- 1 -

3. METODY OPISU UKŁADÓW

ELEKTRONICZNYCH

3.1. MODELE ZACISKOWE - CZWÓRNIK

3.1.1. WPROWADZENIE

Wielobiegunnikiem nazywamy element, którego liczba zacisków jest

większa od 2 (m>2). Z każdym zaciskiem wielobiegunnika związana jest
para wielkości elektrycznych.

Definicja1.

Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn. m=2n)

zgrupowanych w n par i dla każdej pary zacisków zachodzi
związek:

k

k

I

I





'

(3.1)

to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";

- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć

zaciskowych tworzących tę bramę;

- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM

Definicja 2.

Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy
wielowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.

m= n

2

1

n

I

1

I

1’

I

n’

I

n

1’

n’

U

1

2n

I

1

I

1’

I

n

I

n’

U

1

U

n

I

1

I

1’

U

1

I

2

I

2’

n=2

U

2

...

...

U

n

1

1’

2

2’

n

n’

1

1’

- 2 -

Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik następująco

1

1’

2

2’

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

2’

Para zacisków 1-1’ – wrota pierwotne (WE)

2-2’ – wrota wtórne (WY)

Granicznymi stanami pracy każdej z bram są:



stan jałowy – gdy prąd danej bramy jest równy zeru

(I

1

=0 lub I

2

=0)



stan zwarcia – gdy napięcie danej bramy jest równe zeru

(U

1

=0 lub U

2

=0)

3.1.2. TRÓJNIK A CZWÓRNIK

Przyjmijmy jeden z zacisków trójnika za zacisk odniesienia.

Rozszczepiając zacisk odniesienia na dwa zwarte zaciski otrzymamy
czwórnik – nazywany czwórnikiem o strukturze trójnikowej
(czwórnikiem o wspólnej masie).

1

1’

2

I

1

U

1

I

2

U

2

2’

1

2

I

1

U

1

I

2

U

2

- 3 -

3.1.3. PODSTAWOWE RÓWNANIA CZWÓRNIKA

Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą

WIELKOŚCI ZACISKOWE, a więc prąd i napięcie wejściowe (I

1

, U

1

)

oraz prąd i napięcie wyjściowe (I

2

, U

2

).

Spośród czterech wielkości zaciskowych tylko dwie mogą być

przyjęte jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne. Para wielkości
niezależnych może być wybrana na sześć różnych sposobów, czwórnik
można zatem opisać jednym z sześciu rodzajów równań zaciskowych.

Para wielkości zaciskowych

ZALEŻNYCH

NIEZALEŻNYCH

RODZAJ RÓWNAŃ

1.

I

1

, I

2

U

1

, U

2

ADMITANCYJNE

2.

U

1

, U

2

I

1

, I

2

IMPEDANCYJNE

3.

U

1

, I

2

I

1

, U

2

HYBRYDOWE

4.

I

1

, U

2

U

1

, I

2

HYBRYDOWE ODWROTNE

5.

U

1

, I

1

U

2

, I

2

ŁAŃCUCHOWE

6.

U

2

, I

12

U

1

, I

1

ŁAŃCUCHOWE ODWROTNE

- 4 -

1. RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA

Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są napięcia: pierwotne

U

1

oraz wtórne U

2

. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia

czwórnika

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

1’

2

2’

I

11

U

1

I

21

CZWÓRNIK

1

1’

CZWÓRNIK

U

2

2

2’

I

12

I

22

=

+















22

21

2

12

11

1

I

I

I

I

I

I

gdzie:

1

11

11

U

y

I



2

12

12

U

y

I



1

21

21

U

y

I



2

22

22

U

y

I



Zatem równania admitancyjne czwórnika otrzymuje się jako:

















2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

y

U

y

I

U

y

U

y

I

(3.2)

- 5 -

















2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

y

U

y

I

U

y

U

y

I

(3.2)

lub w postaci macierzowej

























































2

1

2

1

22

21

12

11

2

1

U

U

U

U

y

y

y

y

I

I

Y

Elementy macierzy admitancyjnej Y nazywamy parametrami

admitancyjnymi czwórnika - można je wyznaczyć z układu równań 3.2
(jako stosunki prądów zaciskowych do napięć zaciskowych przy zwarciu
jednej z par zacisków):

0

1

1

11

2





U

U

I

y

admitancja dwójnika 1-1’ (od P)

0

2

1

12

1





U

U

I

y

admitancja wzajemna od W do P

0

1

2

21

2





U

U

I

y

admitancja wzajemna od P do W

0

2

2

22

1





U

U

I

y

admitancja dwójnika 2-2’ (od W)

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

I

1

U

2

I

2

CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (3.2)

I

1

U

1

I

2

U

2

y

11

y

12

U

2

y

22

y

21

U

1

- 6 -

2. RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA















2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

I

z

I

z

U

I

z

I

z

U

























































2

1

2

1

22

21

12

11

2

1

I

I

I

I

z

z

z

z

U

U

Z

(3.3)

Elementy macierzy impedancyjnej Z (parametry impedancyjne)

mają wymiar impedancji [

]. Można je wyznaczyć jako stosunki napięć

zaciskowych do prądów zaciskowych przy rozwarciu jednej z par
zacisków:

o

I

Z

I

U

z

1

0

1

1

11

2







impedancja dwójnika 1-1’ (od P)

impedancja wejściowa rozwarciowa

0

2

1

12

1





I

I

U

z

impedancja wzajemna od W do P

0

1

2

21

2





I

I

U

z

impedancja wzajemna od P do W

o

I

Z

I

U

z

2

0

2

2

22

1







impedancja dwójnika 2-2’ (od W)

impedancja wyjściowa rozwarciowa

I

1

U

1

I

2

=0

CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

U

2

I

1

=0

U

1

I

2

1

1’

2

2’

U

2

CZWÓRNIK

Schemat zastępczy czwórnika dla równań (3.3)

I

1

U

1

I

2

U

2

z

11

z

12

I

2

z

22

z

21

I

1

- 7 -

3. RÓWNANIA HYBRYDOWE CZWÓRNIKA

Jeśli przyjmiemy, że wielkościami niezależnymi jest prąd pierwotny

I

1

oraz napięcie wtórne U

2

- otrzymamy równania hybrydowe (mieszane)

czwórnika:















2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

h

I

h

I

U

h

I

h

U

(3.4)

lub w postaci macierzowej

























































2

1

2

1

22

21

12

11

2

1

U

I

U

I

h

h

h

h

I

U

H

gdzie H nazywamy macierzą hybrydową czwórnika.

Schemat zastępczy czwórnika dla równań (3.4)

I

1

U

1

h

11

h

12

U

2

I

2

U

2

h

22

h

21

I

1

0

1

1

11

2





U

I

U

h

[

]

impedancja wejściowa przy

zwartym wyjściu

0

2

1

12

1





I

U

U

h

[-]

współczynnik oddziaływania

zwrotnego

0

1

2

21

2





U

I

I

h

[-]

zwarciowy współczynnik

wzmocnienia prądowego

0

2

2

22

1





I

U

I

h

[S]

admitancja wyjściowa przy

rozwartym wejściu

- 8 -

3.1.4. PARAMETRY ROBOCZE CZWÓRNIKA

1. IMPEDANCYJA WEJŚCIOWA

Określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do

prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej
dwójnikiem o impedancji Z

obc

.

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

Z

g

E

g

Z

obc

1’

2

2’

Z

we

=

U

1

I

1

Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z

pierwszego równania (3.3):

2

12

1

11

1

I

z

I

z

U







1

2

12

11

1

1

I

I

z

z

I

U

Z

we







Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że

2

2

I

Z

U

obc





2

22

1

21

2

I

z

I

z

U







22

21

1

2

z

Z

z

I

I

obc







Stąd:

22

21

12

11

1

1

z

Z

z

z

z

I

U

Z

obc

we









(3.5)

- 9 -

2. IMPEDANCYJA WYJŚCIOWA

Jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika (przy
E

g

= 0) i wyraża się stosunkiem napięcia do prądu wtórnego.

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

Z

g

1’

2

2’

Z

wy

=

U

2

I

2

Z drugiego równania (3.3) otrzymujemy

2

22

1

21

2

I

z

I

z

U







2

1

21

22

2

2

I

I

z

z

I

U

Z

wy







Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że

1

1

I

Z

U

g





2

12

1

11

1

I

z

I

z

U







11

12

2

1

z

Z

z

I

I

g







Stąd:

11

21

12

22

2

2

z

Z

z

z

z

I

U

Z

g

wy









(3.6)

- 10 -

3. WZMOCNIENIE NAPIĘCIOWE

(TRANSMITANCJA NAPIĘCIOWA)

obc

obc

u

Z

z

Z

z

U

U

K

11

21

1

2

det







Z

(3.7)

Gdy uwzględni się fakt zasilania z
rzeczywistego źródła energii,
mówimy o

skutecznym (efektywnym)

wzmocnieniu napięciowym:

I

1

U

1

U

2

1

Z

g

E

g

Z

obc

1’

2

2’

we

g

u

we

g

g

g

sk

u

Z

Z

K

Z

U

Z

U

U

I

Z

U

U

E

U

K















1

1

1

2

1

1

2

2

(3.8)

4. WZMOCNIENIE PRĄDOWE

(TRANSMITANCJA PRĄDOWA)





obc

i

Z

z

z

I

I

K









22

21

1

2

(3.9)

Gdy uwzględni się fakt zasilania z
rzeczywistego źródła energii,
mówimy o

skutecznym (efektywnym)

wzmocnieniu prądowym:

I

1

U

1

U

2

1

Z

g

Z

obc

1’

2

2’

I

g

(-I

2

)



 











g

we

i

g

g

we

g

g

g

g

g

sk

i

Z

Z

K

Z

I

Z

I

Z

I

Z

I

Z

U

I

Z

E

I

I

I

K

























1

1

1

2

1

1

2

2

2

(3.10)

- 11 -

3.2. OPIS CZĘSTOTLIWOŚCIOWY

3.2.1. POJĘCIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI

Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie

harmoniczne o symbolicznej wartości skutecznej F (napięciowe lub
prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedź o
symbolicznej wartości skutecznej R (prądowa lub napięciowa).

F

R

układ

elektryczny

Jeśli wielkości F i R występują na tych samych zaciskach to

rozpatrywany układ jest

dwójnikiem

.

W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru:

I

Z

U

Z

Y

U

0

I

Z

I

Z

U



(3.11a)

0

U

Y

I



(3.11b)

Zatem stosunek odpowiedzi do wymuszenia, definiujemy jako:

IMpedancja

Z

I

U

Z



(3.12a)

adMITANCJA

0

U

I

Y



(3.12b)

Dla obu tych wielkości spełniających związek

1



Z

Y

(3.14)

stosujemy określenie : IMMITANCJA

- 12 -

W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia

z

czwórnikiem

. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a

odpowiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do
wymuszenia nazywamy TRANSMITANCJĄ.

F

R

K

F

R

K



(3.15)

czyli

F

K

R



(3.16)

Ponieważ w przypadku czwórnika wymuszeniem i odpowiedzią może

być prąd lub napięcie, należy więc rozróżnić

cztery transmitancje

:

K

u

I

2

=0

U

2

U

1

transmitancję napięciową

0

1

2

2





I

u

U

U

K

(3.17a)

K

iu

I

2

U

1

transmitancję prądowo-napięciową

0

1

2

2





U

u

i

U

I

K

(3.17b)

K

i

I

2

I

1

transmitancję prądową

0

1

2

2





U

i

I

I

K

(3.17c)

K

ui

I

2

=0

U

2

I

1

transmitancję napięciowo-prądową

0

1

2

2





I

i

u

I

U

K

(3.17d)

- 13 -

3.2.2. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależą od:

 układu (jego struktury i wartości elementów);

 pulsacji (częstotliwości) sygnału wymuszającego.

Dla układu liniowego, badanego przy przebiegach harmonicznych dla

określonej pulsacji słuszna jest zależność:

F

R

j

j

m

m

e

F

e

R

F

R

K





2

2









F

R

j

e

F

R



 



(3.18)



j

e

K



Charakterystykami częstotliwościowymi układu nazywamy

zależność transmitancji lub immitancji układu

od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.

)

(

)

(

)

(









j

e

K

K



dla

)

0

(









(3.19)

gdzie: K(



) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(



) - częstotliwościowa

charakterystyka amplitudowa



(



) - częstotliwościowa

charakterystyka fazowa

UWAGA:

)

(

lg

20

)

(





K

K

dB



Wybrane wartości w decybelach

)

(



K

N



10

0,1

2

/

1

1

2

10

N

10

)

(

lg

20



K

[dB]

N

20



-20

-3

0

3

20

N

20

moduł transmitancji K

określony

jest

stosunkiem

wartości

skutecznych

odpowiedzi do wymuszenia

argument transmitancji



wyraża

kąt

przesunięcia

fazowego

odpowiedzi

w

odniesieniu do wymuszenia

- 14 -

3.2.3. PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW

częstotliwość graniczna

częstotliwość przy której moduł transmitancji
maleje o 3 dB od wartości nominalnej dla której
umownie przyjęto poziom 0dB.

pasmo przenoszenia

d

g

P

f

f

S





zakres częstotliwości, w którym moduł
transmitancji maleje nie więcej niż o 3 dB od
wartości nominalnej, a jest to zakres
częstotliwości zawarty między częstotliwościami
granicznymi. Miarą pasma przenoszenia jego
szerokość S

P

selektywność układu

)

20

(

)

3

(

dB

S

dB

S

p

P

P



zdolność

rozdziału

częstotliwościowego

przenoszonych sygnałów. Miarą selektywności
jest współczynnik prostokątności p

nachylenie charakterystyki

określa się liczbą decybeli wyrażającą zmianę
modułu transmitancji układu na dekadę w
zadanym zakresie częstotliwości

K f

( )

1

0,707

f

g1

0,1

0dB

-3dB

-20dB

f

g2

f

s

f

3.2.4. KLASYFIKACJA UKŁADÓW



wąskopasmowe

S

P



f

s



szerokopasmowe

S

P

=f

s

lub

S

P



f

s



dolnoprzepustowe

f

g1

=0

f

g2

 



górnoprzepustowe

f

g1



0

f

g2

=





środkowoprzepustowe f

g1



0

f

g2

 



środkowozaporowe

f



(f

g1

, f

g2

)



f

g1



0



f

g2

 

- 15 -

3.2.5. FILTRY RC

GÓRNOPRZEPUSTOWY

R

1

C

1

U

1

U

2

I

Zgodnie z (3.17a):

 

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

C

j

R

R

I

C

j

R

I

R

U

U

K

u





























Czyli:

 

1

1

1

1

1

C

R

j

C

R

j

K

u











(3.20)

lub

 



u

K















 





1

1

2

2

1

1

1

1

1

C

R

arctg

j

e

C

R

C

R









K(



)



(



)

K(



)

- częstotliwościowa

charakterystyka

amplitudowa



(



)

- częstotliwościowa

charakterystyka

fazowa



K( )



1

0,707



g1

=1/R C

1

1

 

( )

/2

/4





g1

=1/R C

1

1

UWAGA:

1

1

1

1

2

1

2

1











C

R

f

g

1



- stała czasu FG

- 16 -

DOLNOPRZEPUSTOWY

R

2

C

2

U

1

U

2

I

Zgodnie z (3.17a):

 

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

C

j

R

C

j

I

C

j

R

I

C

j

U

U

K

u













































Czyli:

 

2

2

1

1

C

R

j

K

u









(3.21)

lub

 



u

K













2

2

2

2

2

1

1

C

R

arctg

j

e

C

R











K(



)



(



)

K(



)

- częstotliwościowa

charakterystyka

amplitudowa



(



)

- częstotliwościowa

charakterystyka

fazowa



K( )



1

0,707



g2

=1/R C

2

2



 

( )

/2

/4



g2

=1/R C

2

2

UWAGA:

2

2

2

2

2

1

2

1











C

R

f

g

2



- stała czasu FD

- 17 -

3.3. OPIS CZASOWY

3.3.1. WPROWADZENIE

Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie

przyczynowe f(t) (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną
funkcją jest odpowiedź r(t) (prądowa lub napięciowa).

f t

( )

r t

( )

układ

elektryczny

Czasową charakterystykę układu o określonym wejściu i

wyjściu stanowi przebieg sygnału wyjściowego, gdy na

wejściu działa wymuszenie będące sygnałem wzorcowym.

Jeśli

sygnałem wzorcowym f(t)

jest funkcja skoku jednostkowego

1(t) to

 

 

 





 

t

h

s

H

s

K

s

t

r



















1

1

1

L

L

(3.22)

gdzie

h(t)

–

CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA UKŁADU

(zwana

funkcją/charakterystyką przejściową)

UWAGA:















0

1

0

0

)

(

1

)

(

t

dla

t

dla

t

t

f

t

f t

( )

0

1

Skok jednostkowy

W chwili t = 0 pojawia się sygnał o wartości jeden i następnie dla

czasów t > 0 nie ulega on zmianie. Każde wymuszenie stałe doprowadzone
do obwodu w chwili t = 0 można traktować jako iloczyn sygnału
jednostkowego i wielkości stałej.

- 18 -

3.3.2. PARAMETRY CZASOWE UKŁADÓW

t

h =1

ust

0

h(t)

t

o

t

n

0,1

0,5

0,9

t

m

Czas narastania t

n

czas wzrostu charakterystyki skokowej
układu od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej

Czas opóźnienia t

o

czas wzrostu charakterystyki skokowej
układu od 0 do 0,5 wartości ustalonej

Czas opadania t

m

czas malenia charakterystyki skokowej
układu od 0,9 do 0,1 wartości ustalonej

- 19 -

3.3.3. UKŁADY RC

RÓŻNICZKUJĄCY

GÓRNOPRZEPUSTOWY

R

1

C

1

u t

t

1

( )=1( )

u t

2

( )

 

dt

u

d

C

R

t

u

1

1

1

2



 

 

 

t

e

t

e

t

u

C

R

1

1

1

1

1

1

1

2











(3.23)

t

1

0

h(t)

CAŁKUJĄCY

DOLNOPRZEPUSTOWY

R

2

C

2

u t

t

1

( )=1( )

u t

2

( )

 





t

dt

u

C

R

t

u

0

1

2

2

2

1

 

 

 

t

e

t

e

t

u

C

R

1

1

1

1

2

2

2

1

1

2















































(3.24)

t

1

0

h(t)

- 20 -

3.4. ZWIĄZKI CHARAKTERYSTYK UKŁADU

   

 

 



























0

lim

lim

0

h

K

h

K









(3.25)

Są to związki o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Wynika z nich

jednoznacznie, że jeśli znamy np. charakterystykę amplitudową K(

), to

jej graniczne wartości określają jednoznacznie graniczne wartości funkcji
skokowej (przejściowej) h(t) i odwrotnie.

t

1

0

h(t)



1

0

K( )

