Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 8
Wykład nr 8
Obliczanie sił wewnętrznych
Obliczanie sił wewnętrznych
w układach prętowych.
w układach prętowych.
Kratownice.
Kratownice.
1
1
Kratownica
Kratownica
Układ prętów prostoliniowych:
Układ prętów prostoliniowych:
 połączenia przegubowe w węzłach;
 połączenia przegubowe w węzłach;
 obciążenia w postaci sił skupionych
 obciążenia w postaci sił skupionych
 obciążenia w postaci sił skupionych
 obciążenia w postaci sił skupionych
przyłożonych w węzłach.
przyłożonych w węzłach.
20kN
20kN
10kN
10kN
3m 3,5m
3m 3,5m
2
2
3m
3m
Konsekwencje
Konsekwencje
Węzeł doznaje przesuwu (dwie
Węzeł doznaje przesuwu (dwie
składowe), obrót jest nieistotny;
składowe), obrót jest nieistotny;
W prętach dwustronnie przegubowych,
W prętach dwustronnie przegubowych,
W prętach dwustronnie przegubowych,
W prętach dwustronnie przegubowych,
nieobciążonych poprzecznie na
nieobciążonych poprzecznie na
długości, jedynie siła wewnętrzna to
długości, jedynie siła wewnętrzna to
normalna (siła osiowa).
normalna (siła osiowa).
3
3
Nazwy prętów
Nazwy prętów
Pas dolny (D)
Pas dolny (D)
Pas górny (G)
Pas górny (G)
Krzyżulce (K)
Krzyżulce (K)
Krzyżulce (K)
Krzyżulce (K)
G G
1 2
SÅ‚upki (S)
SÅ‚upki (S)
S S S
1 K 2 3
K
1
2
D D
1 2
4
4
Statyczna wyznaczalność
Statyczna wyznaczalność
Najprostsza kratownica złożona z trzech prętów
Najprostsza kratownica złożona z trzech prętów
połączonych przegubowo tworzy tarczę sztywną
połączonych przegubowo tworzy tarczę sztywną
i jest statycznie wyznaczalna.
i jest statycznie wyznaczalna.
Każda kratownica budowana przez dostawianie
Każda kratownica budowana przez dostawianie
Każda kratownica budowana przez dostawianie
Każda kratownica budowana przez dostawianie
pól zamkniętych tworzonych za pomocą
pól zamkniętych tworzonych za pomocą
kolejnych dwóch prętów jest statycznie
kolejnych dwóch prętów jest statycznie
wyznaczalna.
wyznaczalna.
5
5
Stopień statycznej
Stopień statycznej
wyznaczalności
wyznaczalności
Statyczna wyznaczalność:
Statyczna wyznaczalność:
 zewnętrzna  możliwość policzenia reakcji:
 zewnętrzna  możliwość policzenia reakcji:
nz =ð r -ð 3
nz =ð r -ð 3
 wewnętrzna  możliwość policzenia sił w
 wewnętrzna  możliwość policzenia sił w
prętach:
prętach:
nw =ð p -ð 2×ð w +ð 3
 całkowita:
 całkowita:
n =ð r +ð p -ð 2×ð w
6
6
Przykłady(1)
Przykłady(1)
Kratownice statycznie wyznaczalne
Kratownice statycznie wyznaczalne
7
7
Przykłady(2)
Przykłady(2)
Kratownice statycznie niewyznaczalne
Kratownice statycznie niewyznaczalne
8
8
Przykłady(3)
Przykłady(3)
Kratownice geometrycznie zmienne
Kratownice geometrycznie zmienne
9
9
Metody rozwiÄ…zywania
Metody rozwiÄ…zywania
Metoda równoważenia węzłów.
Metoda równoważenia węzłów.
Metoda Rittera.
Metoda Rittera.
Inne:
Inne:
Inne:
Inne:
 wykreślna metoda Cremony;
 wykreślna metoda Cremony;
 metoda Culmana;
 metoda Culmana;
 metoda Hanneberga (wymiany prętów).
 metoda Hanneberga (wymiany prętów).
10
10
Metoda równoważenia
Metoda równoważenia
węzłów
węzłów
Każdy z węzłów oddzielony zostaje od prętów
Każdy z węzłów oddzielony zostaje od prętów
za pomocą przekroju przywęzłowego.
za pomocą przekroju przywęzłowego.
W węzłach otrzymuje się układy sił zbieżnych,
W węzłach otrzymuje się układy sił zbieżnych,
w których można zapisać dwa równania
w których można zapisać dwa równania
w których można zapisać dwa równania
w których można zapisać dwa równania
równowagi  sumy rzutów sił na dwie osie.
równowagi  sumy rzutów sił na dwie osie.
20kN
20kN
10kN
10kN
N1-2 N1-3
N1-4
N1-A 1 N1-B
3m 3,5m
3m 3,5m
11
11
Zalety i wady metody
Zalety i wady metody
równoważenia węzłów
równoważenia węzłów
Zalety:
Zalety:
 łatwość zapisania równań  sumy rzutów
 łatwość zapisania równań  sumy rzutów
sił;
sił;
sił;
sił;
 kontrola wyników: ostatnie trzy równania
 kontrola wyników: ostatnie trzy równania
sÄ… sprawdzeniami;
sÄ… sprawdzeniami;
Wady:
Wady:
 propagacja błędu;
 propagacja błędu;
 duży nakład pracy wymagany do
 duży nakład pracy wymagany do
policzenia siły w wybranym pręcie.
policzenia siły w wybranym pręcie.
12
12
3m
3m
Metoda Rittera(1)
Metoda Rittera(1)
Kratownicę należy przeciąć przekrojem
Kratownicę należy przeciąć przekrojem
takim, aby można było zapisać równanie,
takim, aby można było zapisać równanie,
w którym jedyną niewiadomą będzie
w którym jedyną niewiadomą będzie
szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3
szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3
szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3
szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3
pręty, z których osie dwóch przecinają się
pręty, z których osie dwóch przecinają się
pręty, z których osie dwóch przecinają się
pręty, z których osie dwóch przecinają się
w jednym punkcie).
w jednym punkcie).
20kN
20kN
20kN
10kN
10kN
3m 3m 3m
3m 3,5m
3m 3,5m
13
13
Metoda Rittera(2)
Metoda Rittera(2)
Otrzymany układ sił jest niezbieżny.
Otrzymany układ sił jest niezbieżny.
Równanie równowagi to zazwyczaj suma
Równanie równowagi to zazwyczaj suma
momentów względem punktu przecięcia
momentów względem punktu przecięcia
osi pozostałych prętów (czasem suma
osi pozostałych prętów (czasem suma
osi pozostałych prętów (czasem suma
osi pozostałych prętów (czasem suma
rzutów sił  gdy pozostałe pręty są
rzutów sił  gdy pozostałe pręty są
rzutów sił  gdy pozostałe pręty są
rzutów sił  gdy pozostałe pręty są
równoległe).
równoległe).
20kN
5 20kN
N
5-4 N
2-3
10kN 2 3 4
N
4-5
N
3-2
4
N
N 2-1
4-A
N
1-2
3
N
A-4
H
A B
A
1
H
A B
N
N
A-1 1-A
A 1 2
N
N
A-1
1-A V
3m 3,5m
A R
B
R
V B 3m
3m 3m
A
14
14
4,5m
3m
3m
3m
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
Zalety i wady metody
Zalety i wady metody
Rittera
Rittera
Zalety:
Zalety:
 do znalezienia siły w pręcie potrzebne
 do znalezienia siły w pręcie potrzebne
jest zapisanie i rozwiÄ…zanie tylko jednego
jest zapisanie i rozwiÄ…zanie tylko jednego
równania;
równania;
równania;
równania;
 brak propagacji błędu;
 brak propagacji błędu;
Wady:
Wady:
 konieczność zapisania równań sum
 konieczność zapisania równań sum
momentów;
momentów;
 brak kontroli błędów (możliwa np. za
 brak kontroli błędów (możliwa np. za
pomocą metody równoważenia węzłów).
pomocą metody równoważenia węzłów).
15
15
Przykład A  kratownica z
Przykład A  kratownica z
pasami równoległymi
pasami równoległymi
20kN
20kN
10kN
10kN
3m 3,5m
3m 3,5m
16
16
3m
3m
Przykład A  Reakcje
Przykład A  Reakcje
3m
sinað =ð cosað =ð =ð 0,707
20kN
2 2
3m +ð 3m 10kN
(ð )ð (ð )ð 2 3 4
3m
sin bð =ð=ð 0,651
22
3m +ð 3,5m
(ð )ð (ð )ð
3,5m
3,5m
cos bð =ð=ð 0,759
bð =ð=ð
H
A B
A
22
3m +ð 3,5m
(ð )ð (ð )ð
1
V
3m 3,5m
A R
B
X : HA +ð10kN =ð 0
åð
HA =ð-ð10kN
åðY :VA +ð RB -ð 20kN =ð 0
VA =ð 6,154kN
RB =ð13,846kN
åðM : RB ×ð6,5m -ð10kN ×ð3m -ð 20kN ×ð3m =ð 0
A
17
17
Przykład A  metoda
Przykład A  metoda
równoważenia węzłów
równoważenia węzłów
20kN
10kN N2-3 N2-3 N3-2 3 N3-4 N4-3 N4-3 4
2
N3-2 N3-4
N4-B
N2-A N2-1
N4-1
N3-1
N3-1
N4-1
N4-1
N
N4-B
N
N2-1
N2-A
N3-1
N1-3
N1-2
NA-2
NB-4
N1-2 N1-3 N1-4
NA-2
N1-4
NB-1 NB-4
HA
NA-1 N1-A
NA-1
B
A
N1-A 1 N1-B N1-B NB-1
VA
RB
18
18
3m
Węzeł A
Węzeł A
X : HA +ð NA-ð1 =ð 0
åð
NA-2
NA-1
HA
NA-ð1 =ð-ðHA =ð10kN
NA-ð1 =ð-ðHA =ð10kN
A
A
VA
åðY :VA +ð NA-ð2 =ð 0
NA-ð2 =ð-ðVA =ð-ð6,154kN
19
19
Węzeł 2
Węzeł 2
N2-3
10kN
åðY : N2-ð +ð N2-ð1 ×ðsinað =ð 0
A
2
að
N2-ð A
N2-1
N2-ð1 =ð-ð =ð 8,704kN
N2-A
2-A
0,707
0,707
X : N2-ð3 +ð N2-ð1 ×ðcosað +ð10kN =ð 0
åð
N2-ð3 =ð-ð10kN -ð 8,704kN ×ð0,707 =ð-ð16,154kN
20
20
Węzeł 3
Węzeł 3
20kN
åðY : N3-ð1 +ð 20kN =ð 0
3
N3-ð1 =ð-ð20kN
N N
N3-2 N3-4
N3-1
X : N3-ð2 -ð N3-ð4 =ð 0
åð
N3-ð4 =ð N3-ð2 =ð -ð16,154kN
21
21
Węzeł 1
Węzeł 1
åðY : N1-ð2 ×ðsinað +ð N1-ð3 +ð N1-ð4 ×ðsin bð =ð 0
8,704kN ×ð0,707 -ð 20kN
N1-ð4 =ð-ð =ð 21, 269kN
0,651
N1-2
N1-2 N1-3
N1-4
N1-A 1 N1-B
X : -ðN1-ð A -ð N1-ð2 ×ðcosað +ð N1-ð4 ×ðcos bð +ð N1-ðB =ð 0
åð
N1-ðB =ð 10kN +ð 8,704kN ×ð0,707 -ð 21, 269kN ×ð0,759 =ð 0,011kN
22
22
Węzeł 4
Węzeł 4
N4-3 4
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
N4-B
N4-1
X : N4-ð3 +ð N4-ð1 ×ðcos bð =ð 0
X : N4-ð3 +ð N4-ð1 ×ðcos bð =ð 0
4-1
åð
åð
N4-ð3 +ð N4-ð1 ×ð0,759 =ð -ð16,154kN +ð 21, 269kN ×ð0,759 =ð -ð0,011kN ð 0
åðY : N4-ðB +ð N4-ð1 ×ðsin bð =ð 0
N4-ðB =ð-ð21, 269kN ×ð0,651 =ð-ð13,846kN
23
23
Węzeł B
Węzeł B
NB-1 NB-4
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
B
X : NB-ð1 =ð 0
åð
R
RB
NB-ð1 =ð 0,011kN ð 0
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
åðY : NB-ð4 +ð RB =ð 0
NB-ð4 +ð RB =ð -ð13,864 +ð13,864 =ð 0
24
24
Przykład A  metoda
Przykład A  metoda
Rittera  przekrój 1(z lewej)
Rittera  przekrój 1(z lewej)
l
åðY :VA -ð N2-ð1 ×ðsinað =ð 0
l
åðM :VA ×ð3m +ð10kN ×ð3m +ð N2-ð3 ×ð3m =ð 0
1
l
l
åðM : H ×ð3m +ð N ×ð3m =ð 0
åðM : HA ×ð3m +ð NA-ð1 ×ð3m =ð 0
2
20kN
N
2-3
6,154kN
10kN 2 3 4
N2-ð1 =ð=ð 8,704kN
N
3-2
0,707
N
2-1
N
1-2
N2-ð3 =ð-ð6,154kN -ð10kN =ð-ð16,154kN
H
A A B
1
N N
1-A
A-1
NA-ð1 =ð 10kN
V
A 3m 3,5m R
B
25
25
3m