Uczelnia Łazarskiego 

Sylabus 

 

1. Nazwa przedmiotu 

 

Matematyka I 

2. Kod przedmiotu 

 

 

3. Język wykładowy 

Język polski 

4. Status przedmiotu  

      

  podstawowy 

 

do wyboru 

  języki 

   

 

 

   

  kierunkowy 

 

specjalistyczny    Inne 

 

5. Cel i efekty kształcenia 

 

5.1. Cele kształcenia 
 
Głównym  celem  przedmiotu  jest 

zdobycie  umiejętności  posługiwania  się 

metodami  matematycznymi  w  ekonomii,  zarządzaniu  oraz  finansach  i 
rachunkowości.  Ważnym  celem  jest  też  umiejętność  stosowania 
podstawowych metod matematyki w praktyce. 
 

5.2. Efekty kształcenia 
Kierunek EKONOMIA 

Wiedza: 

•

 

Ma podstawową wiedzę dotyczącą  stosowania 

metod macierzowych (K_W01, 

K_W04, K_W05)

. 

•

 

Zna metody 

rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych  w 

opisie zjawisk ekonomicznych (K_W01, K_W04, K_W05)

. 

•

 

Wie na czym polegają podstawy 

rachunku całkowego i ich zastosowania w 

ekonomii (K_W01, K_W04, K_W05)

. 

Umiejętności: 

•

 

Potrafi stosować 

podstawowe symbole matematyczne (K_U01, K_U03, 

K_U04)

. 

•

 

Potrafi

 wyznaczać rozwiązania układów równań liniowych (K_U01, K_U03, 

K_U04)

. 

•

 

Potrafi wyznaczyć granice ciągów i funkcji 

(K_U01, K_U03, K_U04)

. 

•

 

Potrafi

 stosować 

metody 

rachunku różniczkowego do badania funkcji 

(K_U01, K_U03, K_U04)

. 

•

 

Potrafi obliczać i stosować

 proste całki oznaczone i nieoznaczone (K_U01, 

K_U03, K_U04)

. 

 

Kompetencje społeczne:

 

•

 

Efektywnie korzysta z literatury 

(K_K02, K_K07, K_K08)

. 

•

 

Doskonali nabytą wiedzę 

(K_K02, K_K07, K_K08)

. 

 
Kierunek ZARZĄDZANIE 

Wiedza: 

•

 

Ma podstawową wiedzę dotyczącą  stosowania 

metod macierzowych (K_W02, 

K_W013, K_W014)

. 

•

 

Zna metody 

rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych  w 

opisie zjawisk ekonomicznych (K_W02, K_W013, K_W014)

. 

•

 

Wie na czym polegają podstawy 

rachunku całkowego i ich zastosowania w 

ekonomii (K_W02, K_W013, K_W014)

. 

Umiejętności: 

•

 

Potrafi stosować 

podstawowe symbole matematyczne (K_U06, K_U07, 

K_U08)

. 

•

 

Potrafi

 wyznaczać rozwiązania układów równań liniowych (K_U06, K_U07, 

K_U08)

. 

•

 

Potrafi wyznaczyć granice ciągów i funkcji 

(K_U06, K_U07, K_U08)

. 

•

 

Potrafi

 stosować 

metody 

rachunku różniczkowego do badania funkcji 

(K_U06, K_U07, K_U08)

. 

•

 

Potrafi obliczać i stosować

 proste całki oznaczone i nieoznaczone (K_U06, 

K_U07, K_U08)

. 

 

Kompetencje społeczne:

 

•

 

Efektywnie korzysta z literatury 

(K_K05, K_K09, K_K011)

. 

•

 

Doskonali nabytą wiedzę 

(K_K05, K_K09, K_K011)

. 

 
Kierunek FINANSE i RACHUNKOWOŚĆ 

Wiedza: 

•

 

Ma podstawową wiedzę dotyczącą  stosowania 

metod macierzowych (K_W01, 

K_W03, K_W05)

. 

•

 

Zna metody 

rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych  w 

opisie zjawisk ekonomicznych (K_W01, K_W03, K_W05)

. 

•

 

Wie na czym polegają podstawy 

rachunku całkowego i ich zastosowania w 

ekonomii (K_W01, K_W03, K_W05)

. 

Umiejętności: 

•

 

Potrafi stosować 

podstawowe symbole matematyczne (K_U04, K_U05, 

K_U06)

. 

•

 

Potrafi

 wyznaczać rozwiązania układów równań liniowych (K_U04, K_U05, 

K_U06)

. 

•

 

Potrafi wyznaczyć granice ciągów i funkcji 

(K_U04, K_U05, K_U06)

. 

•

 

Potrafi

 stosować 

metody 

rachunku różniczkowego do badania funkcji 

(K_U04, K_U05, K_U06).

 

•

 

Potrafi obliczać i stosować

 proste całki oznaczone i nieoznaczone (K_U04, 

K_U05, K_U06)

. 

 

Kompetencje społeczne:

 

•

 

Efektywnie korzysta z literatury 

(K_K02, K_K03, K_K04)

. 

•

 

Doskonali nabytą wiedzę 

(K_K02, K_K03, K_K04)

. 

 

6.Koordynator 
przedmiotu  

Wydział Ekonomii i Zarządzania, Katedra Metod Ilościowych,  
Studia stacjonarne: 

dr  Lucjan  Kowalski, 

lucjan.kowalski@lazarski.pl

  , 

lutek@rezolwenta.eu.org

, 

lutek@mimuw.edu.pl

  

Studia niestacjonarne: 

dr  Lucjan  Kowalski, 

lucjan.kowalski@lazarski.pl

  , 

lutek@rezolwenta.eu.org

, 

lutek@mimuw.edu.pl

 

7.Prowadzący zajęcia  

dr Lucjan Kowalski, 

lucjan.kowalski@lazarski.edu.pl

 , 

lutek@rezolwenta.eu.org

, 

lutek@mimuw.edu.pl

 

dr inż. PAWEŁ NAJECHALSKI, 

pawel.najechalski@lazarski.pl 

8.Tryb kształcenia  

tryb stacjonarny 

30 godz. – wykład, 

30 godz. - ćwiczenia 

tryb niestacjonarny 

20 godz. - wykład, 

20 godz. – ćwiczenia 

20 godz. – 

warsztaty internetowe (

e-learning) 

9. Rok, semestr, kierunek 

Rok 

Semestr 

Kierunek 

 

 

 

10.Treści przedmiotu 

 

  

Podczas zajęć omówiona zostanie następująca tematyka: 

Symbole  matematyczne,  algebra  macierzy,  układy  równań  liniowych,  ciągi 
liczbowe,  granica  funkcji,  pochodna,  zastosowania  pochodnej,  całka 
nieoznaczona, całka oznaczona, równania różniczkowe, pochodne cząstkowe, 
ekstremum funkcji dwóch zmiennych. 

 

11.Formy zajęć, liczba godzin kontaktowych, liczba godzin pracy własnej studenta

 

L.P. 

11.1. Data 

prowadzonych 

zajęć 

11.2. Tematyka zajęć  

11.3. 

Ilość 

godzin 

Wykład – studia stacjonarne 

1 

 

Podstawowe symbole matematyczne. Algebra zbiorów. 
Pojęcie odwzorowania. Rodzaje średnich.  

2,5 

2 

 

Macierze i wyznaczniki. Algebra macierzy.  

2,5

 

3 

 

Macierz  odwrotna.  Rząd  macierzy.  Układy  równań 
liniowych.  

2,5

 

4 

 

Rozwiązywanie  układów  równań  liniowych:  twierdzenie 
Cramera,  metoda  macierzowa,  metoda  eliminacji  Gaussa. 
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.  

2,5

 

5 

 

Ciągi liczbowe. Liczba e. Ekonomiczne zastosowanie ciągów. 
Szeregi liczbowe: szereg geometryczny i harmoniczny.  

2,5

 

6 

 

Funkcje rzeczywiste. Granica i ciągłość funkcji. Asymptoty.  

2,5

 

7 

 

Pochodna funkcji. Badanie funkcji.  

2,5

 

8 

 

Ekonomiczne 

zastosowania 

pochodnych 

(elastyczność 

funkcji, ekstrema, badanie funkcji stosowanych w ekonomii - 
funkcje Törnquista, krzywa logistyczna).  

2,5

 

9 

 

Funkcje wielu zmiennych. Warstwice. Pochodne cząstkowe.  

Ekstremum 

funkcji 

wielu 

zmiennych. 

Ekstremum 

warunkowe.  

2,5

 

10 

 

Całka nieoznaczona,   

2,5

 

11 

 

Całka oznaczona.  

Całka niewłaściwa. Ekonomiczne zastosowanie całek.  

2,5

 

12 

 

Wprowadzenie do równań różniczkowych.  

2,5

 

Ćwiczenia – studia stacjonarne 

1 

 

Podstawowe symbole matematyczne. Algebra zbiorów. 
Pojęcie odwzorowania. Rodzaje średnich.  

2,5 

2 

 

Macierze i wyznaczniki. Algebra macierzy.  

2,5

 

3 

 

Macierz  odwrotna.  Rząd  macierzy.  Układy  równań 
liniowych.  

2,5

 

4 

 

Rozwiązywanie  układów  równań  liniowych:  twierdzenie 
Cramera,  metoda  macierzowa,  metoda  eliminacji  Gaussa. 

2,5

 

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.  

5 

 

Praca kontrolna. 

Ciągi liczbowe. Liczba e. Ekonomiczne zastosowanie ciągów.  

2,5

 

6 

 

Szeregi liczbowe: szereg geometryczny i harmoniczny.  

Funkcje rzeczywiste. Granica i ciągłość funkcji. Asymptoty.  

2,5

 

7 

 

Pochodna funkcji. Badanie funkcji 

2,5

 

8 

 

Ekonomiczne 

zastosowania 

pochodnych 

(elastyczność 

funkcji, ekstrema, badanie funkcji stosowanych w ekonomii - 
funkcje Törnquista, krzywa logistyczna).  

2,5

 

9 

 

Funkcje wielu zmiennych. Warstwice. Pochodne cząstkowe.  

Ekstremum 

funkcji 

wielu 

zmiennych. 

Ekstremum 

warunkowe.  

2,5

 

10 

 

Całka nieoznaczona,   

2,5

 

11 

 

Całka oznaczona.  

Całka niewłaściwa. Ekonomiczne zastosowanie całek.  

2,5

 

12 

 

Praca kontrolna. 

2,5

 

Wykład – studia niestacjonarne 

1 

 

Podstawowe symbole matematyczne. Algebra zbiorów. 
Pojęcie odwzorowania. Rodzaje średnich. Macierze i 
wyznaczniki. Algebra macierzy.  

2,5

 

2 

 

Macierz  odwrotna.  Rząd  macierzy.  Układy  równań 
liniowych.  Rozwiązywanie  układów  równań  liniowych: 
twierdzenie 

Cramera, 

metoda 

macierzowa, 

metoda 

eliminacji Gaussa. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.  

2,5

 

3 

 

Ciągi liczbowe. Liczba e. Ekonomiczne zastosowanie ciągów. 
Szeregi liczbowe: szereg geometryczny i harmoniczny.  

2,5

 

4 

 

Funkcje rzeczywiste. Granica i ciągłość funkcji. Asymptoty. 
Pochodna funkcji. Badanie funkcji.  

2,5

 

5 

 

Ekonomiczne zastosowania pochodnych (elastyczność 
funkcji, ekstrema, badanie funkcji stosowanych w ekonomii - 
funkcje Törnquista, krzywa logistyczna).  

2,5

 

6 

 

Funkcje wielu zmiennych. Warstwice. Pochodne cząstkowe.  

Ekstremum funkcji wielu zmiennych. Ekstremum 
warunkowe.  

2,5

 

7 

 

Całka nieoznaczona,  Całka oznaczona.  

2,5

 

8 

 

Całka niewłaściwa. Ekonomiczne zastosowanie całek.  

Wprowadzenie do równań różniczkowych.  

2,5

 

Ćwiczenia – studia niestacjonarne 

1 

 

Algebra zbiorów. Macierze i wyznaczniki. Algebra macierzy. 

2,5

 

2 

 

Macierz  odwrotna.  Rząd  macierzy.  Układy  równań 
liniowych.  Rozwiązywanie  układów  równań  liniowych: 
metoda 

eliminacji 

Gaussa. 

Twierdzenie 

Kroneckera-

2,5

 

Capelliego.  

3 

 

Ciągi liczbowe. Liczba e. Ekonomiczne zastosowanie ciągów. 
Granica i ciągłość funkcji. Asymptoty.  

2,5

 

4 

 

Praca kontrolna. 

Pochodna funkcji. Badanie funkcji.  

2,5

 

5 

 

Ekonomiczne 

zastosowania 

pochodnych 

(elastyczność 

funkcji, ekstrema, badanie funkcji stosowanych w ekonomii - 
funkcje Törnquista, krzywa logistyczna).  

2,5

 

6 

 

Pochodne cząstkowe.  

Ekstremum funkcji wielu zmiennych.  

2,5

 

7 

 

Całka nieoznaczona,   

Całka oznaczona.  

Całka niewłaściwa. Ekonomiczne zastosowanie całek.  

2,5

 

8 

 

Rozwiązywanie najprostszych równań różniczkowych.  

Praca kontrolna. 

2,5

 

warsztaty internetowe (

e-learning) – studia niestacjonarne 

1 

 

Obliczenia w Excelu.  

Macierze i wyznaczniki. Algebra macierzy. 

2,5

 

2 

 

Obliczenia w Excelu.  

Macierz odwrotna.  

Rozwiązywanie układów równań liniowych: twierdzenie 
Cramera, metoda macierzowa, 

2,5

 

3 

 

Obliczenia w Excelu.  

Graficzna  prezentacja  ciągów  liczbowych.  Liczba  e. 
Ekonomiczne zastosowanie ciągów. 

2,5

 

4 

 

Obliczenia w Excelu.  

Wykresy funkcji rzeczywistych. Asymptoty. Badanie funkcji 

2,5

 

5 

 

Obliczenia w Excelu.  

Wykresy funkcji stosowanych w ekonomii - funkcje 
Törnquista, krzywa logistyczna). 

2,5

 

6 

 

Ekstremum funkcji wielu zmiennych. 

2,5

 

7 

 

Całka oznaczona.  

Ekonomiczne zastosowanie całek.  

2,5

 

8 

 

Rozwiązywanie najprostszych równań różniczkowych.  

2,5

 

 

Praca własna 

Tematy / zagadnienia realizowane w ramach pracy własnej studenta podczas konwersatoriów lub ćwiczeń  

1.

 

Rodzaje średnich. 

2.

 

Ekonomiczne zastosowania ciągów. 

3.

 

Szereg geometryczny, szereg harmoniczny. 

4.

 

Funkcje Törnquista, krzywa logistyczna. 

5.

 

Całka niewłaściwa. 

6.

 

Równania różniczkowe liniowe 1 rzędu

. 

 

12.Punkty ECTS  

 

13.Wymagania wstępne  

Nie dotyczy  

14.Literatura podstawowa 

•

 

Gawinecki J., Matematyka dla ekonomistów, 

WSHiP, Warszawa 2010, 

 

15. Literatura uzupełniająca 

•

 

A. 

Ostoja-Ostaszewski, 

„Matematyka 

w 

ekonomii.  Modele  i  metody”,  t.  I  i  II,  PWN, 
Warszawa 1996, 

•

 

R.  Kozarzewski,  W.  Matuszewski,  J.  Zacharski 

„Matematyka  dla  ekonomistów”,  cz.I  i  II,  wyd. 
WSE-I, 2000 

•

 

Kowalski  L.,  Elementy  algebry  liniowej  z 

geometrią analityczną, Warszawa 2003, str. 51-
99. 
 

16. Metody i kryteria oceniania  
 

Efekty  kształcenia weryfikowane  są  poprzez 2  kolokwia 
na  ćwiczeniach,  dwa  testy  na  wykładzie,  aktywność  na 
zajęciach  oraz  dwa  sprawdziany  na  warsztatach 
internetowych 

(studenci 

stacjonarni-dodatkowe 

zadania). 

 

17. Warunki zaliczania  
 

•

 

Test końcowy – 30% oceny  

•

 

Test połówkowy – 30 % oceny  

•

 

Prace kontrolne  – 30% oceny  

•

 

Sprawdziany na warsztatach internetowych 

(stacjonarni-dodatkowe zadania) – 5% oceny  

•

 

Aktywność na zajęciach – 5% oceny 

Zaliczenie od 60%, każde dalsze 10% pół oceny wyżej 

18. Specjalizacje 

 

19. Certyfikat, dyplom 

 

20. Inne wersje przedmiotu 

 

 

UWAGA!  

Pola zaznaczone kolorem żółtym wypełnia Pełnomocnik Dziekana ds. programowych!