4. Podstawowe wielkości kinematyczne ruchu obrotowego 6. Druga zasada Newtona. Siła tarcia. Spółczyn. tarcia.
II zasada dynamiki: Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła, to ciało porusza się ruchem
Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego. Dla ruchu zmiennym. Przyspieszenie w tym ruchu jest wprost proporcjonalne do działającej siły, a odwrotnie
obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest przesunięcie kątowe q�. Kąt q� określa proporcjonalne do masy ciała. (wzór a=F/M | a). Jeżeli na ciało działa kilka sił, wówczas siła F jest
położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okręgu, z definicji miary łukowej ich wypadkową.
kąta q� = S/R. (w radianach). Tarcie: Siły kontaktowe, są prostopadłe do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej
leżąca w płaszczyz
nie powierzchni. Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to
dq�
w� =�
Kątową analogią prędkości v = dx/dt jest prędkość kątowa w�.
d t zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem to
musi działać siła. Taką siłę nazywamy siłą tarcia. Rozważmy np. klocek, do którego przykładamy
Dla ruchu po okręgu v = w� R.
"małą" siłę F tak, że klocek nie porusza się. Oznacza to, że sile F przeciwstawia się siła tarcia T.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu w� jest nazywane częstością kątową i jest związana z
Mamy więc: T = -F. Zwiększamy stopniowo siłę F aż klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza
częstotliwością f relacją w� = 2p�f.
powierzchnia tym szybciej to nastąpi. Oznacza to, że siła tarcia zmienia się od wartości zero do
Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zostało zdefiniowane przyspieszenie kątowe a�.
pewnej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły F. Oznaczmy tę krytyczną siłę Ts (s-statyczna). To
jest maksymalna siła tarcia statycznego. Ts (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa
dw�
a� =�
d t empiryczne:
Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia,
Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i a� jest analogiczny do związku pomiędzy v i w� tzn. a =
Jest proporcjonalna do siły prostopadłej z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.
a�R. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem a� poprzez
Stosunek siły Ts do nacisku FN nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego m�s
analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
T
s
Ruch post. Ruch obrotowy m� =�
s
FN
a = const a� = const
Uwaga: Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Jeżeli F jest większe
v = v0 + at
w� = w�0 + a�t
od Ts to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia Tk (k - kinetyczna) przeciwstawiająca się
s = s0 + v0t + (1/2)at2
q� =q�0 + w�0t + (1/2)a�t2
ruchowi. Siła Tk spełnia trzy prawa empiryczne: Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni
zetknięcia, Jest proporcjonalna do siły prostopadłej z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą,
Nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni. Istnieje odpowiedni współczynnik
Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego w ruchu obrotowym
przyspieszonym (1) i opóz
nionym (2) są pokazane na rysunku poniżej. tarcia kinetycznego m�k
1) 2) Tk
m�k =� (5.2)
a� �
FN
w� � w� �
a� �
23. Wyprowadzenie wzoru na okres wahadła fizycznego
11. Wyprowadzenie wzoru na okres wahadła prostego
P
l
S
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej,
q�
nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to zaczyna się ono wahać w
płaszczyz
nie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdz
my okres tego
mg
ruchu.
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez
to ciało nazywamy wahadłem fizycznym. P jest punktem zawieszenia ciała a punkt S, znajdujący się
w odległości l od punkt P, jest środkiem masy. Moment siły t� działający na ciało wynosi: t� = 
q�
25. Prawo Pascala i prawo Archimedesa
d2 q�
l mglsinq�. Korzystając ze związku: t� = Ia� =I(d2q� /dt2) otrzymujemy:
-� mgl sinq� =� I
N Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy
16. Praca wyk. przez stała silę. Praca wyk. przez zmn. siłę. d t2
m
działać ciśnieniem zewnętrznym p0.
x=lq� 2
q�
d q�
mgsin q� p0
W najprostszym przypadku, siła F jest stała, a punkt porusza się w kierunku działania siły. Wtedy W = F�s Dla małych wychyleń, dla których sinq� @� q� dostajemy równanie =� -�ć� mgl ��q�
mgcosq� �� ��
2
d t I
Ł� ł�
mg
= Fs cosa� . Wzór Fs cosa� określa jedynie pracę wykonaną przy przemieszczaniu punktu przez jedną siłę.
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt q� od pionu. Na masę m
Pracę wykonaną przez inne należy obliczyć oddzielnie i potem je zsumować. Zwróćmy uwagę, że gdy a� =
h
działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową
0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs. Gdy a� = 90�� to z równania wynika, że W = 0.
mgl I
T =� 2p�
w� =� lub
radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę
Praca wykonana przez siłę zmienną mgl
A
I
m do położenia równowagi. Siła ta wynosi: F = mgsinq�. Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary
Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy
jaką wykona ta iła przy = lq�. Przyjmując zatem, że sinq� @� do położenia x2
łukowej kąta)swynosi xprzesuwaniu ciała od położenia x1 q� otrzymujemy:. Zaczynamy od przybliżenia.
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l. Wówczas I
Dzielimy całkowite przemieszczenie na n jednakowych odcinków D�x. Wewnątrz takiego przedziału W każdym punkcie A znajdującym się na głębokości h od górnej powierzchni
x mg
przyjmujemy, że siła jest stała i możemy teraz policzyć pracę na tym odcinku D�x: D�Wi = FiD�x, gdzie Fi jest
.
F =� -�mgq� =� -�mg =� -� x
cieczy, ciśnienie jest dane wyrażeniem p = p + r�gh. Możemy powiększyć
0 l
wartością siły na tym odcinku. Następnie możemy zsumować prace na kolejnych odcinkach i otrzymać
l l
= ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostegoT =� 2p�
ciśnienie zewnętrzne o wartość D�p . Ponieważ ciecze są nieściśliwe więc gęstość
n 0
F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem " "). Jest to kryterium ruchu
g
harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F =  kx. Przy małej amplitudzie okres
pracę całkowitą. pozost. praktycznie bez zmian i dlatego ciś. teraz wynosi: p = p +D�p + r�gh
W =� D�x 0 0
��Fi
wahadła prostego wynosi więc: Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.
Jest to prawo Pascala: ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane
il=�1
m
niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia. Prawo to jest
T =� 2p� =�
Żeby poprawić to prz2p� .
ybliżenie dzielimy przedział (x1, x2) na więcej (mniejszych) odcinków D�x.I teraz
k g
konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa. Kiedy
znowu powtarzamy procedurę sumowania. Przybliżenie jest lepsze bo siła ma prawie stałą wartość
Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie to płyn ten
wewnątrz "małych" przedziałów D�x.Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście D�x �� 0. Stosujemy
wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała.
x2 x2
W =� FD�x =� Fdx Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie się siłą wyporu.
tę samą procedurę obliczając lim�� ��
D�x��0 x1 x1
Ponieważ ciśnienie wywierane na ciało nie zależy od materiału, z którego zrobiono
ciało więc zastąpmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten sam
To jest definicja całki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzywą (w zadanym
przedziale - granicach). Odpowiada to też z definicji liczeniu wartości średniej co zgadza się z intuicyjnym płyn co płyn otoczenia. Na ten płyn będzie działało to samo ciśnienie co na ciało,
podejściem: W = Fśrednia(x2  x1)
które zastąpił. Poza tym płyn będzie nieruchomy. Stąd działająca nań siła będzie
równa ciężarowi płynu i skierowana ku górze tak, żeby ten ciężar zrównoważyć.
Siła wywierana przez sprężynę jest siłą przywracającą równowagę i wynosi F = -k x.
Otrzymujemy prawo Archimedesa: ciało w całości lub częściowo zanurzone w
Aby rozciągnąć sprężynę musimy przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną. Tak
płynie jest wypierane ku górze siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało
x
x x 2
kx kx2 płynu. Tak więc
więc F = k x. Teraz obliczmy pracę
W =� Fdx =� =� =�
�� ��(kx)dx
2 2
0 0 0 F = m g = r�Vg (
wyporu wypartego płynu
gdzie r� jest gęstością płynu, a V objętością części zanurzonej ciała.
3. Ruch ciała rzuconego pod kątem do horyzontu: opis analityczny i graficzny 22.Podst. wielkości dynamiczne i prawa ruchu obrotowego
Rzut ukośny: to ruch ze stałym przyspieszeniem g skierowanym w dół. Przyjmijmy, że początek Moment siły: W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Wielkością z
układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało. którą będziemy wiązać przyspieszenie kątowe nie może być tylko siła. Dla ruchu obrotowego
odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) t�. Jeżeli siła
� =� r �� F
v0 F działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako: , gdzie
v0sinq�
q�
wektor r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia.
v0cosq� Moment siły jest wielkością wektorową, której iloczyn wektorowy wynosi: t� = rFsinq� . Wielkość r
nazywamy ramieniem siły (widać, że bierzemy albo r^� albo F^�).
Prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy kąt q� z dodatnim kierunkiem osi x.
Moment pędu: Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną
Składowe prędkości początkowej wynoszą odpowiednio:
vx0 = v0 cosq� i vy0 = v0 sinq� L =� r �� p
do pędu. Wielkość L będziemy nazywać momentem pędu i definiujemy ją: ,
Prędk. w kierunku x: vx = vx0 + axt. ponieważ ax = 0 więc: vx = v0 cosq�, czyli w kierunku x ruch jest
gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego
jednostajny. W kierunku y: vy = vy0 + ayt, ponieważ: gy = -g więc: vy = v0 sinq�  gt. Wartość wektora
układu odniesienia. Wartość L wynosi rpsinq� i analogicznie do momentu siły wielkość rsinq�
nazywamy ramieniem pędu.
wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi:
v =� v2 +�v2
x y
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznijmy od znanej
Więc:
zależności, że siła F = dp/dt. Mnożąc wektorowo obie strony przez r otrzymujemy:
2 2 2
v =� v0 -� 2v0 gt sinq� +� g t d p
d p
� =� r ��
gdzie: jest momentem siły t� więc: . Teraz
r �� F =� r ��
r �� F d t
d t
Teraz obliczamy położenie ciała: x = v0xt. czyli: x = v0 cosq� t, y = v0yt+(1/2)ayt2, czyli: y = v0 sinq� t  przechodzimy do równania na moment pędu L = r��p i różniczkujemy je obustronnie względem
(1/2)gt2. Długość wektora położenia r można teraz obliczyć dla dowolnej chwili t z zależności czasu, otrzymując:
d L d(r �� p) d r d p
=� =� �� p +� r ��
d t d t dt d t
5. I,II,III zasada Newtona: formuowanie i przykłady
17. Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii d L d p
ponieważ dr/dt = v więc: . Wiemy, że
=� (v�� mv) +� r �� v�� mv
Podstawowa teoria, twierdzenie o pracy przewidywać ruch ciał, składa się z trzech równań, które
Energia kinetyczna i która pozwala nam i energii: dt dt
nazywają się zasadami dynamiki Newtona.
Rozważmy przypadek gdy ciało porusza się pod wpływem niezrównoważonej siły. Najprostszy
Sformułowanie pierwszej zasady dynamiki Newtona d L d p d L
przypadek to stała siła czyli ruch ze stałym przyspieszeniem. Zakładamy, że kierunek siły F i = 0, więc: =� r �� . Ostatecznie: � =�
Ciało pozostaje w stanie spoczynku lub w stanie stałej prędkości (zerowe przyspieszenie) gdy jest d t d t dt
przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem osi x. Dla stałego przyspieszenia mamy:
pozostawione samo sobie (działająca na nie siła wypadkowa jest równa zero).
2
a = 0, gdy Fwypadkowa = 0
at v -�v0 Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości zmian momentu
oraz:
v =�v0 +� at �� a =�
x =�v0t +� pędu tej cząstki.
gdzie Fwypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało.
t
2
Uwaga: a = 0, oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek tzn. ciało jest w spoczynku lub d L
d ć� �� wypadkowy
=� �� Li �� =�
Zachowanie momentu pędu: ��� i �� Zauważmy, że jeżeli na układ
d t d t
porusza się ze stałą co do wartości prędkością po linii prostej (stały kierunek). i Ł� i ł�
v +�v0
Sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona
nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to moment pędu układu pozostaje stały.
co w połączeniu daje: . Wykonana praca jest ało.
Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to cirówna:
x =� t
d Lwypadkowy
=� 0 �� Lwypadkowy =� const .
d p 2
d t
F =� , czyli F =� ma
wyp wyp
dt
2
ć�v -�v0 ��ć�v +�v0 �� mv2 mv0
W =� Fx =� max =� m�� ���� �� t =�
Zwróćmy uwagę, że w definicji F mówimy o pojedynczej si-�
le, a tu mamy do czynienia z siłą
t 2 2 2
Ł� ł�Ł� ł�
wypadkową.
Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną.
Sformułowanie trzeciej zasady dynamiki Newtona
Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii
Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest 27. Opis przepływu płynów
kinetycznej tego punktu.
równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie
24. Moment bezwładności ciala sztywnego. Tw. Steinera
Znane są dwa podejścia do opisu ruchu płynu. Pierwsze wymaga podzielenia płynu na
FA = - FB
��B ��A
W = Ekało nie działają siły zewnętrzne to istnieje taki nieskończenie małe cząstki i śledzenie tych elementów. Oznacza to, że dla każdej cząstki mamy
Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ci  Ek0
Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą wykonywać
Twierdzenie o pracy i energii:
współrzędne x, y, z i ich zależność od czasu. Drugie podejście: Zamiast opisywać historię każdej z
układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym
zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stdym punkcie przestrzeni ciała, w których
Gdy nie ma zmiany wartości prędkości to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie jest
prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym. Ponieważ przyspieszenie ciała zależy cząstek określamy gęstość płynu i jego prędkość w każałe, sztywne, rozumiemy i w każdej chwili
odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje skoncentrujemy się na wybranym
tała. Przeanalizujmy ruch takiej bryły
wykonywana praca (np. siła dośrodkowa). Z twierdzenia powyższego wynika, że jednostki pracy i
od przyspieszenia układu odniesienia (obserwatora), w którym jest mierzone więc druga zasada czasu. Czyli podajemy r�(x,y,z,t) oraz v(x,y,z,t). Oznacza to, że
energii są takie same.tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, obracającej się ze stałą prędkością kątowa w� wokół stałej osi w układzie środka masy. Zauważmy,
dynamiki jest słuszna punkcie przestrzeni w pewnym czasie.
Moc: Rozważmy czas w F = ma zmieniałaby się w zależności od przyspieszenia obserwatora.
Na wstępie rozpatrzmy pewne ogólne właściwości charakteryzujące przepływ: Przepływ może być
prawa strona równania jakim wykonywana jest praca. Często interesuje nas szybkość wykonania że różne części ciała mają różną prędkość liniową v chociaż tą samą kątową w�. Dla potrzeb opisu
pracy a nie jej wartość. To jest właśnie moc. Moc średnia: Pśrednia = W/t. Moc chwilowa: P = ciało moż(laminarny) lub nieustalony, wirowy D�mi odległe od osi obrotu o ri. Wtedy prędkość
emy podzielić na elementy o masie
ustalony lub bezwirowy, ściśliwy lub nieściśliwy, lepki lub
dW/dt. Oczywiście gdy moc jest stała w czasie to Pśrednia = P. Jednostką mocy jest wat. 1W = takiego .
= riw�. Wartość momentu pędu L tego ciała można obliczyć
nielepkielementu wynosi vi
1J/1s.
W przepływie ustalonym v jest stała w czasie w danym punkcie. Rozważmy punkt P wewnątrz
ć� ��
L =� riD�m vi =� D�mtaką samą prędkość. To sa. Wielkość w nawiasie nazywamy
płynu. Każda ciząstka mar itam i (riw�) =� �� ri2D�mi ��w� mo dla punktów Q i R. Jeżeli prześledzimy
�� �� ��
�� ��
i i Ł� ł�
i
tor jednej cząstki to prześledziliśmy zarazem tor każdej cząstki przechodzącej przez P. Tor tej
cząstki nazywamy linią prądu. Linia prądu jest równoległa do prędkości płynu. Żadne linie prądu
I =� ri2D�mi , a dla ciągłego rozkładu
��
nie mogą się przecinać bo istniała by niejednoznaczność w wyborze drogi przez cząstkę (a
momentem bezwładności I, który definiujemy jako:
i
przepływ jest ustalony). Jeżeli wybierzemy pewną skończoną liczbę linii prądu to taką wiązkę
nazywamy strugą prądu. Brzegi składają się z linii prądu więc płyn nie może przepływać przez
masy mamy: Płyn wchodzący . Zwróćmy uwagę, że I zależy od osi obrotu. Możemy teraz zapisać
I =� r2dm
brzegi strugi. �� jednym końcem strugi musi opuścić ją drugim.
Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i
dw�
nieściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. Może być stosowane do
moment pędu: L = Iw� , a ponieważ t� = dL/dt więc, t� =� I =� Ia� . Energia kinetyczna w
wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia. Można też w oparciu o nie
dt
wyznaczyć dynamiczną siłę nośną.
1 1 1 ć� ��
2
układzie środka masy: Ek =� D�mi1 =� D�mi (riw�)2 =� �� D�miri2 ��w�
��p +� v2 �� ��
i �� ��
r�v2 +� r�gy =� const.
2 2 2
i i Ł� ł�
i
2
1
Dynamiczna siła nośna jest to siła wywołana ruchem wielkościw płynie w odróżnieniu oddla ruchu
2 tych ciał
więc Ek =� Iw� . Zestawmy teraz obliczone z ich odpowiednikami
statycznej siły nośnej, która jest siła wyporu działającą zgodnie z prawem Archimedesa.
2
postępowego.
Ruch postępowy Ruch obrotowy
p = mv L= Iw�
F = ma t� = Ia�
Ek = (1/2) mv2
Ek = (1/2)Iw�2
Teraz widzimy, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu
postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment bezwładności zależy od
osi, wokół której obraca się ciało.
Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera.
Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a
momentem bezwładności Iśr.m. tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i
równoległej do danej: I = Iśr.m. + md2 , gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami.
8. ciążenie powszechne. Doświadczenie Cawendisha 32. Transform. wzajemna E. kin i pot. w ruchu drającym
Prawo powszechnego ciążenia - Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o Energią potencjalna (nagromadzona) sprężyny:
masach m1 i m2 znajdującymi się w odległości r jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej
2
kx
E =�
p
2
łączącej te punkty. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi
istnieć siła między każdymi dwoma masami m1 i m2. Skoro siła jest proporcjonalna do masy ciała
Jeżeli masę przymocowaną do sprężyny pociągniemy na odległość x = A to energia układu jest
to musi być proporcjonalna do każdej z mas m1 i m2 oddzielnie czyli:F~m1m2
równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Jeżeli teraz zwolnimy sprężynę, to przy założeniu, że nie ma tarcia ani sił
Gdyby ciało znalazło się w odległości takiej jak Księżyc to będzie ono miało takie samo
oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej
przyspieszenie jak Księżyc bowiem natura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księżycem jest taka
1 2 1 2 1 2
mv +� kx =� kA
i potencjalnej równa się (1/2)kA2 2 2 2 stąd:
sama jak pomiędzy Ziemią i każdym ciałem.
Doświadczenie Cavendisha: Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego założenia o
k
2
średniej wartości gęstości Ziemi. W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m1 i
. Ponieważ k/m = w�2 więc:
v2 =� (�A2 -� x )�
m2 umieszczonych w odległości x.
m
m1 m2
F F 2
. Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii
v =� w� A2 -� x
x
1 1
Wówczas siła:
potencjalnej i kinetycznej: .
czyli:
Ep =� k x2 E =� kA2 cos2 w�t
F = Gm1m2/x2 p
2 2
2
Fx
G =�
1
m1m2
Natomiast: , czyli:
Ek =� mv2
Czyli:
2
Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm siła F ma wartość F = 6.67�10-9 1 ć� k �� 1
2 2
E =� (-�w�A sin w�t) =� kA2 sin w�t
�� ��
k 2
N tj. 109 razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za mała by ją wykryć zwykłymi metodami.
2 w� 2
Ł� ł�
Problem ten rozwiązał Henry Cavendish. Wykorzystał on fakt, że siła potrzebna do skręcenia
długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo mała. Cavendish najpierw
wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi na 2
Wartość średnia jest taka sama jak
i wynosi 1/2. Oba
sin w�t cos2 w�t
końcach (rysunek a). Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył
precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt (rysunek b). Pomiar wykonane metodą Cavendisha dają
wykresy są takie same (tylko przesunięte). Poza tym sin2w�t + cos2w�t = 1 i średnia każdego
wartość G = 6.67�10-11 Nm2/kg2.
E =� E
składnika jest taka sama. Widać, że p k
1. III zasada Newtona. Siły kontaktowe
18. Praca i energia: zas. zach. energii mechanicznej 33. Opis analityczny rozchodzenia się fal. Prędkość fal
Ek + Ep. = const. W = D�Ek = - D�Ep Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali
czyli określona faza. Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności.
x
dE ( x)
p
D�E =� -�W =� -� F ( x)dx Sprężystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F. Natomiast bezwładność jest
p �� F (x) =� -�
x0 dx
związana z masą sznura m oraz jego długością l. Spróbujemy teraz wyprowadzić wzór na zależność
prędkości v fali od siły F i od m� = m/l tj. masy przypadającej na jednostkę długości sznura. W tym
r r
Mm
ć� ��d celu rozpatrzmy mały wycinek sznura o długości dx. Końce wycinka sznura tworzą z osią x małe
E (r) =� -�WĄ� r =� -� F d r =� -� -� G �� r =�
p �� ���� 2
r
Ł� ł� kąty 1 i 2. Dla małych kątów @� sin @� dy/dx. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur
Ą� Ą�
r
Mm Mm
w kierunku y wynosi: Fwyp =� F sinq�2 -� F sinq�1 =� Fq�2 -� Fq�1 . Zgodnie z zasadą
-� G =� -�G
r r
Ą�
dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka dm = m���dx i jego przyspieszenia.
2 2
ś�v
y ś� y ś�q� m� ś� y
Gdy działają siły zachowawcze to Stąd: Fwyp =� Fq� -� Fq�1 =� (m� dx) =� (m� dx) =� (Uwaga: w
2 , lub
2 2
ś� t ś� t ś� x F
ś� t
W = D�Ek = EkB  EkA równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem ś�y bo wychylenie y jest funkcją
oraz dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno względem zmiennej x jak i
2 2
W = -D�Ep = - (EpB  EpA)
ś� y m� ś� y
=�
zmiennej t).Uwzględniają, że = ś�y/ś�x otrzymujemy . Jest to równanie falowe
więc 2 2
F
ś� x ś� t
- (EpB  EpA) = EkB  EkA
dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne funkcji
czyli
2
ś� y
EkA + EpA = EkB + EpB 2
y =� f(x,t) =� Asin(k x -� w� t) : =� -� Aw� sin(k x -� w� t) oraz:
2
ś� t
Równania to nazywa się zasadą zachowania energii mechanicznej.
2
ś� y m�
Mówi ona, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, którego energia potencjalna 2 2 2
=� -�Ak sin(k x -� w�t) . W wyniku podstawienia otrzymujemy: k =� w� ,skąd
2
jest równa Ep, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie działają inne siły).
ś� x F
w� F
v =� =�
możemy obliczyć prędkość fali: . Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być
k m�
przenoszona wzdłuż struny z prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości. Jeżeli teraz
2 2
ś� y 1 ś� y
przepiszemy równanie struny w postaci: =� , to otrzymamy równanie
2 2
ś�x v2 ś� t
falowe, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal, takich jak fale dz
więkowe
czy elektromagnetyczne.
7. III zasada Newtona. Siły kontaktowe 20. Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego
III zasada dynamiki: Jeżeli ciało A działa na ciało B, to ciało B oddziałuje na ciało A siłą o takim Rozpatrywaliśmy ruch obrotowy ciała względem osi nieruchomych. Jednakże gdy ciało się toczy to
samym kierunku i wartości lecz przeciwnym zwrocie. Trzecia zasada dynamiki zwana jest także wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego też toczenie możemy traktować jako
zasadą akcji i reakcji. Przejawy trzeciej zasady Newtona spotykamy na każdym kroku. Słońce złożenie ruchu postępowego i obrotowego tak jak pokazano to na rysunku poniżej dla toczącego
przyciąga Ziemię, a Ziemia przyciąga Słońce. Podobnie oddziałują między sobą Ziemia i Księżyc oraz się walca.
wszystkie planety i inne obiekty Układu Słonecznego. Wzajemność oddziaływań obserwujemy
oczywiście powszechnie w naszym otoczeniu jak i w mikroświecie. W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami,
natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnymi
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi siły kontaktowe. y
ródłem tych sił prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) pokazano wynik złożenia (sumowania)
jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości występuje przekrywanie odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).
chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z malejącą odległością. To jest siła
elektromagnetyczna i może być bardzo duża w porównanie z siłami grawitacyjnymi.
Jeżeli siła ciężkości pcha blok w dół siłą Fg to powstaje druga siła - siła kontaktowa F1. Siła
wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady dynamiki Newtona
jest bardzo istotne, żeby obliczyć siłę wypadkową.
Rozważmy dwa klocki m1 i m2 na gładkiej powierzchni. Do klocka m1 przyłożono siłę F. Czy siła F
jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak było to zgodnie z trzecią zasadą
Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt P styczności z podłożem na rysunku poniżej) w każdej
dynamiki Newtona klocek 2 działałby na klocek 1 siłą równą i przeciwnie skierowaną. Wtedy Fwyp
chwili spoczywa (v = 0). Natomiast prędkość liniowa każdego innego punktu jest w każdej chwili
równałaby się zero!!!!, czyli, że nie można by było poruszyć ciała 1 bez względu na to jak duża jest
prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą P i proporcjonalna do odległości tego punktu od
siła F.
P. Oznacza to, że walec obraca się wokół punktu P. Oznacza to, że możemy toczenie opisywać
również jako "czysty" ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt P styczności
m2 z powierzchnią, po której toczy się ciało.
m1
F
-Fk Fk
Zasada Newtona nie mówi, że siła F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; powinno się
przyjąć siłę kontaktową Fk o dowolnej wartości. Ogólnie: powinno się stosować drugą zasadę
dynamiki oddzielnie do każdego ciała.
Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - Fk = m1a
Dla klocka 2
Fk = m2a
Stąd przyspieszenie
a = F/(m1 + m2)
Zauważmy, że ten wynik można otrzymać gdy traktujemy te dwa klocki jak jedną masę m = m1 +
m2.
9. Pole grawitacyjne wewnątrz kuli 30. Wpływ tłumienia na charakterystyki ruchu drgającego
Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest równe Gm/r2 tj. W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą ruch cząstki jest siła oporu Fop ośrodka. Siła
tak jakby cała masa była skupiona w środku kuli. oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do
2
Rozważmy przyczynki od dwóch leżących naprzeciwko siebie powierzchni A1 i A2 w punkcie P d x d x
prędkości Fop � v czyli Fop = g� dx/dt . Gdy działa tylko siła tłumienia to M =� -�g� lub
2
wewnątrz czaszy. Fragment A1 czaszy jest z
ródłem siły F1 ~ A1/(r1)2 ciągnącej w lewo. Powierzchnia d t d t
dv
A1 A2 M =� -�g�v Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu) t� = M/g� to otrzymamy
r1 P
r2
dt
A2 jest z
ródłem siły ciągnącej w prawo F2 ~ A2/(r2)2 . Mamy więc równanie dv/dt =  (1/t�)v co można przepisać w postaci dv/v =  dt/t� Całkujemy to równanie
2 v t
F1 A1 r2 A1 r12 dv 1
=� Z rozważań geometrycznych widać, że =� (pola powierzchni obustronnie =� -� t Skąd otrzymujemy lnv - lnv0 =  (t/t�)
2 �� ��d
F2 A2 r12 A2 r2 v t�
v0 0
stożków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)
-�t / t�
Lub ln(v/v0) =  (t/t�) a po przekształceniu v(t) =�v0e
F1
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy =� 1 Tak więc wkłady wnoszone
Prędkość maleje wykładniczo z czasem czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową t� . Jeżeli
F2
włączymy siłę hamującą do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie postać
przez A1 i A2 znoszą się. Można w ten sposób podzielić całą czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą
2
d x d x
zero. Tak więc wewnątrz czaszy pole grawitacyjne jest równe zeru. Pole wewnątrz czaszy mającej M =� -�kx -� g�
2
d t d t
skorupę dowolnej grubości też jest zero bo możemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich
Wprowadzając t� = M/g� oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych w�02 = (k/M) otrzymujemy
warstw koncentrycznych.
2
d x 1 d x 2
+� +� w� x =� 0
2 0
P d t t� d t Szukamy rozwiązania w postaci drgań okresowo zmiennych
r
R x =� Ae-� b� t cos w� t
tłumionych np.
Na rysunku poniżej przedstawiono pełną kulę o promieniu R i masie M. W
Rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny (cos t) i tłumiący (exp(- t)) i jest pokazane na rysunku
punkcie P pole pochodzące od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi więc tylko od kuli
poniżej. Współczynnik b� = 1/2t� określający wielkość tłumienia nazywamy współczynnikiem
o promieniu r czyli
tłumienia.
a = Gm/r2 lub a = Gr�V/r2
W wyniku rozwiązania dostajemy warunek na częstość drgań tłumionych
M
r� =�
M 2 2
w� =� w� -� b�
0
Dla kuli V = 4p�r3/3. Gęstość 4 więc pole w punkcie P wynosi a =� G r
3 3
p�R R
3 Opór zmniejsza więc (oprócz amplitudy) również i częstość
Widzimy, że pole zmienia się liniowo z r. Funkcja (13.16) jest rozwiązaniem równania opisującego ruch harmoniczny tłumiony przy warunku
(13.17). Widzimy, że opór zmniejsza zarówno amplitudę jak i częstość drgań, czyli powoduje
spowolnienie ruchu. Wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia (lub stała czasowa ).
Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależności od czasu jest pokazany na rysunku
15. Zas. zach. pędu. Środ. masy układu. Ruch środka masy
Środek masy. Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki
bezwymiarowe obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postępowego bo ruch jednego
punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
34. Interferencja fal. Fale stojące
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np. ciało może
wirować lub drgać. W trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie.
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach różniących się o j�.
Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą
Równania tych fal są następujące: y1 = Asin(kx  w�t  j�), y2 = Asin(kx  w�t).
prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Zacznijmy
Znajdz
my teraz falę wypadkową jako sumę y = y1 + y2. Korzystając ze wzoru na sumę sinusów
od przypomnienia pojęcia średniej ważonej.
otrzymujemy: y = 2Acos(j�/2)sin(kx  w�t  j�/2), co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie
Ruch środka masy.
2Acos(j�/2). Dla j� = 0 fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają), a dla j� = 180 wygaszają.
Maśrm = Fzew
Fale stojące
Z równania wynika, że środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby
Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn: y1 = Asin(kx  w�t), y2 =
cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.
Asin(kx + w�t), np. falę padającą i odbitą.
To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
Falę wypadkową można zapisać jako: y = y1 + y2 = 2Asinkxcosw�t . To jest równanie fali stojącej.
Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym. Cząstki mają tę samą częstość ale
�� Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie). Wtedy
różną amplitudę zależną od położenia cząstki x. Punkty kx = p�/2, 3p�/2, 5p�/2, itd. czyli x = l�/4, 3l�/4,
przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
5l�/4 itd. mające maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami a punkty kx = p�, 2p�, 3p� itd. czyli x =
�� Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu
l�/2, l�, 3l�/2 itd. mające zerową amplitudę nazywamy węzłami.
wewnętrznego.
Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę. Energia nie jest przenoszona wzdłuż sznura bo
Uwaga:
nie może ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych elementach
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na środek ciężkości. W rozważanych
sznura.
31. Opis analityczny drgań wymusz. Zjawisko rezonansu
przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej.
Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F(t) (która ma za zadanie podtrzymywać gasnące
Zasada zachowania pędu
2
d x d x
Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na podstawie
M +� g� +� kx =� F (t)
2
d t d t
drgania) przyłożona do oscylatora to równanie ruchu ma postać: , albo
d P
=� 0 albo P =� const .
d2 x 1 d x F(t)
d t 2
równania
+� +� w�0 x =�
2
dt t� d t M
po podstawieniu: t� = M/g� oraz w�02 = k/M. Otrzymujemy: . W tym
Zasada zachowania pędu: Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa
wzorze w�0 jest częstością własną układu, gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia.
zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały.
Gdy układ jest zasilany częstością w� różną od w�0 wówczas drgania będą odbywały się z częstością
Rozważmy dwa ciała o masach mA i mB połączone nieważką sprężyną umieszczone na doskonale
siły zewnętrznej a nie z częstością własną. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. Załóżmy, że siła
gładkim stole. Odciągamy od siebie te ciała na pewną odległość, a następnie puszczamy
F (t ) F0 sin w�t
wymuszająca ma postać: =� =�a� sin w�t , gdzie a�0 = F0/M.
swobodnie. 0
M M
Spróbujmy opisać ruch tych ciał. Najpierw ustalamy z czego składa się rozważany układ.
Mamy teraz w równaniu dwie wielkości okresowo zmienne położenie x oraz siłę wymuszającą F
Przyjmujemy, że tworzą go obie masy + sprężyna. Jeżeli tak to nie działa żadna siła zewnętrzna.
(& ) Równanie to może być tylko spełnione gdy czynniki przy sinw�t będą sobie równe, a czynnik
Możemy teraz zastosować zasadę zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu
sin j� w� / t�
(w odniesieniu do stołu) był równy zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają
=� tgj� =�
przy cosw�t będzie równy zeru. Ten ostatni warunek można zapisać jako: .
2 2
cosj� w�0 -�w�
się ich pęd może być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą
dodatniego pędu ciała A (porusza się w kierunku +x) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w
a�
0
A =�
29. Wyprowadzenie wzoru na masę zredukowaną Z tego warunku znam już j�. Teraz możemy wyznaczyć amplitudę: ,
2 2
[(w�0 -� w� )2 +� (w� /t� )2 ]1 / 2
Dwie masy, m1 i m2, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie okres drgań, gdzie już podstawiono za cosj� i sinj�. Otrzymujemy rozwiązanie:
gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocześnie? Stała sprężyny wynosi ć� ��
a� w� /t�
0
��
x =� sin��w�t +� arctg
k. 2 2 2 2 2 ��
[(w�0 -� w� )2 +� (w� / t� ) ]1/ 2 �� w�0 -� w�
Ł� ł�
Niech x1 będzie przesunięciem masy m1 od położenia równowagi, a x2 odpowiednim przesunięciem
Rezonans. Zauważmy, że gdy siła wymuszająca działa na ciało z pewną charakterystyczną
masy m2. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.
m2 1
2
częstotliwością r: w�r =� w�0 -� , to amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Zjawisko
Zatem m1x1 =  m2x2, czyli x1 =� -� x2
2
2t�
m1
Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m2 równanie Fwypadkowa = ma. Siłą wypadkową, działającą na a�0t�
A =�
m2 jest siła F =  k (x2  x1) gdzie (x2  x1) jest wypadkowym rozciągnięciem sprężyny.
2
2 to nazywamy rezonansem. Maksymalna amplituda wynosi: . Widać, że im
ć� 1 ��
d x2 2
w�0 -� �� ��
-� k (x2 -� x1 ) =� m2 2 �� ��
2t�
Ł� ł�
dt
m2
mniejsze tłumienie (większe t�) tym większa amplituda A. Jeżeli tłumienie jest słabe (w�0t� >> 1) to
x1 =� -� x2 zamiast x1 i otrzymujemy
Podstawiamy teraz
m1
wówczas maksymalna amplituda odpowiada częstości drgań własnych w�r = w�0. Jednocześnie, ten
warunek odpowiada przesunięciu fazowemu j� = p�/2 pomiędzy siłą a wychyleniem. Siła nie jest
�� ć� m2 �� d2x2
ł�
zgodna w fazie z wychyleniem. Zauważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą
-� k -� x2 �� =� m2 2
ę�x �� ��ś�
2
��-�
wymuszającą F zależy od prędkości: P = Fv. Trzeba więc, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była
m1
Ł� ł��� dt
��
zgodna w fazie z siłą, a to oznacza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o p�/2. Gdy x = 0 to v = vmax i
d2 x2 k(m1 +� m2 ) d2 x2 k wtedy siła też ma być maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie prędkość zmienia swój kierunek,
Czyli =� -� x2 Więc =� -� x2
2 2 siła też musi zmienić swój kierunek.
dt m1m2 dt m�
gdzie m� = m1m2/(m1 + m2) jest z definicji masą zredukowaną. To jest równanie jakie już
rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x2 a zamiast m jest m�.
m�
Tak więc czyli
T =� 2p�
w� =� k / m�
k
Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A (o ile jest
spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych zauważył Galileusz i
wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.
13. Siła Coriolisa 36. Opis analityczny zjawiska Dopplera
Oprócz wyżej opisanych - czyli siły odśrodkowej, i sił występujących podczas hamowania i ruszania Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała
pojazdu, występują pewne bardziej skomplikowane rodzaje sił bezwładności. Najbardziej znaną (częstotliwość) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub z
ródła. Zjawisko
jest siła Coriolisa.Siła Coriolisa pojawia się wtedy, gdy w obracającym się układzie nieinercjalnym Dopplera występuje dla wszystkich fal. Obecnie rozważymy je dla fal dz
więkowych. Zajmiemy się
ciało porusza się ruchem jednostajnym (względem tego układu, a najczęściej również względem przypadkiem ruchu z
ródła i obserwatora wzdłuż łączącej ich prostej.
układu inercjalnego). y
ródło dz
więku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku z
ródła z prędkością vo.
Opis siły Coriolisa jest bardziej skomplikowany od przykładów przedstawionych wyżej. Aby choć Nieruchomy obserwator odbierał by vt/l� fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatkowo vot/l� fal.
częściowo zrozumieć na czym polega ta siła, powinniśmy wyobrazić sobie, co się dzieje np. z Częstość słyszana przez obserwatora
obiektem poruszającym się od równika Ziemi w kierunku bieguna. Ponieważ w okolicach równika
prędkość (liniowa, czyli w m/s) ruchu wirowego jest większa niż w pobliżu bieguna, to ciało
vt v t v+�vo
poruszające się do bieguna północnego będzie miało "nadmiar" prędkości wynikającej z ruchu o
+�
v +�v v +�v
l� l� o o v'=� v
wirowego. I dlatego będzie ono zbaczało w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu Ziemi. v'=� =� =�
t l� v
v
Odwrotna sytuacja występuje, gdy ciało zbliża się od bieguna do równika - wtedy "brakuje mu" v
jakby prędkości adekwatnej do ruchu wirowego na danej szerokości geograficznej.Siła Coriolisa Ostatecznie
powoduje, że rzeki płynące na północ mają tendencje do podmywania przeciwnych brzegów, niż Studiując pozostałe przypadki otrzymujemy ogólną zależność
te płynące na południe.Oczywiście siła bezwładności może mieć swoje bardziej skomplikowane
wydania - wszystko zależy od rodzaju ruchu ciała i ruchu układu odniesienia
ć�v ą�v ��
o
v' =� v�� ��
��v "v ��
Siła Coriolisa - siła ta jest nieco podobna do siły odśrodkowej i pojawia się, gdy opisujemy ruch Ł� z ł�
ciała z poziomu obracającego się układu odniesienia
- częstość odbierana przez obserwatora, v - częstość z
ródła, v - prędkość fali, vo - prędkość
35. Igdzie v'
nterferencja fal
obserwatora, vz - prędkość z
ródła.
Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się, a znaki dolne oddalaniu się
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach różniących się o j�.
obserwatora i z
ródła.
Równania tych fal są następujące: y1 = Asin(kx  w�t  j�), y2 = Asin(kx  w�t). Znajdz
my teraz falę
wypadkową (zasada superpozycji) jako sumę y = y1 + y2. Korzystając ze wzoru na sumę sinusów
14. Definicja masz w fizyce. Sily bezwladnosci 28. Prawo Hooke a. Ruch harm. Gł. char. ruchu drgając.
otrzymujemy: y = 2Acos(j�/2)sin(kx  w�t  j�/2) , co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie
2Acos(j�/2). Dla j� = 0 fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają), ciała od początku układu i która
Definicja o charakterze operacyjnym (recepta na postępowanie). Nieznaną masę m porównujemy Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia a dla j� = 180 wygaszają.
Dudnienia - modulacja amplitudy
ze wzorcem masy 1 kg. Umieszczamy pomiędzy nimi sprężynę i zwalniamy ją. Masy, które jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli
Mówiliśmy już o superpozycji zfal, interferencji w przestrzeni (dodawanie fal o tej samej częstości).
początkowo spoczywały polecą w przeciwnych kierunkach z prędkościami v0 i v. obierzemy oś x wzdłuż pr esunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem F =  kx gdzie x
Rozpatrzmy teraz przypadek interferencji w czasie. Pojawia się ona gdy przez dany punkt w
jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez
przestrzeni przebiegają w tym samym kierunku fale o trochę różnych częstotliwościach.
rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To
v0 v
Wychylenie wywołane przez jedną falę ma postać: y1 = Acos2p�v1t, y2 = Acos2p�v2t, więc: y = y1 + y2 =
m0 m jest prawo Hooke'a.
A(cos2p�v1t + cos2p�v2t). Ze wzoru na sumę ak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tcosinusów:
położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu
�� v1 -� v2 ł� ć� v1 +� v2 ��
v0
m �� m0
Nieznaną masę m definiujemy jako �� ��
y =� 2p� tś� cos 2p� . Drgania wypadkowe można więc uważać za
v będzie dane równaniem
ę�2Acos
19. Zderzenia sprężyste: definicja i opis analityczny �� ��t
2 2
�� �� Ł� ł�
x = Acosw�t
Jedyne prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż nie zawsze) to zderzenia między atomami, jądrami
Sprawdz
my czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założeniami. Z drugiej
drgania o częstości: vsrednie = (v1 + v2)/2, która jest średnią dwóch fal, i o amplitudzie (wyrażenie w
i cząsteczkami elementarnymi. Zderzenia między ciałami są zawsze w pewnym stopniu
Uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady dynamiki w
zasady dynamiki Newtona wynika, że
niesprężyste chociaż czasami możemy je traktować w przybliżeniuna każde ciało działa siła wprost nawiasie kwadratowym) zmieniającej się w czasie z częstością : vamp = (v1  v2)/2. Jeżeli
układach nieinercjalnych.W takim układzie uwzględniamy, że jako sprężyste. Kiedy dwa ciała
częstotliwości v1 i v2 są bliskie siebie to  kx = ma czyli  kx = m(dv/dt)
amplituda zmienia się powoli. Mówimy, że mamy do
po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste. Rozpatrzmy teraz
proporcjonalna do masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Wreszcie  kx = m(d2x/dt2)
czynienia z modulacją amplitudy Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu.
AM (stosowana np. w odbiornikach radiowych). Dla fal
zderzenie sprężyste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobraz
my sobie dwie gładkie nie wirujące
Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę,
dz
więkowych AM przejawia się jako zmiana głośności nazywana dudnieniami.
kule, poruszające się wzdłuż linii łączącej ich środki. Masy kul m1 i m2, prędkości przed zderzeniem
10. v2 a po zderzeniu u1 i u2 tak jak na rysunku poniżej. że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji
v1 i Prawa Keplera. Wyznaczanie masy planet
ale ze znakiem " ". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acosw�t i sprawdzamy dx/dt = v = 
I prawo: każda planeta krąży po orbicie eliptycznej a Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Aw�sinw�t . d2x/dt2 = a =  Aw�2cosw�t Podstawiamy ten wynik ( kAcosw�t) = m( Aw�2cosw�t) i
II prawo: Promień wodzący poprowadzony ze środka Słońca do środka planety zakreśla równe pola 1. otrzymujemy w�2 = k/m
m2
powierzchni w równych odstępach czasu.v2 m2 u2 2.
m1 v1 m1 u1
Widzimy, że x = Acosw�t jest rozwiązaniem równania ale tylko gdy .
III prawo: Sześciany wielkich pół osi orbit jakichkolwiek dwóch planet mają się tak do siebie jak 3. Ruch ciała rzuconego pod kątem w� =� k / m
kwadraty ich okresów obiegu. 4. Podstawowe wielkości kinematyczne ruchu obrotowego
Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asinw�t jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia
Z zasady zachowania pędu otrzymujemy
5. I,II,III zasada Newtona
warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
3 6. II zasada Newtona. Tarcie
R1 T12
Ponieważ zderzenie jest sprężyste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z definicją).
7. IIINajogólniejszym rozwiązaniem jest
zasada Newtona. Siły kontaktowe
Dla orbit kołowych =�
Otrzymujemy więc 3 x = Asin(w�t + j�)
8. Ciężar powszechny. Cowendish
R2 T22
gdzie j� jest dowolną stałą azową. Stałe A i j� są określone przez warunki początkowe.
2 2 2 2 9. Pole grawitacyjne wewnątrz fkuli
m1v1 m2v m1u1 m2 2
2
+� =� +� ię potrafił dowieść, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie
Newton rozwijając swoją teoru
Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
2 2 2 2
10. Prawa Keplera. Masa planet
proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z
11. Wahadło proste
Przepisujemy równanie (10.5) w postaci
�� dla wychylenia A
R3 T12 12.
m1(v1 - u1) = m2(u2 -1
v1)
ognisk oraz, że =� . Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dynamiki.
3 13. Siła Coriolisa
a równanie (10.6) w postaci
R2 T22
14. Def. masy. Siły bezwładności
�� dla prędkości w�A (występuje gdy x = 0)
2 2 2 2
m1 (v 1 -� u1 ) =� m 2 ( u 2 -� v 2 )
Przykładowo wyprowadz
my III prawo Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych.
15. Zasada zachowania pędu. Masa układu
Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca wyniku (przy założeniu v1 planety:ą� u2) 16. Praca wykonana przez siłę stałą/zmienną
Dzieląc równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w otrzymamy dla pierwszej ą� u1 i v2
2 3
v1 + u1 = v2 + u2 4p� R1 17. Energia kinetyczna, Tw. O pracy i energii
M =�
a po uporządkowaniu 18. Praca i energia: zasada zachowania energii mechanicznej
GT12
v1 - v2 = u2 - u1 19. Zderzenia sprężyste: def. i opis analityczny
a dla drugiej
Równanie to mówi nam, że w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się cząstek przed 20. Ruch postępowo obrotowy ciała sztywnego
zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu. 21.
2
4p� R3
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), 2
a chcemy znalez
ć u1 i u2. Wystarczą więc 22. Podstawowe wielkości dynamiczne i prawa ruchu obrotowego
M =�
dowolne dwa. Biorąc dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy 23. Wahadło fizyczne
GT22
24. Moment bezwładności. Tw. Steinera
ć� m -� m �� ć� 2 m ��
1 2 2
u 1 =� �� ��v1 +� �� 3 ��v 2 3 3
�� �� �� ��
Ł� m1 +� m 2 ł� Ł� m1 +� m 2 ł�
R1 R2 R1 T12 25. Prawo Pascala i Archimedesa
Porównując otrzymamy =� czyli =�
oraz 3 26. Zmiany ciśnienia wewnątrz nieruchomego płynu
T12 T22 R2 T22
27. Opis przepływu płynów
ć� 2m �� ć� m -� m ��
1 2 1
u =� �� ��v +� �� ��v
2 �� �� 1 �� �� 2
m +� m m +� m
Ł� 1 2 ł� Ł� 1 2 ł� 28. Prawo Hooke a. Ruch harmoniczny i drgający
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód można pominąć).
29. Wyprowadzenie wzoru na masę zred.
Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana.
30. Wpływ tłumienia na charakterystyki ruchu drgającego
31. Opis analityczny drgań wymuszonych. Rezonans
32. Transform. Wzajemna energii kin. i pot. W ruchu drgającym
33. Opis analityczny rozchodzenia się fal. Prędkość fal
34. Interferencja fal. Fale stojące
35. Interferencja fal
36. Opis analityczny zjawiska Dopplera.