Temat:
Funkcja wymierna
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
1
Kody kolorów:
pojęcie
zwraca uwagę
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
2
Zagadnienia
funkcja wielomianowa – przypomnienie
• funkcja wymierna
• równania wymierne
• nierówności wymierne
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
3
Funkcja wymierna
Funkcja wymierna to funkcja dana
wzorem
W ( x)
f ( x) = G( x)
gdzie W( x), G( x) są wielomianami i G( x) nie jest wielomianem zerowym.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
4
Dziedzina funkcji wymiernej
Dziedziną funkcji
W ( x)
f ( x) = G( x)
jest zbiór liczb rzeczywistych takich,
dla których G( x) ≠ 0 .
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
5
Uwaga
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji
wymiernej, trzeba rozwiązać równanie
wielomianowe G( x)=0.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
6
Przypomienie cd.
Równanie wielomianowe stopnia n to
równanie postaci
W( x)=0
gdzie W( x) jest wielomianem stopnia n.
Pierwiastek wielomianu W( x) to liczba
x, która jest rozwiązaniem równania
W( x)=0
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
7
Przykład równania
Wymień rozwiązania równania:
( x − 8)⋅( x + 2)⋅( x − 2)⋅( x +1) = 0
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
8
Własność
a ⋅ b = 0 ⇔ a = 0
lub
b = 0
Ogólniej:
a ⋅ b ⋅ c = 0 ⇔ a = 0 lub b = 0 lub c = 0
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko
wtedy, gdy którykolwiek z czynników
jest równy zero.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
9
Przykład równania cd.
Wymień rozwiązania równania:
( x − 8)⋅( x + 2)⋅( x − 2)⋅( x +1)= 0
x − 8 = 0 lub
x + 2 = 0 lub
x − 2 = 0
lub
x + 1 = 0
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
10
Przykład równania cd.
Wymień rozwiązania równania:
( x − 8)⋅( x + 2)⋅( x − 2)⋅( x +1)= 0
x − 8 = 0 lub
x + 2 = 0 lub
x − 2 = 0
lub
x + 1 = 0
Odp.: x ∈ {8, − 2, 2, − }
1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
11
Przykład 2
Wyznacz rozwiązania równania:
2 3
2
x − x − 2 x + 1 = 0
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
12
Przykład 2
Wyznacz rozwiązania równania:
2 3
2
x − x − 2 x + 1 = 0
Czy istnieją?
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
13
Własność
Wielomian stopnia n ma co najwyŜej n
pierwiastków.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
14
Wykres f. wielomianowej – przykład 1
W ( x)
3
= − x + 2 2
x + 3 x − 3
Y
X
Wielomian stopnia nieparzystego ma co
najmniej jeden pierwiastek.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
15
Wykres f. wielomianowej – przykład 2.
W ( x)
4
3
= x − x − 2 2
x + 4
Y
X
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
16
Przykład 2
Wyznacz rozwiązania równania:
2 3
2
x − x − 2 x + 1 = 0
Sprowadzamy wielomian do postaci
iloczynowej.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
17
Przykład 2 cd.
2 3
2
x − x − 2 x + 1 = (2 3
2
x − x )− (2 x − 1) =
2
= x (2 x − 1)− (2 x − 1) = (2 x − 1)( 2
x − 1) =
= (2 x − 1)( x − 1)( x − 1) = 2(
1
x −
x −
x −
2 )(
1)(
1)
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
18
Przykład 2 cd.
2 3
2
x − x − 2 x + 1 = 0 ⇔
⇔ 2(
1
x −
x −
x −
=
2 )(
1)(
1) 0
Odp.: x ∈ {
,
1 1
−
,
2
}
1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
19
Nierówności wielomianowe
Dla danego wielomianu W( x), wyraŜenie postaci:
W ( x) > 0 W x ≥
W x <
W x ≤
( )
0
( )
0
( )
0
nazywamy nierównością wielomianową.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
20
Przykład 1
RozwiąŜ nierówność
x( x − 1)⋅ ( x + 2) > 0
Rozwiązanie
Szukamy pierwiastków wielomianu
W ( x) = x( x − 1)⋅ ( x + 2)
Pierwiastki: x=0 lub x=1 lub x=-2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
21
Przykład 1 cd.
Nierówność x( x − 1)⋅ ( x + 2) > 0
rozwiązujemy graficznie.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
22
Graficzne rozwiązanie nierówności
Zaznaczamy na osi OX pierwiastki
wielomianu W( x):-2, 0, 1.
Y
X
-2
0
1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
23
Graficzne rozwiązanie nierówności
Rysujemy przebieg wykresu
wielomianu W( x):
- rozpoczynamy z prawej strony nad
osią OX, jeśli współczynnik przy najwyŜszej potędze wielomianu jest
dodatni,
- rozpoczynamy z prawej strony pod
osią OX, jeśli współczynnik przy najwyŜszej potędze wielomianu jest
ujemny.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
24
Graficzne rozwiązanie nierówności
Y
X
-2
0
1
W ( x) = x( x − 1)⋅ ( x + 2) = 1 ⋅ x( x − 1)⋅ ( x + 2)
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
25
Graficzne rozwiązanie nierówności
Rysujemy przebieg wykresu
wielomianu W( x):
- wykres przecina oś OX w punkcie wyznaczonym przez pierwiastek
o krotności nieparzystej (np. 1-krotny,
3-krotny, itd.)
- wykres „odbija się” od osi OX
w punkcie wyznaczonym przez
pierwiastek o krotności parzystej (np.
2-krotny, 4-krotny, itd.)
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
26
Przebieg wykresu wielomianu W( x)
Y
-2
0
1
X
W ( x) = x( x − 1)⋅ ( x + 2)
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
27
Graficzne rozwiązanie nierówności
Odczytujemy z wykresu te argumenty,
dla których spełniona jest nierówność.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
28
Graficzne rozwiązanie nierówności
y = W( x)
Y
-2
0
1
X
x( x − 1)⋅ ( x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (− 0
;
2 )∪ ( +
;
1 ∞)
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
29
Przykład 2
RozwiąŜ nierówność
− 2 2
x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2 ≤ 0
Rozwiązanie
Szukamy pierwiastków wielomianu
2
W ( x) = −2 x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2
Pierwiastki: x=0 dwukrotny, x=1
jednokrotny, x=-2 dwukrotny.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
30
Graficzne rozwiązanie nierówności
Zaznaczamy na osi pierwiastki
wielomianu W( x):-2, 0, 1 wraz z krotnościami.
Y
-2
0
1
X
k=2
k=2
k=1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
31
Graficzne rozwiązanie nierówności
Rysujemy przebieg wykresu
wielomianu W( x):
- rozpoczynamy z prawej strony pod
osią OX, poniewaŜ współczynnik przy najwyŜszej potędze wielomianu jest
ujemny.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
32
Graficzne rozwiązanie nierówności
Y
-2
0
1
X
k=2
k=2
k=1
2
W ( x) = −2 x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
33
Graficzne rozwiązanie nierówności
Rysujemy przebieg wykresu
wielomianu W( x):
- wykres przecina oś OX w punkcie x=1, gdyŜ krotność tego pierwiastka jest
nieparzysta,
- wykres „odbija się” od osi OX
(właściwie jest styczny do osi OX) w punktach x=0, x=-2, gdyŜ krotności tych pierwiastków są parzyste.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
34
Przebieg wykresu wielomianu W( x)
Y
-2
0
1
X
k=2
k=2
k=1
2
W ( x) = −2 x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
35
Graficzne rozwiązanie nierówności
y = W( x)
Y
-2
0
1
X
k=2
k=2
k=1
− 2 2
x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2 ≤ 0 ⇔ x ∈{ − 2, 0 }∪
,
1 + ∞)
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
36
Funkcja wymierna
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
37
Funkcja wymierna
Funkcja wymierna to funkcja dana
wzorem
W ( x)
f ( x) = G( x)
gdzie W( x), G( x) są wielomianami i G( x) nie jest wielomianem zerowym.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
38
Dziedzina funkcji wymiernej
Dziedziną funkcji
W ( x)
f ( x) = G( x)
jest zbiór liczb rzeczywistych takich,
dla których G( x) ≠ 0 .
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
39
Przykłady
Dla kaŜdego przykładu wyznacz
dziedzinę funkcji.
2 12
x
− 4 9
x + 1
f ( x) =
− 3 x + 2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
40
Przykłady cd.
− 3 8
6
4
1
1
x − x − x
g( x)
7
3
=
3
x − 1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
41
Przykłady cd.
− x113 + 2 x100 − 8 x
h( x) =
x
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
42
Przykłady cd.
4 2
x − 3 + 1
f ( x) =
x
2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
43
Przykłady cd.
5
3
1
1
− x − x − x
g( x)
3
4
=
wielomian
1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
44
Uwaga
KaŜdy wielomian W( x) jest funkcją
wymierną.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
45
Wykres - przykład 1
3
1
Y
x − 15
f ( x)
3
=
2
x + 3
X
D= R
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
46
Wykres - przykład 2
Y
12 x + 5
f ( x) =
2
x + 3
X
D= R
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
47
Wykres - przykład 3
1 x 3 − 3
3
Y
f ( x) = x2 − 3 x
X
D = R − { 0, 3 }
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
48
Własności f. wym. -przykład 1
1
f ( x) = x
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
49
Przykład 1 - wykres
Y
5
4
hiperbola
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
X
-2
-3
-4
-5
Wykresem funkcji y=1/ x jest krzywa, którą nazywamy hiperbolą.
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
50
Przykład 1 -własności cd.
1
f ( x) = x
1) dziedzina: D = R − { }
0
2) funkcja nie posiada miejsc zerowych
3) f ( x) > 0 dla x > 0, f ( x) < 0 dla x < 0
4) f ( x) ↓ 0 dla x ∈ (− ∞; 0); x ∈ ( ; 0 + ∞)
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
51
Przykład 1 -asymptoty
Oś OX jest asymptotą poziomą funkcji 1
f ( x) =
, co oznacza, Ŝe wykres zbliŜa
x
się do osi OX, gdy x → +∞ oraz gdy
x → −∞ .
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
52
Przykład 1 –asymptoty cd.
Oś OY jest asymptotą pionową funkcji 1
f ( x) =
co oznacza, Ŝe wykres zbliŜa
x
+
się do osi OY
x →
gdy
0 oraz gdy
−
x → 0 .
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
53
Przykład 2
1
f ( x) = x −1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
54
Przykład 2
Y
5
4
hiperbola
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
X
-2
-3
-4
-5
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
55
Przykład 3
1
f ( x) =
+ 1
x − 2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
56
Przykład 3
Y
5
4
hiperbola
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
X
-2
-3
-4
-5
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
57
Przykład 3 cd.
1
f ( x) =
+ 1
x − 2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
58
Przykład 3 cd.
1
f ( x) =
+ 1
x − 2
postać kanoniczna
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
59
Uwaga
Funkcja
1
f
( x) =
pocz
x
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
60
Uwaga
Funkcja
1
f
( x) =
pocz
x
przesunięta o wektor
r
u = [ p, q]
ma wzór
...
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
61
Uwaga
Funkcja
1
f
( x) =
pocz
x
przesunięta o wektor
r
u = [ p, q]
ma wzór
f ( x =
1
)
+ q
x − p
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
62
Przykład 3 cd.
1
f ( x) =
+ 1
postać kanoniczna
x − 2
1
1
x −
f ( x) =
+ 1 =
+
2 =L
x − 2
x − 2
x − 2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
63
Przykład 3 cd.
1
1
x −
f ( x) =
+ 1 =
+
2 =
x − 2
x − 2
x − 2
1 + x −
=
2 =L
x − 2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
64
Przykład 3 cd.
1
1
x − 2
f ( x) =
+ 1 =
+
=
x − 2
x − 2
x − 2
1 + x − 2
x − 1
=
=
x − 2
x − 2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
65
Przykład 3 cd.
1
f ( x) =
+ 1
postać kanoniczna
x − 2
x − 1
f ( x) = x − 2
postać ogólna
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
66
Przykład 3 cd.
Aby dostać funkcję
1
f ( x) =
+ 1
x − 2
trzeba funkcję
1
f
( x) =
pocz
x
przesunąć o wektor
r
u = [2, ]
1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e
67