Liczby zespolone .
z
1. Obliczyć : z ± z , z ⋅ z , z , z , z ⋅ z , 2 , gdzie z = 4 + i 5 , z = 3 − i
2 .
1
2
1
2
1
2
1
2
z
1
2
1
(1+ i)9
2. Obliczyć : a) 17
18
19
20
i
+ i + i + i , b) (
.
1 − i)7
3. Rozwiązać równanie : a) 2
z + 2 ⋅ z = −1 , b) 2
z − 3 − 4 i = 0 .
4. Rozwiązać układ równań :
z + 2 z = 1 + i
1
2
.
3 z + iz = 2 − i
3
1
2
5. Znaleźć zbiór z ∈ C spełniających warunek ( zrobić rysunek ) :
1
z + 2 i
2 i
a)
Re
≤ 1 ; b) Im
≥ 1 ; c) Re
≤ 1 ; d ) sin ≥ 0 .
z +
z
1
2 − i
z
6. Korzystając z interpretacji geometrycznej z − z
1
2 narysować zbiory :
z − i
a) z + 1 = 3 ; b) z − i − 1 ≤ 2 ; c)
≥ 2 ;
1 + i
d ) 1 − iz ≤ 3 ; e) z − i = z + i ; f ) z − i ≤ z + 1 ; g )
z − 2 + z + 2 = 6 .
7. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone :
π
π
i ; − 1 ; 8 ; 2 + i
2 ; − 3 + i ; 1 − i ; 1 + i 3 ; cos
− i sin ; ( + )11
1 i
;
7
7
(− 3 + i)10(1− i)8
(
.
1 + i 3)9
8. Wyrazić sin α
3 i cos α
3 za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta α .
9. Udowodnić twierdzenie : jeŜeli z
jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach
0 ∈ C
rzeczywistych , to z teŜ jest pierwiastkiem tego wielomianu .
0
10. Rozwiązać równanie :
a) 2
z − 2 z + 5 = 0 ; b) 2
z + 3 z − i = 0 ;
c) 3
z + 1 = 0 ; d )
6
L
L
z − 1 = 0 ;
e) 6
z + i = 0 ; f ) 5
z + 4 3
2
z − iz − 4 i = 0 ;
n
− n+
7
6
5
4
3
1
1
2
z
g ) z + z + z + z + z + z + z + 1 = 0 , wsk.: 1 + z + K + z =
dla z ≠ 1
1 − z
11. Liczba z =
3
0
− i jest jednym z pierwiastków szóstego stopnia z liczby ω ,
obliczyć ω . Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej 6 ω .
12. Wiedząc , Ŝe z = 2
4
3
2
0
− i jest pierwiastkiem wielomianu W ( z)= z − 6 z +15 z −18 z +10
znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu .
- 6 -
ALGEBRA - TYDZIEŃ 7 - 9 ( W TYGODNIU 8 KOLOKWIUM - 90 minut ) Przestrzeń wektorowa , macierze , odwzorowania liniowe , wyznaczniki .
1. Zbadać liniową zaleŜność wektorów :
a) ( ,
1 0) , (0 )
1
, , (4, )
2
3
w R ; b) ( ,
1 0,0) , (0 0
,
1
,
), ( ,5
,
3
)
3
0
w R .
3
2. Sprawdzić , czy dany układ wektorów tworzy bazę w R :
a) (2, ,
0 2) , ( ,
1
0
,
3 ) , (0 0
,
)1
,
; b) ( ,
1 2 3
, ) , ( ,
3 2 )
1
, , (2,2,2)
.
3. Znaleźć współrzędne wektora w podanej bazie :
a) ( ,
1 )
2
2
w
R . w bazie { ( 1
,
1 ) , ( ,
1 0) } ;
b) (
)
3
1
,
1
,
1
w
R . w bazie { ( ,
1 1
,
3 ) , ( ,
1 0,0) , (2 1
,
1
,
) } .
4. Udowodnić , Ŝe przestrzeń wektorowa wielomianów stopnia ≤ n jest wymiaru ( n + 1 ) .
Podać jedną z baz tej przestrzeni .
5. Znaleźć macierz X , dla której
T
A + 2 X = B , jeŜeli
1 3
0
1
3
4
A = 1 3 −
1 , B = 1 3 1 .
2 1
0
0 −1 2
− 2 0
1 4 −
1
6. Znaleźć A ⋅ B , B ⋅ A , ( A ⋅ ) T
B
, T
T
B ⋅ A , jeŜeli A =
, B =
1
3 .
2 0
1
−1 1
2
−
1
7. Znaleźć A 2 − 5 A + 3 I , jeŜeli A =
.
− 3
3
8. Znaleźć zbiór macierzy kwadratowych stopnia 2 dla których kwadrat jest macierzą zerową tzn. 2
A = 0 .
9. Dane są odwzorowania :
2
2
A :
2
R → R
(
A x) = ( 5 x , 2 x ) : B : R → R
B( ( x , x ) ) = ( x + 2 x , 2 x + 3 x ) 1
2
1
2
1
2
a) Wykazać , Ŝe odwzorowania A i. B są liniowe oraz znaleźć macierze tych odwzorowań ( w bazach standardowych ) .
b) Znaleźć odwzorowania B o A i
1
−
B
( z definicji ) i podać ich macierze . Omówić
związek tych macierzy z macierzami odwzorowań A i B .
10. Obliczyć wyznaczniki :
1
0
0
0
−1 2 3
1
1
1
2
2
ax
a + x
1
a
2
0
0
a)
1
5
−1
b)
x
y
z
c)
2
2
ay
a + y
1
d )
b
c
3
0
2
0
1
2
2
2
2
2
x
y
z
az
a + z
1
d
e
f
4
2
1
2
3
4
1
3
3
2
2
1 + x
1
1
1
1
1
2
3
4
3
−1 4 1 1
1
1 − x
1
1
e)
f )
2
2
5
6
8
g)
2
1
1
5
1 .
1
1
1 + y
1
2
1
2
4
4
1
−1 0 1 5
1
1
1
1 − y
1
1
2
3
5
4
1
1
2
2
- 7 -
Rozwiązywanie układów równań: metoda macierzowa , Cramera , eliminacji Gaussa.
1.
Znaleźć rzędy macierzy :
1 1 1 2 2 3
1
0
0
0
− 1 2 1 − 2
3
2
2
2
3
3
4
a)
2 − 1 − 5
3
b)
c)
2
1
4
5
0
3 3 3 4 4 5
1
1
5
−
3
0
5
6
1
6
4 4 4 5 5 6
2.
Rozwiązać równanie macierzowe AXB = C , gdzie
1 1
3
2 3
3
0
1
A =
,
B = 0 1 − 1
,
C =
.
1 2
2 1 − 1
0 0 1
3.
Wyznaczyć macierz X z równania ( A , B macierze kwadratowe nieosobliwe ) :
−
a)
( A +
1
−
X ) B = A
,
b)
AT X − A 1 = B
(
T
AT )−1 = ( 1
−
A
)
−
−
−
Uwaga : skorzysta
1
1
ć ze wzorów
,
( AB)
1
= B A .
4.
Rozwiązać układ równań
x + y + 2 z = 8
x
+ 4 z = 11 a) metodą macierzową , b) metodą Cramera .
2 x + y − 2 z = 3
5.
Do rozwiązania układu z zadania 4. zastosować :
a) algorytm częściowej eliminacji Gaussa – doprowadzić do macierzy trójkątnej górnej b) algorytm pełnej eliminacji Gaussa : A b → I X . Omówić metodę
−
wyznaczenia
1
A
:
1
−
A b I → I X A
oraz obliczenia det A .
6.
Rozwiązać układ :
b)
2 x − y = 1
−
c)
3 x − 2 y + z = 0
a)
x − y + 2 z = 3
x + 5 y = 1
kx − 14 y + 15 z = 0
2 x + 3 y − 5 z = 1
3 x − 2 y = 2
x + 2 y − 3 z = 0
7.
Przeprowadzić dyskusję rozwiązalności w zaleŜności od parametrów a i b : a)
x + 4 y = a
b)
3 x − 2 y + z = b
3 x −
y = 1
5 x − 8 y + 9 z = 3
ax − 5 y = −1
2 x + y + az = −1
8.
Przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać metodą częściowej eliminacji Gaussa ( a- parametr )
2 x − y + z + t = 1
x −
y + 2 z − t = 1
a) x + 2 y − z + 4 t = 2 b) − 3 x + 2 y + z + t = 1
x + 7 y − 4 z + 11 t = 5
− x
+ 5 z + at = 3
x − y + z = 4
3 x − 5 y + 2 z + 4 t = 0
x + 2 y + z = 1
c) 7 x − 4 y + z + at = 0 d )
.
2 x + y − 3 z = −5
5 x + 7 y − 4 z − 6 t = 0
x + y + z = a
- 8 -
Wartości i wektory własne . Formy kwadratowe .
1. Udowodnić :
1
a) jeŜeli λ jest wartością własną macierzy nieosobliwej A , to λ jest wartością własną
−
macierzy
1
A
.
b) jeŜeli λ jest wartością własną macierzy nieosobliwej A , to 2
λ jest wartością własną
macierzy
2
A .
2. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy :
4 1 0
3
4
−
−
A =
,
B = 0 3 2
,
1
A
,
1
B
,
2
A ,
2
B .
4 − 3
0 0 1
3. Sprowadzić formę do postaci kanonicznej , znaleźć macierz przekształcenia B : 2
2
2
a) f (
=
+
+
+
1
x , x 2 , x 3 )
1
x
x 2
2 x 3
4 1
x x 2
2
2
2
b) f (
=
+
+
−
−
1
x , x 2, x 3 )
1
x
2 x 2
x 3
2 1
x x 2 2 x 2 x 3 .
4. Korzystając z odpowiedniego twierdzenia sprawdzić , czy forma jest istotnie określona : 2
2
2
a) f (
= −
−
−
+
1
x , x 2, x 3 )
4 1
x
2 x 2
3 x 3
2 1
x x 3
2
2
2
b) f (
=
+
+
+
−
1
x , x 2, x 3) 3 1
x
4 x 2
5 x 3
4 1
x x 2 4 x 2 x 3 .
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej .
1. Dany jest równoległobok ABCD , gdzie A =
)
1
,
0
,
1
(
, B = ( ,
3 −
)
5
,
1
, C = (
)
3
,
1
,
2
,
obliczyć :
a) wierzchołek D ; b) miarę kąta B ; c) pole równoległoboku ; d) wysokość poprowadzoną z wierzchołka A .
2. Sprawdzić , czy
r
r
r
a) wektory a = ,
1
( − ,
1 2) , b = ( ,
0 ,
4 − )
1 , c = ( ,
2
)
3
,
2
są współpłaszczyznowe ;
b) punkty P =
)
1
,
1
,
1
(
, Q = (
,
1
,
0 2) , R = (−
,
3
,
1 0) , S = (
,
0
,
5
−4) leŜą na jednej płaszczyźnie .
3. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = ( ,
3 ,
4 2) i prostopadłej
r
do wektora u = ( ,
3 −
)
1
,
2
.
4. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = ( ,
2 −
)
3
,
1
, B = ,
1
(
,
4 2) i
r
równoległej do wektora u = (
)
5
,
1
,
3
.
5. Dla jakiej wartości parametru k płaszczyzny 2 x − y + kz − 2 = 0 i 3 kx + y + 2 z + 1 = 0
są prostopadłe ?
6. Dla jakich wartości parametrów k i p płaszczyzny x + ky − z − 6 = 0 i px + y − kz + 3 = 0
są równoległe ?
- 9 -
7. Obliczyć objętość czworościanu ABCD , gdzie A = (
)
5
,
1
,
2
, B =
)
3
,
1
,
1
(
, C = ,
1
(
,
2 4) ,
jeŜeli D leŜy w płaszczyźnie 2 x + y − z + 5 = 0 .
8. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu i przez prostą powstałą z przecięcia płaszczyzn x + 3 y − z + 1 = 0 i 2 x − y + 2 z + 5 = 0 .
9. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą powstałą z przecięcia płaszczyzn z = 1 , x + 2 y + 1 = 0 i odległą od punktu A = (
)
1
,
1
,
0
o 1 .
10. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą powstałą z przecięcia płaszczyzn 2 x − z = 0 , x + y − z + 5 = 0 i prostopadłą do płaszczyzny 7 x − y + 4 z − 3 = 0 .
11. Dla jakich parametrów a i b płaszczyzny
2 x − y + 3 z − 1 = 0 , x + 2 y − z + b = 0 , x + ay − 6 z + 10 = 0
a) nie mają punktu wspólnego;
b) mają jeden punkt wspólny;
c) mają nieskończenie wiele punktów wspólnych zaleŜnych od jednego parametru ( przecinają się wzdłuŜ prostej ) .
12. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt A = ( 2,− 1, ) 1 i równoległej do
r
wektora u = ( 3, 2,− 2) .
13. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej l : x − 2y + z − 3 = 0 , x + y − z + 2 = 0 ; wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = ( 2,− 1, ) 1 i prostopadłej
do prostej l .
14. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt P =
, ,
oraz punkt
0
( 2 3 1)
x − 1
y
z − 1
przebicia prostej
=
=
z płaszczyzną 4 x − y + 3z + 8 = 0 .
1
− 2
3
15. Zbadać wzajemne połoŜenie prostych l : x − y + z = 1 , x + 2 y + 3 z = 3 i 1
l
: x = 3 t , y = − 1 + t , z = − t .
2
16. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt P =
, ,
i prostopadłej
0
( 2 3 1)
x − 1
y + 1
z + 2
do prostych l : x = 1 , y = − 1 + 2 t , z = 3 t i l :
=
=
.
1
2
5
2
− 3
17. Dla jakiego parametru " a" płaszczyzny : x − 2 y − z = 0 , − x + 5 y + 2 z = 0 , 2 x − y + az = 0 przecinają się :
a) w jednym punkcie , znaleźć ten punkt ;
b) wzdłuŜ prostej , znaleźć jej przedstawienie parametryczne .
18. Znaleźć rzut punktu A = ( 2 3
, , 6
− ) na płaszczyznę x + 2 y + z + 4 = 0 .
19. Znaleźć rzut punktu B = ( 2 3
, ,− )
1 na prostą l : x = 3t ,
y = − 1 + t , z = − t .
x
y − 1
z + 1
20. Znaleźć rzut prostej
=
=
na płaszczyznę x + y + z = 0 .
2
− 1
2
- 10 -
Powierzchnie drugiego stopnia ( w tygodniu 14 KOLOKWIUM 90 minut ) .
1. Znaleźć równanie sfery o środku w początku układu stycznej do prostej
l : x − z −1 = 0 , y − 2 z + 1 = 0 .
2. Przez punkt M(2, 2, 4) poprowadzi
2
2
ć płaszczyznę styczną do powierzchni x + y + ( z − 3 2
) = 9 .
Narysować i opisać przecięcia tej powierzchni płaszczyznami z = ,
1 x = 0 .
3. Znaleźć równanie powierzchni powstałej przez obrót
a) dokoła osi 0z prostej l : x = − t , y = ,
1 z = t ( narysować powierzchnię).
b) dokoła osi 0y prostej k : 2 x − y = 0 , x + z −1 = 0 .
2
z
4. Znale
2
źć równanie powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi 0z krzywej y −
= 1 , x = 0
4
( rys.) .
5. Znaleźć tworzące prostoliniowe powierzchni:
a)
2
2
2
x + y − z = 1 przechodzące przez punkt A( 1, 1, 1), b) x 2 − y 2 = z przechodzące przez punkt B( 2, 1, 3).
6. Znale
2
2
źć równanie powierzchni stoŜkowej o kierownicy x + y + ( z − 5 2
) = 9 , z = 4 i
wierzchołku O( 0, 0, 0).
7. Znaleźć równanie powierzchni walcowej o kierownicy z = 2 2
y , x = 3 i tworzących równoległych
do wektora u [1, 0, 2].
TYDZIEŃ 15
Elementy geometrii róŜniczkowej
1. Napisać równania krawędzi i płaszczyzn trójścianu Freneta dla krzywej
a) r( t ) = ( a cos t, a sin t, bt) w punkcie odpowiadającym wartości parametru t = 0; r( t ) = ( t
t
t
e cos t , e sin t , e )
b)
w punkcie P 0(1, 0, 1).
r( t ) = (2 et − t, et − 3 , t)
2. Wykazać, Ŝe krzywa
, t ∈ R jest płaska i znaleźć płaszczyznę , na której
leŜy.
3. Obliczyć krzywizny krzywych
a) paraboli y = x 2 − 2 x w punkcie P(1, -1);
2
2
x
y
b) elipsy
+
= 1 w punktach A( a, 0) i B(0, b);
2
2
a
b
π
c) asteroidy x = a cos 3 t , y = a sin 3 t dla parametru t =
.
4
r( t ) = ( t
t
t
e cos t , e sin t , e )
4. Obliczyć krzywiznę i skręcenie krzywej
w punkcie P 0(1,0,1).
5. Wykazać, Ŝe krzywizna i skręcenie linii śrubowej r( t ) = ( a cos t, a sin t, bt) są w kaŜdym jej punkcie stałe.
6. Znaleźć płaszczyznę styczną i prostą normalną do powierzchni
a)
2
2
z = 2 x + y w punkcie A(1, -1, 3);
b) x + 2 y − ln z + 2 xz = 7 w punkcie P(3, -1, 1).
- 11 -