dr Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2013/14

FUNKCJE I ODWZOROWANIA

Zad.1. Zapisz za pomocą kwantyfikatorów i notacji logicznej podstawowe własności funkcji a następnie utwórz ich zaprzeczenia. Każdą własność zilustruj prostym przykładem.

Zad.2. Zbadaj parzystość (nieparzystość) funkcji sin x

1

x

x 

,

x

x  a 

, x  ch 2 x , x  sh , 2

x  x  x ,

3 x

x

a

3

5  x

4 x  4 x

x  log

 arcsin

, x 

, x  3 x 4  arccos x

2

3 x

5  x

2

x  2

Zad.3. Naszkicuj wykresy

1

 x

e

x  log ( x  )

2 ,

x

x 

e , x 

, x  log x ,

x

x



 2  3 ,

( x )

1

x  e

,

x

x  e 1

3

2

2

1

2





x  arcsin( x  )

2 

, x 

 arccos( x  )

1 , x  

2  arcctgx ,

2

2



 

x  arctg x 

 , x  a

3 rctgx   ,



2 

x  ctg x , x 1 ch x , x  sh x 1

Zad.4. Niech

2

x 3

f ( x)  x  8 ,

g( x)  sin 2 x ,

(

h x)

4 



Wyznacz złożenia

f  g  h ,

f  f ,

g  f ,

g  g  g ,

h  g  h ,

f  g

Zad.5. Znajdź funkcje, z których są utworzone następujące funkcje złożone 1

f ( x)  4 x  3 x  3

2

2 , g( x)  coslog tg x , 2 x3

h( x)  4

, k( x

2

)  sin x

3



Zad.6. Znajdź dziedziny naturalne funkcji 2 x  4





1

x 

 arcsin(3 x  )

1 , x  arccos log x , 2

x  arctg

 arctg 9  x ,

2



1



x  5 x  6



x

3





x  4

 



x  5

x  log cos x , x  lnarcsin

  

 arccos

,

1



4

3 

6

3

2



x  2



x  3

 

x 

 arcsin

 lnarccos

 

6

4



2

3 

Zad.7. Omów ogólne własności złożeń funkcji wzajemnie odwrotnych i podaj odpowiednie wzory dla znanych funkcji elementarnych.

Zad.8. Zbadaj czy następujące funkcje są odwracalne, a jeżeli tak to znajdź dziedzinę, przeciwdziedzinę, podaj wzór na

1



f

oraz określ dziedzinę funkcji odwrotnej

1

x 1

2

f ( x) 

,

f ( x) 

,

f ( x) 

x ,

f ( x)  log x ,

f ( x)  x gdzie x<0

2

x

x  2

Zad.9. Znajdź funkcje odwrotne do odpowiednio zawężonych funkcji: x

a. f ( x)  cos

2

b. g( x)  sin 4 x

c. h( x)  arcsin 3 x d. l( x

2

)  cos x

Zad.10. Dobierz tak zbiory X oraz Y by

f :

X  x

x 2



 5 x  6 Y

a. f było odwzorowaniem X w Y

b. f było odwzorowaniem X na Y

c. f było iniekcją

d. f było bijekcją

Zad.11. Oblicz

 1 



11 

a. arctg ( )

1  arctg )

1

(  arccos    3arccoscos

 

 2 



12 



2



 7 

1

b. arcsinsin    arctg tg    3arcsin



3



 8 

2

Zad.12. Naszkicuj wykresy f  g oraz g  f

a. f ( x)  2 x  4 , g( x)

2

 x 1

b. f ( x)  x 2 , g( x) 

x

x

 1 

c. f ( x)  log x , g( x) 

1

 

 2 

2

d. f ( x)  arctg x , g( x)  tg x

Zad.13. Omów charakter monotoniczności funkcji wzajemnie odwrotnych oraz złożeń.

Zad.14. Wyznacz zbiory:

a. f [ ]

A ,

f [ ]

B ,

f [ C] ,

f [ ]

A ,

f [ ]

B ,

f [ C] gdzie

f :

2

R  x  x  4 , A  1, 4 , B   2, 3 , C    ,  2 

b. f [ ]

A ,

f [ B] gdzie

f :

R 2  ( x , x ) x 2  x 2  R , A  1, 4 , 2

B  R \ 0 , 0 

1

2

1

2