m a t e m a t y k a

Nie milkną spory o maturze, która w nowym

Czysta geometria, prawda? Nie chcia³o mi siê

ujęciu czeka uczniów (a więc wielu naszych

myœleæ. W³¹czy³em program, który narysowa³ mnie taki

rysunek, jak wy¿ej i jeszcze „zanimowa³”. Wszystko siê

Czytelników) za kilka miesięcy. Przez ten czas rusza³o. Trójk¹t zmienia³ kszta³t, a proste AE i CF za-w kąciku matematycznym będzie o tej matu-

wsze sta³y do siebie ortogonalnie. Jak drut. „No, to siê

zgadza”, pomyœla³em i w³aœciwie straci³em zaintereso-

rze - ale ogólnie. Poradników szczegółowych

wanie. Wszyscy widzimy, ¿e siê zgadza. Po co wiêc da-

jest bardzo dużo. A mnie chodzi o ogólne spoj- lej rozdzielaæ w³os na czworo? Istnieje powiedzenie, ¿e dowody twierdzeñ matematycznych s¹ w ogóle niepo-rzenie - przyda się ono i młodym, i starszym.

trzebne, bo je¿eli twierdzenie jest prawdziwe, to po co

jeszcze dowód, a je¿eli nieprawdziwe, to i tak siê udo-

Środowisko naukowe i nauczycielskie jest konserwa- wodniæ nie da.

tywne. To dobrze. Wychowanie i nauczanie powinno

Program, o którym mówiê, jest autorstwa nie-

siê opieraæ na solidnych, sprawdzonych podsta-

mieckiego profesora Grothmanna. Jest freeware, w

wach. Reformy winny byæ powolne i starannie przygo-

wersji angielskiej nazywa siê c.a.r (compass and ruler),

towane. Ale konserwatyzm ma swoje z³e strony. Wci¹¿

w niemieckiej Z.u.L (Zirkel und Lineal). Mo¿na go (pro-

bronimy siê przed dopuszczeniem na egzaminy urz¹-

gram, nie profesora, i to w wersji polskiej) legalnie za-

dzeñ licz¹cych, z kalkulatorami na czele. Wielu uczo-

instalowaæ na swoim komputerze, wyszukuj¹c po na-

nych i wielu wyk³adowców starszej daty nie dostrzega,

zwisku lub po nazwie programu.

¿e komputery po prostu s¹, ¿e uczyæ trzeba inaczej.

KOMPUTER I ZADANIE

M i c h a ł S z u r e k

Z OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ

Jak? W tym w³aœnie problem - nie na ³amy „M³odego

No tak, ale to niegodne matematyka. Zacz¹³em

Technika”.

myœleæ, ale w moim wieku nie jest to ju¿ takie ³atwe.

Jerzy Hajdukiewicz, polski himalaista lat szeœædziesi¹-

Skalê trudnoœci ujmuje autentyczna historia z za-

tych XX wieku, napisa³ kiedyœ artyku³ „Stary cz³owiek

daniem z Olimpiady Matematycznej (paŸdziernik 2004).

w górach”. Nie wiem, czy napiszê artyku³ „Stary cz³o-

Ubarwiê nieco fabu³ê, zachowuj¹c istotê sprawy. Zada-

wiek i matematyka”, ale ¿e myœleæ mi siê nie chce, to

nie by³o oto takie:

fakt.

W trójk¹cie ostrok¹tnym (rysunek) punkt D jest

Bo mo¿na obejœæ siê bez myœlenia. Wprowadzi-

spodkiem wysokoœci poprowadzonej z C na AB, punkt ³em uk³ad wspó³rzêdnych tak, by punkty A, B, C mia³y E jest rzutem D na CB, zaœ punkt F dzieli odcinek odpowiednio wspó³rzêdne ( a, 0), ( b, 0), (0, c), zaœ po-cz¹tek uk³adu by by³ w punkcie D. Nauczy³em program

AB

EF

DE tak, ¿e .

=

Mathematica, jak prowadziæ prost¹ przez dwa punkty

DB

FD

(to znaczy jak obliczyæ jej równanie!), jak prost¹ prosto-

Wykazaæ, ¿e proste AE i CF s¹ prostopad³e.

pad³¹ itp. Po naciœniêciu Enter, nim mój kot merdn¹³

ogonem, mia³em na ekranie wszystkie wspó³rzêdne

i równania:

C

punktE = {b*c^2/(b^2+c^2), b^2*c/(b^2+c^2)};

punktF = {b^2*c^2/(b–a)/(b^2+c^2), b^3*c/(b–a)/(b^2+c^2)};

Nawet nie chcia³o mi siê sprawdziæ, czy rzeczy-

M

wiœcie CF jest prostopad³e do AE. Móg³bym obliczyæ Ł

stosowny iloczyn skalarny, ale czy to warto? Na pewno

ODY

wyjdzie zero - wiêc po co jeszcze chleb, Króliku? Dla

rozrywki wyliczy³em równania prostych (dok³adniej:

TECHNIK

„lewe strony” tych równañ):

G

E

β δ

ε

A

D F

H B

52

11

/2004

K o m p u t e r y p o p r o s t u s ą i m o ż e c o ś z t e g o p o w i n n o w r e s z c i e w y n i k a ć

In[1]= Simplify [(Tan[beta] + q*Sin[beta]*Cos[beta] / (p + q*Sin[beta]^2))/

(1 – Tan[beta] * (q*Sin[beta]*Cos[beta]) / (p + q*Sin[beta]^2))]

Out[1]= –––

(p + q)

––––––p–––––

Tan[beta]

––– .

ale nie odkry³em niczego specjalnie ciekawego i zacz¹-

³em siê zastanawiaæ nad rozwi¹zaniem bardziej god-

Zadanie rozwi¹zane, bo w³aœnie to jest tangens δ.

nym matematyka. Ociê¿a³oœæ umys³owa znów da³a

znaæ o sobie. Wzi¹³em siê za trygonometriê - tam my-

W tym momencie ju¿ zupe³nie odechcia³o mi siê

œleæ nie trzeba, bo samo idzie. Oznaczy³em punkty jak

myœleæ... Ale po chwili zacz¹³em - lecz ju¿ nie jak roz-

na rysunku. Punkt G to punkt wspólny prostych AE

wi¹zaæ zadanie, tylko nad sprawami ogólniejszymi. Czy

i CF. Trzeba wykazaæ, ¿e k¹t G ma 90 stopni.

Komitet Olimpiady Matematycznej uzna³by takie roz-

Zauwa¿my, ¿e k¹t CDE jest te¿ równy β, k¹towi

wi¹zanie (to znaczy: weŸ komputer i wylicz)? A po dru-

trójk¹ta przy wierzcho³ku B. Popatrzmy na trójk¹ty pro-

gie: sposób drugi jest tak prosty i bezmyœlny, ¿e algo-

stok¹tne CED i CEF. Z warunków zadania i definicji rytm da siê przes³aæ SMS-em. Próbowa³em: umiem siê

tangensa wynika, ¿e

z zapasem zmieœciæ w trzech (po 160 znaków). Czy da

siê kompletny dowód (bo rachunki s¹ oczywiste) zmie-

tg δ

CE

CE

DE

FE + DF

q

p + q

œciæ w jednym SMS-ie? Czy Komitet bêdzie kiedyœ

=

:

=

=

= 1+ =

,

tg β

FE

DE

FE

FE

p

p

uznawaæ tak opracowane dowody?

NIECH H RZUT E NA AB NIECH G WSPOLNY

gdzie p jest d³ugoœci¹ odcinka AD, zaœ q - d³ugoœci¹

AE,CF WTEDY KAT CDE= CDB Z WAR ZAD POROWN

odcinka DB. Wyliczmy st¹d tangens δ :

TG CFE I TG CDE WYLICZ LATWIUTKO DH I TG EAB

W 4KACIE AGFD SUMA 360 STOPNI ZASTOS WZOR

p + q

NA SUME TG (EDC+EAB)I WYLICZ ZE AGF PROSTY.

tg δ =

⋅ tg β .

p

Coraz wiêcej zadañ z konkursów umiem rozwi¹-

zaæ w³aœnie tak. Czy to oznaka starzenia siê? Mojego

Na koñcu oka¿e siê, ¿e to by³o wa¿ne.

czy... konkursów?

Nie tylko w matematyce, ale w ka¿dej nauce

Standardowa analiza zale¿noœci w trójk¹tach

i mo¿e we wszystkim, co robimy, piêkne jest stosowa-

DEB i HEB daje - myœleæ prawie nie trzeba - zale¿noœci: nie nowych, nieoczekiwanych i pomys³owych metod.

Dotyczy to naprawdê wszystkich obszarów dzia³alnoœci

DE = q sin β ; EB = q cos β ; EH = DE sin (90° – β) = q ludzkiej. Przypomnijmy sobie rewolucyjne zmiany, które

sin β cos β ;

dokona³y siê w muzyce za spraw¹ Bacha, a póŸniej Mo-

zarta. Przypomnijmy sobie wymyœlony przez Johna

HD = DE cos (90° – β) = DE sin β = q sin2 β .

Fossbury’ego powszechny dziœ styl skakania wzwy¿

(„flop”). Przypomnijmy sobie kubistów w malarstwie

Zatem patrz¹c na trójk¹t AEH i stosuj¹c definicjê tan-

(oczywiœcie zdarza siê bezsensowne nowatorstwo, za

gensa, mamy:

które pisz¹cy te s³owa uwa¿a turpizm, czyli zachwyt

nad brzydot¹, np. twórczoœæ Jerzego Dudy-Gracza).

EH

q sin β cos β

tg ε

W samej matematyce rozwi¹zanie 350-letniego proble-

=

=

2

.

AH

p + q sin β

mu Fermata by³o mo¿liwe dziêki zastosowaniu metod

z zupe³nie innej dyscypliny matematycznej, mianowicie

A teraz skierujmy wzrok na czworok¹t AGFD.

geometrii algebraicznej. I tak dalej.

Jak by tu wykazaæ, ¿e k¹t przy wierzcho³ku G jest pro-

Jeœli ktokolwiek zastanawia siê nad „praktyczn¹

sty? Ojej, co za problem? Oznaczmy ten k¹t przez ξ. To

filozofi¹” matematyki, to dostrzega dwie przeciwne

³adna grecka litera. Lubiê j¹. Suma k¹tów czworok¹ta

tendencje: ograniczania stosowanych metod i rozpatry-

AGFD jest równa 360 stopni. No, to dodawajmy:

wania zagadnieñ w jak najszerszej ogólnoœci. S¹ to

ε + ξ + (180° – δ) + (β + 90°) = 360° .

przeciwne, ale nie sprzeczne tendencje. Zawodowych

A zatem jeœli wyka¿emy, ¿e β + ε = δ , to bêdzie

matematyków raduje zarówno dowód taki, w którym

dobrze. Nie myœleæ, nie myœleæ... Jak w jednym z opo-

u¿ywamy jak najskromniejszych œrodków, jak i ten, w

wiadañ Stanis³awa Lema - tam robot porusza³ siê na

którym szczegó³owe zadanie okazuje siê nam w ca³ej

planecie z zamro¿onej rtêci, a ¿e myœlenie powodowa³o

ogólnoœci - niekiedy w bardzo ogólnej ogólnoœci....

wzrost temperatury, wiêc warunkiem przetrwania by³a

Ale ka¿dy z radoœci¹ patrzy na zagadnienia,

bezmyœlnoœæ. Jakie to wspó³czesne... Jako ¿ywo, histo-

w których mo¿na powiedzieæ: „Dorysuj jedn¹ kreskê,

ria est magistra vitae.

a rozwi¹¿esz!”. Przeczuwa³em, ¿e w tym zadaniu wy-

M

Oczywiste: wystarczy porównaæ tangensy - czy

starczy tak¹ kreskê narysowaæ. Ale gdzie?

ŁODY

tangens β + ε jest równy tg δ. To jeszcze pamiêtam ze

Honorarium, jakie dostanê za ten artyku³, z na-

szko³y:

wi¹zk¹ przewy¿szy koszt telefonów do kolegi ze Szcze-

TECHNIK

cina. Bo to on dostawi³ ow¹ kreskê. Có¿, m³odoœæ...

tgβ + tg ε

Trzeba poprowadziæ DK równolegle do AE, punkt K to tg(β + ε ) =

.

1− tgβ tgε

ten, gdzie owa prosta przecina CB. W trójk¹cie DEK k¹t przy wierzcho³ku K jest równy β + ε .

Komputerze, nie kuœ... program Mathematica da³ odpo-

wiedŸ.

53

11

/2004

m a t e m a t y k a

Bardzo zwraca siê na to uwagê w szkole amery-

C

kañskiej i w ogóle w amerykañskim wychowaniu. Pra-

ca w zespole. Teamwork. To prawda, ¿e niekiedy prze-

szkadzamy sobie wzajemnie - jak tych stu robotników

kopi¹cych studniê w 10 minut... Ale tylko niekiedy. Nie

wszystko, co pochodzi z Ameryki, jest niedobre.

I jeszcze jeden wniosek. Mo¿e najwa¿niejszy. Jeœli

robimy coœ razem, daje to po prostu wiêcej satysfakcji.

A dla Czytelników, którzy chcieliby jakieœ ³a-

twiejsze zadanie, zwi¹zane z tym zagadnieniem, pole-

G

E

cam nastêpuj¹ce: w trójk¹cie równobocznym przepro-

wadzamy analogiczn¹ konstrukcjê na ka¿dym boku; to

β δ

K

znaczy rzutujemy wierzcho³ek na przeciwleg³y bok,

ε

spodek wysokoœci rzutujemy na bok i otrzymujemy - jak

A

D F

H B

wy¿ej punkty G1, G2, G3. Tworz¹ one trójk¹t równo-I dalej jak po maœle: tangens tego k¹ta to

boczny. Jak¹ d³ugoœæ ma jego bok?

DE

DE

DE

AB

* * *

=

=

= tg β ⋅

.

Podsumujmy. Komputer „pomóg³”, „podsun¹³ po-

EK

EB − BK

EB − DB

AD

EB −

mys³”, a wreszcie dziêki swojej mocy obliczeniowej

AB

„rozwi¹za³” ca³e zadanie. To oczywiœcie nieprawda. To

I mamy cel: dowód jak najprostszymi metodami. Wynik

nie komputer. Tylko ja. Cz³owiek. Komputer potrzebny

pracy zespo³owej jest zwykle wiêkszy ni¿ suma wyni-

by³ mi jak tyczka Siergiejowi Bubce. Ani Bubka bez

ków, które osi¹gnêliby w pojedynkê cz³onkowie zespo-

tyczki nie skoczy³by 6 metrów. Ale tyczka bez Bubki sa-

³u. Jeœli piêciu robotników wnosi fortepian na pi¹te

ma by nawet pó³ metra nie przeskoczy³a. Ba, nawet...

piêtro w 15 minut, to w jakim czasie jeden robotnik

Komputery prêdzej czy póŸniej wkrocz¹ do szkó³

wniós³by fortepian na 60. piêtro? Takie zadanie umiemy

pe³nym frontem, nie tylko jako koñcówki do Internetu.

rozwi¹zaæ. W 15 godzin. Bez komentarza.

!

MŁODY

TECHNIK

54

11

/2004