Charakterystyki geometryczne
figur płaskich
dr hab. inż. Tadeusz Chyży
Katedra Mechaniki Konstrukcji
2
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Wielkości geometryczne charakteryzujące
przekrój pod względem wytrzymałościowym to:
pole przekroju (A)
, (ang. cross section),
momenty statyczne przekroju (S)
, (ang. first
moments of area),
momenty bezwładności przekroju (I )
, (ang.
second moments of area)
3
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Pole przekroju
(figury
płaskiej) określa się
wzorami:
Jest to wielkość zawsze
dodatnia
S
dydz
dA
A
4
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Momenty statyczne
przekroju
(figury
płaskiej) względem
dowolnej osi leżącej w
płaszczyźnie tego
przekroju określa się
wzorami:
Są to wielkości
addytywne
, o
wartościach
dodatnich
lub
ujemnych
y
z
,
A
A
S
zdA
S
ydA
5
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Momenty statyczne
są potrzebne do obliczania
współrzędnych środków geometrycznych
(środków
ciężkości) przekrojów:
Wniosek:
moment statyczny względem dowolnej osi
centralnej (przechodzącej przez środek geometryczny
przekroju, np. y
c
, z
c
lub każda oś symetrii przekroju)
jest równy
zeru
.
y
z
y
z
,
A
A
ydA
zdA
S
S
e
e
A
A
A
A
6
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
6
W przypadku
przekrojów złożonych
z prostych figur
geometrycznych, ze względu na addytywność momentów
statycznych, można zastosować
wzory uproszczone
(sumowanie zamiast całkowania):
Ponadto:
y
z
1
1
,
i n
i n
i
i
i
i
i
i
S
z A
S
y A
1
1
y
z
1
1
,
i n
i n
i
i
i
i
i
i
i n
i n
i
i
i
i
y A
z A
e
e
A
A
7
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
8
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Biegunowy moment
bezwładności przekroju
(I
0
)
(moment
bezwładności przekroju
względem punktu)
oblicza się ze wzoru:
2
0
A
I
dA
9
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
9
Momenty bezwładności przekroju względem osi (I
y
, I
z
)
(momenty osiowe) są zdefiniowane przez poniższe
wzory:
Momenty bezwładności są wielkościami
addytywnymi
,
mającymi zawsze wartości
dodatnie
;
„addytywnymi”
, tzn. np. I
y
=I
y
1
+I
y
2
+...
Promieniem bezwładności
nazywa się wielkość
zdefiniowaną następująco:
2
2
y
z
,
A
A
I
z dA
I
y dA
y
z
y
z
,
I
I
i
i
A
A
10
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
10
Odśrodkowy moment bezwładności przekroju (I
yz
)
względem układu osi yz (moment zboczenia, moment
dewiacji) wyraża się wzorem:
Momenty odśrodkowe są wielkościami
addytywnymi
,
przyjmującymi wartości
dodatnie
lub
ujemne
.
Układ osi yz, w którym
moment odśrodkowy równa się
zeru
nazywa się
układem osi głównych
; aby I
yz
=0
wystarczy, że jedna z osi jest osią symetrii przekroju,
Układ osi głównych o początku w środku
geometrycznym przekroju to
układ głównych centralnych
osi bezwładności
yz
A
I
yzdA
11
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
W przypadku
równoległego przesunięcia
układu osi do
obliczania momentów bezwładności stosuje się
twierdzenie
Steinera
. Wyraża się ono wzorami:
c c
yz
y z
z y
I
I
Ae e
a dla momentów
odśrodkowych:
c
c
2
2
y
y
z
z
z
y
,
,
I
I
Ae
I
I
Ae
12
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
12
Gdy występuje
obrót układu odniesienia
wokół
jego początku o kąt
13
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
13
... wówczas słuszne są następujące zależności:
α
α
α α
2
2
y
y
z
yz
2
2
z
y
z
yz
y
z
y z
yz
cos
sin
sin 2
sin
cos
sin 2
cos 2
sin 2
2
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
14
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Dla układu osi obróconych o kąt
względem osi
głównych y
g
, z
g
powyższe równania można też zapisać w
następującej formie:
g
g
g
g
α
g
g
g
g
α
g
g
α α
y
z
y
z
y
y
z
y
z
z
y
z
y z
cos 2
2
2
cos 2
2
2
sin 2
2
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
15
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
15
Wniosek: przy obrocie układu odniesienia
zawsze
słuszne
są zależności:
Wzory
można przedstawić
graficznie za
pomocą tzw.
koła Mohra
.
α
α
g
g
y
z
y
z
0
I
I
I
I
I
16
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Koło
Mohra
pozwala odczytać
wartości
momentów I
y
, I
z
i
I
yz
dla
układu
obróconego
o
dowolny
kąt
względem układu
głównego,
albo
wartości
ekstre-
malne momentów
17
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
17
Wniosek
: momenty bezwładności względem osi głównych
mają wartości
ekstremalne
g
g
2
y
z
y
z
2
y
yz
2
y
z
y
z
2
z
y
m
z
yz
0
y
m
a
in
ks
z
2
2
2
2
2
oraz: tg2
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Momenty
główne można
teraz wyrazić
wzorami, które
jednocześnie
określają
położenie osi
głównych
18
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
18
Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:
prostokąt
c
c
3
z
y
3
3
y
z
,
2
3
,
12
12
h
bh
e
I
bh
hb
I
I
19
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:
trójkąt
c
c
3
z
y
3
3
y
z
,
3
12
,
36
48
h
bh
e
I
bh
hb
I
I
20
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:
koło
c
c
4
4
0
4
4
y
z
32
2
64
4
d
r
I
d
r
I
I
21
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Wartości charakterystyk
geometrycznych dla
najprostszych
przekrojów:
półkole
c
c
4
4
y
z
2
4
2
4
z
y
1
2
4
8
4
4
0,11
3
8
2
3
r
r
I
I
r
r
r
r
e
I
r
22
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
23
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
24
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
25
Charakterystyki geometryczne figur płaskich