2007 rok, I termin
Punktacja: każde zadanie 2 pkt.
1. W
2
R rozważamy topologię wprowadzoną przez bazę β = {(a , ∞) × (b , ∞) : a , b ∈ R \ Q }.
Czy
2
R z tą topologią
a) spełnia aksjomat II AP
b) jest przestrzenią ośrodkową
c) spełnia aksjomat T0
d) spełnia aksjomat T3 ?
2. Rozważamy X = R z topologią wyróżnionego punktu 0, Y = R z topologią zadaną przez metrykę dyskretną. W X × Y rozważamy topologię produktową. Wyznaczyć wnętrze i domknięcie zbioru A = {(x , y) ∈
2
R : y < x + 1 }.
3. Czy zbiór R \ Q jest spójny w przestrzeni R rozważanej z topologią a) wyróżnionego punktu 0
b) zadanej przez metrykę dyskretną
c) dopełnień (co najwyżej) przeliczalnych
d) τ = { U ⊂ R : N ⊂ U ∨ Z ∩ U = ∅} ?
4. Rozważamy
2
R z topologią naturalną. Czy zbiór A = (R × Q) ∪(N × R) z topologią indukowaną z
2
R jest przestrzenią:
a) lokalnie spójną
b) drogowo spójną
c) zupełną
d) lokalnie zwartą ?
5. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, F podzbiorem domkniętym X. Czy prawdziwe są następujące implikacje (w F rozważamy topologię indukowaną): a) X lokalnie zwarta = ⇒ F lokalnie zwarty b) X spełnia aksjomat T4 = ⇒ F spełnia aksjomat T4
c) X metryczna zupełna = ⇒ F przestrzeń zupełna z metryką indukowaną d) X spójny = ⇒ F spójny ?
6. Podać przykład zwartego zbioru w
2
R (z topologią naturalną), który nie jest lokalnie spójny i ma 2 składowe spójne.
7. Czy funkcja f:
2
R 3 x 7→ (x , − x) ∈ R jest ciągła, jeśli R rozważamy z topologią naturalną, a 2
R z topologią
a) zadaną przez metrykę rzeki R × { 0 }
b) zadaną przez metrykę węzła kolejowego (0 , 0) c) dopełnień skończonych
d) τ = { U ⊂
2
R : U = ∅ ∨ (0 , 1) × R ⊂ U } ?
8. Czy dla dowolnych przestrzeni topologicznych X , Y i dowolnej funkcji ciągłej f: X → Y prawdziwe są implikacje
a) X spójna = ⇒ f(X) spójny
b) X przestrzeń metryczna zupełna, Y przestrzeń metryczna = ⇒ f(X) zupełna z metryką indukowaną z Y
c) B ⊂ Y zwarty = ⇒ f − 1(B) zwarty d) X spełnia aksjomat T2 = ⇒ f(X) spełnia aksjomat T2 ?
9. Podać przykład zbioru A ⊂ R i punktu x ∈ R \ A, dla których nie zachodzi teza lematu Urysohna.
10. Podane niżej zbiory podzielić na grupy tak, aby dowolne dwa zbiory z tej samej grupy były homeomorficzne, a dowolne dwa zbiory z różnych grup nie były homeomorficzne: a) okrąg jednostkowy S1 w
2
R
b) odcinek [0 , 1]
c) Q ∩ [0 , 1]
d) {(x , y) ∈
2
R : (x − 1)2 + y2 = 1 ∨ (x + 1)2 + y2 = 1 }
e) N
f) {(x , cos x) ∈
2
R : x ∈ [0 , π] }
Wszystkie zbiory rozważamy z topologią naturalną indukowaną z 2
R lub R .
11. Pokazać na przykładzie, że teza tw. Baire’a nie zachodzi, jeśli rozważane w założeniach zbiory są brzegowe (wszystkie inne założenia mają być spełnione).
12. Podać definicję średnicy zbioru w przestrzeni metrycznej.
13. Podać definicję topologii wprowadzonej przez metrykę.
14. Sformułować twierdzenie o wprowadzaniu topologii przez pełny układ otoczeń (dokładniej: przez rodzinę, która będzie pełnym układem otoczeń dla wprowadzanej topologii).
15. Podać definicję przestrzeni lokalnie zwartej.
16. Podać definicję przestrzeni normalnej.
17. Sformułować w języku ciągów i ich granic warunek równoważny zwartości podzbioru przestrzeni metrycznej.