Charakterystyki geometryczne figur płaskich 2

background image

Charakterystyki geometryczne
figur płaskich

dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Katedra Mechaniki Konstrukcji

background image

2

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Wielkości geometryczne charakteryzujące
przekrój pod względem wytrzymałościowym to:

pole przekroju (A)

, (ang. cross section),

momenty statyczne przekroju (S)

, (ang. first

moments of area),

momenty bezwładności przekroju (I )

, (ang.

second moments of area)

background image

3

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Pole przekroju

(figury

płaskiej) określa się
wzorami:

Jest to wielkość zawsze

dodatnia



S

dydz

dA

A

background image

4

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Momenty statyczne
przekroju

(figury

płaskiej) względem
dowolnej osi leżącej w
płaszczyźnie tego
przekroju określa się
wzorami:

Są to wielkości

addytywne

, o

wartościach

dodatnich

lub

ujemnych

y

z

,

A

A

S

zdA

S

ydA

background image

5

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Momenty statyczne

są potrzebne do obliczania

współrzędnych środków geometrycznych

(środków

ciężkości) przekrojów:

Wniosek:

moment statyczny względem dowolnej osi

centralnej (przechodzącej przez środek geometryczny
przekroju, np. y

c

, z

c

lub każda oś symetrii przekroju)

jest równy

zeru

.

y

z

y

z

,

A

A

ydA

zdA

S

S

e

e

A

A

A

A

background image

6

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

6

W przypadku

przekrojów złożonych

z prostych figur

geometrycznych, ze względu na addytywność momentów
statycznych, można zastosować

wzory uproszczone

(sumowanie zamiast całkowania):

Ponadto:

y

z

1

1

,

i n

i n

i

i

i

i

i

i

S

z A

S

y A

1

1

y

z

1

1

,

i n

i n

i

i

i

i

i

i

i n

i n

i

i

i

i

y A

z A

e

e

A

A

background image

7

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

background image

8

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Biegunowy moment
bezwładności przekroju
(I

0

)

(moment

bezwładności przekroju
względem punktu)
oblicza się ze wzoru:

2

0

A

I

dA

background image

9

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

9

Momenty bezwładności przekroju względem osi (I

y

, I

z

)

(momenty osiowe) są zdefiniowane przez poniższe
wzory:

Momenty bezwładności są wielkościami

addytywnymi

,

mającymi zawsze wartości

dodatnie

;

„addytywnymi”

, tzn. np. I

y

=I

y

1

+I

y

2

+...

Promieniem bezwładności

nazywa się wielkość

zdefiniowaną następująco:

2

2

y

z

,

A

A

I

z dA

I

y dA

y

z

y

z

,

I

I

i

i

A

A

background image

10

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

10

Odśrodkowy moment bezwładności przekroju (I

yz

)

względem układu osi yz (moment zboczenia, moment
dewiacji) wyraża się wzorem:

Momenty odśrodkowe są wielkościami

addytywnymi

,

przyjmującymi wartości

dodatnie

lub

ujemne

.

Układ osi yz, w którym

moment odśrodkowy równa się

zeru

nazywa się

układem osi głównych

; aby I

yz

=0

wystarczy, że jedna z osi jest osią symetrii przekroju,

Układ osi głównych o początku w środku

geometrycznym przekroju to

układ głównych centralnych

osi bezwładności

yz

A

I

yzdA

background image

11

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

W przypadku

równoległego przesunięcia

układu osi do

obliczania momentów bezwładności stosuje się

twierdzenie

Steinera

. Wyraża się ono wzorami:

c c

yz

y z

z y

I

I

Ae e

a dla momentów
odśrodkowych:

c

c

2

2

y

y

z

z

z

y

,

,

I

I

Ae

I

I

Ae

background image

12

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

12

Gdy występuje

obrót układu odniesienia

wokół

jego początku o kąt



background image

13

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

13

... wówczas słuszne są następujące zależności:

α

α

α α

2

2

y

y

z

yz

2

2

z

y

z

yz

y

z

y z

yz

cos

sin

sin 2

sin

cos

sin 2

cos 2

sin 2

2

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

background image

14

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Dla układu osi obróconych o kąt

względem osi

głównych y

g

, z

g

powyższe równania można też zapisać w

następującej formie:

g

g

g

g

α

g

g

g

g

α

g

g

α α

y

z

y

z

y

y

z

y

z

z

y

z

y z

cos 2

2

2

cos 2

2

2

sin 2

2

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

background image

15

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

15

Wniosek: przy obrocie układu odniesienia

zawsze

słuszne

są zależności:

Wzory 

można przedstawić

graficznie za

pomocą tzw.

koła Mohra

.

α

α

g

g

y

z

y

z

0

I

I

I

I

I

background image

16

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Koło

Mohra

pozwala odczytać
wartości
momentów I

y

, I

z

i

I

yz

dla

układu

obróconego

o

dowolny

kąt

względem układu
głównego,

albo

wartości

ekstre-

malne momentów

background image

17

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

17

Wniosek

: momenty bezwładności względem osi głównych

mają wartości

ekstremalne

g

g

2

y

z

y

z

2

y

yz

2

y

z

y

z

2

z

y

m

z

yz

0

y

m

a

in

ks

z

2

2

2

2

2

oraz: tg2

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Momenty
główne można
teraz wyrazić
wzorami, które
jednocześnie
określają
położenie osi
głównych

background image

18

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

18

Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:

prostokąt

c

c

3

z

y

3

3

y

z

,

2

3

,

12

12

h

bh

e

I

bh

hb

I

I

background image

19

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:

trójkąt

c

c

3

z

y

3

3

y

z

,

3

12

,

36

48

h

bh

e

I

bh

hb

I

I

background image

20

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:

koło

c

c

4

4

0

4

4

y

z

32

2

64

4

d

r

I

d

r

I

I

background image

21

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:

półkole

c

c

4

4

y

z

2

4

2

4

z

y

1

2

4

8

4

4

0,11

3

8

2

3

r

r

I

I

r

r

r

r

e

I

r

background image

22

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

background image

23

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

background image

24

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

background image

25

Charakterystyki geometryczne figur płaskich


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
charakterystyki geometryczne figur plaskich czesc I
charakterystyki geometryczne figur plaskich czesc II (1)
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Charakterystyka geometryczna figur płaskich
Podstawowe wzory i tablice geometria figur płaskich
Geometria Figur Plaskich
Podstawowe wzory i tablice geometria figur płaskich
Geometria mechaniczna figur plaskich i mas
Geometria analityczna i podstawowe własności figur płaskich
wzory figur płaskich
charaktrystyki geometryczne
Momenty bezwładności figur płaskich
01 Z Charakterystyki geometrycz Nieznany (2)

więcej podobnych podstron