzymamy wówczas

(5.5)

przy czym

µ = 3,986013 x 10

-2

jest sta)# przyci#gania Ziemi (masa Ziemi m = 5,975 x 10

kg). Równanie (X.10) jest znane jako równanie ruchu dwóch cia). Opisuje ono ruch punktu
materialnego w centralnym polu grawitacyjnym. Z pewnym przybli(eniem opisuje ono tak(e ruch
satelity Ziemi po orbicie.

W 1609 r. Kepler sformu)owa), na podstawie obserwacji ruchu planet, trzy prawa dotycz#ce ich
orbit. W odniesieniu do orbit sztucznych satelitów Ziemi maj# one nast puj#c# posta-.

1. Prawo Keplera. Orbita sztucznego satelity Ziemi jest elips# (w szczególnym przypadku
okr giem) i le(y w nieruchomej p)aszczy2nie przechodz#cej przez *rodek ci (ko*ci Ziemi, który
znajduje si w jednym z jej ognisk (w *rodku okr gu w przypadku orbity ko)owej).
2. Prawo Keplera. Promie1 wodz#cy satelity (odcinek )#cz#cy satelit ze *rodkiem ci (ko*ci
Ziemi) zakre*la w jednakowych odst pach czasu jednakowe pola.

3. Prawo Keplera. Stosunek kwadratów okresów obiegu satelitów jest równy stosunkowi
sze*cianów ich *rednich odleg)o*ci od *rodka ci (ko*ci Ziemi, tzn. sze*cianów wielkich pó)osi ich
orbit.

Z praw Keplera wynikaj# trzy równania.
1. Równanie energii

1
2

m v

const

(5.6)

przy czym W jest ca)kowit# energi# satelity, a v - jego pr dko*ci#. Z równania (5.6) wynika, (e
ca)kowita energia satelity nie ulega zmianie w trakcie jego ruchu po orbicie. Oddalaniu si satelity
od *rodka ci (ko*ci Ziemi towarzyszy wi c zmniejszenie si jego pr dko*ci, zbli(aniu natomiast -
wzrost pr dko*ci.

2. Równanie pól

r v C

× =

= const

(5.7a)

lub

(5.7b)

Równania (5.7) s# matematycznym zapisem tre*ci drugiego prawa Keplera. Z wektorowej postaci
tego równania wynika, (e ruch satelity odbywa si w nieruchomej p)aszczy2nie przechodz#cej
przez *rodek ci (ko*ci Ziemi. P)aszczyzn t nazywamy p)aszczyzn# orbity.
3. Równanie Laplace’a

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 13 -

(

)

v C

const

(5.8)

przy czym A jest wektorem Laplace’a. Równanie (5.8) okre*la zwi#zek mi dzy wektorami r, v i C.

Z równania pól (5.7) i równania Laplace’a (5.8) wynika, (e orbita cia)a poruszaj#cego si w
centralnym polu grawitacyjnym jest krzyw# sto(kow#, w której ognisku znajduje si centrum
przyci#gania. Trajektoria sztucznego satelity Ziemi jest krzyw# zamkni t#, wi c jego ruch mo(e
odbywa- si tylko po elipsie lub okr gu, który jest szczególnym przypadkiem elipsy. Ruch po
innych krzywych sto(kowych jest zwi#zany z ucieczk# satelity z pola przyci#gania Ziemi. W ten
sposób dochodzimy do pierwszego prawa Keplera.

Ziemia

Pomocniczy

Satelita

Orbita

Apogeum

Perigeum

okr g

Rys. 5.2. Orbita sztucznego satelity Ziemi

Równanie elipsy w biegunowym uk)adzie wspó)rz dnych (rys. 5.2) ma posta-

cos

(5.9)

przy czym:

- parametr ogniskowy (dodatnia warto*- rz dnej wystawionej z

ogniska),

- mimo*ród.

Kszta)t orbity zale(y od mimo*rodu e. Je*li e = 0, to elipsa przechodzi w okr#g, mówimy wówczas
o orbicie ko)owej. Je*li 0 < e < 1, to mamy do czynienia z orbita eliptyczn#. Warto*ci

= 0

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 14 -

odpowiada najwi ksze zbli(enie satelity do *rodka ci (ko*ci Ziemi (perigeum), warto*ci

natomiast odpowiada najwi ksze oddalenie satelity od *rodka Ziemi (apogeum). K#t

liczymy od

perigeum orbity w kierunku ruchu satelity. W astronomii k#t

nazywa si anomali# prawdziw#.

Lini )#cz#c# punkty apogeum i perigeum nazywamy lini# apsyd.

Pos)uguj#c si znanymi zale(no*ciami geometrii analitycznej, mo(emy zapisa- kilka u(ytecznych
zale(no*ci wi#(#cych parametry orbity eliptycznej:

- odleg)o*- perigeum od *rodka ci (ko*ci Ziemi (promie1 perigeum)

(5.10)

- odleg)o*- apogeum od *rodka ci (ko*ci Ziemi (promie1 apogeum)

(5.11)

- du(a pó)o* orbity

(5.12)

- ma)a pó)o* orbity

b a

(5.13)

- mimo*ród

(5.14)

- parametr ogniskowy

(

)

p a

= 1

(5.15)

Kszta)t i rozmiary orbity eliptycznej okre*laj# w pe)ni dowolne dwa z wymienionych parametrów.

Bie(#c# warto*- promienia wodz#cego w czasie ruchu satelity po orbicie opisuje równanie (5.10).
Podanie jawnej zale(no*ci promienia wodz#cego od czasu nie jest mo(liwe. W zwi#zku z tym
wprowadza si poj cie anomalii mimo*rodowej E, odpowiadaj#cej ruchowi hipotetycznego satelity
po orbicie ko)owej o promieniu równym du(ej pó)osi orbity rzeczywistej (rys. 5.2), zwi#zanej z
anomali# prawdziw# równaniem

e
e

1
1

(5.16)

Anomalia mimo*rodowa jest zwi#zana z czasem równaniem Keplera

E e

sin

(5.17)

przy czym:

)

(

- anomalia *rednia, (5.18)

- moment przej*cia satelity przez perigeum.

Okres obiegu satelity po orbicie mo(na wyznaczy- z równania (5.17) po podstawieniu E = 2 ,
otrzymujemy wówczas

= 2

(5.19)

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 15 -

Z równania (5.19) wynika trzecie prawo Keplera

T
T

a
a

(5.20)

Pr dko*- satelity na orbicie jest opisana wzorem

(

)

cos

(5.21)

Mo(na j# roz)o(y- na dwie sk)adowe:

- styczn#

(

)

cos

(5.22a)

- radialn#

sin

(5.22b)

W apogeum i perigeum znika sk)adowa radialna pr dko*ci satelity; sk)adowa styczna przyjmuje
odpowiednio warto*ci:

(

)

(5.23a)

(

)

(5.23b)

W przypadku orbity ko)owej sk)adowa radialna pr dko*ci satelity nie wyst puje w ogóle, a
sk)adowa styczna jest wyra(ona wzorem

(5.24)

przy czym r = p jest promieniem orbity.
Elementy orbity. Po)o(enie orbity w przestrzeni, jej rozmiary oraz po)o(enie satelity na orbicie,
okre*la sze*- parametrów, zwanych elementami orbity. W ogólnym przypadku p)aszczyzna orbity
przecina si z p)aszczyzn# równika ziemskiego (rys. 5.3), przy czym *lad przeci cia nosi nazw
linii w z)ów. Punkt, w którym satelita przechodzi przez p)aszczyzn równikow# poruszaj#c si z
po)udnia na pó)noc, nazywamy w z)em wst puj#cym; diametralnie przeciwny punkt - w z)em
zst puj#cym. Po)o(enie w z)a wst puj#cego okre*lone przez k#t

mierzony od prostej )#cz#cej

*rodek ci (ko*ci Ziemi z punktem równonocy wiosennej w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, patrz#c z bieguna pó)nocnego, jest pierwszym elementem orbity. Punkt
równonocy wiosennej jest punktem przeci cia si ekliptyki z równikiem niebieskim, odpowiadaj#cy
przej*ciu S)o1ca przez punkt Barana (oko)o 21 marca). K#t

nazywamy rektascencj# w z)a

wst puj#cego; mo(e on przyjmowa- warto*ci z przedzia)u < 0°, 360° > .

Drugim elementem orbity jest inklinacja, tzn. k#t i mi dzy p)aszczyzn# równika ziemskiego i
p)aszczyzn# orbity, mierzony od p)aszczyzny równikowej w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, przez obserwatora patrz#cego od strony w z)a wst puj#cego. K#t ten mo(e
zawiera- si w przedziale < 0°, 180°>. W zale(no*ci od warto*ci inklinacji, orbity dzielimy na
równikowe (i = 0), biegunowe (i = 90°) i nachylone. Orbity nachylone mog# by- proste (0°< i < 90°),
gdy kierunek ruchu satelity jest zgodny z kierunkiem obrotu Ziemi, i przeciwne (90° < i < 180°), gdy
kierunek ruchu satelity jest przeciwny wzgl dem kierunku obrotu Ziemi.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 16 -

Kolejnym elementem orbity jest argument perigeum, tzn. k#t

mierzony w p)aszczy2nie orbity w

kierunku ruchu satelity od w z)a wst puj#cego do perigeum. Argument perigeum mo(e zmienia-
si w granicach od 0° do 360°. Satelity z apogeum na pó)kuli pó)nocnej maj# argument w
przedziale 180°

" ! " 360°.

Rektascencja w z)a wst puj#cego

, inklinacja i oraz argument perigeum

okre*laj# po)o(enie

orbity w przestrzeni. Kszta)t i rozmiary orbity okre*laj#: du(a pó)o* orbity a i mimo*ród e.

Szóstym elementem orbity jest czas t

przej*cia satelity przez perigeum, )#cz#cy po)o(enie orbity

w przestrzeni z po)o(eniem satelity na orbicie.

Linia w z ów

W ze

zst puj&cy

P aszczyzna orbity

W ze
wst puj&cy

P aszczyzna
równika

Perigeum

Rys. 5.3. Elementy orbity sztucznego satelity Ziemi

Rektascencja w z)a wst puj#cego

, inklinacja i, argument perigeum

, du(a pó)o* orbity a,

mimo*ród e i czas przej*cia satelity przez perigeum t

s# keplerowskimi elementami orbity.

Równanie (5.5) nie opisuje dok)adnie ruchu sztucznego satelity Ziemi poniewa( Ziemia nie jest
kulista i nie ma równomiernego rozk)adu masy. Niech V przedstawia rzeczywisty potencja)
grawitacyjny Ziemi w dowolnym punkcie przestrzeni, równanie (5.5) mo(na wówczas zapisa- w
postaci

r = $ ,

(5.25)

przy czym

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 17 -

$ %

W zagadnieniu dwóch cia) V =

/r, wi c

&
&

r
z

y
z

Równanie (5.25) jest zatem rzeczywi*cie uogólnieniem równania (5.5), opisuj#cego ruch punktu
materialnego w centralnym polu grawitacyjnym.

Rzeczywiste pole grawitacyjne Ziemi modeluje si za pomoc# szeregu harmonicznych
sferycznych. Pole w punkcie P o wspó)rz dnych (r, ,

) opisuje wyra(enie

(

)

(sin )[

cos

sin

] ,

(5.26)

przy czym:
r

- odleg)o*- punktu P od *rodka Ziemi (pocz#tku uk)adu wspó)rz dnych);

geocentryczna szeroko*- punktu P (k#t mi dzy wektorem r i p)aszczyzn# x-y;

- wzniesienie proste punktu P;

- *redni równikowy promie1 Ziemi (6378,137 km w modelu WGS-84);

- stowarzyszona funkcja Legendre'a;

- kosinusowy wspó)czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz du m;

- sinusowy wspó)czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz du m.

Zauwa(my, (e pierwszy cz)on po prawej stronie równania (5.26) reprezentuje centralne pole
grawitacyjne. Zauwa(my równie(, (e szeroko*- geocentryczna w równaniu (5.26) jest ró(na od
szeroko*ci geodezyjnej okre*lonej w . W systemie WGS-84 okre*lono sferyczne wspó)czynniki
harmoniczne

a( do osiemnastego stopnia i rz du.

Dodatkowo na satelity nawigacyjne dzia)aj# nast puj#ce si)y: pole grawitacyjne tzw. trzecich cia),
przede wszystkim S)o1ca i Ksi (yca, ci*nienie promieniowania s)onecznego, p)ywy ziemskie,
odgazowanie (powolne uwalnianie si gazów ze struktury satelity), manewry orbitalne. Wp)yw tych
wszystkich si) uwzgl dnia si przez wprowadzenie do równania (5.25) cz)onu korekcyjnego w
postaci wektora

, tak wi c równanie ruchu satelity przyjmuje posta-

= $ + .

(5.27)

W ró(ny sposób mo(na opisa- orbitalne parametry satelity. Najbardziej oczywistym sposobem jest
okre*lenie wektora pozycyjnego

= ( )

i wektora pr dko*ci

= ( )

w pewnym momencie

odniesienia

i rozwi#zanie równania ruchu (5.27) w celu okre*lenia wektora pozycyjnego

r( )

wektora pr dko*ci

v( )

satelity w dowolnym czasie t. Tak postawione zadanie mo(e by-

rozwi#zane analitycznie tylko dla zagadnienia dwóch cia); uwzgl dnienia perturbacji
wprowadzanych przez inne czynniki - to znaczy rozwi#zanie równania (5.27) - mo(na dokona-
tylko numerycznie.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 18 -

W równaniu potencja)owym (5.26) dominuj#cym sk)adnikiem jest centralne pole grawitacyjne.
Mo(na wi c rozwi#zanie równania ruchu satelity w rzeczywistych warunkach (5.27) opisa- za
pomoc# sze*ciu klasycznych elementów keplerowskich, z tym (e nie b d# one niezale(ne od
czasu. Takie elementy orbity nazywamy *ci*le stycznymi.

6. System nawigacji satelitarnej NAVSTAR GPS

6.1. Krótka charakterystyka

Na pocz#tku lat sze*-dziesi#tych kilka ameryka1skich organizacji rz#dowych, w tym organizacje
wojskowe, Krajowa Administracja Aeronautyki i Kosmonautyki (National Aeronautics and Space
Agency - NASA), Departament Transportu (Department of Transportation - DOT) by)y
zainteresowane zbudowaniem satelitarnego systemu nawigacyjnego. Nowemu systemowi
nawigacyjnemu postawiono nast puj#ce wymagania: globalny zasi g, praca ci#g)a w dowolnych
warunkach pogodowych, zdolno*- do obs)ugiwania pojazdów o du(ej dynamice ruchu, du(a
dok)adno*- okre*lania pozycji.

Dopplerowski system nawigacji satelitarnej Transit, który wszed) w faz operacyjn# w roku 1964,
by) powszechnie akceptowany do okre*lania pozycji pojazdów o niezbyt du(ej dynamice ruchu.
System ten umo(liwia) okre*lenie pozycji statku znajduj#cego si na równiku *rednio raz na 110
minut, przy czym okre*lenie pozycji trwa)o od 10 do 15 minut. Mo(liwa cz sto*- okre*lania pozycji
statku wzrasta)a ze wzrostem szeroko*ci geograficznej, np. przy szeroko*ci

mo(na by)o

okre*la- pozycj statku raz na 30 minut. Mankamenty systemu Transit spowodowa)y, (e
Marynarka Ameryka1ska (US Navy) by)a zainteresowana udoskonaleniem systemu Transit lub
budow# nowego systemu nawigacji satelitarnej o wymienionych wcze*niej w)a*ciwo*ciach. Ró(ne
odmiany systemu Transit proponowa)o Laboratorium Fizyki Stosowanej Uniwersytetu Johna
Hopkinsa (Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory). Laboratorium Badawcze
Marynarki (Naval Research Laboratory - NRL) pracowa)o nad programem satelitarnej precyzyjnej
s)u(by czasu, zwanym programem Timation. Program ten rozszerzono o mo(liwo*- pomiaru
odleg)o*ci do satelitów, dzi ki temu system Timation móg) s)u(y- do dwuwymiarowego okre*lania
pozycji statków.

W tym samym czasie, gdy Marynarka Ameryka1ska pracowa)a nad udoskonaleniem systemu
Transit i nad programem Timation, Ameryka1skie Wojka Lotnicze (US Air Force) przedstawi)y
koncepcj satelitarnego systemu nawigacyjnego pod nazw# System 621B. Satelity tego systemu,
w liczbie od 15 do 20, mia)y porusza- si po eliptycznych orbitach o nachyleniu

pomiaru odleg)o*ci do satelitów proponowano zastosowa- kluczowanie fazy sygna)u no*nego za
pomoc# ci#gu pseudolosowego. System 621b mia) zapewni- trójwymiarowe

okre*lanie pozycji

w skali ca)ego globu w dowolnych warunkach meteorologicznych. Koncepcj systemu testowano
za pomoc# tzw. pseudolitów, tzn. stacji naziemnych nadaj#cych takie same sygna)y, jakie mia)y
nadawa- satelity. Sygna)y te by)y odbierane przez lataj#ce samoloty, które na ich podstawie
okre*la)y swoje pozycje.

Równie( Ameryka1ska Piechota (US Army) prowadzi)a badania nad wyborem przysz)ego systemu
nawigacji satelitarnej. Wynikiem tych bada1 by)o stwierdzenie, najlepszym rozwi#zaniem jest
system odleg)o*ciowy z pomiarem odleg)o*ci na zasadzie rozpraszania widma sygna)u no*nego
za pomoc# ci#gu pseudolosowego.

W roku 1969 Biuro Sekretarza Obrony (The Office of the Secretary of Defence - OSD) ustanowi)o
program budowy obronnego systemu nawigacji satelitarnej (Defence Navigation Satellite System -
DNSS), którego zadaniem by)o po)aczenie dotychczasowych bada1 prowadzonych przez ró(ne
organizacje i zbudowanie jednego - s)u(#cego wszystkim - systemu nawigacji satelitarnej.
Powsta)a w ten sposób koncepcja systemu NAVSTAR GPS (NAVSTAR Global Positioning
System),który powinien zaspokoi- potrzeby wszystkich u(ytkowników. Prace projektowe trwa)y do
1979 r. Pierwszego satelit umieszczono na orbicie w lutym 1978 r. System jest obecnie w fazie
operacyjnej i spe)nia wymagania postawione mu na pocz#tku lat 60. Zapewnia on ci#g)e,
trójwymiarowe okre*lanie pozycji i pr dko*ci u(ytkownika z du(# precyzj# w skali globalnej,
niezale(nie od warunków meteorologicznych, oraz s)u(b czasu - (ang. UTC - Coordinated
Universal Time).

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 19 -

Konstelacja GPS sk)ada si z 24 satelitów nawigacyjnych rozmieszczonych równomiernie na
sze*ciu ko)owych orbitach podsynchronicznych nachylonych pod k#tem

. Kr#(#c na wysoko*ci

oko)o 20183 km nad powierzchni# Ziemi satelity wykonuj# dwa obroty na dob . Bez przerwy
nadaj# one informacj nawigacyjn# w dwóch kana)ach L1 (cz stotliwo*- 1575,42 MHz) i L2
(cz stotliwo*- 1227,60 MHz). Cz stotliwo*- obu sygna)ów no*nych, a tak(e sygna)y zegarowe
steruj#ce generatory ci#gów pseudolosowych, s# uzyskiwane z tego samego wzorca atomowego o
cz stotliwo*ci 10,23 MHz. Maksymalna niestabilno*- wzorca wynosi 10

-12

na dob .

Rys. 6.1. Widmo energetyczne na wyj*ciu nadajnika satelitowego: wyra2nie wida- du(# g sto*-

widmow# sygna)u kluczowanego kodem C/A w kanale L1 i ma)# g sto*- widmow# sygna)u

kluczowanego kodem P w kana)ach L1 i L2

Sygna)y no*ne obu kana)ów s# rozpraszane za pomoc# specjalnych binarnych kodów
pseudolosowych (rys. 6.1). Mamy wi c do czynienia z systemem szerokopasmowym z
kluczowaniem fazy przebiegu no*nego. W systemie stosuje si dwa kody: standardowy C/A (ang.
Coarse/Acquisition lub Clear/Acquisition) zapewniaj#cy powszechnie dost pn# s)u(b okre*lania
pozycji SPS (ang. Standard Positioning Service),i precyzyjny P, zapewniaj#cy precyzyjn# s)u(b
okre*lania pozycji PPS (ang. Precise Positioning Service), dost pn# tylko dla wojskowych i
wybranych rz#dowych organizacji USA.

Rys. 6.2. Generator ci#gów Golda

Kod C/A jest krótkim kodem, zawiera on 1023 bity, generowane z szybko*ci# 1,023 Mb/s. Kod
C/A powtarza si co milisekund . Ka(dy satelita nadaje inny ci#g kodowy wybrany z rodziny 1023
ci#gów Golda (rys. 6.2) w taki sposób, aby zapewni- mo(liwie ma)# korelacj wzajemn# mi dzy
ci#gami nadawanymi przez poszczególne satelity. Dzi ki temu malej# zak)ócenia interferencyjne
oraz u)atwia si identyfikacj satelity i synchronizacj odbiornika.

S)u(ba SPS zosta)a - w sensie operacyjnym - uruchomiona w grudniu 1993 roku, kiedy sta)y si
dost pne 24 satelity nawigacyjne prototypowe i operacyjne pierwszej generacji. B)#d okre*lenia
pozycji za pomoc# kodu C/A nie przekracza 100 m (95%) w p)aszczy2nie poziomej i 133 m (95%)
w p)aszczy2nie pionowej. Oznacza to, (e 95% wyznacze1 pozycji w ustalonym punkcie mie*ci si
wewn#trz okr gu o promieniu 100 m w p)aszczy2nie poziomej i 133 m w p)aszczy2nie pionowej.
B)#d ten jest w g)ównej mierze spowodowany celowym wprowadzeniem przez Departament
Obrony USA (ang. Department of Defence - DOD) zak)óce1 do efemeryd i zegarów satelitów
nawigacyjnych. Dzia)anie to okre*la si jako wybiórcz# dost pno*- (ang. Selective Availability -
SA). Wybiórcz# dost pno*- wprowadzono 25 marca 1990 r. Mo(na si spodziewa-, (e DOD
zrezygnuje ze stosowania wybiórczej dost pno*ci po roku 2000. B)#d okre*lenia czasu UTC nie
przekracza 340 ns (95%).

Kod P jest bardzo d)ugim kodem, okres powtarzania wynosi 267 dób. Ci#g kodowy P jest
generowany z szybko*ci# 10,23 Mb/s. Ka(demu satelicie przypisano odcinek tego kodu o d)ugo*ci
jednego tygodnia. O pó)nocy z soboty na niedziel generatory ci#gu kodowego na satelitach
rozpoczynaj# cykl pracy od pocz#tku. Sygna)y no*ne w obu kana)ach s# modulowane
(kluczowane) ci#giem P, ci#gi C/A wyst puj# tylko w kanale L1.

Dzi ki krótkiemu okresowi kodu C/A odbiornik )atwo osi#ga synchroniczn# prac . Po
zsynchronizowaniu si odbiornika z kodem C/A mo(na przej*- do *ledzenia kodu P. Kod C/A
u)atwia wi c synchronizacj startow#. Bezpo*rednie zsynchronizowanie odbiornika z kodem P
wymaga)oby nies)ychanie d)ugiego czasu.

B)#d okre*lenia pozycji za pomoc# kodu P wynosi 22 m (95%) w p)aszczy2nie poziomej i 27,7 m
(95%) w p)aszczy2nie pionowej. B)#d okre*lenia czasu nie przekracza 200 ns (95%), a pr dko*ci -
0,2 m/s (95%).

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 20 -

Nad prawid)ow# prac# systemu czuwa operacyjny segment sterowania OCS (ang. Operational
Control Segment). Zapewnia on utrzymanie satelitów na ustalonych pozycjach orbitalnych,
monitoruje stan baterii s)onecznych, poziom akumulatorów itp. OCS kontroluje stan zegarów
satelitowych, uaktualnia efemerydy i almanach raz na dob lub w miar potrzeby. OCS sk)ada si
z Centralnej Stacji Sterowania MCS (ang. Master Control Station) w Colorado Springs i kilku
odleg)ych stacji monitoruj#cych RMS (ang. Remote Monitor Station).

6.2. Konstelacja GPS

Konstelacja GPS sk)ada si z 24 satelitów nawigacyjnych rozmieszczonych na sze*ciu ko)owych
orbitach podsynchronicznych, po cztery satelity na ka(dej orbicie (rys. 6.3). Orbity s# równomiernie
rozmieszczone wzd)u( równika, co 60

. Inklinacja wszystkich orbit jest jednakowa i wynosi 55

Kr#(#c na wysoko*ci oko)o 20183 km nad powierzchni# Ziemi satelity wykonuj# dwa obroty na
dob syderyczn#. Rysunek 6.4 przedstawia rzut p)aski konstelacji z godziny 00.00 1 lipca 1993
roku (UTC). Ka(da orbita zosta)a "rozci ta" i "u)o(ona" na p)aszczy2nie. Podobnie post#piono z
równikiem ziemskim. Nachylenie odcinków reprezentuj#cych orbity odpowiada ich inklinacjom,
równym 55

. Po)o(enie orbit wzgl dem Ziemi opisuj# rektascencje w z)ów wst puj#cych.

Po)o(enie satelitów na orbitach okre*laj# anomalie *rednie.

Rozwój satelitów nawigacyjnych GPS odbywa) si w kilku fazach, poczynaj#c od po)owy lat 70. i
jest ci#gle kontynuowany. Satelity opracowane w poszczególnych fazach nazywa si blokami. Blok
I obejmowa) satelity prototypowe, których zadaniem by)o sprawdzenie s)uszno*- koncepcji i
ocenienie przydatno*ci systemu GPS. Satelity tego bloku by)y umieszczane na orbitach w latach
1978 1985. Jesieni# 1995 roku wy)#czono z ruchu ostatniego satelit prototypowego. Blok II
obejmuje pierwsze satelity produkcyjne, blok IIA - udoskonalone satelity produkcyjne. S# one
obecnie u(ywane jako satelity operacyjne. Blok IIR obejmuje satelity uzupe)niaj#ce(rys. 6.5), b d#
one umieszczane na orbitach w latach 1997 - 2004. Po roku 2004 przewiduje si wprowadzenie
bloku IIF.

Rys. 6.3. Konstelacja satelitów GP

Rys. 6.4. Rzut p)aski konstelacji satelitów GPS

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 21 -

Rys. 6.5. Satelita GPS z bloku IIR

Wyposa(enie nawigacyjne satelitów GPS (rys. 6.6) zapewnia odbiór danych z OCS, komunikacj
mi dzy satelitami (tylko satelity bloków IIR i IIF) oraz nadawanie sygna)ów nawigacyjnych do
u(ytkowników. Sygna)y telemetryczne, rezultaty *ledzenia satelitów i sygna)y telesterowania s#
gromadzone w pami ci komputera pok)adowego, który wykorzystuje je odpowiednio do
przygotowania informacji nawigacyjnej. Na pok)adzie ka(dego satelity znajduj# si dwa cezowe i
dwa rubidowe zegary atomowe (satelity bloku IIR s# wyposa(one w jeden cezowy i dwa rubidowe
zegary atomowe). Jeden z tych zegarów jest traktowany jako podstawowy i jest odniesieniem
czasu i cz stotliwo*ci dla wszystkich urz#dze1 nawigacyjnych. Pozosta)e zegary stanowi#

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 22 -

redundancj . Generatory kodów pseudolosowych generuj# kody C/A i P, do których dodaje si
modulo 2 informacj nawigacyjn#, a nast pnie doprowadza do nadajników pasma L. Nadajniki te
tworz# sygna)y o rozproszonym widmie w kana)ach L1 i L2, które s# nast pnie wypromieniowane
w kierunku Ziemi za pomoc# odpowiednich anten.

Zegar

atomowy

Modulator

Komputer

Nadajnik,
odbiornik

Komunikacja

Sygna)y

dla u(ytkowników

Telemetria,

*ledzenie i

telesterowanie

Generatory kodów

pseudolosowych

pasma L

Nadajniki

mi dzy satelitami

Rys. 6.6. Wyposa(enie nawigacyjne satelity GPS

6.3. Informacja nawigacyjna

Ka(dy satelita nadaje w obu kana)ach jednakow# informacj nawigacyjn#, umo(liwiaj#c#
u(ytkownikowi systemu dok)adne okre*lenie po)o(enia satelity. Informacja nawigacyjna zawiera
1500 bitów i jest przesy)ana z szybko*ci# 50 b/s. D)ugo*- ramki zawieraj#cej informacj
nawigacyjn# wynosi wi c 30 s. Ramka jest podzielona na 5 subramek, ka(da o d)ugo*ci 6 s (rys.
6.7).

Ka(da subramka zawiera 10 s)ów trzydziestobitowych. Pierwsze s)owo (TLM) zawiera informacje
telemetryczne, drugie (HOW - ang. Hand over Word) - umo(liwia synchronizacj odbiornika z
kodem P. Pozosta)e osiem s)ów w ka(dej subramce s# informacjami nawigacyjnymi
przeznaczonymi dla u(ytkownika. Blok 1 zawiera dane umo(liwiaj#ce korekt czasu, ze wzgl du
na dryf generatorów pok)adowych, a tak(e ze wzgl du na opó2nienie fali w jonosferze. Bloki 2 i 3
zawieraj# efemerydy satelity nadaj#cego informacj (tab. 6.1). Blok 4 jest wykorzystywany do
przesy)ania informacji alfanumerycznej. Blok 5 (almanach) zawiera przybli(one informacje o
po)o(eniu pozosta)ych satelitów. Informacje te nie mieszcz# si w jednej subramce, do przes)ania
pe)nej informacji wykorzystuje si 19 kolejnych ramek. Almanach powtarza si wi c co 570 s.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 23 -

TLM

HOW

TLM

HOW

TLM

HOW

TLM

HOW

TLM

HOW

Korekta czasu

Efemerydy

Informacja alfanumeryczna

Almanach

Subramki (6 s)

Ramka

(30 s)

Rys. 6.7. Organizacja ramki informacji nawigacyjnej: TLM - informacja telemetryczna,

HOW (ang. Hand over Word) - synchronizacja kodu P

Tabela 6.1

Efemerydy satelitów GPS

Czas odniesienia

Pierwiastek kwadratowy z wielkiej pó)osi

Mimo*ród

Inklinacja (w momencie

)

Rektascencja w z)a wst puj#cego (w epokach tygodniowych)

Argument perigeum (w momencie

)

Anomalia *rednia ( w momencie

)

di dt

Szybko*- zmiany inklinacji

•

Szybko*- zmiany rektascencji w z)a wst puj#cego

Korekcja *redniego ruchu

Kosinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko*ci

Sinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko*ci

Kosinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla promienia orbity

Sinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla promienia orbity

Kosinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla inklinacji

Sinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla inklinacji

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 24 -

6.4. Okre%lenie pozycji uDytkownika

System GPS jest systemem odleg)o*ciowym. Okre*lenie pozycji u(ytkownika polega na pomiarze
odleg)o*ci do wybranych satelitów nawigacyjnych i wyznaczenie powierzchni nawigacyjnych w
postaci sfer, których przeci cie si jest poszukiwan# pozycj#. Pomiar odleg)o*ci od odbiornika
nawigacyjnego (u(ytkownika) do satelity nawigacyjnego odbywa si poprzez pomiar czasu
propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - odbiornik nawigacyjny.

Rys. 6.8. Wektor pozycyjny u(ytkownika u, wektor pozycyjny satelity nawigacyjnego s w uk)adzie

wspó)rz dnych ECEF oraz wektor odleg)o*ci r mi dzy u(ytkownikiem i satelit#

Tabela 6.2

Obliczanie wspó)rz dnych satelity GPS w uk)adzie ECEF

(1)

( )

Wielka pó)o*

(2)

Skorygowany ruch *redni

(3)

t t

Up)yw czasu od epoki efemeryd

(4)

n t

( ) M

n t

( )

Anomalia *rednia

(5)

sin

Anomalia mimo*rodowa (rozwi#-
zanie iteracyjne wzgl dem

)

(6)

sin

cos

Anomalia rzeczywista

(7)

Argument szeroko*ci

(8)

sin(

)

cos(

)

Argument korekcji szeroko*ci

(9)

sin(

)

cos(

)

Korekcja promienia

(10)

sin(

)

cos(

)

Korekcja inklinacji

(11)

Skorygowany argument szeroko*ci

(12)

(

)

cos

Skorygowany promie1

(13)

di dt t

= +

( /

)

Skorygowana inklinacja

(14)

•

(

)

Skorygowana rektascencja w z)a

(15)

= cos

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 25 -

(16)

= sin

(17)

cos

cos sin

Wspó)rz dna x w uk)adzie ECEF

(18)

sin

cos cos

Wspó)rz dna y w uk)adzie ECEF

(19)

sin

Wspó)rz dna z w uk)adzie ECEF

Rys. 6.8. Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita nawigacyjny -

odbiornik poprzez okre*lenie maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci#gu pseudolosowego

generowanego na satelicie i repliki tego kodu wytwarzanego w odbiorniku nawigacyjnym

Na rysunku 6.7 pokazano u(ytkownika, którego po)o(enie okre*la w uk)adzie ECEF wektor
pozycyjny u (nieznany) o sk)adowych

( , , )

x y z

i satelit nawigacyjnego, którego po)o(enie w

tym samym uk)adzie wspó)rz dnych okre*la wektor pozycyjny s (znany po zdekodowaniu
informacji nawigacyjnej, patrz tabela X.3) o sk)adowych

( , , )

x y z

; odleg)o*- od u(ytkownika do

satelity nawigacyjnego opisuje wektor r. Mi dzy wektorami r, s, i u zachodzi zwi#zek

r s u

(6.1)

Modu) wektora odleg)o*ci

s u

(6.2)

jest znany na podstawie pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej.

Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - u(ytkownik ilustruje rysunek
6.8. Charakterystyczny element sygna)u pseudolosowego zostaje wypromieniowany z satelity w
momencie

. Element ten dociera do odbiornika nawigacyjnego w momencie

, po up)ywie

sekund potrzebnych na przebycie przez fal elektromagnetyczn# odleg)o*ci r. W odbiorniku
nawigacyjnym wyznacza si maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci#gu pseudolosowego
nadawanego przez satelit i repliki tego ci#gu odtworzonej w odbiorniku. Po)o(enie tego
maksimum wyznacza czas propagacji fali

.t. Gdyby zegar satelity i zegar odbiornika by)y

zsynchronizowane z czasem systemowym, to - po pomno(eniu

.t przez pr dko*- rozchodzenia

si fal elektromagnetycznych c - otrzymaliby*my odleg)o*- geometryczn# odbiornika
nawigacyjnego od satelity

Odleg:o

geometryczna =

r c T

= (

)

= c

.t,

(6.3)

przy czym:

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny zosta) wypromieniowany z satelity;

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny dotar) do odbiornika nawigacyjnego.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 26 -

T + t

Czas propagacji odpowiadaj#cy

odleg)o*ci geometrycznej

Czas propagacji odpowiadaj#cy

pseudoodleg)o*ci

Czas

. t

Rys. 6.9. Zale(no*ci czasowe przy pomiarze odleg)o*ci do satelity GPS:

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny zosta) wypromieniowany z satelity;

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny dotar) do odbiornika u(ytkownika;

0t - przesuni cie czasu zegara na satelicie wzgl dem czasu systemowego;

- przesuni cie czasu zegara w odbiorniku u(ytkownika wzgl dem czasu systemowego;

- odczyt zegara satelitowego w momencie, w którym sygna) nawigacyjny zosta)

wypromieniowany z satelity;

- odczyt zegara w odbiorniku u(ytkownika w momencie, w którym dotar) do niego sygna)

nawigacyjny

W rzeczywisto*ci satelity s# wyposa(one w bardzo stabilne zegary atomowe, które jednak nie s#
zsynchronizowane z czasem systemowym. Zegary satelitowe wykazuj# wi c pewne przesuni cie
0t w stosunku do czasu systemowego (przy*pieszenie jest dodatnie, opó2nienie - ujemne). Zegar
w odbiorniku nawigacyjnym nie jest równie( zsynchronizowany z czasem systemowym; wyst puje
przesuni cie

czasu u(ytkownika wzgl dem czasu systemowego. Zale(no*ci czasowe

wyst puj#ce podczas pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej w systemie GPS ilustruje
rysunek 6.9.

W rzeczywisto*ci w wyniku okre*lenia maksimum funkcji korelacji wzajemnej nie mierzymy czasu
.t, odpowiadaj#cego odleg)o*ci geometrycznej mi dzy satelit# i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz
czas

(

) (

)

.t +

(

)

. Przesuni cie czasu zegara na

satelicie wzgl dem czasu systemowego

0t jest mierzone przez OCS i wprowadzane do informacji

nawigacyjnej. Odbiornik nawigacyjny mo(e wi c dokona- odpowiedniej korekty. Pozostaje jednak
przesuni cie czasu zegara w odbiorniku u(ytkownika wzgl dem czasu systemowego. Odbiornik
nawigacyjny mierzy wi c nie czas

.t, lecz czas .

.t +

. Je*li ten czas pomno(ymy przez

pr dko*- rozchodzenia si fali elektromagnetycznej, to nie otrzymamy odleg)o*ci geometrycznej
mi dzy satelit# i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz tzw. pseudoodleg)o*-

Pseudoodleg:o

= c

= c(

.t +

.) = r + c

(6.5)

Okre*lenie pozycji u(ytkownika w uk)adzie ECEF wymaga wi c wyznaczenia trzech sk)adowych
wektora pozycyjnego u(ytkownika

( , , )

x y z

oraz ró(nicy

. mi dzy czasem lokalnym

u(ytkownika i czasem systemowym. Rozwi#zanie tak postawionego zadania nawigacyjnego
wymaga pomiaru pseudoodleg)o*ci co najmniej do czterech satelitów nawigacyjnych i rozwi#zania
nast puj#cego uk)adu równa1

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 27 -

, , , .

1 2 3 4

(6.6)

W formie rozwini tej uk)ad równa1 (6.6) ma posta-

(

)

(

)

(

)

(6.7a)

(

)

(

)

(

)

(6.7b)

(

)

(

)

(

)

(6.7c)

(

)

(

)

(

)

(6.7d)

przy czym

x y z j

, , ;

, , , ,

= 1 2 3 4 x y z j

, , ;

, , , ;

= 1 2 3 4

s# wspó)rz dnymi czterech satelitów

nawigacyjnych w uk)adzie ECEF.

Rozwi#zania uk)adu nieliniowych równa1 (6.7) mo(na dokona- w trojaki sposób: (1) znale2-
rozwi#zanie w formie zamkni tej, (2) zastosowa- technik iteracyjn# po wcze*niejszej linearyzacji
uk)adu, (3) zastosowa- filtracj Kalmana.

W metodzie iteracyjnej zak)adamy, (e znane jest wst pne oszacowanie po)o(enia u(ytkownika

( , , )

x y z

i przesuni cia czasu

. Rozwijamy wyra(enia na pseudoodleg)o*ci w szereg Taylora

w otoczeniu przybli(onego po)o(enia u(ytkownika i zachowujemy tylko cz)ony liniowe;
otrzymujemy wówczas uk)ad czterech równa1 liniowych

;

(6.8)

j = 1,2,3,4;

w którym:

(

)

(

)

(

)

;

(

)

(

)

(

) ;

j = 1,2,3,4.

Po rozwi#zaniu uk)adu równa1 (6.8) otrzymuje si nowe przybli(enie pozycji i czasu u(ytkownika:

;

(6.9a)

;

(6.9b)

;

(6.9c)

= +

(6.9d)

Proces iteracyjny mo(na powtarza- wielokrotnie. Zbie(no*- procesu iteracji i dok)adno*-
otrzymanych wyników zale(# od tego, jak dobrze dokonano oszacowania wst pnego po)o(enia i
czasu u(ytkownika.

Uk)ad równa1 (6.9) mo(na zapisa- w postaci macierzowej

.1111 = H.

.x,

(6.10)

w której:

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 28 -

.1111

.1
.1
.1

;

1
1
1
1

;

.
.

x
y

c t

;

Formalnie rozwi#zanie równania macierzowego mo(na zapisa- w postaci

.x =

.1111.

(6.11)

Wspó)czesne odbiorniki nawigacyjne s# odbiornikami wielokana)owymi (nawet do dwunastu
kana)ów). Odbiorniki te umo(liwiaj# *ledzenie wi kszej liczby ni( czterech satelitów (je*li s#
widoczne). Prowadzi to do nadokre*longo uk)adu równa1 dla pseudoodleg)o*ci, który rozwi#zuje
si metod# najmniejszych kwadratów. W ten sposób mo(na zwi kszy- dok)adno*- okre*lenia
pozycji u(ytkownika.

Macierz H ma wówczas posta-

(6.12)

przy czym N – liczba satelitów, do których wykonano pomiar odleg)o*ci.

Residuum

1111

(6.13)

Minimum kwadratu residuum

)

(

)

(

1111

. =

(6.14)

Poprawka

1111

)

(

(6.15)

6.5. B 4d okre%lenia pozycji uDytkownika

Pomiar pseudoodleg)o*ci jest obarczony ró(nymi b) dami: niestabilno*ci zegara satelity,
perturbacjami w ruchu satelity, b) dami w prognozowaniu efemeryd, opó2nieniem fali
elektromagnetycznej w jonosferze i troposferze, propagacj# wielodrogow#, szumem termicznym
odbiornika. Szczególnym rodzajem b) du jest tzw. wybiórcza dost pno*- SA (ang. Selective
Availability). Jest to wprowadzany *wiadomie przez DOD b)#d w prognozowaniu efemeryd
satelitów oraz b)#d w okre*leniu czasu systemowego. Selektywn# dost pno*- stosowano od 25
marca 1990 r. do 30 kwietnia 2000 r. tylko w standardowej s)u(bie okre*lania pozycji (kod C/A).
Warto*ci ró(nych b) dów podano w tabeli 6.3. Jest to jednosigmowy b)#d okre*lenia
pseudoodleg)o*ci wyra(ony w metrach. Pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów b) dów

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 29 -

cz#stkowych okre*la ca)kowity b)#d systemowy okre*lenia pseudoodleg)o*ci UERE (ang. User
Equivalent Range Error).

Tabela 6.3.

Bud(et b) du okre*lania pseudoodleg)osci w systemie GPS

B)#d jednosigmowy [m]

Segment

\ród)o b) du PPS

SPS

z SA

SPS

bez S.A.

Kosmiczny Niestabilno*- zegara satelity

Perturbacje ruchu satelity
Dost p selektywny
Inne

3,0
1,0

0,5

3,0
1,0
32,3
0,5

3,0
1,0

0,5

Sterowanie B)#d predykcji efemeryd

Inne

4,2
0,9

U(ytkownik Opó2nienie jonosferyczne

Opó2nienie troposferyczne
Szum termiczny i rozdzielczo*- odbiornika
Propagacja wielodrogowa
Inne

2,3
2,0
1,5
1,2
0,5

5,0
1,5
1,5
2,5
0,5

B)#d ca)kowity UERE

6,5

33,3

8,0

B)#d UERE mówi tylko o dok)adno*ci pomiaru pseudoodleg)o*ci. B)#d okre*lenia pozycji
u(ytkownika zale(y jeszcze od rozmieszczenia satelitów nawigacyjnych na firmamencie w
stosunku do u(ytkownika. Wp)yw rozmieszczenia satelitów na dok)adno*- okre*lenia pozycji dla
przypadku dwuwymiarowego ilustruje rys. 6.10. Gdy satelity znajduj# si blisko siebie, wówczas
b)#d okre*lenia pozycji jest du(y.

B)#d okre*lenia pozycji u(ytkownika w systemie GPS mo(na scharakteryzowa- nast puj#cym
wyra(eniem

(B:$d okre lenia pozycji) =
= (B:$d pomiaru pseudoodleg:o ci)

× (Wspó:czynnik geometryczny)

(6.16)

Za b)#d pomiaru pseudoodleg)o*ci mo(na przyj#- UERE, który jest gaussowsk# zmienn# losow# o
warto*ci *rednie równej 0 i o odchyleniu standardowym

UERE

(tab. 6.3). Wspó)czynnik okre*la

wzrost b) du okre*lenia pozycji ze wzgl du uk)ad satelitów nawigacyjnych wzgl dem u(ytkownika
(rys. 6.10). Zwykle mówi si o geometrycznym zmniejszeniu dok)adno*ci okre*lenia pozycji
u(ytkownika GDOP (ang. Geometric Diulution of Precision). Z najlepszym rozmieszczeniem
satelitów mamy do czynienia wówczas, gdy jeden z satelitów znajduje si w zenicie nad
u(ytkownikiem, a pozosta)e trzy mo(liwie nisko nad horyzontem rozmieszczone równomiernie co
120

Rys. 6.10. Wyja*nienie wp)ywu rozmieszczenia satelitów na dok)adno*- okre*lenia pozycji

u(ytkownika (przypadek dwuwymiarowy)

Na ogó) rozró(nia si b)#d okre*lenia pozycji w p)aszczy2nie pionowej i poziomej. B)#d okre*lenia
pozycji w p)aszczy2nie pionowej dz ma rozk)ad N(0, VDOP

UERE

), tzn. rozk)ad normalny z zerow#

warto*ci# *redni# i odchyleniem standardowym VDOP

UERE

, przy czym VDOP (ang. Vertical

Dilution of Precision) jest geometrycznym zmniejszeniem dok)adno*ci w p)aszczy2nie pionowej.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 30 -

Statystycznie b)#d okre*lenia pozycji w p)aszczy2nie pionowej wyra(a si zale(no*ci#

VDOP UERE,

(6.17)

w której UERE jest zmienn# losow# o rozk)adzie N(0,

UERE

). Odchylenie standardowe zmiennej

losowej dz

UERE

= VDOP

(6.18)

Rozk)ad gaussowski charakteryzuje si tym, (e w przedziale o sszeroko*ci

±1

wzgl dem warto*ci

*redniej znajduje si 68% wyników pomiarów. W przybli(eniu 95% wyników pomiarów mie*ci si w
przedziale o szeroko*ci

±2

wzgl dem warto*ci *redniej; mo(na wi c zapisa- równanie

= ×

VDOP

UERE

(6.19)

Przypu*-my, (e w pewnym momencie dla okre*lonego uk)adu u(ytkownika wzgl dem satelitów
nawigacyjnych VDOP = 2. Dla kodu C/A z w)#czon# selektywn# dost pno*ci#

UERE

= 33 3

(patrz tab. 6.3 ), wi c

UERE

2 2 33 3 133 2

= ×

= × ×

VDOP

Oznacza to, (e prawdopodobie1stwo, i( b)#d okre*lenia pozycji b dzie wi kszy ni( 113,2 metra nie
przekracza 5%.

Do kre*lenia b) du okre*lenia pozycji w p)aszczy2nie poziomej wprowadza si cz sto poj cie
prawdopodobnego b) du ko)owego CEP (ang. Circular Error Probable). Jest to promie1 ko)a ze
*rodkiem w prawdziwej (bezb) dnej) pozycji u(ytkownika obejmuj#cego 50% wykonanych
pomiarów. Innymi s)owy prawdopodobie1stwo tego, (e b)#d pomiaru jest mniejszy ni( warto*-
CEP wynosi dok)adnie 1/2. CEP wyra(a si nast puj#c# zale(no*ci# przybli(on#

CEP

HDOP

UERE

0 75

(20)

Przez

CEP

rozumiemy promie1 ko)a ze *rodkiem w prawdziwej pozycji u(ytkownika, które

obejmuje xx% wyników pomiarów obarczonych b) dami. Oczywi*cie

CEP

CEP.

Obowi#zuj#

nast puj#ce zale(no*ci przybli(one:

CEP

HDOP

UERE

1 3

;

(6.21a)

CEP

HDOP

UERE

1 6

;

(6.21b)

CEP

HDOP

UERE

2 0

(6.21c)

Powiedzmy, (e w pewnym momencie i w pewnej konfiguracji satelitów wzgl dem u(ytkownika
HDOP = 1,5. Je*li u(ytkownik korzysta z kodu C/A i jest w)#czona wybiórcza dost pno*-, to

CEP

HDOP

2 0

2 0 1 5 33 3 99 9

UERE

Oznacza to, (e w 95% przypadków wynik okre*lenia pozycji znajdzie si kole o *rednicy oko)o 100
metrów, którego *rodek pokrywa si z pozycj# rzeczywist#. Zwró-my uwag , (e dominuj#cym
2ród)em b) du jest wybiórcza dost pno*-. Przy wy)#czonej SA mieliby*my

CEP

HDOP

2 0

2 0 1 5 8 0 24

UERE

co jest bardzo atrakcyjnym rezultatem.

6.6. Efekty relatywistyczne

Zegary pok)adowe satelitów nawigacyjnych s# pod wp)ywem dwóch efektów relatywistycznych
wynikaj#cych ze szczególnej i ogólnej i teorii wzgl dno*ci Einsteina. Pierwszy efekt jest zwi#zany
ze zmian# chodu zegara znajduj#cego si w ruchu - “szybkie zegary chodz# wolno” - wynikaj#c#
ze szczególnej teorii wzgl dno*ci. Generator umieszczony na satelicie generuje wi c mniejsz#
cz stotliwo*- ni( ta, na któr# zosta) ustawiony.

Drugi efekt jest zwi#zany z zasad# równowa(no*ci, zgodnie z któr# chód zegara ulega zwolnieniu
przy zbli(aniu si do *rodka pola grawitacyjnego. W odniesieniu do generatora umieszczonego na
satelicie te dwa efekty dzia)aj# w przeciwnych kierunkach. W przypadku satelity poruszaj#cego si

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 31 -

po orbicie o promieniu równym pó)tora promienia Ziemi oba efekty wzajemnie kompensuj# si .
Satelity systemu GPS poruszaj# si jednak po orbitach o promieniach równych oko)o 4,2
promienia Ziemi. Zegary umieszczone na tych satelitach chodz# wi c szybciej ni( zegary
znajduj#ce si na powierzchni Ziemi. Ca)kowity b)#d z tego tytu)u wynosi 38,4

s w ci#gu doby, co

odpowiada 11,5 km b) du w okre*leniu odleg)o*ci.

Wymienione efekty relatywistyczne s# kompensowane przez ustawienie cz stotliwo*ci zegarów
satelitowych nieco poni(ej cz stotliwo*ci nominalnej - 10,22999999545 MHz. Cz stotliwo*-
widziana przez obserwatora na powierzchni morza jest natomiast równa 10,23 MHz, co oznacza,
(e u(ytkownik nie musi wprowadza- korekcji na omawiane efekty relatywistyczne.

U(ytkownik musi natomiast wprowadza- korekcj ze wzgl du na inny periodyczny efekt
relatywistyczny, wynikaj#cy z niewielkiej ekscentryczno*ci orbit satelitów nawigacyjnych. Po)owa
tego efektu jest zwi#zana z okresow# zmian# pr dko*ci satelity wzgl dem uk)adu wspó)rz dnych
ECI, druga po)owa jest zwi#zana ze zmian# po)o(enia satelity w ziemskim polu grawitacyjnym.

Rys. 6.11. Efekt Sagnaca

W zwi#zku z obrotem Ziemi w czasie transmisji sygna)u z satelity do odbiornika nawigacyjnego
powstaje kolejny efekt relatywistyczny, zwany efektem Sagnaca, polegaj#cy na zmianie
pseudoodleg)o*ci zwi#zanej z szybkim ruchem u(ytkownika wzgl dem Ziemi (rys. X.25).

6.7. RóDnicowe systemy GPS

B)#d okre*lenia pozycji u(ytkownika stosuj#cego kod C/A jest do*- du(y. Nawet przy wy)#czonej
selektywnej dost pno*ci b)#d okre*lenia pozycji wynosi oko)o 25 m (95%) w p)aszczy2nie poziomej
i oko)o 45 m (95%) w p)aszczy2nie pionowej, co w wielu zastosowaniach niedopuszczalne.
Popraw dok)adno*ci okre*lenia pozycji mo(na uzyska- wprowadzaj#c ró(nicowy system
okre*lania pozycji DGPS (ang. Differential GPS). Opracowano wiele ró(nicowych systemów
okre*lania pozycji, które bardzo ogólnie mo(na podzieli- na systemy lokalne LADGPS (ang. Local
Area DGPS) i systemy wielko obszarowe WADGPS (ang. Wide

Rys. 6.12. Koncepcja lokalnego ró(nicowego systemu okre*lania pozycji LADGPS

Pierwsze z nich polegaj# na zastosowaniu naziemnej stacji odniesienia, której po)o(enie jest
dobrze znane (rys. 6.12). Stacja ta okre*la swoj# pozycj na podstawie odbioru sygna)ów
nadawanych przez satelity nawigacyjne GPS, porównuje j# z pozycj# rzeczywist#, oblicza
poprawki i nadaje je za pomoc# nadajnika naziemnego pracuj#cego w ró(nych zakresach
cz stotliwo*ci. Na przyk)ad do obs)ugi samolotów stosuje nadajniki VHF, statków nadajniki MF.
Koncepcja LADGPS opiera si na za)o(eniu, (e wiele czynników powoduj#cych b)#d okre*lenia
pozycji s# silnie skorelowane. Wobec tego u(ytkownik po okre*leniu swojej pozycji za pomoc#
sytemu GPS mo(e j# skorygowa- wprowadzaj#c poprawki pozycji nadawane przez stacj
odniesienia. Ten sposób mo(na stosowa- tylko w niewielkiej odleg)o*ci od stacji odniesienia.
Lepszym rozwi#zaniem jest okre*lenie przez stacj odniesienia poprawek do pseudoodleg)osci i
przesy)anie ich do u(ytkowników. Bud(et b) du okre*lenia pozycji w tym przypadku podano w
tabeli 6.4.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 32 -

Tabela 6.4

Bud(et b) du okre*lania pseudoodleg)osci w systemie LADGPS

Segment

\ród)o b) du B)#d jednosigmowy [m]

GPS LADGPS

Kosmiczny Niestabilno*- zegara satelity

Perturbacje ruchu satelity
Dost p selektywny
Inne

3,0
1,0
32,3
0,5

0
0
0
0

Sterowanie B)#d predykcji efemeryd

Inne

4,2
0,9

0
0

U(ytkownik Opo2nienie jonosferyczne

Opó2nienie troposferyczne
Szum termiczny i rozdzielczo*- odbiornika
Propagacja wielodrogowa
Inne

5,0
1,5
1,5
2,5
0,5

0
0
2,1

2,5
0,5

B)#d ca)kowity UERE

33,3

3,3

Tak dobre rezultaty uzyskuje si tylko w bezpo*rednim s#siedztwie stacji odniesienia. W miar
oddalania si u(ytkownika od tej stacji nast puje stopniowa dekorelacja b) dów okre*lenia
pseudoodleg)o*ci, co powoduje wzrost ca)kowitego b) du okre*lenia pozycji. Stwierdzono jednak
znaczne zmniejszenie

UERE

nawet w odleg)o*ci 400 km od stacji odniesienia. Wydaje si wi c, (e

warto zastosowa- system LADGPS w systemie monitorowania ruchu pojazdów w Polsce. Sygna)y
ró(nicowe mog)aby nadawa- budowana obecnie w Solcu Kujawskim d)ugofalowa stacja Polskiego
Radia. Stacja ta b dzie dobrze odbierana na obszarze ca)ego kraju. System ró(nicowy jest
skuteczny tylko wówczas, gdy stacja odniesienia i u(ytkownik odbieraj# sygna)y z tych samych
satelitów nawigacyjnych. Przy du(ych odleg)o*ciach od stacji odniesienia mo(e si zdarzy-, (e
odbiornik u(ytkownika wybierze inny uk)ad odniesienia ni( odbiornik stacji odniesienia. Stacja
odniesienia oprócz sygna)ów ró(nicowych powinna wi c nadawa- równie( informacj o numerach
satelitów nawigacyjnych, z których korzysta. Sprawa ta wymaga szczegó)owego opracowania.

Wielkoobszarowe systemy ró(nicowe mog# obs)ugiwa- ca)e kontynenty, a nawet ca)y glob.
Wymagaj# one stosowanie wielu wspó)pracuj#cych ze sob# stacji odniesienia. Systemy WADGPS
nie maj# znaczenia dla opracowywanego w Polsce sytemu monitorowania ruchu pojazdów, nie
b d# wi c szczegó)owo omawiane.

Bibliografia

Bem D. J., Systemy szerokopasmowe, Rozprawy Elektrotechniczne, t. 31, 1985, nr 1, s. 241-263.

Bem D.J., Systemy telekomunikacyjne. Cz

III - Radiolokacja i radionawigacja, Wydawnictwo

Politechniki Wroc)awskiej, Wroc)aw 1991.

Hofmann-Wellen B., Lichteneger H., Collins J., GPS NAVSTAR User's Overview, New York,
Spiger - Verlag, 19933.

Kaplam E. D., (editor), Understanding GPS. Principles and Applications, Artech House, Boston,
London, 1996.

NAVSTAR GPS Joint Program Office(JPO), GPS NAVSTAR User's Overview, YEE-82-009D, GPS
JPO, March 1991.

Szymo1ski M., Nawigacyjne wykorzystanie sztucznych satelitów Ziemi. WKiB, Warszawa 1989.

Document Outline

1. Wprowadzenie
2. Podstawowe pojęcia stosowane w nawigacji
3. Charakterystyka satelitarnych systemów nawigacyjnych
4. Układy współrzędnych
5. Orbity sztucznych satelitów Ziemi
6. System nawigacji satelitarnej NAVSTAR GPS
Bibliografia