WNUM Lab 3: Rozwiązywanie równań nieliniowych.

• Zakres materiału:

1. Zbieżność i dokładność algorytmów iteracyjnych 2. Iteracyjne algorytmy rozwiązywania równań nieliniowych

3. Algorytmy numeryczne MATLAB-a: fzero, fsolve, roots, polyval

• Przykładowe zadania (do przygotowania przed zajęciami): 1. Dane jest równanie: sin( x)

3 / 2

⋅ x

= 5 ⋅ ( x −10)

A. Wykreśl przebieg funkcji f ( x) = sin( x) 3 / 2

⋅ x − 5⋅( x −10) w przedziale [15;55]

B. Zapamiętaj w tablicy wszystkie przybliżenia pierwiastków funkcji f(x) uzyskane za pomocą fzero dla 21 wartości początkowych rozłożonych równomiernie w przedziale

[20;50]

C. Uporządkuj ( sort) uzyskane pierwiastki, usuń pierwiastki nie należące do danego przedziału ( find) oraz powtórzenia pierwiastków w wektorze wynikowym.

D. Na

wykresie

funkcji

f(x) zaznacz położenie pierwiastków za pomocą czerwonych kółek.

2. Dane jest równanie: (

w x) = 0 , gdzie (

w x)

4

= x − 4 3

x + 2 2

x + 4 x − 3

A. Wyznacz pierwiastki wielomianu za pomocą procedury roots.

B. Wykreśl przebieg wielomianu, zaznaczając uzyskane miejsca zerowe. Zwróć uwagę na krotność pierwiastków.

C. Wyznacz

położenie jednego z zer za pomocą procedury fzero. Sprawdź wartość wielomianu w uzyskanym przybliżeniu pierwiastka.

D. Zaprogramuj metody bisekcji, Newtona-Raphsona oraz siecznych dla uzyskania przybliżenia jednego z pierwiastków. Czy każdy z pierwiastków tego wielomianu może być wyznaczony przez obydwie metody? Dlaczego?

E. Wykreśl zależności błędu przybliżeń generowanych przez te algorytmy od numeru iteracji.

3. Dla sieci elektrycznej przedstawionej na rysunku wykonaj następujące czynności.

A. Ułóż i rozwiąż układ równań nieliniowych ( fsolve) sieci elektrycznej zakładając, że model diody ma postać I = I ⋅ exp U / V ) d

s

( d T , a ponadto: I s=8e-15A, V T=19mV, U 0=5V, R 1=2kΩ, R 2=2kΩ, R 3=1kΩ.

B. Wyznacz jakobian układu równań. Porównaj szybkość zbieżności metody iteracyjnej ( fsolve) rozwiązującej układ równań sieci elektrycznej w dwóch wariantach: bez wykorzystania jakobianu (jak w p. A) i z wykorzystaniem jakobianu (opcja ‘Jacobian’).

C. Zbadaj

wpływ punktu startowego na liczbę iteracji

Leszek J. Opalski, 31.I II.2010