Granice – wzory i techniki, które warto znać Przemysław Pawełczyk
1. Ważne granice
1
lim(1 + x) x = e
(1)
x→ 0
log (1 + x)
lim
a
= log e
(2)
a
x→ 0
x
ax − 1
lim
= ln a
(3)
x→ 0
x
(1 + x) a − 1
lim
= a
(4)
x→ 0
x
Dowody
1
α
1. Oznaczmy przez α = 1 . Wówczas gdy x → 0 to α → ±∞. lim x = lim
1 + 1
= e.
x
x→ 0(1+ x)
α→∞
α
1
2. Z log a(1+ x) = log (1 + x) x , ciągłości funkcji logarytmicznej oraz (1) znajdujemy pożądaną granicę.
x
a
3. Niech ax − 1 = α. Wówczas przy x → 0 (na podstawie ciągłości funkcji wykładniczej) mamy także α → 0. Tak więc x = log (1 + α) i na mocy (2): lim ax− 1 = lim
α
=
1
= ln a.
a
x→ 0
x
α→ 0 log a(1+ α)
log a e
4. Przyjmijmy (1 + x) a − 1 = α. Przy x → 0 (ze względu na ciągłość funkcji potęgowej) mamy α → 0. Logarytmując równość (1 + x) a = 1 + α otrzymujemy, że: a ln(1 + x) = ln(1 + α), dzięki czemu możemy napisać: (1+ x) a− 1 = α =
α
· a · ln(1+ x) co po uwzględnieniu (2) dla ilorazów x
x
ln(1+ α)
x
α
oraz ln(1+ x) (dążą do jedności) pozwala nam znaleźć granicę.
ln(1+ α)
x
Uwaga: Granice 1-4 pozostają prawdziwe, jeżeli za x weźmiemy dowolną funkcję α( x) zbieżną do 0
gdy x → x 0.
2. Chwyty
1. lim[ f ( x)] ϕ( x). W przypadku granic skończonych lim f ( x) = A > 0, lim ϕ( x) = B zachodzi związek x→a
x→a
x→a
lim[ f ( x)] ϕ( x) = lim eϕ( x) ln f( x) = eB ln A = AB
x→a
x→a
Jeżeli lim f ( x) = 1 oraz lim ϕ( x) = ∞, to korzystając z (1) i ciągłości funkcji wykładniczej, x→a
x→a
można zastosować następujące przekształcenie:
1
ϕ( x)( f ( x) − 1) lim ϕ( x)( f ( x) − 1) lim[ f ( x)] ϕ( x) = lim[1 + ( f ( x) − 1)] ϕ( x) = lim [1 + ( f ( x) − 1)] f( x) − 1
= e x→a
x→a
x→a
x→a
Przykład:
1
ax + bx ! x
√
lim 1 ( ax+ bx − 1)
1 lim ( ax− 1 + bx− 1 )
1
lim
= e
x
2
2
x
x
(ln a+ln b)
x→ 0
= e x→ 0
= e 2
=
ab
x→ 0
2
2. lim f ( x) · g( x). Jeżeli znamy jakieś granice ilorazów funkcji również przy x → a, w których x→a
występuje f ( x) lub g( x), pomocne może się okazać pomnożenie i podzielenie przez tą drugą część pod granicą. Przykład:
ln cos x
ln(1 + (cos x − 1))
x 2
cos x − 1
− 2 sin2 x ( x )2
lim √
= lim
· √
·
= 4 lim
2 · 2
= − 2
x→ 0 4 1 + x 2 − 1
x→ 0
cos x − 1
4 1 + x 2 − 1
x 2
x→ 0
( x )2
x 2
2
– 1 –
Granice – wzory i techniki, które warto znać Przemysław Pawełczyk
3. Nieskończenie małe
Funkcja α( x) nazywa się nieskończenie małą gdy lim α( x) = 0. Analogicznie określa się nieskoń-
x→a
czenie małą funkcję gdy x → ∞. Funkcje nieskończenie małe mają następujące własności: 1. Suma i iloczyn dowolnej, skończonej ilości funkcji nieskończenie małych jest także nieskończenie małą.
2. Iloczyn funkcji nieskończenie małej i funkcji ograniczonej jest funkcją nieskończenie małą.
Niech funkcje α( x) i β( x) będą nieskończenie małe gdy x → a i niech α( x)
lim
= c
x→a β( x)
Jeżeli c = 0, to funkcja α( x) nazywa się nieskończenie małą wyższego rzędu w porównaniu z β( x), zaś β( x) - nieskończenie małą niższego rzędu w porównaniu z α( x), co zapisujemy α( x) = o( β( x)) Jeżeli c ∈ R+ to funkcje α( x) i β( x) nazywają się nieskończenie małymi tego samego rzędu.
Jeżeli c = 1, to funkcje α( x) i β( x) nazywają się równoważnymi, co zapisujemy α( x) ∼ β( x).
Jeżeli c = ±∞ zachodzi sytuacja odwrotna do c = 0.
Gdy nie istnieje powyższa granica, mówimy że nieskończenie małe funkcje są nieporównywalne.
Jeżeli lim α( x) = c, gdzie 0 < |c| < ∞, to funkcja α( x) nazywa się nieskończenie małą n-tego x→a β( x) n
rzędu w porównaniu z funkcją β( x).
Jeżeli funkcje α( x) i β( x) są nieskończenie małe dla x → a, i jeżeli α( x) ∼ γ( x), β( x) ∼ δ( x), to α( x)
γ( x)
lim
= lim
( zasada zamiany równoważnych)
x→a β( x)
x→a δ( x)
Jeżeli lim f ( x) = k, 0 < |k| < ∞, to x→a
f ( x) α( x) ∼ kα( x) Jeżeli α( x) ∼ γ( x) i β( x) ∼ γ( x), to α( x) ∼ β( x).
Na to, aby dwie nieskończenie małe funkcje były równoważne, potrzeba i wystarcza, by ich różnica była nieskończenie małą wyższego rzędu w porównaniu z każdą z nich.
Nieskończenie małe równoważne przy x → 0: sin α( x) ∼ arcsin α( x) ∼ tg α( x) ∼ arctg α( x) ∼ ln(1 + α( x)) ∼ 1 [(1 + α( x)) p − 1] ∼ eα( x) − 1 ∼ α( x) p
Przykłady:
e sin2 x − 1
1
e sin2 x − 1 ∼ sin2 x ∼ x 2
lim
=
,
bo
x→ 0 ln(1 + tg(2 x 2))
2
ln(1 + tg(2 x 2)) ∼ tg(2 x 2) ∼ 2 x 2
√
√
sin 3 x ∼ 3 x
√
√
sin 3 x ln(1 + 3 x)
3 x · 3 x
3
ln(1 + 3 x) ∼ 3 x
lim
√
√
= lim
√ = ,
bo
√
√
x→ 0 (arc tg
x)2( e 5 3 x − 1)
x→ 0 x · 5 3 x
5
arc tg
x ∼
x
√
√
x
e 5 3
− 1 ∼ 5 3 x
Przykład (de l’Hospital):
1
1
1
(1 + x)
ln(1+ x) − 1
ln(1+ x) − 1
1
x − e
e x
− 1
e x
− 1
ln(1 + x) − 1
lim
= e lim
= e lim
· x
=
x→ 0
x
x→ 0
x
x→ 0 1 ln(1 + x) − 1
x
x
ln(1 + x) − x
1
− 1
H
1
= e lim
= e lim 1+ x
= − e
x→ 0
x 2
[ 0 ]
x→ 0
2 x
2
0
– 2 –
Granice – wzory i techniki, które warto znać Przemysław Pawełczyk
4. Lokalny wzór Taylora
Lokalnym wzorem Taylora (lub wzorem Taylora z resztą w postaci Peano) nazywamy wzór: f 0( a)
f 00( a)
f ( n)( a)
f ( x) = f ( a) +
( x − a) +
( x − a)2 + . . . +
( x − a) n + o(( x − a) n) 1!
2!
n!
Dla a = 0 otrzymujemy wzór Maclaurina z resztą w postaci Peano.
f 0(0)
f 00(0)
f ( n)(0)
f ( x) = f (0) +
x +
x 2 + . . . +
xn + o( xn)
1!
2!
n!
Z lokalnego wzoru Taylora wynika, że zastępując dla x → a funkcję f ( x) w otoczeniu punktu a wielomianem Taylora n-tego stopnia, popełniamy błąd będący nieskończenie małą wyższego rzędu niż ( x − a) n.
W obliczeniach najczęściej jest stosowanych pięć podstawowych rozkładów x 2
xn
ex = 1 + x +
+ . . . +
+ o( xn)
2!
n!
x 3
x 2 n− 1
sin x = x −
+ . . . + ( − 1) n− 1
+ o( x 2 n)
3!
(2 n − 1)!
x 2
x 4
x 2 n
cos x = 1 −
+
− . . . + ( − 1) n
+ o( x 2 n+1)
2!
4!
(2 n)!
a 2
an
(1 + x) a = 1 + ax +
x 2 + . . . +
xn + o( xn)
2!
n!
x 2
x 3
xn
ln(1 + x) = x −
+
− . . . + ( − 1) n− 1
+ o( xn)
2
3
n
gdzie an = a( a − 1) . . . ( a − n + 1) i czytamy to: a dolna silnia n.
|
{z
}
n
Przykład:
1
1
x 2
1
sin 3 x x 2
3 x − (3 x)3 + o( x 4)
3
x 2
lim
= lim
3!
x 2
= lim 1 −
+ o( x 3)
=
x→ 0
3 x
x→ 0
3 x
x→ 0
2
− 3 x 2+ o( x 3) 2
1
x 2
− 3 x 2+ o( x 3)
3
2
− 3 x 2+ o( x 3) lim
lim − 3 + o( x)
= lim
x 2
2
2
x→ 0
x 2
x→ 0
1 −
+ o( x 3)
= e
= e
= e− 32
x→ 0
2
Przykład (nieskończenie małe):
(2 x)2
1
1
2 x−
+ o( x 2)
2
(1 + 2 x)
ln(1+2 x) − 2
− 2
x − e 2
e x
− 1
e
x
− 1
lim
= e 2 lim
= e 2 lim
=
x→ 0
x
x→ 0
x
x→ 0
x
e− 2 x+ o( x) − 1
− 2 x + o( x)
= e 2 lim
·
= − 2 e 2
x→ 0 − 2 x + o( x) x
Literatura
[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom I, PWN, Warszawa 1976
[2] I. A. Maron, Zadania z rachunku różniczkowego i całkowego: Funkcje jednej zmiennej, WNT, Warszawa 1974
– 3 –