Algebra liniowa
Zestaw II
Ciało liczb zespolonych
Z. 1. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: 2
1 + 3 i
2 − i
3 + i
z 1 = (3 + 7 i)( − 2 + i) + ( − 5 − 2 i)( − 1 + 7 i), z 2 =
, z 3 =
√
, z 4 =
−
.
1 + 3 i
1 −
2 i
3 + 2 i
3 − 2 i
Z. 2. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: (a) z + 3¯
z = 2 |¯
z| − i;
(f) 4 z = z 2 + 4;
1 + i
2 − 3 i
(g) zz + (1 − i) z = zi; (b)
=
;
z
z
(h) (1 + i) z + |z| 2 = z + 1 + i; 2 + i
1 − i
(c)
=
;
(i) z 2 − (1 + i) z + 6 + 3 i = 0; z − 1 + 4 i
2 z + i
(j) z 2 − 5 z + 4 + 10 i = 0; (d) z 2 − 4 z + 13 = 0; (k) z 3 + 3 = 0.
(e) z 2 + z + 1 = 0; z + 4
z
Z. 3. Niech u = z 2, v =
, w =
. Narysować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których: z − 2 i
iz + 4
(a) liczba u jest rzeczywista; (d) liczba v jest czysto urojona; (b) liczba u jest czysto urojona; (e) liczba w jest rzeczywista; (c) liczba v jest rzeczywista; (f) liczba w jest czysto urojona.
Z. 4. Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki: z − ¯
z
z + ¯
z
z + 3
(a)
= 5
− 3;
(k)
1;
2 i
2
z − 2 i
(b) Re ( iz + 2) 0; π
2 π
(c) Im ( z 2) < 0; (l)
< Arg z ¬
;
6
3
(d) z − i = z − 1;
(m) Arg( z + 2 − i) = π; 4
π
(e)
= ¯
z;
(n)
¬ Arg[( − 1 + i) z] ¬ π; z
2
(f) z ¯
z + (5 + i)¯
z + 1 = 0;
i
3 π
1 + iz
(o) Arg
=
;
(g) Im
= 1;
z
4
√
1 − iz
(p) Arg( − 3 + i) ¬ Arg z ¬ Arg(3 − i); 1
π
(h) Re
> 1;
(r)
< Arg( z 3) ¬ π; z + zi
2
(i) |z + 1 − 2 i| = 3; (s) Arg( z 6) = π;
(j) 2 ¬ |z + i| < 4; (t) π ¬ Arg( iz) < 2 π.
Z. 5. Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić funkcję (a) cos (3 x) przez funkcję cos x; (b) sin (3 x) przez funkcję sin x; (c) sin (4 x) przez funkcje sin x oraz cos x; (d) sin (6 x) przez funkcje sin x oraz cos x; (e) tg (6 x) przez funkcję tg x; (f) ctg (5 x) przez funkcję ctg x.
Z. 6. Obliczyć:
√
(a) (1 + i)2008;
( − 1 − i 3)15
√
(e)
;
!9
1
3
(1 − i)20
(b)
−
i
;
π
π 6
2
2
(f)
1 − cos
− i sin
;
√
√
2
2
!16
π
π 25
2
2
(g)
− cos
+ i sin
;
(c)
−
+ i
;
5
5
2
2
√
√
√
√
6
√
(h)
6 +
2 + i( 6 −
2)
;
! − 11
1
3
(d)
−
− i
;
q
√
q
√ 8
2
2
(i)
2 −
2 + i
2 +
2
.
√
Z. 7. Znaleźć liczbę z 15, gdy z 3 .
0
0
jest pierwiastkiem równania: |z| − 2 z = 1 + i Z. 8. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru A = z ∈ C : Re( z 2) = 2 ∧ [Im( z + i)]2 = 1 .
Z. 9. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru n
π o
B =
z ∈ C : |z − 2 i| 3 ∧ Arg( z + 3)
.
3
Z. 10. Podać interpretację geometryczną zbioru liczb zespolonych o module równym 1, dla których z 2 + (2 + 2 i) z jest liczbą czysto urojoną.
π
3 π
5 π
1
Z. 11. Wykazać, że cos
+ cos
+ cos
=
.
7
7
7
2