Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 34

34. Fale i cząstki

34.1

Fale materii

Omawiane na poprzednich wykładach doświadczenia były interpretowane raz w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu o model cząsteczkowy (np. efekt Comptona).

Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może materia też ma taką dwoistą naturę. Taką sugestię zaprezentował w 1924 L. de Broglie min. w oparciu ob-serwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest zadziwiająco symetryczna. Chociaż materię traktowano jako cząstki de Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również

własności falowych.

De Broglie nie tylko zaproponował istnienie fal materii ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła.

Analizując zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastosowano do tego zderzenia zasadę zachowania pędu. Do tych obliczeń potrzebne było wyrażenie na pę d fotonu.

E

hv

hc λ

h

p = mc =

=

=

=

(34.1)

f

c

c

c

λ

Analogiczne wyrażenie zostało zaproponowane przez de Broglia dla fal materii h

λ =

(34.2)

p

Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii.

Przykład 1

Jaką długość fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych” np. dla piłki, o masie 1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaką dla „lekkich” np. elektronów przyspieszonych napięciem 100 V?

Dla piłki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s

Stąd długość fali de Broglie’a

h

6

.

6 ⋅10 3

− 4 Js

λ = =

= 6

.

6 ⋅10−35 m

p

10kgm/s

Ta wielkość jest praktycznie równa zeru zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiektu.

Doświadczenia prowadzone na takim obiekcie nie pozwalają więc na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe (λ zbyt mała). Przypomnijmy, że falowy cha-34-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

rakter ś wiatła przejawia się gdy wymiary liniowe obiektów są porównywalne z długo-

ścią fali.

Natomiast elektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię kinetyczną Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J

Prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi

2 E

2

k

⋅ 6

.

1 ⋅10 1

− 7 J

v =

=

= 9

.

5 ⋅106 m s

m

1

.

9 ⋅10−31 kg

Odpowiednia długość fali de Broglie’a wynosi

h

h

.

6 6 ⋅10 3

− 4 Js

λ = =

=

= 2

.

1 ⋅10 1

− 0 m = 12

.

0

nm

v

p

m

1

.

9 ⋅10−31⋅ 9

.

5 *106 kgm s

Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych.

Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena) skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ. Takie doświadczenie przepro-wadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku włókno

wiązka

detektor

padająca

ϕ

wiązka

kryształ

odbita

przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.

Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowanym napięciem.

Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem ϕ. Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy róż-

nych napięciach przyspieszających. Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla U = 54 V.

Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy obliczymy wartość λ, dla której obserwujemy maksimum w tych warunkach

34-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

λ = 2 d sinθ

Dla niklu d = 0.091 nm. Ponieważ ϕ = 50° więc

θ = 90° - ϕ/2 = 65° (rysunek obok). Długość fali ob-

liczona w oparciu o te dane wynosi:

ϕ

λ = 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm

θ

Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV)

obliczymy długość fali de Broglie’a analogicznie jak

d

w przykładzie 1

= h

λ

= .

0

nm

165

p

Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych okolicznościach elektrony wykazują naturę falową.

Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane jak i nienaładowane, wykazują ce-chy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techni-ką eksperymentalną używaną do badania struktury ciał stałych.

Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, musimy przyjąć istnienie dwoistego ich charakteru.

34.2

Struktura atomu i fale stoją ce

Jeżeli na ruch fali nie ma żadnych ograniczeń to fala może mieć dowolną długość.

Inaczej sytuacja przedstawia się gdy ruch fal zostanie ograniczony przez nałożenie pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w strunie odpowiada to wyodrębnieniu odcinka struny zamocowanego na obu końcach (np. struna w skrzypcach).

Występują wtedy dwie ważne różnice:

• ruch jest teraz opisywany przez falę sto-

j

n = 1

ą cą (a nie bieżącą),

• mogą występować tylko pewne długo-

ści fal tzn. mamy do czynienia z kwan-

0

l

tyzacją długości fali wynikającą z ogra-

n = 2

niczeń nałożonych na falę (rysunki

obok).

0

l

Na rysunku tych widać trzy pierwsze stany

kwantowe dla drgającej struny.

Jeżeli więc ruch elektronów jest ograniczo-

ny w atomach to możemy się spodziewać

n = 3

przez analogię, że:

• ruch elektronów może być opisany przez

0

l

stoją ce fale materii,

• ruch ten zostaje skwantowany.

34-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Rysunek obok przedstawia stojącą falę ma-

terii związaną z orbitą o promieniu r. Dłu-

gość fali de Broglie’a została dobrana tak,

aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą

liczbę n fal materii.

r

Wtedy otrzymujemy

π

2 r = n λ

czyli

h

π

2 r = n

p

Prowadzi to natychmiast do

L = pr =

h

n

n= ,

1

,

3

,

2

....

2π

Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, że elektron jest repre-zentowany przez odpowiednią falę materii i zastosowania odpowiednich warunków brzegowych.

34.3

Mechanika falowa

W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) min. w oparciu o założenie, że stacjonarne stany w atomach odpo-wiadają stoją cym falom materii.

Dla fal w strunie zaburzenie może być opisane za pomocą poprzecznego wychylenia y, dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor natężenia pola elektrycznego E.

Analogiczną miarą dla fal materii jest funkcja falowa ψ.

Teraz spróbujemy znaleźć taką funkcję dla prostego zagadnienia ruchu cząstki o masie m pomiędzy sztywnymi ściankami odległymi o l (rysunek na następnej stronie).

Funkcję falową można otrzymać przez analogię do zagadnienia struny umocowanej na obu końcach. Z warunków brzegowych wynika, że na obu końcach struny muszą wystę-

pować węzły. Oznacza to (przez to żądanie) ż e długość fali jest skwantowana: λ

2

l =

l

n

lub λ =

n = ,

1 .,

2 ..

2

n

Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez falę stojącą (Wykład 15)

y( x, t) = 2 A sin kx cosω t

dla której rozkład przestrzenny (amplitudy) jest dany przez

y( x) = A sin kx

34-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie k = 2π/λ. Ponieważ λ jest skwantowane to k też jest skwantowane.

Prowadzi to do warunku

π

y =

n x

A sin

, n = ,

1 ,

2 ......

l

Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany jest na stronie 34-3.

Rozważmy teraz cząstkę poruszającą się

pomiędzy sztywnymi ściankami (rysunek

obok). Ponieważ ścianki są sztywne, cząst-

ka nie może przeniknąć przez nie, tak więc

stojąca fala materii opisująca tę cząstkę ma

węzły na ściankach. Inaczej mówiąc funk-

m

v

cja falowa ψ przyjmuje wartość zero w

punktach x = 0 i x = l.

W konsekwencji dopuszczalne fale materii

muszą mieć długość fal danych równaniem

l

λ

2

l =

l

n

lub λ =

, n =

.,

2

,

1

..

2

n

Ponieważ mówimy o fali materii (reprezentującej cząstkę) to jest to po prostu fala de Broglie’a, dla której możemy zastąpić λ przez h/ p.

Prowadzi to do związku

nh

p =

l

2

Widzimy, że pę d czą stki uwię zionej pomię dzy ś ciankami jest skwantowany.

Dla cząstki pęd p jest związany z energią kinetyczną Ek relacją m 2

p 2

E =

v

=

k

2

2 m

Zestawienie tego równania z równaniem na pęd cząstki prowadzi do warunku kwantyzacji energii

2

h

2

E = n

, n =

......

,

2

,

1

8

2

ml

Cząstka nie może mieć dowolnej energii (jak w obrazie klasycznym) ale ściśle określo-ne wartości dane powyższym równaniem.

Amplituda fal materii zmienia się tak samo jak amplituda dla fali stojącej w strunie tzn.

jest dana analogicznym równaniem:

nπ x

ψ = A sin

, n = ,

1 ,

2 ......

(34.3)

l

34-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

34.4

Znaczenie funkcji ψ

Funkcję ψ skonstruowaliśmy przez analogię do funkcji opisującej amplitudę fali stojącej w strunie. Ale nie wyjaśniony jest jeszcze sposób w jaki ψ przedstawia ruch czą stki. Wiemy już, że długość fali materii (de Broglie’a) wiąż e się bezpoś rednio z pę dem czą stki. Pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się ψ.

Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej podał Max Born. Zasugerował, że wielkość ψ 2 w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobień stwa, ż e czą stka znajdzie się w pobliż u tego punktu tzn. w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w prze-dziale x, x+ d x.

Ta interpretacja funkcji ψ daje statystyczny zwią zek pomię dzy falą i zwią zaną z nią

czą stką . Nie mówimy gdzie czą stka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.

Tak więc dla cząstki poruszającej się pomiędzy dwoma ściankami odległymi o l nπ x

2

ψ = A sin2

, n =

,

2

,

1 ......

(34.4)

l

nie opisuje położenia cząstki ale rozkład (gę stość ) prawdopodobień stwa.

Na rysunku przedstawiona jest za-

leżność ψ2( x) dla trzech pierwszych

stanów ruchu cząstki.

Zwróćmy uwagę, że przykładowo

dla n = 1 cząsteczka ma większą

n = 1

tendencję (prawdopodobieństwo) do

E = h2 / 8ml2

1

przebywania w środku niż przy

ściankach. Jest to sprzeczne z fizyką

l

0

klasyczną,

która

przewiduje

kowe

prawdopodobieństwo

bywania

cząstki

gdziekolwiek

n = 2

między ściankami (linie poziome na

2 ψ

E = 4E

2

1

rysunku). Podobnie jest dla wyż-

szych n. Oczywiście całkowite

0

l

prawdopodobieństwo

znalezienia

cząstki pomiędzy ściankami jest

n = 3

równe jedności.

E = 9E

Zagadnienie cząstki poruszającej się

3

1

pomiędzy sztywnymi ściankami ma

0

l

mało realne zastosowanie w fizyce.

Dlatego poniżej pokazane są wyniki

X

zastosowania mechaniki falowej do

problemu atomu wodoru.

Sam problem jest trudny matema-

tycznie. Dlatego pokazane są tylko wyniki zależności ψ( r) dla n = 1, 2, 3 dla orbitalnej liczby kwantowej l = 0, (rozkład sferycznie symetryczny).

34-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Widać, że mamy ponownie do czynie-

nia z rozkładem prawdopodobieństwa.

Istnieje obszar w którym elektron może

n =1

przebywać (z niezerowym prawdopo-

dobieństwem). Mówimy o orbitalach

zamiast o orbitach.

Linią przerywaną zaznaczono promie-

nie orbit przewidywane w modelu

Bohra.

n = 2

Są, jak widać orbity dla których ta war-

tość odpowiada maksimum prawdopo-

2

dobieństwa znalezienia elektronu.

ψ(r)

n = 3

0

5

10

15

20

25

r/r

Bohra

34.5

Zasada odpowiednioś ci

Chociaż teorie w fizyce mają ograniczenia to zazwyczaj w sposób ciągły dają wyniki coraz mniej zgodne od doświadczenia, tzn. nie „urywają” się nagle.

Np. mechanika Newtonowska staje się coraz mniej dokładna gdy prędkość zbliża się do prędkości światła.

Dla mechaniki kwantowej też istnieje taka granica. Fizyka kwantowa przechodzi w fizykę klasyczną dla dużych liczb kwantowych. To twierdzenie nazywamy zasadą odpowiednioś ci.

W przykładzie z wykładu 31 widzieliśmy, że dla makroskopowego wahadła nie uwi-dacznia się natura kwantowa podobnie jak w układach makroskopowych nie widzimy dyskretnej natury materii (cząsteczek, atomów, elektronów itp.).

Wyliczona wtedy względna zmiana energii wyniosła

∆ E/ E = 4.7·10-31 = hv/ nhv

Stąd otrzymujemy bardzo dużą wartość liczby kwantowej n ≈ 2·1030; może stosować mechanikę klasyczną.

34-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

34.6

Zasada nieoznaczonoś ci

W poprzednim paragrafie najbardziej szczegółową informacją jaką udało się uzy-skać o ruchu elektronów były krzywe prawdopodobieństwa. Czy musimy zadowolić się taką informacją czy też jest możliwy pomiar, który da nam odpowiedź na temat ewentu-alnych orbit po których poruszają się elektrony?

Obserwacje przedmiotów opierają się na rejestrowaniu światła odbitego przez te przed-mioty. Światło w „zderzeniu” z przedmiotem o dużej masie praktycznie nie zaburza je-go ruchu, ale całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów. Tutaj też spodzie-wamy się, że zobaczymy elektron gdy odbijemy od niego światło (tak jak widzimy np.

stół rejestrując światło odbite od niego). W tym jednak przypadku elektron w zderzeniu z fotonem dozna odrzutu, który całkowicie zmieni jego ruch (przypomnijmy sobie efekt Comptona). Zmiany tej nie można uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc istniały orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. Dlatego wolimy mówić o prawdopodobieństwie niż o orbitach.

Aby przetestować nasze możliwości pomiarowe rozważmy wiązkę elektronów padających z prędkością v 0 na szczelinę o szerokości ∆ y, tak jak na rysunku.

Jeżeli elektron przechodzi przez otwór to znamy jego położenie z dokładnością ∆ x.

Elektrony ulegają ugięciu na szczelinie tak, że na ekranie obserwujemy obraz dyfrakcyj-ny. Oznacza to, że elektrony mają teraz oprócz prędkości poziomej także składową w kierunku y (są odchylone). Spróbujmy ocenić tę składową pionową prędkości. Rozpa-trzmy np. elektron padający na ekran w miejscu pierwszego minimum dyfrakcyjnego (punkt a na rysunku poniżej). Pierwsze minimum jest dane równaniem

∆ y sinθ = λ

a dla małego kąta

∆ y θ ≅ λ

∆y

a

θ

v0

Aby elektron doleciał do punkt a (1-sze minimum) musi mieć prędkość pionową ∆ vy taką, że

v

∆

sin

y

θ ≅ θ =

v 0

Korzystając z obu powyższych równań otrzymujemy

34-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

∆ v

λ

y =

v

y

0

∆

lub inaczej

∆ v ∆

y

y = λ v 0

Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez h/ p czyli h/ mv 0. Podstawiając to do ostatniego równania otrzymujemy

v

h 0

v

∆

y

∆ ≅

y

v

m 0

co można zapisać

∆ p ∆

y

y ≅ h

Jeżeli chcemy poprawić pomiar y (zmniejszyć ∆ y) to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Inaczej mó-

wiąc zwiększone zostało ∆ py. Równani to przedstawia ograniczenie nałożone na do-kładność pomiarów przez przyrodę (nie ma nic wspólnego z wadami aparatury pomiarowej).

Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczonoś ci.

W zastosowaniu do pomiaru pędu i położenia głosi ona, że

p

∆

x

∆ ≥ h

x

p

∆

y

∆ ≥ h

(34.5)

y

p

∆

z

∆ ≥ h

z

Tak więc żadna składowa ruchu elektronu nie może być określona z nieograniczoną do-kładnością. Ta sama zasada obowiązuje w odniesieniu do energii i czasu.

34-9