1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
1
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
1.1. Zadanie projektowe numer 1
Wykazać geometryczną niezmienność kratownicy płaskiej przedstawionej na rysunku 1.1. Wyznaczyć reakcje podporowe. Metodą zrównoważenia węzłów wyznaczyć siły normalne we wszystkich prętach kratownicy płaskiej. We wszystkich prętach w przekroju A-A wyznaczyć siły normalne metodą Rittera.
31,0 kN
A
4
6
23,0 kN
5
7
8
9
3,4
5
6
1
1
2
3
4
2
3
A
17,0 kN
[m]
7,0
7,0
7,0
Rys. 1.1. Kratownica płaska
I
1
2
3
Rys. 1.2. Kratownica płaska jako tarcza sztywna 1.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Zgodnie z rysunkiem 1.1 warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej ma postać
2⋅6=93 .
Warunek ten został spełniony. Kratownica zbudowana jest z trójkątów. Stanowi więc tarczę sztywną. Rysunek 1.2 przedstawia tarczę sztywną. Jak widać jest ona połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Kratownica płaska jest więc geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek 1.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych. Zgodnie z nim pozioma reakcja na podporze przegubowo-nieprzesuwnej wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
2
31,0 kN
A
4
6
23,0 kN
5
7
8
9
3,4
5
6
H1
1
1
2
3
4
2
3
Y
17,0 kN
V
A
1
V4
[m]
X
7,0
7,0
7,0
Rys. 1.3. Założone zwroty reakcji podporowych
31,0 kN
A
4
6
23,0 kN
5
α
7
8
9
3,4
5
6
23,0 kN 1
α
1
α
2
3
α
4
2
3
Y
17,0 kN
22,61 kN
A
25,39 kN
[m]
X
7,0
7,0
7,0
Rys. 1.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych
X = H 23,0=0
1
.
H =−23,0 kN
1
Pionowa reakcja na podporze przegubowo-nieprzesuwnej wynosi
M = V ⋅21,0−31,0⋅14,0−17,0⋅7,023,0⋅3,4=0
4
1
.
V =22,61 kN
1
Reakcja na podporze przegubowo-przesuwnej wynosi
M =− V ⋅21,031,0⋅7,017,0⋅14,023,0⋅3,4=0
1
4
.
V =25,39 kN
4
W celu sprawdzenia obliczeń zastosowano równanie równowagi w postaci
Y = V V −31,0−17,0=22,6125,39−31,0−17,0=0 .
1
4
Równanie to zostało spełnione. Poziome reakcje zostały wyznaczone poprawnie. Rysunek 1.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych. Wartości sinusa i kosinusa kąta α wynoszą Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
3
3,4
sin =
=0,4369 ,
7,023,42
7,0
cos=
=0,8995 .
7,023,42
W celu sprawdzenia zastosowano wzór jedynkowy
0,436920,89952=1,0 .
1.4. Wyznaczenie sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej Rysunek 1.5 przedstawia wszystkie siły działające w węźle numer 1. Zgodnie z nim równania równowagi mają postać
X = N N ⋅cos −23,0=0 , 1
7
Y = N ⋅sin 22,61=0 .
7
Siła normalna w pręcie numer 7 wynosi
N ⋅0,436922,61=0
7
.
N =−51,75 kN
7
Siła normalna w pręcie numer 1 wynosi
N −51,75⋅0,8995−23,0=0
1
.
N =69,55 kN
1
N7
7
Y
23,0 kN 1
α
1
N1
X
22,61 kN
Rys. 1.5. Węzeł numer 1
Rysunek 1.6 przedstawia wszystkie siły działające w węźle numer 5. Zgodnie z nim równania równowagi mają postać
Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
4
31,0 kN
4
N4
Y
5
7
5
X
N7
α
N5
Rys. 1.6. Węzeł numer 5
31,0 kN
4
N4
5
N
7
8
3,4
5
8
23,0 kN 1
1
2
N2
2
22,61 kN
[m]
7,0
Rys. 1.7. Metoda Rittera dla pręta numer 4
X =− N ⋅cos N =0 , 7
4
Y =− N ⋅sin − N −31,0=0 .
7
5
Siła normalna w pręcie numer 4 wynosi
−−51,75⋅0,8996 N =0
4
.
N =−46,55 kN
4
Rysunek 1.7 przedstawia odciętą część kratownicy. Siła normalna w pręcie numer 4 wyznaczona metodą Rittera wynosi
M = N ⋅3,422,61⋅7,0=0
2
4
.
N =−46,55 kN
4
Siła normalna w pręcie numer 5 wynosi
−−51,75⋅0,4369− N −31,0=0
5
.
N =−8,390 kN
5
Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
5
N
Y
8
N5
X
8
5
N1
1
α
2
N2
2
Rys. 1.8. Węzeł numer 2
31,0 kN
4
N4
6
5
Y
N8
7
3,4
5
8
X
23,0 kN 1
1
2
N2
2
22,61 kN
[m]
7,0
7,0
Rys. 1.9. Metoda Rittera dla prętów numer 2 i 8
Rysunek 1.8 przedstawia wszystkie siły działające w węźle numer 2. Zgodnie z nim równania równowagi mają postać
X =− N N N ⋅cos =0 , 1
2
8
Y = N N ⋅sin =0 .
5
8
Siła normalna w pręcie numer 8 wynosi
N ⋅0,4369−8,390=0
8
.
N =19,20 kN
8
Rysunek 1.9 przedstawia odciętą część kratownicy do wyznaczenia siły normalnej w pręcie numer 8 metodą Rittera. Siła ta wynosi
Y = N ⋅sin 22,61−31,0=0
8
N
.
8⋅0,4369 22,61−31,0 =0
N =19,20 kN
8
Siła normalna w pręcie numer 2 wynosi
−69,55 N 19,20⋅0,8995=0
2
.
N =52,28 kN
2
Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
6
N6
Y
X
6
N
N
2
2
3
3
3
17,0 kN
Rys. 1.10. Węzeł numer 3
Siła normalna w pręcie numer 2 wyznaczona metodą Rittera zgodnie z rysunkiem 1.9 wynosi
M =− N ⋅3,422,61⋅14,0−31,0⋅7,023,0⋅3,4=0
6
2
.
N =52,28 kN
2
Rysunek 1.10 przedstawia wszystkie siły działające w węźle numer 3. Zgodnie z nim równania równowagi mają postać
X =− N N =0 ,
2
3
Y = N −17,0=0 .
6
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi
N =17,0 kN
6
.
Siła normalna w pręcie numer 3 wynosi
−52,28 N 3=0
.
N 3=52,28kN
N4
4
6
23,0 kN
α
Y
8
6
9
N
X
8
N9
N
α
6
Rys. 1.11. Węzeł numer 6
Rysunek 1.11 przedstawia wszystkie siły działające w węźle numer 6. Zgodnie z nim równania równowagi mają postać
Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
7
X =− N − N ⋅cos N ⋅cos 23,0=0 , 4
8
9
Y =− N ⋅sin − N − N ⋅sin =0 .
8
6
9
Siła normalna w pręcie numer 9 wynosi
−19,20⋅0,4369−17,0− N 9⋅0,4369=0
.
N 9=−58,11 kN
Drugie równanie równowagi jest równaniem sprawdzającym i ma ono postać
−−46,55−19,20⋅0,8995−58,11⋅0,899523,0=0,009655 kN≈0 .
N9
Y
9
X
N3
3
α
4
25,39 kN
Rys. 1.12. Węzeł numer 4
Rysunek 1.12 przedstawia wszystkie siły działające w węźle numer 4. Zgodnie z nim równania równowagi mają postać
X =− N − N ⋅cos=0 , 3
9
Y = N ⋅sin 25,39=0 .
9
Oba te równania są równaniami sprawdzającymi i mają one postać
−52,28−−58,11⋅0,8995=−0,01006 kN≈0 ,
−58,11⋅0,436925,39=0,001741 kN≈0 .
Oba równania zostały spełnione. Rysunek 1.13 przedstawia kratownicę płaską z działającymi na nią siłami czynnymi, reakcjami oraz siłami normalnymi we wszystkich prętach.
Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz
1. Zadanie projektowe numer 1 – przykład 1
8
31,0 kN
46,55 kN
6
23,0 kN
5
58,11 kN
3,4
51,75 kN
19,20 kN
17,0 kN
23,0 kN 1
69,55 kN
8,390 kN
52,28 kN
52,28 kN
4
2
3
17,0 kN
22,61 kN
25,39 kN
[m]
7,0
7,0
7,0
Rys. 1.13. Kratownica płaska z działającymi na nią siłami czynnymi, reakcjami oraz siłami normalnymi we wszystkich prętach
Dr inż. Janusz Dębiński
BNS-I-Kalisz