2 luty 2007
Każde zadanie powinno być rozwiązane na oddzielnej kartce. Wszystkie odpowiedzi należy uzasadnić. Na każdej kartce z rozwiązaniem powinno być:
• imię i nazwisko osoby zdającej oraz jej numer indeksu,
• numer grupy ćwiczeniowej do której osoba zdająca uczęszczała, lub nazwisko osoby prowa-dzącej ćwiczenia i termin zajęć.
• numer rozwiązywanego zadania
Zadanie 1
Niech S(( x
2
1 , x 2)) , r)
oznacza okrąg na płaszczyźnie euklidesowej R
o środku w punkcie
( x 1 , x 2) i promieniu r > 0 i niech
∞
1
1
∞
1
X
[
[
1 =
S(( , 0) ,
) ,
X 2 =
S((0 , 0) ,
) ∪ {(0 , 0) },
n
n
n
n=1
n=1
∞
∞
r
X
[
[
n
3 =
S(( an, 0) , rn) ∪ {(0 , 0) }, X 4 =
S(( an, 0) ,
) ∪ {(0 , 0) },
2
n=1
n=1
gdzie rn = 1 ( 1 − 1 ) , a
− r
2 n
n+1
n = 1
n
n dla n = 1 , 2 , ... Dla każdej pary i, j 6= i ustalić czy przestrzenie Xi oraz Xj są homeomorficzne. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 2
∞
Niech X
S
1 = Q × [0 , 1] , X 2 =
{ 1 } × [0 , 1] , X
n
3 = N × [0 , 1] , X 4 = N × (0 , 1) będą podprzestrzeniami n=1
płaszczyzny euklidesowej, gdzie N i Q oznaczają odpowiednio zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych. Zbadać, które z przestrzeni X 1 , X 2 , X 3 , X 4 są metryzowalne w sposób zupełny tj. są homeomorficzne z przestrzenią metryczną zupełną.
Zadanie 3
Niech X będzie przestrzenią topologiczną zwartą i f : X →
3
R przekształceniem ciągłym w prze-
strzeń euklidesową
3
3
R . Pokazać, że dla każdego punktu a przestrzeni R , który nie należy do f ( X) , istnieją liczby rzeczywiste 0 < r < R takie, że f ( X) ⊂ B( a, R) \ B( a, r) , gdzie B( x, s) oznacza kulę otwarta o środku x i promieniu s.
Zadanie 4
Podzbiór A przestrzeni metrycznej X nazywamy ε− gęsty jeżeli kule otwarte o środkach w punktach należących do A oraz promieniu ε stanowią pokrycie przestrzeni X.
Wykazać, że jeżeli przestrzeń metryczna X dla każdego ε > 0 zawiera spójny i ε− gęsty podzbiór Xε, to jest spójna.
Czy jest prawdą, że jeżeli przestrzeń X dla każdego ε > 0 zawiera łukowo spójny i ε− gęsty podzbiór Xε, to jest łukowo spójna?
Zadanie 5
Zbiór liczb rzeczywistych R z topologią, której bazą jest rodzina {[ a, b) }a<b,a∈ nazywa się strzałką.
R
Zbadać, czy podprzestrzeń strzałki [0 , 1] jest (a) przestrzenią topologiczną zwartą.
(b) przestrzenią topologiczną spójną.