Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie«stwa 2, 14 XII 2007
1. W urnie I znajduj¡ si¦ dwie kule biaªe i jedna czarna, a w urnie II -
dwie biaªe i dwie czarne. Losujemy 120 razy ze zwracaniem po 1 kuli z urny I
i 120 razy ze zwracaniem po 1 kuli z urny II. Losowania s¡ niezale»ne. Niech
N
I
, N
II
oznaczaj¡ liczby kul biaªych wyci¡gni¦tych z urn I, II, odpowiednio.
Obliczy¢ przybli»one prawdopodobie«stwo tego, »e N
I
> N
II
+ 30
.
2. Dane s¡ dwa ci¡gi (X
n
)
, (Y
n
)
zmiennych losowych, przy czym dla
ka»dego n ≥ 1 zmienne X
n
i Y
n
s¡ niezale»ne, X
n
ma rozkªad jednostajny na
odcinku (−1/
√
n, 1/
√
n)
, a Y
n
ma rozkªad normalny o ±redniej 1 i wariancji
n
. Udowodni¢, »e ci¡g (X
n
Y
n
)
jest zbie»ny wedªug rozkªadu.
3. Udowodni¢, »e funkcja ϕ(t) = |
1
3
+
2
3
cos t|
nie jest funkcj¡ charaktery-
styczn¡ zmiennej losowej.
4. Dany jest ci¡g (X
n
)
, zbie»ny wedªug rozkªadu do X, speªniaj¡cy wa-
runek sup
n
E exp(aX
2
n
) < ∞
dla pewnego a > 0. Udowodni¢, »e dla dowolnej
liczby α ∈ R zachodzi
lim
n→∞
E exp(αX
n
) = E exp(αX).
5. Dany jest ci¡g (X
n
)
niezale»nych zmiennych losowych, przy czym dla
n ≥ 1
zmienna X
n
ma rozkªad z g¦sto±ci¡
g
n
(x) =
|x|
n
2
· 1
[−n,n]
(x).
Czy ci¡g
X
1
+ X
2
+ . . . + X
n
n
√
n
jest zbie»ny wedªug rozkªadu? Je±li tak, poda¢ rozkªad graniczny.