Temat:

Funkcja wymierna

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

1

Kody kolorów:

pojęcie

zwraca uwagę

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

2

Zagadnienia

funkcja wielomianowa – przypomnienie

• funkcja wymierna

• równania wymierne

• nierówności wymierne

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

3

Funkcja wymierna

Funkcja wymierna to funkcja dana

wzorem

W ( x)

f ( x) = G( x)

gdzie W( x), G( x) są wielomianami i G( x) nie jest wielomianem zerowym.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

4

Dziedzina funkcji wymiernej

Dziedziną funkcji

W ( x)

f ( x) = G( x)

jest zbiór liczb rzeczywistych takich,

dla których G( x) ≠ 0 .

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

5

Uwaga

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji

wymiernej, trzeba rozwiązać równanie

wielomianowe G( x)=0.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

6

Przypomienie cd.

Równanie wielomianowe stopnia n to

równanie postaci

W( x)=0

gdzie W( x) jest wielomianem stopnia n.

Pierwiastek wielomianu W( x) to liczba

x, która jest rozwiązaniem równania

W( x)=0

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

7

Przykład równania

Wymień rozwiązania równania:

( x − 8)⋅( x + 2)⋅( x − 2)⋅( x +1) = 0

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

8

Własność

a ⋅ b = 0 ⇔ a = 0

lub

b = 0

Ogólniej:

a ⋅ b ⋅ c = 0 ⇔ a = 0 lub b = 0 lub c = 0

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko

wtedy, gdy którykolwiek z czynników

jest równy zero.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

9

Przykład równania cd.

Wymień rozwiązania równania:

( x − 8)⋅( x + 2)⋅( x − 2)⋅( x +1)= 0

x − 8 = 0 lub

x + 2 = 0 lub

x − 2 = 0

lub

x + 1 = 0

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

10

Przykład równania cd.

Wymień rozwiązania równania:

( x − 8)⋅( x + 2)⋅( x − 2)⋅( x +1)= 0

x − 8 = 0 lub

x + 2 = 0 lub

x − 2 = 0

lub

x + 1 = 0

Odp.: x ∈ {8, − 2, 2, − }

1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

11

Przykład 2

Wyznacz rozwiązania równania:

2 3

2

x − x − 2 x + 1 = 0

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

12

Przykład 2

Wyznacz rozwiązania równania:

2 3

2

x − x − 2 x + 1 = 0

Czy istnieją?

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

13

Własność

Wielomian stopnia n ma co najwyżej n

pierwiastków.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

14

Wykres f. wielomianowej – przykład 1

W ( x)

3

= − x + 2 2

x + 3 x − 3

Y

X

Wielomian stopnia nieparzystego ma co

najmniej jeden pierwiastek.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

15

Wykres f. wielomianowej – przykład 2.

W ( x)

4

3

= x − x − 2 2

x + 4

Y

X

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

16

Przykład 2

Wyznacz rozwiązania równania:

2 3

2

x − x − 2 x + 1 = 0

Sprowadzamy wielomian do postaci

iloczynowej.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

17

Przykład 2 cd.

2 3

2

x − x − 2 x + 1 = (2 3

2

x − x )− (2 x − 1) =

2

= x (2 x − 1)− (2 x − 1) = (2 x − 1)( 2

x − 1) =

= (2 x − 1)( x − 1)( x − 1) = 2(

1

x −

x −

x −

2 )(

1)(

1)

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

18

Przykład 2 cd.

2 3

2

x − x − 2 x + 1 = 0 ⇔

⇔ 2(

1

x −

x −

x −

=

2 )(

1)(

1) 0

Odp.: x ∈ {

,

1 1

−

,

2

}

1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

19

Nierówności wielomianowe

Dla danego wielomianu W( x), wyrażenie postaci:

W ( x) > 0 W x ≥

W x <

W x ≤

( )

0

( )

0

( )

0

nazywamy nierównością wielomianową.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

20

Przykład 1

Rozwiąż nierówność

x( x − 1)⋅ ( x + 2) > 0

Rozwiązanie

Szukamy pierwiastków wielomianu

W ( x) = x( x − 1)⋅ ( x + 2)

Pierwiastki: x=0 lub x=1 lub x=-2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

21

Przykład 1 cd.

Nierówność x( x − 1)⋅ ( x + 2) > 0

rozwiązujemy graficznie.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

22

Graficzne rozwiązanie nierówności

Zaznaczamy na osi OX pierwiastki

wielomianu W( x):-2, 0, 1.

Y

X

-2

0

1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

23

Graficzne rozwiązanie nierówności

Rysujemy przebieg wykresu

wielomianu W( x):

- rozpoczynamy z prawej strony nad

osią OX, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest

dodatni,

- rozpoczynamy z prawej strony pod

osią OX, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest

ujemny.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

24

Graficzne rozwiązanie nierówności

Y

X

-2

0

1

W ( x) = x( x − 1)⋅ ( x + 2) = 1 ⋅ x( x − 1)⋅ ( x + 2)

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

25

Graficzne rozwiązanie nierówności

Rysujemy przebieg wykresu

wielomianu W( x):

- wykres przecina oś OX w punkcie wyznaczonym przez pierwiastek

o krotności nieparzystej (np. 1-krotny,

3-krotny, itd.)

- wykres „odbija się” od osi OX

w punkcie wyznaczonym przez

pierwiastek o krotności parzystej (np.

2-krotny, 4-krotny, itd.)

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

26

Przebieg wykresu wielomianu W( x)

Y

-2

0

1

X

W ( x) = x( x − 1)⋅ ( x + 2)

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

27

Graficzne rozwiązanie nierówności

Odczytujemy z wykresu te argumenty,

dla których spełniona jest nierówność.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

28

Graficzne rozwiązanie nierówności

y = W( x)

Y

-2

0

1

X

x( x − 1)⋅ ( x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (− 0

;

2 )∪ ( +

;

1 ∞)

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

29

Przykład 2

Rozwiąż nierówność

− 2 2

x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2 ≤ 0

Rozwiązanie

Szukamy pierwiastków wielomianu

2

W ( x) = −2 x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2

Pierwiastki: x=0 dwukrotny, x=1

jednokrotny, x=-2 dwukrotny.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

30

Graficzne rozwiązanie nierówności

Zaznaczamy na osi pierwiastki

wielomianu W( x):-2, 0, 1 wraz z krotnościami.

Y

-2

0

1

X

k=2

k=2

k=1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

31

Graficzne rozwiązanie nierówności

Rysujemy przebieg wykresu

wielomianu W( x):

- rozpoczynamy z prawej strony pod

osią OX, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest

ujemny.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

32

Graficzne rozwiązanie nierówności

Y

-2

0

1

X

k=2

k=2

k=1

2

W ( x) = −2 x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

33

Graficzne rozwiązanie nierówności

Rysujemy przebieg wykresu

wielomianu W( x):

- wykres przecina oś OX w punkcie x=1, gdyż krotność tego pierwiastka jest

nieparzysta,

- wykres „odbija się” od osi OX

(właściwie jest styczny do osi OX) w punktach x=0, x=-2, gdyż krotności tych pierwiastków są parzyste.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

34

Przebieg wykresu wielomianu W( x)

Y

-2

0

1

X

k=2

k=2

k=1

2

W ( x) = −2 x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

35

Graficzne rozwiązanie nierówności

y = W( x)

Y

-2

0

1

X

k=2

k=2

k=1

− 2 2

x ( x − 1)⋅ ( x + 2)2 ≤ 0 ⇔ x ∈{ − 2, 0 }∪

,

1 + ∞)

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

36

Funkcja wymierna

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

37

Funkcja wymierna

Funkcja wymierna to funkcja dana

wzorem

W ( x)

f ( x) = G( x)

gdzie W( x), G( x) są wielomianami i G( x) nie jest wielomianem zerowym.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

38

Dziedzina funkcji wymiernej

Dziedziną funkcji

W ( x)

f ( x) = G( x)

jest zbiór liczb rzeczywistych takich,

dla których G( x) ≠ 0 .

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

39

Przykłady

Dla każdego przykładu wyznacz

dziedzinę funkcji.

2 12

x

− 4 9

x + 1

f ( x) =

− 3 x + 2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

40

Przykłady cd.

− 3 8

6

4

1

1

x − x − x

g( x)

7

3

=

3

x − 1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

41

Przykłady cd.

− x113 + 2 x100 − 8 x

h( x) =

x

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

42

Przykłady cd.

4 2

x − 3 + 1

f ( x) =

x

2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

43

Przykłady cd.

5

3

1

1

− x − x − x

g( x)

3

4

=

wielomian

1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

44

Uwaga

Każdy wielomian W( x) jest funkcją

wymierną.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

45

Wykres - przykład 1

3

1

Y

x − 15

f ( x)

3

=

2

x + 3

X

D= R

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

46

Wykres - przykład 2

Y

12 x + 5

f ( x) =

2

x + 3

X

D= R

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

47

Wykres - przykład 3

1 x 3 − 3

3

Y

f ( x) = x2 − 3 x

X

D = R − { 0, 3 }

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

48

Własności f. wym. -przykład 1

1

f ( x) = x

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

49

Przykład 1 - wykres

Y

5

4

hiperbola

3

2

1

0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1

X

-2

-3

-4

-5

Wykresem funkcji y=1/ x jest krzywa, którą nazywamy hiperbolą.

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

50

Przykład 1 -własności cd.

1

f ( x) = x

1) dziedzina: D = R − { }

0

2) funkcja nie posiada miejsc zerowych

3) f ( x) > 0 dla x > 0, f ( x) < 0 dla x < 0

4) f ( x) ↓ 0 dla x ∈ (− ∞; 0); x ∈ ( ; 0 + ∞)

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

51

Przykład 1 -asymptoty

Oś OX jest asymptotą poziomą funkcji 1

f ( x) =

, co oznacza, że wykres zbliża

x

się do osi OX, gdy x → +∞ oraz gdy

x → −∞ .

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

52

Przykład 1 –asymptoty cd.

Oś OY jest asymptotą pionową funkcji 1

f ( x) =

co oznacza, że wykres zbliża

x

+

się do osi OY

x →

gdy

0 oraz gdy

−

x → 0 .

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

53

Przykład 2

1

f ( x) = x −1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

54

Przykład 2

Y

5

4

hiperbola

3

2

1

0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1

X

-2

-3

-4

-5

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

55

Przykład 3

1

f ( x) =

+ 1

x − 2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

56

Przykład 3

Y

5

4

hiperbola

3

2

1

0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1

X

-2

-3

-4

-5

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

57

Przykład 3 cd.

1

f ( x) =

+ 1

x − 2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

58

Przykład 3 cd.

1

f ( x) =

+ 1

x − 2

postać kanoniczna

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

59

Uwaga

Funkcja

1

f

( x) =

pocz

x

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

60

Uwaga

Funkcja

1

f

( x) =

pocz

x

przesunięta o wektor

r

u = [ p, q]

ma wzór

...

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

61

Uwaga

Funkcja

1

f

( x) =

pocz

x

przesunięta o wektor

r

u = [ p, q]

ma wzór

f ( x =

1

)

+ q

x − p

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

62

Przykład 3 cd.

1

f ( x) =

+ 1

postać kanoniczna

x − 2

1

1

x −

f ( x) =

+ 1 =

+

2 =L

x − 2

x − 2

x − 2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

63

Przykład 3 cd.

1

1

x −

f ( x) =

+ 1 =

+

2 =

x − 2

x − 2

x − 2

1 + x −

=

2 =L

x − 2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

64

Przykład 3 cd.

1

1

x − 2

f ( x) =

+ 1 =

+

=

x − 2

x − 2

x − 2

1 + x − 2

x − 1

=

=

x − 2

x − 2

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

65

Przykład 3 cd.

1

f ( x) =

+ 1

postać kanoniczna

x − 2

x − 1

f ( x) = x − 2

postać ogólna

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

66

Przykład 3 cd.

Aby dostać funkcję

1

f ( x) =

+ 1

x − 2

trzeba funkcję

1

f

( x) =

pocz

x

przesunąć o wektor

r

u = [2, ]

1

A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a – s e m e s t r 1 , W S Z i M w S o c h a c z e w i e

67