Relatywistyczne dodawanie prędkości

Wojciech Gruhn

W klasycznej mechanice newtonowskiej jeżeli dwa ciała poruszają się naprzeciw siebie,

wzdłuż jednej prostej z prędkościami v

1

i v

2

to zbliżają się do siebie z prędkością v będąca

sumą tych prędkości, to znaczy

2

1

v

v

v

+

=

(1)

takie dodawanie prędkości oznacza, że jeżeli v

1

= c i v

2

= c, gdzie c – prędkość światła w

próżni, to wypadkowa prędkość v = 2c co jest sprzeczne z postulatem Einsteina mówiącym,

ż

e prędkość światła c, jest największą prędkością występującą w przyrodzie. W mechanice

relatywistycznej dodawanie prędkości dwu ciał poruszających się naprzeciw siebie, wzdłuż

jednej prostej z prędkościami v

1

i v

2

wyraża się wzorem

2

2

1

2

1

1

c

v

v

v

v

v

⋅

+

+

=

(2)

Wyliczona zostanie prędkość v dla różnych prędkości v

1

i v

2

1.

c

v

4

1

1

=

i

c

v

4

1

2

=

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

⋅

=

=

⋅

=

=

+

=

+

=

⋅

+

+

=

476

,

0

17

8

17

16

2

1

16

17

2

1

16

1

1

2

1

16

1

1

2

1

4

1

4

1

1

4

1

4

1

2

2

2

(3)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

c

v

v

v

⋅

=

=

+

=

+

=

5

,

0

2

1

4

1

4

1

2

1

(4)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (3) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

⋅

<

⋅

=

5

,

0

476

,

0

(5)

jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (4) na nierelatywistyczne dodawanie

prędkości.

2.

c

v

2

1

1

=

i

c

v

4

1

2

=

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

⋅

=

=

⋅

=

=

+

=

+

=

⋅

+

+

=

666

,

0

3

2

9

8

4

3

8

9

4

3

8

1

1

4

3

8

1

1

4

3

4

1

2

1

1

4

1

2

1

2

2

2

(6)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

c

v

v

v

⋅

=

=

+

=

+

=

75

,

0

4

3

4

1

2

1

2

1

(7)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (6) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

⋅

<

⋅

=

75

,

0

666

,

0

(8)

jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (7) na nierelatywistyczne dodawanie

prędkości.

3.

c

v

2

1

1

=

i

c

v

2

1

2

=

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

⋅

=

⋅

=

=

+

=

+

=

⋅

+

+

=

8

,

0

5

4

4

5

4

1

1

4

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

2

(9)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

v

v

v

=

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

(10)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (9) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

<

⋅

=

8

,

0

(11)

jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (10) na nierelatywistyczne

dodawanie prędkości.

4.

c

v

⋅

=

9

,

0

1

i

c

v

⋅

=

9

,

0

2

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

⋅

=

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

+

+

=

99

,

0

81

,

1

8

,

1

81

,

0

1

8

,

1

81

,

0

1

8

,

1

9

,

0

9

,

0

1

9

,

0

9

,

0

2

2

2

(12)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

v

v

v

⋅

=

⋅

+

⋅

=

+

=

8

,

1

9

,

0

9

,

0

2

1

(13)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (12) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

⋅

<

⋅

=

8

,

1

99

,

0

(14)

jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (13) na nierelatywistyczne

dodawanie prędkości.

5.

c

v

=

1

i

c

v

4

1

2

=

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

=

=

+

=

+

=

⋅

+

+

=

4

5

4

5

4

1

1

4

5

4

1

1

4

5

4

1

1

4

1

2

2

2

(15)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

v

v

v

⋅

=

+

=

+

=

25

,

1

4

1

2

1

(16)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (15) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

⋅

<

=

25

,

1

(17)

jest równa prędkości

c i jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (16) na

nierelatywistyczne dodawanie prędkości.

6.

c

v

=

1

i

c

v

2

1

2

=

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

=

=

+

=

+

=

⋅

+

+

=

2

3

2

3

2

1

1

2

3

2

1

1

2

3

2

1

1

2

1

2

2

2

(18)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

v

v

v

⋅

=

+

=

+

=

5

,

1

2

1

2

1

(19)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (18) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

⋅

<

=

5

,

1

(20)

jest równa prędkości

c i jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (19) na

nierelatywistyczne dodawanie prędkości.

7.

c

v

=

1

i

c

v

4

3

2

=

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

=

=

+

=

+

=

⋅

+

+

=

4

7

4

7

4

3

1

4

7

4

3

1

4

7

4

3

1

4

3

2

2

2

(21)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

v

v

v

⋅

=

+

=

+

=

75

,

1

4

3

2

1

(22)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (21) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

⋅

<

=

75

,

1

(23)

jest równa prędkości

c i jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (22) na

nierelatywistyczne dodawanie prędkości.

8.

c

v

=

1

i

c

v

=

2

. Podstawiając do wzoru (2) otrzymuje się

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

v

=

=

+

=

+

=

⋅

+

+

=

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

2

(24)

Dodawanie nierelatywistyczne daje

c

c

c

v

v

v

2

2

1

=

+

=

+

=

(25)

Wypadkowa prędkość otrzymana ze wzoru (24) na relatywistyczne dodawanie

prędkości

c

c

v

2

<

=

(26)

jest równa prędkości c i jest mniejsza od prędkości otrzymanej ze wzoru (26) na

nierelatywistyczne dodawanie prędkości.

Wnioski: Relatywistyczne dodawanie prędkości zawsze daje prędkość mniejszą, bądź równą

prędkości c. Począwszy od przypadku 5. gdy jedna z prędkości v

1

jest równa c otrzymuje się

wypadkową prędkość v = c.

Uwaga: Cząstka o prędkości v = c musi być fotonem, ponieważ tylko foton może osiągnąć

prędkość światła c.

Wzór na relatywistyczne dodawanie prędkości jest zgodny z doświadczeniami Fizeau

dotyczącymi prędkości światła w poruszających się cieczach i aberracji położenia gwiazd

związana z ruchem orbitalnym Ziemi.

Literatura: J.D. Jackson „Elektrodynamika klasyczna”, PWN Warszawa 1982.