Wielomiany
1
Algebra, notatki do wykładów (W1).
Wielomiany
Definicja 1. ( Wielomian rzeczywisty)
Wielomianem rzeczywistym (jednej zmiennej) stopnia n ∈ N ∪ {0} nazywamy funkcję W : R −→ R określoną wzorem
W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,
gdzie ak ∈ R dla 0 6 k 6 n oraz an 6= 0. Ponadto przyjmujemy, że funkcja stała W (x) ≡ 0
(nazywana wielomianem zerowym) nie ma określonego stopnia (czasem przyjmuje się, że ma stopień −∞). Liczby ak, gdzie 0 6 k 6 n, nazywamy współczynnikami wielomianu W .
Uwaga.
1◦ Jeżeli współczynniki oraz argument wielomianu są liczbami zespolonymi, to nazywamy go wielomianem zespolonym (zmienną oznaczamy wtedy zwykle przez z zamiast x).
2◦ Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w zbiorze liczb zespolonych, to każdy wielomian rzeczywisty można traktować jako wielomian zespolony rozszerzając jego dziedzinę z R na C .
Przykład 1.
Funkcja W (x) = 2 − 3x + x3 jest wielomianem rzeczywistym stopnia 3.
Funkcje V (z) = 3 − 5i, U (z) = iz7 + (1 − 3i)z4 + 5 − 2i są wielomianami zespolonymi odpowiednio stopnia 0 i 7. Wielomian W można traktować również jako wielomian zespolony stopnia 3.
Definicja 2. ( Suma, różnica i iloczyn wielomianów ) Niech P i Q będą wielomianami. Sumę, różnicę i iloczyn wielomianów określamy w naturalny sposób:
def
(P ± Q)(x) = P (x) ± Q(x),
def
(P · Q)(x) = P (x) · Q(x).
Fakt. Dla dowolnych wielomianów W (x) i niezerowego P (x) istnieją wielomiany Q(x) i R(x) takie, że dla każdego x ∈ R (x ∈ C ) spełniony jest warunek
W (x) = P (x) · Q(x) + R(x),
gdzie R(x) jest wielomianem stopnia niższego niż wielomian W (x) lub jest wielomianem zerowym.
Twierdzenie to jest prawdziwe zarówno dla wielomianów rzeczywistych jak i zespolonych.
Wielomiany
2
Definicja 3. ( Iloraz, reszta z dzielenia wielomianów ) Wielomian Q(x) z powyższego twierdzenia (faktu) nazywamy ilorazem, a wielomian R(x) resztą z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x).
Definicja 4. ( Pierwiastek wielomianu)
Liczbę rzeczywistą (zespoloną) x0 nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , jeżeli W (x0) = 0.
Twierdzenie 1. ( B´
ezout )
Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P
taki, że
W (x) = (x − x0)P (x).
Uwaga. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x − x0 jest równa W (x0).
Definicja 5. ( Pierwiastek wielokrotny wielomianu) Liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x − x0)kP (x)
oraz
P (x0) 6= 0.
Twierdzenie 2. ( O pierwiastkach całkowitych wielomianu ) Niech
W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita p 6= 0 będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0 .
Twierdzenie 3. ( O pierwiastkach wymiernych wielomianu ) Niech
W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0
p
będzie wielomianem stopnia n o współczynnikach wymiernych oraz niech liczba wymierna
,
q
gdzie p i q są liczbami całkowitymi wzlędnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dzielnikiem współczynnika a0 , a q jest dzielnikiem współczynnika an tego wielomianu.
Uwaga. Jeżeli an = 1, to wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu są całkowite.
Twierdzenie 4. ( Zasadnicze twierdzenie algebry ) Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Twierdzenie 5.
1. Każdy wielomian zespolony stopnia n > 1 ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).
2. Niech wielomian W stopnia n > 1 ma pierwiastki zespolone zj o krotnościach odpowiednio kj , gdzie kj ∈ N dla 1 6 j 6 m oraz k1 + k2 + . . . + km = n . Wtedy W (z) = cn(z − z1)k1(z − z2)k2 · · · (z − zm)km,
gdzie cn jest współczynnikiem przy zn w wielomianie W .
Wielomiany
3
Fakt. ( Wzory Vì
ete’a)
Niech W (z) = cnzn + cn−1zn−1 + . . . + c1z + c0 będzie wielomianem zespolonym stopnia n > 1. Wówczas liczby z1, z2, . . . , zn są pierwiastkami wielomianu W (z uwzględnieniem ich krotności) wtedy i tylko wtedy, gdy
c
z
n−1 ,
1 + z2 + . . . + zn
= −
c
n
c
n−2
z1z2 + z1z3 + . . . + zn−1zn =
,
c
n
c
z
n−3
1z2z3 + z1z2z4 + . . . + zn−2zn−1zn
= −
,
cn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
0
z1z2z3 . . . zn−1zn = (−1)n
.
cn
Fakt. ( O pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego) Niech W będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z0 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z0 jest k-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu.
Twierdzenie 6. ( O rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki rzeczywiste) Każdy wielomian rzeczywisty można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Wniosek. Każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.