Kolokwium z RP2 14 XII 2007

background image

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie«stwa 2, 14 XII 2007

1. W urnie I znajduj¡ si¦ dwie kule biaªe i jedna czarna, a w urnie II -

dwie biaªe i dwie czarne. Losujemy 120 razy ze zwracaniem po 1 kuli z urny I

i 120 razy ze zwracaniem po 1 kuli z urny II. Losowania s¡ niezale»ne. Niech
N

I

, N

II

oznaczaj¡ liczby kul biaªych wyci¡gni¦tych z urn I, II, odpowiednio.

Obliczy¢ przybli»one prawdopodobie«stwo tego, »e N

I

> N

II

+ 30

.

2. Dane s¡ dwa ci¡gi (X

n

)

, (Y

n

)

zmiennych losowych, przy czym dla

ka»dego n ≥ 1 zmienne X

n

i Y

n

s¡ niezale»ne, X

n

ma rozkªad jednostajny na

odcinku (−1/

n, 1/

n)

, a Y

n

ma rozkªad normalny o ±redniej 1 i wariancji

n

. Udowodni¢, »e ci¡g (X

n

Y

n

)

jest zbie»ny wedªug rozkªadu.

3. Udowodni¢, »e funkcja ϕ(t) = |

1
3

+

2
3

cos t|

nie jest funkcj¡ charaktery-

styczn¡ zmiennej losowej.

4. Dany jest ci¡g (X

n

)

, zbie»ny wedªug rozkªadu do X, speªniaj¡cy wa-

runek sup

n

E exp(aX

2

n

) < ∞

dla pewnego a > 0. Udowodni¢, »e dla dowolnej

liczby α ∈ R zachodzi

lim

n→∞

E exp(αX

n

) = E exp(αX).

5. Dany jest ci¡g (X

n

)

niezale»nych zmiennych losowych, przy czym dla

n ≥ 1

zmienna X

n

ma rozkªad z g¦sto±ci¡

g

n

(x) =

|x|

n

2

· 1

[−n,n]

(x).

Czy ci¡g

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

n

n

jest zbie»ny wedªug rozkªadu? Je±li tak, poda¢ rozkªad graniczny.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Kolokwium z RP2 01 XII 2008 gr IV p1 id 240942
Kolokwium z RP2 01 XII 2008 gr II p1 id 240941
Kolokwium z RP2 01 XII 2008 gr IV p1
Kolokwium z RP2 01 XII 2008 gr II p1
RP II 2007 Kolokw 17 XII 2007
Kolokwium z RP2 08 p2
Kamica nerkowa. Biochemia śpiączek i stresu. Wykład z 14.03.2007, Lekarski WLK SUM, lekarski, bioche
sprawozdanie XII 2007, sprawozdanie z pracy zespołu nauczycieli uczących w klasie I TI, PLAN PRACY Z
sprawozdanie XII 2007, sprawozdanie z dzialania zespolu klasowego I sem 2007-2008, Ewa Dadacz
PrUpadł, ART 81 PrUpadł, III CZP 128/07 - z dnia 14 grudnia 2007 r
Hajduk egzamin test 14 06 2007, BS 5 semestr
Kolokwium z RP2-08--p2
Cwiczenia 14 16 2007
7 wykład 14 11 2007
Kolokwium Zal Pr Strukturalne 2007-08, Studia, Systemy operacyjne
Kolokwium z RP2, 30 XI 2004-p1
sprawozdanie XII 2007, Milaniuk, Sławomir Milaniuk
miłość przyjaźń, Ich dwoj1, Ich dwoje / 14 grudzień 2007

więcej podobnych podstron