Daniel Józef Bem

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 3 -

1. Wprowadzenie

Nawigacja zajmuje si

procesem kierowania ruchami pojazdów (l#dowych, morskich,

powietrznych, kosmicznych) z jednego punktu do drugiego. W pierwszych podró(ach cz)owiek
u(ywa) swoich zmys)ów do okre*lania kierunku, odleg)o*ci, pr dko*ci i pozycji obiektu, w którym
podró(owa). Nie by)o to zbyt trudne na l#dzie bogatym w ró(norodne punkty orientacyjne. Kiedy
jednak cz)owiek sta) si na tyle *mia)y, aby wyp)yn#- na morze, wówczas musia) si gn#- do
pomocy przyrz#dów u)atwiaj#cych obserwacj zjawisk przyrody (wiatru, fal wody, cia) niebieskich).
Przez wiele wieków jednak nawigacja by)a raczej sztuk# ni( nauk#. Pod koniec dwudziestego
stulecia nawigacja rozwin )a si w wiedz , umo(liwiaj#c# cz)owiekowi podró(owanie zarówno na
Ziemi, jak i w przestrzeni kosmicznej, wykorzystuj#c w wysokim stopniu najnowsze osi#gni cia
matematyki, elektroniki, mechaniki, ekonomii i filozofii. Przekszta)cenie nawigacji ze sztuki w
wiedz

odby)o si

stosunkowo niedawno i jest *ci*le zwi#zane z rozwojem teorii systemów,

matematyki, informatyki i technologii elektronowej.
Podstawowym zadaniem nawigacji jest doprowadzenie poruszaj#cego si pojazdu (l#dowego,
morskiego, powietrznego, kosmicznego) do okre*lonego punktu z za)o(on# dok)adno*ci# i we
w)a*ciwym czasie. W celu dok)adnego wykonania tego zadania stosuje si ró(ne urz#dzenia i
systemy nawigacyjne, w*ród których mo(na wyró(ni-:

- mechaniczne i elektromechaniczne (logi, (yrokompasy, inercyjne systemy nawigacyjne),

- magnetyczne (kompasy magnetyczne, magnetometry),

- optyczne i kwantowo-optyczne (sekstanty, pelengatory podczerwieni, dalmierze, lokatory

optyczne),

- akustyczne i hydroakustyczne (pelengatory akustyczne, echosondy, hydrolokatory),

radiolokacyjne

(dalmierze),

radiowe.

Wszystkie wymienione *rodki nawigacyjne mog# by- stosowane w rozmaitych warunkach, a w
celu zwi kszenia dok)adno*ci okre*lenia pozycji statku informacje z nich otrzymane musz# by-
wzajemnie uzupe)niane. Zastosowanie ka(dego z tych *rodków oddzielnie nie zawsze jest
mo(liwe, ze wzgl du na z)e warunki meteorologiczne, ograniczon# widoczno*- ziemskich i
niebieskich punktów orientacyjnych, dzia)anie anomalii magnetycznych na wskazania kompasu,
zak)ócenia wyst puj#ce na S)o1cu oraz burze magnetyczne powoduj#ce pogorszenie si
warunków rozchodzenia si fal radiowych itd.

Z tego wzgl du w celu wykonania zada1 nawigacyjnych na pojazdach instaluje si ró(ne przyrz#dy
i urz#dzenia nawigacyjne, które umo(liwiaj# okre*lenie pozycji pojazdu w zale(no*ci od ró(nych
warunków, w jakich pojazd si znajduje. Szczególnie jest to istotne w warunkach d)ugotrwa)ego
poruszania si pojazdu w rejonach nie zbadanych i pozbawionych znaków orientacyjnych (np.
okr ty podwodne p)ywaj#ce w zanurzeniu).

Szczególnie atrakcyjne s# systemy radionawigacyjne. Ju( pierwsi u(ytkownicy radia stwierdzili, (e
mo(e ono zapewni- zarówno )#czno*-, jak i informacj nawigacyjn#. Pocz#tkowo zastosowanie
radia w nawigacji by)o ograniczone do wykonywania namiarów na istniej#ce radiostacje
komunikacyjne, a pó2niej tak(e radiofoniczne. Z biegiem czasu rozwin )y si wyspecjalizowane
systemy radionawigacyjne. Urz#dzenia i systemy radionawigacyjne umo(liwiaj# otrzymanie
okre*lonych informacji o parametrach nawigacyjnych i mog# by- stosowane samodzielnie lub te(
kompleksowo. W zale(no*ci od rodzaju wyposa(enia mog# one by- autonomiczne lub zale(ne.

Aparatura autonomicznych *rodków nawigacyjnych jest zainstalowana na pok)adzie pojazdu, a
okre*lenie parametrów nawigacyjnych odbywa si

bez otrzymywania informacji powsta)ych z

wykorzystaniem innych urz#dze1 radionawigacyjnych.

Zale(ne *rodki tworz# systemy radionawigacyjne sk)adaj#ce si z pok)adowego (ruchomego) i
naziemnego (zasadniczo stacjonarnego) wyposa(enia.

Urz#dzenia i systemy radionawigacyjne, w zale(no*ci od zestawu wykonywanych zada1 i ich
wykorzystania, mo(na scharakteryzowa- przez:
-

zasi g dzia)ania, czyli najwi ksz# odleg)o*- pomi dzy pojazdem i punktem

radionawigacyjnym, w której uzyskuje si jeszcze wymagan# dok)adno*- (wed)ug zasi gu

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 4 -

dzia)ania systemy radionawigacyjne dzieli si na systemy bliskiego (do 800 km), *redniego (do
3000 km) i dalekiego (powy(ej 3000 km) zasi gu);
-

dok)adno*- pomiaru parametrów nawigacyjnych, które okre*la przeznaczenie urz#dze1 i

systemów radionawigacyjnych;
-

szybko*- uzyskiwania danych (co jest szczególnie wa(ne w lotnictwie i technice

rakietowej);
-

przepustowo*-, czyli zdolno*- systemu do jednoczesnego obs)ugiwania okre*lonej liczby

obiektów;
-

odporno*- na zak)ócenia;

niezawodno*-;

- ekonomiczno*-;
- rozmiary i masa, które maj# szczególne znaczenie przy umieszczaniu urz#dze1 na

samolotach i rakietach;
-

zdolno*- do pracy w okre*lonych warunkach *rodowiskowych.

2. Podstawowe poj*cia stosowane w nawigacji

Podczas prowadzenia pojazdu i okre*lania jego pozycji stosuje si nast puj#ce podstawowe
poj cia:
-

pr dko

pojazdu, która charakteryzuje si przesuni ciem jego *rodka ci (ko*ci w

jednostce czasu,
-

tor ruchu pojazdu, którym jest linia, jak# zakre*la w przestrzeni *rodek ci (ko*ci pojazdu,

trasa, czyli rzut toru na powierzchni Ziemi,

kurs, którym jest k#t mierzony w p)aszczy2nie poziomej mi dzy kierunkiem pó)nocnym

po)udnika przechodz#cego przez *rodek ci (ko*ci pojazdu i jego pod)u(n# osi#,

- namiar, który jest k#tem mierzonym w p)aszczy2nie poziomej mi dzy pó)nocnym

kierunkiem po)udnika przechodz#cego przez *rodek ci (ko*ci pojazdu i kierunkiem na dany punkt
orientacyjny,
-

pozycja w dowolnym czasie, która okre*la rzut *rodka ci (ko*ci pojazdu na powierzchni

Ziemi,
-

pozycja obserwowana, czyli otrzymana na podstawie obserwacji przedmiotów sta)ych,

których po)o(enie jest *ci*le okre*lone na mapie lub na podstawie obserwacji cia) niebieskich,
-

pozycja zliczona, któr# jest miejsce pojazdu liczone od ostatniej pozycji obserwowanej, a

otrzymane na podstawie znajomo*ci kursu rzeczywistego i przebytej odleg)o*ci stwierdzonej
wed)ug przyrz#dów, z uwzgl dnieniem oddzia)ywania si) zewn trznych (pr#dów morskich,
wiatrów).

Zasadniczo pozycj pojazdu okre*la si w stosunku do powierzchni Ziemi wed)ug przyj tego
uk)adu wspó)rz dnych. Podczas lotu w przestrzeni kosmicznej wspó)rz dne pojazdu kosmicznego
okre*la si w stosunku do planet i gwiazd, których po)o(enie w przestrzeni jest znane. W celu
okre*lenia pozycji pojazdu za pomoc# *rodków technicznych, wyznacza si okre*lone parametry
nawigacyjne, jak np. odleg)o*- od oznaczonych punktów na Ziemi lub k#ty, pod jakimi te punkty s#
widoczne ze pojazdu; parametry te nie s# wspó)rz dnymi geograficznymi.

Mierzone parametry nawigacyjne i wspó)rz dne geograficzne s# ze sob# zwi#zane okre*lonymi
równaniami, których graficzne rozwi#zania stanowi# tzw. linie pozycyjne. Lini# pozycyjn# nazywa
si miejsce geometryczne punktów na powierzchni Ziemi, odpowiadaj#cej sta)ej warto*ci mierzonej
wielko*ci, a wi c k#ta, odleg)o*ci, ró(nicy lub sumy odleg)o*ci.

Na przyk)ad lini# pozycyjn#, czyli miejscem geometrycznym punktów na powierzchni Ziemi, z
których pomierzona zosta)a w okre*lonym momencie wysoko*- obserwowanej gwiazdy jest okr#g,
którego *rodkiem jest rzut gwiazdy (punkt podgwiezdny), a promieniem sferycznym odmierzona
odleg)o*- zenitalna, czyli dope)nienie wysoko*ci.

Jedna obserwacja daje tylko jedn# lini pozycyjn#, dwie ró(ne obserwacje dokonane w jednym
momencie daj# dwie linie pozycyjne, w których przeci ciu znajduje si miejsce obserwacji. Ka(dy
system nawigacyjny charakteryzuje si *ci*le okre*lon# lini# pozycyjn#.

Rozpatrzmy g)ówne linie pozycyjne spotykane w systemach nawigacyjnych.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 6 -

Rys. 2.5. Linie równych ró(nic odleg)o*ci

Systemy radionawigacyjne umo(liwiaj#ce wyznaczanie ró(nic odleg)o*ci od dwóch radiostacji
znajduj#cych si w okre*lonych punktach nosz# nazw systemów hiperbolicznych.

Wprowad2my jeszcze poj cie loksodromy, któr# nazywamy drog pojazdu, przecinaj#c# po)udniki
rzeczywiste pod jednakowymi k#tami (rys. 2.6). Na ma)ych odleg)o*ciach ró(nica drogi wed)ug
ortodromy i loksodromy jest niedu(a i zwykle nie bierze si jej pod uwag przy obliczaniu drogi
wed)ug loksodromy.

Rys. 2.6. Ortodroma i loksodroma

Nawigacja trójwymiarowa opiera si na powierzchniach pozycyjnych. Powierzchni# pozycyjn# jest
powierzchnia, z której ka(dego punktu parametr nawigacyjny mierzony w stosunku do okre*lonego
obiektu kosmicznego (naturalnego lub sztucznego) ma warto*- sta)#. W nawigacji l#dowej pozycj
pojazdu mo(na okre*li- na podstawie dwóch linii pozycyjnych; do okre*lenia pozycji pojazdu w
uk)adzie trójwymiarowym nale(y zna- nie mniej ni( trzy powierzchnie pozycyjne. Przeci cie si
dwóch powierzchni pozycyjnych daje lini pozycyjn#, która, przecinaj#c si z trzeci# powierzchni
pozycyjn#, wyznacza dwa punkty okre*laj#ce przypuszczaln# pozycj statku. Przybli(ona pozycja
pojazdu jest znana, wi c wyst puj#c# niejednoznaczno*- okre*lenia pozycji )atwo wyja*ni-.

3. Charakterystyka satelitarnych systemów nawigacyjnych

Satelitarne systemy radionawigacyjne charakteryzuj# si nast puj#cymi zaletami w porównaniu z
klasycznymi systemami radionawigacyjnymi:
-

globalno*ci# systemów (systemy klasyczne, z wyj#tkiem systemu Omega nie maj# tej

cechy),
-

du(# i prawie jednakow# dok)adno*ci# okre*lania pozycji na ca)ym obszarze

stosowalno*ci,
-

niezawodno*ci# od warunków meteorologicznych,

niezawodno*ci# od pory roku i doby,

mo(liwo*ci# przekazywania dodatkowych informacji, nie zwi#zanych z nawigacj#.

Satelitarny system nawigacyjny tworz# nast puj#ce elementy:
-

okre*lona liczba satelitów nawigacyjnych poruszaj#cych si dooko)a Ziemi po

wyznaczonych orbitach;
-

sie- stacji obserwacyjnych odbieraj#cych sygna)y nadawane przez urz#dzenia

zainstalowane na satelitach; stacje te maj# )#czno*- z centrum sterowania systemem, w którym
oblicza si efemerydy satelitów;
-

*rodki )#czno*ci, s)u(#ce do przekazywania obliczonych efemeryd satelitów

poszczególnym u(ytkownikom;
-

autonomiczne

urz#dzenia nawigacyjne, wyznaczaj#ce pozycj obiektu.

W zale(no*ci od rodzaju aparatury radionawigacyjnej systemy satelitarne mog# opiera- si na
pomiarze odleg)o*ci, k#ta lub na zjawisku Dopplera. Zawsze jednak podstawowym elementem
systemu jest znany i okre*lony wzgl dem Ziemi tor lotu satelity, na którego podstawie wyznacza
si linie pozycyjne.

Systemy dopplerowskie opieraj# si na pomiarze szybko*ci zmiany odleg)o*ci od obiektu do
satelity, któr# okre*la cz stotliwo*- Dopplera. Przeci cie si powierzchni sto(kowej
odpowiadaj#cej sta)ej warto*ci cz stotliwo*ci Dopplera z powierzchni# kuli ziemskiej wyznacza
lini pozycyjn#, zwan# izodopp# (rys. 3.1). Do okre*lenia pozycji obiektu w uk)adzie
trójwymiarowym trzeba wyznaczy- trzy linie pozycyjne, tzn. zmierzy- warto*ci pr dko*ci satelity
wzgl dem punktu obserwacji w trzech kolejnych chwilach.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 8 -

Rys. 4.1. Geocentryczny inercyjny uk)ad wspó)rz dnych (ECI)

Uk)ad ECI jest inercyjny w tym sensie, (e równania ruchu sztucznych satelitów Ziemi zapisane w
tym uk)adzie spe)niaj# niutonowskie prawa ruchu i grawitacji.

Pewien k)opot z podan# definicj# uk)adu ECI wynika z nieregularno*ci ruchu Ziemi. Wskutek
niesferycznego kszta)tu Ziemi i niejednorodnego rozk)adu masy, grawitacyjne oddzia)ywanie
S)o1ca i Ksi (yca powoduje przemieszczanie si ziemskiej p)aszczyzny równikowej wzgl dem
sfery niebieskiej. Poniewa( o* x jest okre*lona wzgl dem ustalonego punktu na sferze niebieskiej,
a o* z - wzgl dem ziemskiej p)aszczyzny równikowej, to podana wcze*niej definicja uk)adu ECI nie
zapewnia w rzeczywisto*ci jego inercyjno*ci. Rozwi#zaniem tego k)opotu jest zdefiniowanie
po)o(enia osi uk)adu wspó)rz dnych w ustalonym momencie czasu, zwanym epok$. Na potrzeby
systemu GPS przyj to po)o(enie osi uk)adu ECI 1 stycznia 2000 roku o godzinie 12.00 czasu UTC
(ang. Coordinated Universal Time). O* x jest skierowana od *rodka Ziemi ku punktowi równonocy
wiosennej, pozosta)e osie - zgodnie z wcze*niejszym opisem. W ten sposób po)o(enie osi zosta)o
dla danej epoki jednoznacznie ustalone, a wi c uk)ad ECI sta) si rzeczywi*cie uk)adem
inercyjnym.

4.2. Geocentryczny obracaj4cy si* wraz z Ziemi4 uk ad wspó rz*dnych

Do okre*lenia po)o(enia odbiornika nawigacyjnego (GPS) wygodniej jest stosowa- uk)ad
wspó)rz dnych, który obraca si wraz z Ziemi# (ang. ECEF - Earth-Centered Earth-Fixed
Coordinate System). W takim uk)adzie wspó)rz dnych )atwiej jest wyznaczy- wspó)rz dne
geograficzne i wysoko*- pojazdu. Podobnie jak w uk)adzie ECI, w uk)adzie ECEF p)aszczyzna x-y
pokrywa si z równikow# p)aszczyzn# Ziemi, o* x jest jednak skierowana na po)udnik Greenwich

( )

, a o* y - na po)udnik

(

)

. Osie x i y obracaj# si wi c zgodnie z obrotem Ziemi i nie

opisuj# ustalonych kierunków w inercjalnej przestrzeni. O* z jest prostopad)a do p)aszczyzny
równikowej i skierowana ku biegunowi pó)nocnemu.

W celu okre*lenia pozycji odbiornika GPS nale(y najpierw dokona- przetworzenia efemeryd
satelitów z uk)adu wspó)rz dnych ECI do uk)adu wspó)rz dnych ECEF. W dalszym ci#gu nie
b dziemy si zajmowali problemem przetworzeniem efemeryd satelitów z uk)adu ECI do uk)adu
ECEF. Zak)adamy wi c, (e znane s# wspó)rz dne satelitów GPS w uk)adzie ECEF.

4.3. 6wiatowy system geodezyjny (WGS-84)

Standardowym modelem fizycznym Ziemi stosowanym w systemie GPS jest model opisany w
(wiatowym systemie geodezyjnym WGS-84 (ang. World Geodetic System - 84). W modelu tym
rzeczywisty kszta)t Ziemi aproksymuje si elipsoid# obrotow#. Przekroje modelu p)aszczyznami
równoleg)ymi do p)aszczyzny równikowej s# ko)ami. Promie1 przekroju równikowego wynosi
6378,137 km. Jest to *redni równikowy promie1 Ziemi. Przekroje modelu p)aszczyznami
normalnymi do p)aszczyzny równikowej s# elipsami (rys. 4.2). Wielka o* przekroju zawieraj#cego
o* z pokrywa si z równikow# *rednic# ziemi; wielka pó)o* a ma wi c tak# sam# d)ugo*- jak *redni
promie1 równikowy. Ma)a pó)o* przekroju pokazanego na rysunku 9 pokrywa si z biegunow#
*rednic# Ziemi. Ma)a pó)o* b ma w modelu WGS-84 d)ugo*- 6356,7523142 km.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 9 -

Rys. 4.2. Elipsoidalny model Ziemi (przekrój p)aszczyzna normaln# do p)aszczyzny równikowej)

Parametry modelu WGS-84:

- mimo*ród

b
a

6356 7523142

6378 137

0 08181919093

(4.1)

- sp)aszczenie

b
a

6356 7523142

6378 137

0 003352810672

(4.2)

Czasem u(ywa si dodatkowego parametru, zwanego drugim mimo*rodem

a
b

0 0820944379496

(4.3)

W celu okre*lenia wspó)rz dnych geodezyjnych: szeroko*ci ( ) i d)ugo*ci ( ) oraz wysoko*ci (h)
u(ytkownika (odbiornika nawigacyjnego GPS). wprowad2my nast puj#ce oznaczenia (rys. X.12).
Po)o(enie u(ytkownika (punkt S) okre*la wektor

= ( , , ),

x y z

przy czym

( , , )

x y z

wspó)rz dnymi u(ytkownika (odbiornika nawigacyjnego) w uk)adzie wspó)rz dnych ECEF; O jest
*rodkiem Ziemi. Punktem na powierzchni elipsoidy najbli(szym wzgl dem po)o(enia u(ytkownika
jest punkt N. Prosta wyznaczona przez wektor n normalny do powierzchni elipsoidy wystawiony w
punkcie N przecina p)aszczyzn równikow# w punkcie P. Punkt A jest punktem na równiku
najbli(szym do punktu P.

D)ugo*- geodezyjna jest to k#t mi dzy u(ytkownikiem i osi# x, mierzony w p)aszczy2nie x-y

arctg

180

(4.4)

przy czym k#ty ujemne odpowiadaj# d)ugo*ci zachodniej.

Szeroko*- geodezyjn#

wyznacza k#t mi dzy wektorem normalnym do powierzchni elipsoidy i

jego rzutem na p)aszczyzn równikow# (k#t NPA na rysunku 4.2). Konwencjonalnie przyjmuje si ,
(e

jest dodatnie, je*li

> 0

(u(ytkownik znajduje si na pó)kuli pó)nocnej) i ujemne, je*li

< 0.

Wysoko*- geodezyjna h jest równa d)ugo*ci odcinka SN na rysunku 4.2. Obliczona przez
odbiornik GPS, stosuj#cy model WGS-84, wysoko*- geodezyjna mo(e znacznie ró(ni- si od
wysoko*ci odczytanej z mapy. Wynika to z ró(nic mi dzy elipsoid# WGS-4 i geoid# (lokalny *redni
poziom morza). W celu zwi kszenia dok)adno*ci okre*lenia wysoko*ci odbiornika mo(na stosowa-
modele Ziemi obowi#zuj#ce lokalnie, np. European Datum 1950 (ED-50).

Wzory umo(liwiaj#ce okre*lenie wspó)rz dnych geodezyjnych ( , ,h) u(ytkownika na podstawie
jego wspó)rz dnych w uk)adzie kartezja1skim ECEF

( , , )

x y z

zebrano w tabeli 4.1.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 10 -

Tabela 4.1

Obliczenie wspó)rz dnych geodezyjnych na podstawie wspó)rz dnych u(ytkownika

x y z

w uk)adzie ECEF

(1)

(2)

(3)

b z

= 54

2 2

(4)

e z

e E

(

)

(5)

e Fr

(6)

+ +

(7)

+ +

(8)

e P

1 2

(9)

(

)

(

)

Pe r

e z

1
2

(10)

r e r

(

)

(11)

r e r

e z

(

)

(

)

(12)

b z

(13)

h U

(14)

arctg

e z

(15)

arctg

Okre*lenie wektora po)o(enia u(ytkownika

= ( , , ),

x y z

na podstawie znajomo*ci jego

wspó)rz dnych geodezyjnych ( , ,h) opisuje wzór

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 11 -

(

)

(

)

(

)

e
e

cos

cos cos

sin

sin cos

sin

1 1

1
1

sin

(4.5)

5. Orbity sztucznych satelitów Ziemi

Ruch sztucznego satelity w polu grawitacyjnym Ziemi mo(na okre*li- na podstawie newtonowskich
zasad mechaniki i prawa powszechnego ci#(enia. Rozwa(my jednorodn# kulist# Ziemi o masie
m i satelit o masie m

znajduj#ce si w odleg)o*ciach odpowiednio r

i r

od pocz#tku dowolnie

wybranego inercjalnego uk)adu odniesienia (rys. 5.1). Z drugiego

Rys. 5.1. Ziemia i satelita w inercjalnym uk)adzie wspó)rz dnych

prawa Newtona (iloczyn masy cia)a przez jego przyspieszenie jest równy sile dzia)aj#cej na to
cia)o) wynika, (e si)y dzia)aj#ce na Ziemi i satelit s# opisane równaniami:

= m

(5.1a)

= m

(5.1bb)

Prawo powszechnego ci#(enia g)osi, (e si)a przyci#gania mi dzy dwoma dowolnymi cia)ami jest
wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleg)o*ci
mi dzy nimi, zatem

= g

(5.2)

przy czym g = 6,67 x 10

-11

-1

-2

jest sta)# grawitacyjn#.

Z równa1 (X.6) i (X.7) wynika, (e:

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 12 -

;

(5.3a)

(5.3b)

Po odj ciu stronami równa1 (5.3b) i (5.3a) oraz podstawieniu r = r

- r

otrzymujemy

g m m

(

)

(5.4)

Masa sztucznego satelity jest nieporównywalnie ma)a w stosunku do masy Ziemi, mo(emy wi c j#
zaniedba- w równaniu (5.4). Otrzymamy wówczas

(5.5)

przy czym

µ = 3,986013 x 10

-2

jest sta)# przyci#gania Ziemi (masa Ziemi m = 5,975 x 10

kg). Równanie (X.10) jest znane jako równanie ruchu dwóch cia). Opisuje ono ruch punktu
materialnego w centralnym polu grawitacyjnym. Z pewnym przybli(eniem opisuje ono tak(e ruch
satelity Ziemi po orbicie.

W 1609 r. Kepler sformu)owa), na podstawie obserwacji ruchu planet, trzy prawa dotycz#ce ich
orbit. W odniesieniu do orbit sztucznych satelitów Ziemi maj# one nast puj#c# posta-.

1. Prawo Keplera. Orbita sztucznego satelity Ziemi jest elips# (w szczególnym przypadku
okr giem) i le(y w nieruchomej p)aszczy2nie przechodz#cej przez *rodek ci (ko*ci Ziemi, który
znajduje si w jednym z jej ognisk (w *rodku okr gu w przypadku orbity ko)owej).
2. Prawo Keplera. Promie1 wodz#cy satelity (odcinek )#cz#cy satelit ze *rodkiem ci (ko*ci
Ziemi) zakre*la w jednakowych odst pach czasu jednakowe pola.

3. Prawo Keplera. Stosunek kwadratów okresów obiegu satelitów jest równy stosunkowi
sze*cianów ich *rednich odleg)o*ci od *rodka ci (ko*ci Ziemi, tzn. sze*cianów wielkich pó)osi ich
orbit.

Z praw Keplera wynikaj# trzy równania.
1. Równanie energii

1
2

m v

const

(5.6)

przy czym W jest ca)kowit# energi# satelity, a v - jego pr dko*ci#. Z równania (5.6) wynika, (e
ca)kowita energia satelity nie ulega zmianie w trakcie jego ruchu po orbicie. Oddalaniu si satelity
od *rodka ci (ko*ci Ziemi towarzyszy wi c zmniejszenie si jego pr dko*ci, zbli(aniu natomiast -
wzrost pr dko*ci.

2. Równanie pól

r v C

× =

= const

(5.7a)

lub

(5.7b)

Równania (5.7) s# matematycznym zapisem tre*ci drugiego prawa Keplera. Z wektorowej postaci
tego równania wynika, (e ruch satelity odbywa si w nieruchomej p)aszczy2nie przechodz#cej
przez *rodek ci (ko*ci Ziemi. P)aszczyzn t nazywamy p)aszczyzn# orbity.
3. Równanie Laplace’a

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 13 -

(

)

v C

const

(5.8)

przy czym A jest wektorem Laplace’a. Równanie (5.8) okre*la zwi#zek mi dzy wektorami r, v i C.

Z równania pól (5.7) i równania Laplace’a (5.8) wynika, (e orbita cia)a poruszaj#cego si w
centralnym polu grawitacyjnym jest krzyw# sto(kow#, w której ognisku znajduje si centrum
przyci#gania. Trajektoria sztucznego satelity Ziemi jest krzyw# zamkni t#, wi c jego ruch mo(e
odbywa- si tylko po elipsie lub okr gu, który jest szczególnym przypadkiem elipsy. Ruch po
innych krzywych sto(kowych jest zwi#zany z ucieczk# satelity z pola przyci#gania Ziemi. W ten
sposób dochodzimy do pierwszego prawa Keplera.

Ziemia

Pomocniczy

Satelita

Orbita

Apogeum

Perigeum

okr g

Rys. 5.2. Orbita sztucznego satelity Ziemi

Równanie elipsy w biegunowym uk)adzie wspó)rz dnych (rys. 5.2) ma posta-

cos

(5.9)

przy czym:

- parametr ogniskowy (dodatnia warto*- rz dnej wystawionej z

ogniska),

- mimo*ród.

Kszta)t orbity zale(y od mimo*rodu e. Je*li e = 0, to elipsa przechodzi w okr#g, mówimy wówczas
o orbicie ko)owej. Je*li 0 < e < 1, to mamy do czynienia z orbita eliptyczn#. Warto*ci

= 0

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 14 -

odpowiada najwi ksze zbli(enie satelity do *rodka ci (ko*ci Ziemi (perigeum), warto*ci

natomiast odpowiada najwi ksze oddalenie satelity od *rodka Ziemi (apogeum). K#t

liczymy od

perigeum orbity w kierunku ruchu satelity. W astronomii k#t

nazywa si anomali# prawdziw#.

Lini )#cz#c# punkty apogeum i perigeum nazywamy lini# apsyd.

Pos)uguj#c si znanymi zale(no*ciami geometrii analitycznej, mo(emy zapisa- kilka u(ytecznych
zale(no*ci wi#(#cych parametry orbity eliptycznej:

- odleg)o*- perigeum od *rodka ci (ko*ci Ziemi (promie1 perigeum)

(5.10)

- odleg)o*- apogeum od *rodka ci (ko*ci Ziemi (promie1 apogeum)

(5.11)

- du(a pó)o* orbity

(5.12)

- ma)a pó)o* orbity

b a

(5.13)

- mimo*ród

(5.14)

- parametr ogniskowy

(

)

p a

= 1

(5.15)

Kszta)t i rozmiary orbity eliptycznej okre*laj# w pe)ni dowolne dwa z wymienionych parametrów.

Bie(#c# warto*- promienia wodz#cego w czasie ruchu satelity po orbicie opisuje równanie (5.10).
Podanie jawnej zale(no*ci promienia wodz#cego od czasu nie jest mo(liwe. W zwi#zku z tym
wprowadza si poj cie anomalii mimo*rodowej E, odpowiadaj#cej ruchowi hipotetycznego satelity
po orbicie ko)owej o promieniu równym du(ej pó)osi orbity rzeczywistej (rys. 5.2), zwi#zanej z
anomali# prawdziw# równaniem

e
e

1
1

(5.16)

Anomalia mimo*rodowa jest zwi#zana z czasem równaniem Keplera

E e

sin

(5.17)

przy czym:

)

(

- anomalia *rednia, (5.18)

- moment przej*cia satelity przez perigeum.

Okres obiegu satelity po orbicie mo(na wyznaczy- z równania (5.17) po podstawieniu E = 2 ,
otrzymujemy wówczas

= 2

(5.19)

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 15 -

Z równania (5.19) wynika trzecie prawo Keplera

T
T

a
a

(5.20)

Pr dko*- satelity na orbicie jest opisana wzorem

(

)

cos

(5.21)

Mo(na j# roz)o(y- na dwie sk)adowe:

- styczn#

(

)

cos

(5.22a)

- radialn#

sin

(5.22b)

W apogeum i perigeum znika sk)adowa radialna pr dko*ci satelity; sk)adowa styczna przyjmuje
odpowiednio warto*ci:

(

)

(5.23a)

(

)

(5.23b)

W przypadku orbity ko)owej sk)adowa radialna pr dko*ci satelity nie wyst puje w ogóle, a
sk)adowa styczna jest wyra(ona wzorem

(5.24)

przy czym r = p jest promieniem orbity.
Elementy orbity. Po)o(enie orbity w przestrzeni, jej rozmiary oraz po)o(enie satelity na orbicie,
okre*la sze*- parametrów, zwanych elementami orbity. W ogólnym przypadku p)aszczyzna orbity
przecina si z p)aszczyzn# równika ziemskiego (rys. 5.3), przy czym *lad przeci cia nosi nazw
linii w z)ów. Punkt, w którym satelita przechodzi przez p)aszczyzn równikow# poruszaj#c si z
po)udnia na pó)noc, nazywamy w z)em wst puj#cym; diametralnie przeciwny punkt - w z)em
zst puj#cym. Po)o(enie w z)a wst puj#cego okre*lone przez k#t

mierzony od prostej )#cz#cej

*rodek ci (ko*ci Ziemi z punktem równonocy wiosennej w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, patrz#c z bieguna pó)nocnego, jest pierwszym elementem orbity. Punkt
równonocy wiosennej jest punktem przeci cia si ekliptyki z równikiem niebieskim, odpowiadaj#cy
przej*ciu S)o1ca przez punkt Barana (oko)o 21 marca). K#t

nazywamy rektascencj# w z)a

wst puj#cego; mo(e on przyjmowa- warto*ci z przedzia)u < 0°, 360° > .

Drugim elementem orbity jest inklinacja, tzn. k#t i mi dzy p)aszczyzn# równika ziemskiego i
p)aszczyzn# orbity, mierzony od p)aszczyzny równikowej w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, przez obserwatora patrz#cego od strony w z)a wst puj#cego. K#t ten mo(e
zawiera- si w przedziale < 0°, 180°>. W zale(no*ci od warto*ci inklinacji, orbity dzielimy na
równikowe (i = 0), biegunowe (i = 90°) i nachylone. Orbity nachylone mog# by- proste (0°< i < 90°),
gdy kierunek ruchu satelity jest zgodny z kierunkiem obrotu Ziemi, i przeciwne (90° < i < 180°), gdy
kierunek ruchu satelity jest przeciwny wzgl dem kierunku obrotu Ziemi.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 17 -

$ %

W zagadnieniu dwóch cia) V =

/r, wi c

&
&

r
z

y
z

Równanie (5.25) jest zatem rzeczywi*cie uogólnieniem równania (5.5), opisuj#cego ruch punktu
materialnego w centralnym polu grawitacyjnym.

Rzeczywiste pole grawitacyjne Ziemi modeluje si za pomoc# szeregu harmonicznych
sferycznych. Pole w punkcie P o wspó)rz dnych (r, ,

) opisuje wyra(enie

(

)

(sin )[

cos

sin

] ,

(5.26)

przy czym:
r

- odleg)o*- punktu P od *rodka Ziemi (pocz#tku uk)adu wspó)rz dnych);

geocentryczna szeroko*- punktu P (k#t mi dzy wektorem r i p)aszczyzn# x-y;

- wzniesienie proste punktu P;

- *redni równikowy promie1 Ziemi (6378,137 km w modelu WGS-84);

- stowarzyszona funkcja Legendre'a;

- kosinusowy wspó)czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz du m;

- sinusowy wspó)czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz du m.

Zauwa(my, (e pierwszy cz)on po prawej stronie równania (5.26) reprezentuje centralne pole
grawitacyjne. Zauwa(my równie(, (e szeroko*- geocentryczna w równaniu (5.26) jest ró(na od
szeroko*ci geodezyjnej okre*lonej w . W systemie WGS-84 okre*lono sferyczne wspó)czynniki
harmoniczne

a( do osiemnastego stopnia i rz du.

Dodatkowo na satelity nawigacyjne dzia)aj# nast puj#ce si)y: pole grawitacyjne tzw. trzecich cia),
przede wszystkim S)o1ca i Ksi (yca, ci*nienie promieniowania s)onecznego, p)ywy ziemskie,
odgazowanie (powolne uwalnianie si gazów ze struktury satelity), manewry orbitalne. Wp)yw tych
wszystkich si) uwzgl dnia si przez wprowadzenie do równania (5.25) cz)onu korekcyjnego w
postaci wektora

, tak wi c równanie ruchu satelity przyjmuje posta-

= $ + .

(5.27)

W ró(ny sposób mo(na opisa- orbitalne parametry satelity. Najbardziej oczywistym sposobem jest
okre*lenie wektora pozycyjnego

= ( )

i wektora pr dko*ci

= ( )

w pewnym momencie

odniesienia

i rozwi#zanie równania ruchu (5.27) w celu okre*lenia wektora pozycyjnego

r( )

wektora pr dko*ci

v( )

satelity w dowolnym czasie t. Tak postawione zadanie mo(e by-

rozwi#zane analitycznie tylko dla zagadnienia dwóch cia); uwzgl dnienia perturbacji
wprowadzanych przez inne czynniki - to znaczy rozwi#zanie równania (5.27) - mo(na dokona-
tylko numerycznie.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 18 -

W równaniu potencja)owym (5.26) dominuj#cym sk)adnikiem jest centralne pole grawitacyjne.
Mo(na wi c rozwi#zanie równania ruchu satelity w rzeczywistych warunkach (5.27) opisa- za
pomoc# sze*ciu klasycznych elementów keplerowskich, z tym (e nie b d# one niezale(ne od
czasu. Takie elementy orbity nazywamy *ci*le stycznymi.

6. System nawigacji satelitarnej NAVSTAR GPS

6.1. Krótka charakterystyka

Na pocz#tku lat sze*-dziesi#tych kilka ameryka1skich organizacji rz#dowych, w tym organizacje
wojskowe, Krajowa Administracja Aeronautyki i Kosmonautyki (National Aeronautics and Space
Agency - NASA), Departament Transportu (Department of Transportation - DOT) by)y
zainteresowane zbudowaniem satelitarnego systemu nawigacyjnego. Nowemu systemowi
nawigacyjnemu postawiono nast puj#ce wymagania: globalny zasi g, praca ci#g)a w dowolnych
warunkach pogodowych, zdolno*- do obs)ugiwania pojazdów o du(ej dynamice ruchu, du(a
dok)adno*- okre*lania pozycji.

Dopplerowski system nawigacji satelitarnej Transit, który wszed) w faz operacyjn# w roku 1964,
by) powszechnie akceptowany do okre*lania pozycji pojazdów o niezbyt du(ej dynamice ruchu.
System ten umo(liwia) okre*lenie pozycji statku znajduj#cego si na równiku *rednio raz na 110
minut, przy czym okre*lenie pozycji trwa)o od 10 do 15 minut. Mo(liwa cz sto*- okre*lania pozycji
statku wzrasta)a ze wzrostem szeroko*ci geograficznej, np. przy szeroko*ci

mo(na by)o

okre*la- pozycj statku raz na 30 minut. Mankamenty systemu Transit spowodowa)y, (e
Marynarka Ameryka1ska (US Navy) by)a zainteresowana udoskonaleniem systemu Transit lub
budow# nowego systemu nawigacji satelitarnej o wymienionych wcze*niej w)a*ciwo*ciach. Ró(ne
odmiany systemu Transit proponowa)o Laboratorium Fizyki Stosowanej Uniwersytetu Johna
Hopkinsa (Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory). Laboratorium Badawcze
Marynarki (Naval Research Laboratory - NRL) pracowa)o nad programem satelitarnej precyzyjnej
s)u(by czasu, zwanym programem Timation. Program ten rozszerzono o mo(liwo*- pomiaru
odleg)o*ci do satelitów, dzi ki temu system Timation móg) s)u(y- do dwuwymiarowego okre*lania
pozycji statków.

W tym samym czasie, gdy Marynarka Ameryka1ska pracowa)a nad udoskonaleniem systemu
Transit i nad programem Timation, Ameryka1skie Wojka Lotnicze (US Air Force) przedstawi)y
koncepcj satelitarnego systemu nawigacyjnego pod nazw# System 621B. Satelity tego systemu,
w liczbie od 15 do 20, mia)y porusza- si po eliptycznych orbitach o nachyleniu

pomiaru odleg)o*ci do satelitów proponowano zastosowa- kluczowanie fazy sygna)u no*nego za
pomoc# ci#gu pseudolosowego. System 621b mia) zapewni- trójwymiarowe

okre*lanie pozycji

w skali ca)ego globu w dowolnych warunkach meteorologicznych. Koncepcj systemu testowano
za pomoc# tzw. pseudolitów, tzn. stacji naziemnych nadaj#cych takie same sygna)y, jakie mia)y
nadawa- satelity. Sygna)y te by)y odbierane przez lataj#ce samoloty, które na ich podstawie
okre*la)y swoje pozycje.

Równie( Ameryka1ska Piechota (US Army) prowadzi)a badania nad wyborem przysz)ego systemu
nawigacji satelitarnej. Wynikiem tych bada1 by)o stwierdzenie, najlepszym rozwi#zaniem jest
system odleg)o*ciowy z pomiarem odleg)o*ci na zasadzie rozpraszania widma sygna)u no*nego
za pomoc# ci#gu pseudolosowego.

W roku 1969 Biuro Sekretarza Obrony (The Office of the Secretary of Defence - OSD) ustanowi)o
program budowy obronnego systemu nawigacji satelitarnej (Defence Navigation Satellite System -
DNSS), którego zadaniem by)o po)aczenie dotychczasowych bada1 prowadzonych przez ró(ne
organizacje i zbudowanie jednego - s)u(#cego wszystkim - systemu nawigacji satelitarnej.
Powsta)a w ten sposób koncepcja systemu NAVSTAR GPS (NAVSTAR Global Positioning
System),który powinien zaspokoi- potrzeby wszystkich u(ytkowników. Prace projektowe trwa)y do
1979 r. Pierwszego satelit umieszczono na orbicie w lutym 1978 r. System jest obecnie w fazie
operacyjnej i spe)nia wymagania postawione mu na pocz#tku lat 60. Zapewnia on ci#g)e,
trójwymiarowe okre*lanie pozycji i pr dko*ci u(ytkownika z du(# precyzj# w skali globalnej,
niezale(nie od warunków meteorologicznych, oraz s)u(b czasu - (ang. UTC - Coordinated
Universal Time).

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 19 -

Konstelacja GPS sk)ada si z 24 satelitów nawigacyjnych rozmieszczonych równomiernie na
sze*ciu ko)owych orbitach podsynchronicznych nachylonych pod k#tem

. Kr#(#c na wysoko*ci

oko)o 20183 km nad powierzchni# Ziemi satelity wykonuj# dwa obroty na dob . Bez przerwy
nadaj# one informacj nawigacyjn# w dwóch kana)ach L1 (cz stotliwo*- 1575,42 MHz) i L2
(cz stotliwo*- 1227,60 MHz). Cz stotliwo*- obu sygna)ów no*nych, a tak(e sygna)y zegarowe
steruj#ce generatory ci#gów pseudolosowych, s# uzyskiwane z tego samego wzorca atomowego o
cz stotliwo*ci 10,23 MHz. Maksymalna niestabilno*- wzorca wynosi 10

-12

na dob .

Rys. 6.1. Widmo energetyczne na wyj*ciu nadajnika satelitowego: wyra2nie wida- du(# g sto*-

widmow# sygna)u kluczowanego kodem C/A w kanale L1 i ma)# g sto*- widmow# sygna)u

kluczowanego kodem P w kana)ach L1 i L2

Sygna)y no*ne obu kana)ów s# rozpraszane za pomoc# specjalnych binarnych kodów
pseudolosowych (rys. 6.1). Mamy wi c do czynienia z systemem szerokopasmowym z
kluczowaniem fazy przebiegu no*nego. W systemie stosuje si dwa kody: standardowy C/A (ang.
Coarse/Acquisition lub Clear/Acquisition) zapewniaj#cy powszechnie dost pn# s)u(b okre*lania
pozycji SPS (ang. Standard Positioning Service),i precyzyjny P, zapewniaj#cy precyzyjn# s)u(b
okre*lania pozycji PPS (ang. Precise Positioning Service), dost pn# tylko dla wojskowych i
wybranych rz#dowych organizacji USA.

Rys. 6.2. Generator ci#gów Golda

Kod C/A jest krótkim kodem, zawiera on 1023 bity, generowane z szybko*ci# 1,023 Mb/s. Kod
C/A powtarza si co milisekund . Ka(dy satelita nadaje inny ci#g kodowy wybrany z rodziny 1023
ci#gów Golda (rys. 6.2) w taki sposób, aby zapewni- mo(liwie ma)# korelacj wzajemn# mi dzy
ci#gami nadawanymi przez poszczególne satelity. Dzi ki temu malej# zak)ócenia interferencyjne
oraz u)atwia si identyfikacj satelity i synchronizacj odbiornika.

S)u(ba SPS zosta)a - w sensie operacyjnym - uruchomiona w grudniu 1993 roku, kiedy sta)y si
dost pne 24 satelity nawigacyjne prototypowe i operacyjne pierwszej generacji. B)#d okre*lenia
pozycji za pomoc# kodu C/A nie przekracza 100 m (95%) w p)aszczy2nie poziomej i 133 m (95%)
w p)aszczy2nie pionowej. Oznacza to, (e 95% wyznacze1 pozycji w ustalonym punkcie mie*ci si
wewn#trz okr gu o promieniu 100 m w p)aszczy2nie poziomej i 133 m w p)aszczy2nie pionowej.
B)#d ten jest w g)ównej mierze spowodowany celowym wprowadzeniem przez Departament
Obrony USA (ang. Department of Defence - DOD) zak)óce1 do efemeryd i zegarów satelitów
nawigacyjnych. Dzia)anie to okre*la si jako wybiórcz# dost pno*- (ang. Selective Availability -
SA). Wybiórcz# dost pno*- wprowadzono 25 marca 1990 r. Mo(na si spodziewa-, (e DOD
zrezygnuje ze stosowania wybiórczej dost pno*ci po roku 2000. B)#d okre*lenia czasu UTC nie
przekracza 340 ns (95%).

Kod P jest bardzo d)ugim kodem, okres powtarzania wynosi 267 dób. Ci#g kodowy P jest
generowany z szybko*ci# 10,23 Mb/s. Ka(demu satelicie przypisano odcinek tego kodu o d)ugo*ci
jednego tygodnia. O pó)nocy z soboty na niedziel generatory ci#gu kodowego na satelitach
rozpoczynaj# cykl pracy od pocz#tku. Sygna)y no*ne w obu kana)ach s# modulowane
(kluczowane) ci#giem P, ci#gi C/A wyst puj# tylko w kanale L1.

Dzi ki krótkiemu okresowi kodu C/A odbiornik )atwo osi#ga synchroniczn# prac . Po
zsynchronizowaniu si odbiornika z kodem C/A mo(na przej*- do *ledzenia kodu P. Kod C/A
u)atwia wi c synchronizacj startow#. Bezpo*rednie zsynchronizowanie odbiornika z kodem P
wymaga)oby nies)ychanie d)ugiego czasu.

B)#d okre*lenia pozycji za pomoc# kodu P wynosi 22 m (95%) w p)aszczy2nie poziomej i 27,7 m
(95%) w p)aszczy2nie pionowej. B)#d okre*lenia czasu nie przekracza 200 ns (95%), a pr dko*ci -
0,2 m/s (95%).

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 23 -

TLM

HOW

TLM

HOW

TLM

HOW

TLM

HOW

TLM

HOW

Korekta czasu

Efemerydy

Informacja alfanumeryczna

Almanach

Subramki (6 s)

Ramka

(30 s)

Rys. 6.7. Organizacja ramki informacji nawigacyjnej: TLM - informacja telemetryczna,

HOW (ang. Hand over Word) - synchronizacja kodu P

Tabela 6.1

Efemerydy satelitów GPS

Czas odniesienia

Pierwiastek kwadratowy z wielkiej pó)osi

Mimo*ród

Inklinacja (w momencie

)

Rektascencja w z)a wst puj#cego (w epokach tygodniowych)

Argument perigeum (w momencie

)

Anomalia *rednia ( w momencie

)

di dt

Szybko*- zmiany inklinacji

•

Szybko*- zmiany rektascencji w z)a wst puj#cego

Korekcja *redniego ruchu

Kosinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko*ci

Sinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko*ci

Kosinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla promienia orbity

Sinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla promienia orbity

Kosinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla inklinacji

Sinusowy wspó)czynnik korekcyjny dla inklinacji

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 24 -

6.4. Okre%lenie pozycji uDytkownika

System GPS jest systemem odleg)o*ciowym. Okre*lenie pozycji u(ytkownika polega na pomiarze
odleg)o*ci do wybranych satelitów nawigacyjnych i wyznaczenie powierzchni nawigacyjnych w
postaci sfer, których przeci cie si jest poszukiwan# pozycj#. Pomiar odleg)o*ci od odbiornika
nawigacyjnego (u(ytkownika) do satelity nawigacyjnego odbywa si poprzez pomiar czasu
propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - odbiornik nawigacyjny.

Rys. 6.8. Wektor pozycyjny u(ytkownika u, wektor pozycyjny satelity nawigacyjnego s w uk)adzie

wspó)rz dnych ECEF oraz wektor odleg)o*ci r mi dzy u(ytkownikiem i satelit#

Tabela 6.2

Obliczanie wspó)rz dnych satelity GPS w uk)adzie ECEF

(1)

( )

Wielka pó)o*

(2)

Skorygowany ruch *redni

(3)

t t

Up)yw czasu od epoki efemeryd

(4)

n t

( ) M

n t

( )

Anomalia *rednia

(5)

sin

Anomalia mimo*rodowa (rozwi#-
zanie iteracyjne wzgl dem

)

(6)

sin

cos

Anomalia rzeczywista

(7)

Argument szeroko*ci

(8)

sin(

)

cos(

)

Argument korekcji szeroko*ci

(9)

sin(

)

cos(

)

Korekcja promienia

(10)

sin(

)

cos(

)

Korekcja inklinacji

(11)

Skorygowany argument szeroko*ci

(12)

(

)

cos

Skorygowany promie1

(13)

di dt t

= +

( /

)

Skorygowana inklinacja

(14)

•

(

)

Skorygowana rektascencja w z)a

(15)

= cos

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 25 -

(16)

= sin

(17)

cos

cos sin

Wspó)rz dna x w uk)adzie ECEF

(18)

sin

cos cos

Wspó)rz dna y w uk)adzie ECEF

(19)

sin

Wspó)rz dna z w uk)adzie ECEF

Rys. 6.8. Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita nawigacyjny -

odbiornik poprzez okre*lenie maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci#gu pseudolosowego

generowanego na satelicie i repliki tego kodu wytwarzanego w odbiorniku nawigacyjnym

Na rysunku 6.7 pokazano u(ytkownika, którego po)o(enie okre*la w uk)adzie ECEF wektor
pozycyjny u (nieznany) o sk)adowych

( , , )

x y z

i satelit nawigacyjnego, którego po)o(enie w

tym samym uk)adzie wspó)rz dnych okre*la wektor pozycyjny s (znany po zdekodowaniu
informacji nawigacyjnej, patrz tabela X.3) o sk)adowych

( , , )

x y z

; odleg)o*- od u(ytkownika do

satelity nawigacyjnego opisuje wektor r. Mi dzy wektorami r, s, i u zachodzi zwi#zek

r s u

(6.1)

Modu) wektora odleg)o*ci

s u

(6.2)

jest znany na podstawie pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej.

Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - u(ytkownik ilustruje rysunek
6.8. Charakterystyczny element sygna)u pseudolosowego zostaje wypromieniowany z satelity w
momencie

. Element ten dociera do odbiornika nawigacyjnego w momencie

, po up)ywie

sekund potrzebnych na przebycie przez fal elektromagnetyczn# odleg)o*ci r. W odbiorniku
nawigacyjnym wyznacza si maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci#gu pseudolosowego
nadawanego przez satelit i repliki tego ci#gu odtworzonej w odbiorniku. Po)o(enie tego
maksimum wyznacza czas propagacji fali

.t. Gdyby zegar satelity i zegar odbiornika by)y

zsynchronizowane z czasem systemowym, to - po pomno(eniu

.t przez pr dko*- rozchodzenia

si fal elektromagnetycznych c - otrzymaliby*my odleg)o*- geometryczn# odbiornika
nawigacyjnego od satelity

Odleg:o

geometryczna =

r c T

= (

)

= c

.t,

(6.3)

przy czym:

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny zosta) wypromieniowany z satelity;

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny dotar) do odbiornika nawigacyjnego.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 26 -

T + t

Czas propagacji odpowiadaj#cy

odleg)o*ci geometrycznej

Czas propagacji odpowiadaj#cy

pseudoodleg)o*ci

Czas

. t

Rys. 6.9. Zale(no*ci czasowe przy pomiarze odleg)o*ci do satelity GPS:

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny zosta) wypromieniowany z satelity;

- czas systemowy, w którym sygna) nawigacyjny dotar) do odbiornika u(ytkownika;

0t - przesuni cie czasu zegara na satelicie wzgl dem czasu systemowego;

- przesuni cie czasu zegara w odbiorniku u(ytkownika wzgl dem czasu systemowego;

- odczyt zegara satelitowego w momencie, w którym sygna) nawigacyjny zosta)

wypromieniowany z satelity;

- odczyt zegara w odbiorniku u(ytkownika w momencie, w którym dotar) do niego sygna)

nawigacyjny

W rzeczywisto*ci satelity s# wyposa(one w bardzo stabilne zegary atomowe, które jednak nie s#
zsynchronizowane z czasem systemowym. Zegary satelitowe wykazuj# wi c pewne przesuni cie
0t w stosunku do czasu systemowego (przy*pieszenie jest dodatnie, opó2nienie - ujemne). Zegar
w odbiorniku nawigacyjnym nie jest równie( zsynchronizowany z czasem systemowym; wyst puje
przesuni cie

czasu u(ytkownika wzgl dem czasu systemowego. Zale(no*ci czasowe

wyst puj#ce podczas pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej w systemie GPS ilustruje
rysunek 6.9.

W rzeczywisto*ci w wyniku okre*lenia maksimum funkcji korelacji wzajemnej nie mierzymy czasu
.t, odpowiadaj#cego odleg)o*ci geometrycznej mi dzy satelit# i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz
czas

(

) (

)

.t +

(

)

. Przesuni cie czasu zegara na

satelicie wzgl dem czasu systemowego

0t jest mierzone przez OCS i wprowadzane do informacji

nawigacyjnej. Odbiornik nawigacyjny mo(e wi c dokona- odpowiedniej korekty. Pozostaje jednak
przesuni cie czasu zegara w odbiorniku u(ytkownika wzgl dem czasu systemowego. Odbiornik
nawigacyjny mierzy wi c nie czas

.t, lecz czas .

.t +

. Je*li ten czas pomno(ymy przez

pr dko*- rozchodzenia si fali elektromagnetycznej, to nie otrzymamy odleg)o*ci geometrycznej
mi dzy satelit# i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz tzw. pseudoodleg)o*-

Pseudoodleg:o

= c

= c(

.t +

.) = r + c

(6.5)

Okre*lenie pozycji u(ytkownika w uk)adzie ECEF wymaga wi c wyznaczenia trzech sk)adowych
wektora pozycyjnego u(ytkownika

( , , )

x y z

oraz ró(nicy

. mi dzy czasem lokalnym

u(ytkownika i czasem systemowym. Rozwi#zanie tak postawionego zadania nawigacyjnego
wymaga pomiaru pseudoodleg)o*ci co najmniej do czterech satelitów nawigacyjnych i rozwi#zania
nast puj#cego uk)adu równa1

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 27 -

, , , .

1 2 3 4

(6.6)

W formie rozwini tej uk)ad równa1 (6.6) ma posta-

(

)

(

)

(

)

(6.7a)

(

)

(

)

(

)

(6.7b)

(

)

(

)

(

)

(6.7c)

(

)

(

)

(

)

(6.7d)

przy czym

x y z j

, , ;

, , , ,

= 1 2 3 4 x y z j

, , ;

, , , ;

= 1 2 3 4

s# wspó)rz dnymi czterech satelitów

nawigacyjnych w uk)adzie ECEF.

Rozwi#zania uk)adu nieliniowych równa1 (6.7) mo(na dokona- w trojaki sposób: (1) znale2-
rozwi#zanie w formie zamkni tej, (2) zastosowa- technik iteracyjn# po wcze*niejszej linearyzacji
uk)adu, (3) zastosowa- filtracj Kalmana.

W metodzie iteracyjnej zak)adamy, (e znane jest wst pne oszacowanie po)o(enia u(ytkownika

( , , )

x y z

i przesuni cia czasu

. Rozwijamy wyra(enia na pseudoodleg)o*ci w szereg Taylora

w otoczeniu przybli(onego po)o(enia u(ytkownika i zachowujemy tylko cz)ony liniowe;
otrzymujemy wówczas uk)ad czterech równa1 liniowych

;

(6.8)

j = 1,2,3,4;

w którym:

(

)

(

)

(

)

;

(

)

(

)

(

) ;

j = 1,2,3,4.

Po rozwi#zaniu uk)adu równa1 (6.8) otrzymuje si nowe przybli(enie pozycji i czasu u(ytkownika:

;

(6.9a)

;

(6.9b)

;

(6.9c)

= +

(6.9d)

Proces iteracyjny mo(na powtarza- wielokrotnie. Zbie(no*- procesu iteracji i dok)adno*-
otrzymanych wyników zale(# od tego, jak dobrze dokonano oszacowania wst pnego po)o(enia i
czasu u(ytkownika.

Uk)ad równa1 (6.9) mo(na zapisa- w postaci macierzowej

.1111 = H.

.x,

(6.10)

w której:

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 28 -

.1111

.1
.1
.1

;

1
1
1
1

;

.
.

x
y

c t

;

Formalnie rozwi#zanie równania macierzowego mo(na zapisa- w postaci

.x =

.1111.

(6.11)

Wspó)czesne odbiorniki nawigacyjne s# odbiornikami wielokana)owymi (nawet do dwunastu
kana)ów). Odbiorniki te umo(liwiaj# *ledzenie wi kszej liczby ni( czterech satelitów (je*li s#
widoczne). Prowadzi to do nadokre*longo uk)adu równa1 dla pseudoodleg)o*ci, który rozwi#zuje
si metod# najmniejszych kwadratów. W ten sposób mo(na zwi kszy- dok)adno*- okre*lenia
pozycji u(ytkownika.

Macierz H ma wówczas posta-

(6.12)

przy czym N – liczba satelitów, do których wykonano pomiar odleg)o*ci.

Residuum

1111

(6.13)

Minimum kwadratu residuum

)

(

)

(

1111

. =

(6.14)

Poprawka

1111

)

(

(6.15)

6.5. B 4d okre%lenia pozycji uDytkownika

Pomiar pseudoodleg)o*ci jest obarczony ró(nymi b) dami: niestabilno*ci zegara satelity,
perturbacjami w ruchu satelity, b) dami w prognozowaniu efemeryd, opó2nieniem fali
elektromagnetycznej w jonosferze i troposferze, propagacj# wielodrogow#, szumem termicznym
odbiornika. Szczególnym rodzajem b) du jest tzw. wybiórcza dost pno*- SA (ang. Selective
Availability). Jest to wprowadzany *wiadomie przez DOD b)#d w prognozowaniu efemeryd
satelitów oraz b)#d w okre*leniu czasu systemowego. Selektywn# dost pno*- stosowano od 25
marca 1990 r. do 30 kwietnia 2000 r. tylko w standardowej s)u(bie okre*lania pozycji (kod C/A).
Warto*ci ró(nych b) dów podano w tabeli 6.3. Jest to jednosigmowy b)#d okre*lenia
pseudoodleg)o*ci wyra(ony w metrach. Pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów b) dów

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 29 -

cz#stkowych okre*la ca)kowity b)#d systemowy okre*lenia pseudoodleg)o*ci UERE (ang. User
Equivalent Range Error).

Tabela 6.3.

Bud(et b) du okre*lania pseudoodleg)osci w systemie GPS

B)#d jednosigmowy [m]

Segment

\ród)o b) du PPS

SPS

z SA

SPS

bez S.A.

Kosmiczny Niestabilno*- zegara satelity

Perturbacje ruchu satelity
Dost p selektywny
Inne

3,0
1,0

0,5

  3,0
  1,0
32,3
  0,5

3,0
1,0

0,5

Sterowanie B)#d predykcji efemeryd

Inne

4,2
0,9

U(ytkownik Opó2nienie jonosferyczne

Opó2nienie troposferyczne
Szum termiczny i rozdzielczo*- odbiornika
Propagacja wielodrogowa
Inne

2,3
2,0
1,5
1,2
0,5

  5,0
  1,5
  1,5
  2,5
  0,5

5,0
1,5
1,5
2,5
0,5

B)#d ca)kowity UERE

6,5

33,3

8,0

B)#d UERE mówi tylko o dok)adno*ci pomiaru pseudoodleg)o*ci. B)#d okre*lenia pozycji
u(ytkownika zale(y jeszcze od rozmieszczenia satelitów nawigacyjnych na firmamencie w
stosunku do u(ytkownika. Wp)yw rozmieszczenia satelitów na dok)adno*- okre*lenia pozycji dla
przypadku dwuwymiarowego ilustruje rys. 6.10. Gdy satelity znajduj# si blisko siebie, wówczas
b)#d okre*lenia pozycji jest du(y.

B)#d okre*lenia pozycji u(ytkownika w systemie GPS mo(na scharakteryzowa- nast puj#cym
wyra(eniem

(B:$d okre lenia pozycji) =
= (B:$d pomiaru pseudoodleg:o ci)

× (Wspó:czynnik geometryczny)

(6.16)

Za b)#d pomiaru pseudoodleg)o*ci mo(na przyj#- UERE, który jest gaussowsk# zmienn# losow# o
warto*ci *rednie równej 0 i o odchyleniu standardowym

UERE

(tab. 6.3). Wspó)czynnik okre*la

wzrost b) du okre*lenia pozycji ze wzgl du uk)ad satelitów nawigacyjnych wzgl dem u(ytkownika
(rys. 6.10). Zwykle mówi si o geometrycznym zmniejszeniu dok)adno*ci okre*lenia pozycji
u(ytkownika GDOP (ang. Geometric Diulution of Precision). Z najlepszym rozmieszczeniem
satelitów mamy do czynienia wówczas, gdy jeden z satelitów znajduje si w zenicie nad
u(ytkownikiem, a pozosta)e trzy mo(liwie nisko nad horyzontem rozmieszczone równomiernie co
120

Rys. 6.10. Wyja*nienie wp)ywu rozmieszczenia satelitów na dok)adno*- okre*lenia pozycji

u(ytkownika (przypadek dwuwymiarowy)

Na ogó) rozró(nia si b)#d okre*lenia pozycji w p)aszczy2nie pionowej i poziomej. B)#d okre*lenia
pozycji w p)aszczy2nie pionowej dz ma rozk)ad N(0, VDOP

UERE

), tzn. rozk)ad normalny z zerow#

warto*ci# *redni# i odchyleniem standardowym VDOP

UERE

, przy czym VDOP (ang. Vertical

Dilution of Precision) jest geometrycznym zmniejszeniem dok)adno*ci w p)aszczy2nie pionowej.

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 30 -

Statystycznie b)#d okre*lenia pozycji w p)aszczy2nie pionowej wyra(a si zale(no*ci#

VDOP UERE,

(6.17)

w której UERE jest zmienn# losow# o rozk)adzie N(0,

UERE

). Odchylenie standardowe zmiennej

losowej dz

UERE

= VDOP

(6.18)

Rozk)ad gaussowski charakteryzuje si tym, (e w przedziale o sszeroko*ci

±1

wzgl dem warto*ci

*redniej znajduje si 68% wyników pomiarów. W przybli(eniu 95% wyników pomiarów mie*ci si w
przedziale o szeroko*ci

±2

wzgl dem warto*ci *redniej; mo(na wi c zapisa- równanie

= ×

VDOP

UERE

(6.19)

Przypu*-my, (e w pewnym momencie dla okre*lonego uk)adu u(ytkownika wzgl dem satelitów
nawigacyjnych VDOP = 2. Dla kodu C/A z w)#czon# selektywn# dost pno*ci#

UERE

= 33 3

(patrz tab. 6.3 ), wi c

UERE

2 2 33 3 133 2

= ×

= × ×

VDOP

Oznacza to, (e prawdopodobie1stwo, i( b)#d okre*lenia pozycji b dzie wi kszy ni( 113,2 metra nie
przekracza 5%.

Do kre*lenia b) du okre*lenia pozycji w p)aszczy2nie poziomej wprowadza si cz sto poj cie
prawdopodobnego b) du ko)owego CEP (ang. Circular Error Probable). Jest to promie1 ko)a ze
*rodkiem w prawdziwej (bezb) dnej) pozycji u(ytkownika obejmuj#cego 50% wykonanych
pomiarów. Innymi s)owy prawdopodobie1stwo tego, (e b)#d pomiaru jest mniejszy ni( warto*-
CEP wynosi dok)adnie 1/2. CEP wyra(a si nast puj#c# zale(no*ci# przybli(on#

CEP

HDOP

UERE

0 75

(20)

Przez

CEP

rozumiemy promie1 ko)a ze *rodkiem w prawdziwej pozycji u(ytkownika, które

obejmuje xx% wyników pomiarów obarczonych b) dami. Oczywi*cie

CEP

CEP.

Obowi#zuj#

nast puj#ce zale(no*ci przybli(one:

CEP

HDOP

UERE

1 3

;

(6.21a)

CEP

HDOP

UERE

1 6

;

(6.21b)

CEP

HDOP

UERE

2 0

(6.21c)

Powiedzmy, (e w pewnym momencie i w pewnej konfiguracji satelitów wzgl dem u(ytkownika
HDOP = 1,5. Je*li u(ytkownik korzysta z kodu C/A i jest w)#czona wybiórcza dost pno*-, to

CEP

HDOP

2 0

2 0 1 5 33 3 99 9

UERE

Oznacza to, (e w 95% przypadków wynik okre*lenia pozycji znajdzie si kole o *rednicy oko)o 100
metrów, którego *rodek pokrywa si z pozycj# rzeczywist#. Zwró-my uwag , (e dominuj#cym
2ród)em b) du jest wybiórcza dost pno*-. Przy wy)#czonej SA mieliby*my

CEP

HDOP

2 0

2 0 1 5 8 0 24

UERE

co jest bardzo atrakcyjnym rezultatem.

6.6. Efekty relatywistyczne

Zegary pok)adowe satelitów nawigacyjnych s# pod wp)ywem dwóch efektów relatywistycznych
wynikaj#cych ze szczególnej i ogólnej i teorii wzgl dno*ci Einsteina. Pierwszy efekt jest zwi#zany
ze zmian# chodu zegara znajduj#cego si w ruchu - “szybkie zegary chodz# wolno” - wynikaj#c#
ze szczególnej teorii wzgl dno*ci. Generator umieszczony na satelicie generuje wi c mniejsz#
cz stotliwo*- ni( ta, na któr# zosta) ustawiony.

Drugi efekt jest zwi#zany z zasad# równowa(no*ci, zgodnie z któr# chód zegara ulega zwolnieniu
przy zbli(aniu si do *rodka pola grawitacyjnego. W odniesieniu do generatora umieszczonego na
satelicie te dwa efekty dzia)aj# w przeciwnych kierunkach. W przypadku satelity poruszaj#cego si

Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna

Strona - 32 -

Tabela 6.4

Bud(et b) du okre*lania pseudoodleg)osci w systemie LADGPS

Segment

\ród)o b) du B)#d jednosigmowy [m]

GPS LADGPS

Kosmiczny Niestabilno*- zegara satelity

Perturbacje ruchu satelity
Dost p selektywny
Inne

  3,0
  1,0
32,3
  0,5

0
0
0
0

Sterowanie B)#d predykcji efemeryd

Inne

4,2
0,9

0
0

U(ytkownik Opo2nienie jonosferyczne

Opó2nienie troposferyczne
Szum termiczny i rozdzielczo*- odbiornika
Propagacja wielodrogowa
Inne

  5,0
  1,5
  1,5
  2,5
  0,5

0
0
2,1

2,5
0,5

B)#d ca)kowity UERE

33,3

3,3

Tak dobre rezultaty uzyskuje si tylko w bezpo*rednim s#siedztwie stacji odniesienia. W miar
oddalania si u(ytkownika od tej stacji nast puje stopniowa dekorelacja b) dów okre*lenia
pseudoodleg)o*ci, co powoduje wzrost ca)kowitego b) du okre*lenia pozycji. Stwierdzono jednak
znaczne zmniejszenie

UERE

nawet w odleg)o*ci 400 km od stacji odniesienia. Wydaje si wi c, (e

warto zastosowa- system LADGPS w systemie monitorowania ruchu pojazdów w Polsce. Sygna)y
ró(nicowe mog)aby nadawa- budowana obecnie w Solcu Kujawskim d)ugofalowa stacja Polskiego
Radia. Stacja ta b dzie dobrze odbierana na obszarze ca)ego kraju. System ró(nicowy jest
skuteczny tylko wówczas, gdy stacja odniesienia i u(ytkownik odbieraj# sygna)y z tych samych
satelitów nawigacyjnych. Przy du(ych odleg)o*ciach od stacji odniesienia mo(e si zdarzy-, (e
odbiornik u(ytkownika wybierze inny uk)ad odniesienia ni( odbiornik stacji odniesienia. Stacja
odniesienia oprócz sygna)ów ró(nicowych powinna wi c nadawa- równie( informacj o numerach
satelitów nawigacyjnych, z których korzysta. Sprawa ta wymaga szczegó)owego opracowania.

Wielkoobszarowe systemy ró(nicowe mog# obs)ugiwa- ca)e kontynenty, a nawet ca)y glob.
Wymagaj# one stosowanie wielu wspó)pracuj#cych ze sob# stacji odniesienia. Systemy WADGPS
nie maj# znaczenia dla opracowywanego w Polsce sytemu monitorowania ruchu pojazdów, nie
b d# wi c szczegó)owo omawiane.

Bibliografia

Bem D. J., Systemy szerokopasmowe, Rozprawy Elektrotechniczne, t. 31, 1985, nr 1, s. 241-263.

Bem D.J., Systemy telekomunikacyjne. Cz

III - Radiolokacja i radionawigacja, Wydawnictwo

Politechniki Wroc)awskiej, Wroc)aw 1991.

Hofmann-Wellen B., Lichteneger H., Collins J., GPS NAVSTAR User's Overview, New York,
Spiger - Verlag, 19933.

Kaplam E. D., (editor), Understanding GPS. Principles and Applications, Artech House, Boston,
London, 1996.

NAVSTAR GPS Joint Program Office(JPO), GPS NAVSTAR User's Overview, YEE-82-009D, GPS
JPO, March 1991.

Szymo1ski M., Nawigacyjne wykorzystanie sztucznych satelitów Ziemi. WKiB, Warszawa 1989.

Document Outline