KILKA ZADA ´
N O SZEREGACH
1. Zbada´c zbie˙zno´s´c i zbie˙zno´s´c bezwzgle
,
dna
,
szeregu
P
∞
n=1
a
n
, je´sli a
n
=
a.
(n!)
2
(2n)!
;
a
,
. (−1)
n
n+1
(n+2)
√
n
;
c.
√
n + 1 −
√
n ;
´
c.
2
n
·n!
n
n
;
d. (−1)
n(n+1)/2
√
n + 1 −
√
n
;
e.
3
n
·n!
n
n
e
,
.
1
(3n−2)(3n+1)
;
f.
1
n
√
n+1
;
g.
1
1000n+1
;
h.
1
√
(2n−1)(2n+1)
;
i.
(n!)
2
2
n
;
j.
4·7·10·...·(4+3n)
2·6·10·...·(2+4n)
;
k.
n
2
(2+
1
n
)
n
;
l.
n
5
2
n
+3
n
;
l.
n−1
n+1
n(n−1)
;
m.
n
3
(
√
2+(−1)
n
)
n
3
n
;
n.
√
n+a −
4
√
n
2
+n+b , a, b ∈ R;
´
n.
((n+1)!)
n
2!·4!·6!·...·(2n)!
;
o.
1·3·5·...·(2n−1)
2·4·6·...·(2n)
k
, k ∈ N ;
´
o.
(−1)
n
√
n+(−1)
n
;
p.
(−1)
n
n
√
n
;
r.
(−1)
n
n+(−1)
n
;
s.
n
√
a − 1 , a > 0 ;
´s.
n
√
n − 1 ;
t.
n
√
n − 1
2
;
u.
n
√
n − 1
n
;
w.
x
n
(1+x)(1+x
2
)(1+x
3
)...(1+x
n
)
, x 6= −1;
x. e−(1+1/n)
n
;
y. n
k
x
n
, x ∈ R , k ∈ N ;
z.
n!·e
n
n
n+p
, p ∈ N ;
˙z
∗
(−1)
bn
√
2c 1
n
.
2. Obliczy´c sume
,
szeregu
P
∞
n=1
a
n
, je´sli a
n
=
a.
2
n
x
2
n
1 + x
2
n
;
b.
x
2
n−1
1 − x
2
n
, x 6= ±1 ;
c. nq
n
, |q| < 1
d. n
2
q
n
, |q| < 1 ;
e.
1
n(n+1)(n+2)
;
f.
1
n(n+3)(n+6)
;
g.
1
n(n+1)(n+2)(n+3)
;
h.
1
n(n+1)(n+3)(n+4)
;
i.
1
√
n(n+1) ·(
√
n+
√
n+1)
;
j.
n
n
4
+n
2
+1
;
k. (−1)
n (2n+1)
3
(2n+1)
4
+4
=
1
3
1
4
+4
−
3
3
3
4
+4
+
5
3
5
4
+4
−
7
3
7
4
+4
+ · · · .
3. Obliczy´c sume
,
szeregu
∞
X
n=4
n − 1
n!
.
4. Obliczy´c sume
,
szeregu
∞
X
n=2
∞
X
n=2
1
k
n
!
.
5.
X
p,q≥2
1
p
q
− 1
, tu ka˙zda liczba p
q
wyste
,
puje jeden raz nawet wtedy, gdy 4
2
= 2
4
.
6. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnego szeregu zbie˙znego
∞
X
n=0
a
n
o wyrazach dodatnich istnieje taki
cia
,
g liczb dodatnich (b
n
) , kt´orego granica
,
jest ∞ , ˙ze
∞
X
n=0
a
n
b
n
jest szeregiem zbie˙znym.
Nie ma wie
,
c najwolniej zbie˙znego szeregu.
1
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
7. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnego szeregu rozbie˙znego
∞
X
n=0
a
n
o wyrazach dodatnich istnieje cia
,
g
taki liczb dodatnich (b
n
) , kt´orego granica
,
jest 0 , ˙ze
∞
X
n=0
a
n
b
n
jest szeregiem rozbie˙znym.
Nie ma wie
,
c najwolniej rozbie˙znego szeregu.
8. Dowie´s´c, ˙ze szereg
P
a
n
jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego
cia
,
gu (b
n
) zbie˙znego do 0 szereg
P
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
9.
Dowie´s´c, ˙ze je´sli (a
n
) jest dowolnym cia
,
giem liczb dodatnich rzeczywistych, to szereg
∞
X
n=1
a
n
(1 + a
1
)(1 + a
2
) . . . (1 + a
n
)
jest zbie˙zny. Niech P = lim
n→∞
(1+a
1
)(1+a
2
) . . . (1+a
n
)
.
Wyrazi´c sume
,
szeregu za pomoca
,
P ∈ [1, ∞] .
10. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy a > −1 .
11. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie wtedy i tylko wtedy, gdy a ≥ 0 .
12. Dowie´s´c, ˙ze je´sli szereg
∞
X
n=1
|a
n+1
− a
n
| jest zbie˙zny, to cia
,
g (a
n
) ma sko´
nczona
,
granice
,
.
Poda´c przyk lad ´swiadcza
,
cy o nieprawdziwo´sci twierdzenia odwrotnego.
13. Dowie´s´c, ˙ze je´sli (a
n
) jest ´sci´sle rosna
,
cym cia
,
giem liczb dodatnich, to szereg
∞
X
n=1
1−
a
n
a
n+1
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy cia
,
g (a
n
) jest ograniczony.
14. Dowie´s´c, szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego
cia
,
gu (b
n
) zbie˙znego do 0 szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
15. Dowie´s´c, ˙ze je´sli
∞
X
n=1
|a
n+1
− a
n
| < ∞ , lim
n→∞
a
n
= 0 i cia
,
g sum cze
,
´sciowych szeregu
∞
X
n=1
b
n
jest ograniczony, to szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
16. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny dla ka˙zdego szeregu zbie˙znego
∞
X
n=1
b
n
wtedy i tylko
wtedy, gdy
∞
X
n=1
|a
n+1
−a
n
| <∞.
17. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny dla ka˙zdego szeregu
∞
X
n=1
b
n
, kt´orego cia
,
g sum
cze
,
´sciowych jest ograniczony, wtedy i tylko wtedy, gdy
∞
X
n=1
|a
n+1
− a
n
| < ∞ i lim
n→∞
a
n
= 0.
18. Niech a
n
=
(−1)
n−1
√
n
= b
n
. Wykaza´c, ˙ze iloczyn szereg´ow
P
a
n
i
P
b
n
jest rozbie˙zny.
19. Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
2
n
?
20. Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
o wyrazach dodatnich wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
2
n
?
21.
∗
Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
3
n
?
2
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
22. Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
o wyrazach dodatnich wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
3
n
?
23. Udowodni´c naste
,
puja
,
ce twierdzenie Ces`aro: Je´sli szeregi
∞
X
n=0
a
n
i
∞
X
n=0
b
n
sa
,
zbie˙zne i dla
ka˙zdego n zachodza
,
wzory c
n
=
n
X
i=0
a
i
b
n−i
, s
n
= c
0
+ c
1
+ · · · + c
n
, to
lim
n→∞
1
n
s
0
+ s
1
+ · · · + s
n−1
=
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
.
24. Udowodni´c, ˙ze je´sli oba szeregi
∞
X
n=1
a
n
,
∞
X
n=1
b
n
i ich iloczyn sa
,
zbie˙zne, to zachodzi r´owno´s´c
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
=
∞
X
n=0
(a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ · · · + a
n
b
0
) .
25. Niech s(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
i c(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
. Udowodni´c, ˙ze oba szeregi sa
,
zbie˙zne dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x .
26. Udowodni´c, ˙ze prawdziwe sa
,
r´owno´sci:
a. c(x)
2
+ s(x)
2
= 1 dla ka˙zdej liczby x ∈ R ;
b. c(x)c(y) − s(x)s(y) = c(x + y) dla dowolnych x, y ∈ R ;
c. c(x)s(y) + s(x)c(y) = s(x + y) dla dowolnych x, y ∈ R , gdzie c(x), s(x) sa
,
szeregami
zdefiniowanym w poprzednim zadaniu.
27. Dowie´s´c, ˙ze je´sli cia
,
g (a
n
) sk lada sie
,
z liczb dodatnich oraz 1 < lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
= g , to
szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny.
Wsk.: por´owna´c szereg
P
a
n
z szeregiem
P
1
n
p
, 1 < p < g .
28. Dowie´s´c, ˙ze je´sli cia
,
g (a
n
) sk lada sie
,
z liczb dodatnich oraz 1 > lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
, to
szereg
∞
X
n=0
a
n
jest rozbie˙zny.
29. Poda´c przyk lad takiego cia
,
gu (a
n
) o wyrazach dodatnich dodatnich, dla kt´orego zachodzi
r´owno´s´c lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
= 1 i szereg
∞
X
n=0
a
n
jest rozbie˙zny.
30. Poda´c przyk lad takiego cia
,
gu (a
n
) o wyrazach dodatnich dodatnich, dla kt´orego zachodzi
r´owno´s´c lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
= 1 i szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny.
31. Dowie´s´c, ˙ze je´sli nierosna
,
cy cia
,
g (a
n
) sk lada sie
,
z liczb dodatnich a szereg
∞
X
n=0
a
n
jest
zbie˙zny, to lim
n→∞
na
n
= 0 . Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
32. Niech wyrazy szeregu zbie˙znego
P
∞
n=1
a
n
be
,
da
,
dodatnie. Udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdego k ∈ N
zbie˙zne sa
,
r´ownie˙z szeregi
∞
X
n=1
1
n
√
a
n
i
∞
X
n=1
k
√
a
n
· a
n+1
· . . . · a
n+k−1
.
33. Dowie´s´c, ˙ze je´sli |x| ≤
1
2
, to
√
1 + x − 1 −
x
2
+
x
2
8
−
x
3
16
< 0,005 .
34. Dowie´s´c, ˙ze je´sli szereg
P
∞
n=0
a
n
jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny i b
n
=
a
0
+2a
1
+···+2
n
a
n
2
n+1
, to
3
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
zachodzi r´owno´s´c
P
∞
n=0
a
n
=
P
∞
n=0
b
n
.
35. Za l´o˙zmy, ˙ze wyrazy szeregu rozbie˙znego
∞
X
n=1
a
n
sa
,
dodatnie i s
n
= a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
dla
n = 1, 2, . . . Dowie´s´c, ˙ze szereg
a.
∞
X
n=1
a
n
1+a
n
jest rozbie˙zny;
b.
∞
X
n=1
a
n
s
n
jest rozbie˙zny;
c.
∞
X
n=1
a
n
s
2
n
jest zbie˙zny;
d.
∞
X
n=1
a
n
1+n
2
·a
n
jest zbie˙zny;
e.
∞
X
n=1
a
n
1+n·a
n
mo˙ze by´c zbie˙zny lub rozbie˙zny.
36. Dowie´s´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x istnieje dok ladnie jeden taki cia
,
g liczb ca lko-
witych nieujemnych (a
n
)
∞
n=1
, ˙ze:
dla ka˙zdego n ≥ 2 zachodzi nier´owno´s´c a
n
≤ n − 1 , przy czym jest ona jest ostra dla
niesko´
nczenie wielu liczb naturalnych n , oraz x = a
1
+
1
2!
a
2
+
1
3!
a
3
+ · · · .
Dowie´s´c, ˙ze x ∈ Q wtedy i tylko wtedy, gdy dla prawie wszystkich n zachodzi r´owno´s´c
a
n
= 0 .
37. Dowie´s´c, ˙ze je´sli 0 < x ≤ 1 , to istnieje dok ladnie jeden taki cia
,
g liczb naturalnych, ˙ze
1 < k
1
≤ k
2
≤ k
3
≤ . . . oraz x =
1
k
1
+
1
k
1
k
2
+
1
k
1
k
2
k
3
+ · · · , przy czym liczba x jest wy-
mierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna n
0
, ˙ze dla n ≥ n
0
zachodzi
r´owno´s´c k
n
= k
n
0
.
38. Czy zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
n
wynika z tego , ˙ze dla ka˙zdej liczby p ∈ N zachodzi wz´or
lim
n→∞
(a
n+1
+ a
n+2
+ · · · + a
n+p
) = 0 ?
39. Szereg
P
∞
n=0
a
n
jest zbie˙zny. Czy wynika sta
,
d zbie˙zno´s´c szeregu:
(a) a
1
+ a
2
+ a
4
+ a
3
+ a
8
+ a
7
+ a
6
+ a
5
+ a
16
+ a
15
+ a
14
+ a
13
+ a
12
+ a
11
+ a
10
+ a
9
+
a
32
+ · · · + a
17
+ a
64
+ · · · ;
(b) a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
7
+ a
6
+ a
8
+ a
9
+ a
11
+ a
13
+ a
15
+ a
10
+ a
12
+ a
14
+ a
16
+
a
17
+ · · · + a
31
+ a
18
+ · · · + a
32
+ · · · ?
40. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=2
1
n ln n
jest rozbie˙zny.
41. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=2
1
n ln
2
n
jest zbie˙zny.
42. Dla jakich a ∈ R szereg
P
∞
n=2
ln n
a
jest zbie˙zny?
43. Dla jakich a ∈ R szereg
P
∞
n=1
a
n
ln n jest zbie˙zny?
44. Dla jakich a ∈ R szereg
P
∞
n=1
a
n
e
−an
2
jest zbie˙zny?
45. Czy szereg
P
∞
n=1
(−1)
bln nc 1
n
jest zbie˙zny?
46. Niech (a
n
) be
,
dzie cia
,
giem liczb dodatnich. Udowodni´c, ˙ze naste
,
puja
,
ce trzy warunki sa
,
r´ownowa˙zne:
(i) szereg
P
∞
n=1
a
n
jest zbie˙zny;
(ii) cia
,
g (p
n
) o wyrazie p
n
= (1 + a
1
)(1 + a
2
) · . . . · (1 + a
n
) jest zbie˙zny;
(iii) istnieje taka liczba k ∈ N , ˙ze cia
,
g (q
n
) o wyrazie q
n
= (1 − a
k
)(1 − a
k+1
) · . . . · (1 − a
n
)
ma granice
,
dodatnia
,
i sko´
nczona
,
.
Uwaga. Je´sli a
n
6= 1 dla ka˙zdego n , to mo˙zna przyja
,
´c, ˙ze k = 1 .
47. Obliczy´c sume
,
szeregu
P
∞
n=1
2
n
cos nπ
5
n−1
.
48. Obliczy´c sume
,
szeregu
P
∞
n=1
2
n
(5+cos nπ)
n
.
4
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
49. Czy szereg
P
∞
n=1
1
n
sin
(2n+1)π
4
jest zbie˙zny? Je´sli tak, to czy bezwzgle
,
dnie?
50. Wykaza´c, ˙ze szereg
P
∞
n=1
sin n jest rozbie˙zny.
51. Dowie´s´c, ˙ze ln 2 =
1
2
+
1
2
·
1
2
2
+
1
3
·
1
2
3
+
1
4
·
1
2
4
+ · · · .
52. Czy szereg
∞
X
n=1
1
n!
n
e
n
jest zbie˙zny?
53. Dowie´s´c, ˙ze je´sli n ∈ N , to zachodzi wz´or ln(n+1)−ln n = =
2
2n+1
1+
1
3
1
(2n+1)
2
+
1
5
1
(2n+1)
4
+
1
7
1
(2n+1)
6
+ · · ·
.
54. Korzystaja
,
c z wzoru z poprzedniego zadania obliczy´c ln 2 i ln 5 z dok ladno´scia
,
do pie
,
ciu
miejsc po przecinku (bez u˙zycia sprze
,
tu elektronicznego).
55. Dla jakich x ∈ R szereg jest zbie˙zny?
a.
P
∞
n=1
n
−p
x
n
, p ∈ R ;
b.
P
∞
n=1
1
n
3
n
+ (−2)
n
x
n
;
c.
P
∞
n=1
(n!)
2
(2n)!
(x + 1)
n
;
d.
P
∞
n=1
1·3·5·...·(2n−1)
2·4·6·...·(2n)
p
x
n
;
e.
P
∞
n=1
a
n
2
x
n
, a ∈ (0, 1) ;
f.
P
∞
n=1
1 +
1
n
n
2
x
n
;
g.
P
∞
n=1
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
x
n
;
h.
P
∞
n=1
1
2
n
x
n
2
;
i.
P
∞
n=1
1
n
(−1)
b
√
nc
x
n
;
j.
P
∞
n=1
1
sin
n
n
x
n
;
k.
P
∞
n=1
1
ln n
n
1 + 2 cos
nπ
4
x
n
;
l.
P
∞
n=1
1
n
a
n
+
1
n
2
b
n
n
2
x+1
2
n
, gdzie a > 0 , b > 0 ;
m.
P
∞
n=1
1
n
10
`(n)
(2 − x)
n
, `(n) to liczba cyfr liczby n .
56. Wykaza´c, ˙ze
∞
X
n=1
arctg
2
n
2
=
3π
4
.
57. Wykaza´c, ˙ze
∞
X
n=1
arctg
1
n
2
+ n + 1
=
π
4
.
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zestaw 21, AiR, Semestr 2, Grafika inżynierska, zadania grafika
Zestaw 21, Opracowane zagadnienia na egzamin
Zestaw 21
zestaw 21 ALzG
Zestaw 21 Karolina Pałka
Stymulus Zestaw 21 STP AN Drogen
Zestaw pytania z tematami 21-40, II semestr bezpieczeństwo narodowe - przedmioty, metodologia badań
21-40 - Notatki, Zestaw 24
Zestawy egazminacyjne 21-54, Odp 21 54, Zestaw 22
Prawo o ustroju sądów, zestaw nr 21, PRAWO O USTROJU SĄDÓW POWSZECHNYCH I INNYCH ORGANÓW OCHRONY PRA
Zestawy pytań z j, polskiego, ZESTA 21, ZESTAW XXI
Zestaw Nr 21
ĆWICZENIA PORANNE MAC (21), ZESTAWY ĆWICZEŃ PORANNYCH MAC
21 Zestaw zabaw ruchowych
TO JEST DO DRUKU 2 Opracowane zestawy 1,3 i 4 i 7 i 8(nc),9,10(nc),12,14,15,16 i 17(nc),19,20,21,22
C5 (X7) D6AM010KP0 3 21 08 2013 Konfiguracja Zestaw wskaźników
W 21 Alkohole
więcej podobnych podstron