ZADANKA POWTÓRZENIOWE - WIELOMIANY I FUNKCJA WYMIERNA.
1. Wyznacz wszystkie ca÷
kowite wartości parametru k, dla których iloczyn dwóch ró·
znych miejsc zerowych funkcji f (x) = (k 2) x2
(k + 1) x
k jest
liczb ¾
a ca÷
kowit ¾
a.
2. Funkcja f jest określona wzorem: f (x) = jx 1j+3 : Zbadaj liczb ¾
e pier-
jx+2j
wiastków równania f (x) = k w zale·
zności od parametru k.
3. Wyznacz wszystkie wartości parametru a;dla których równanie x+ a+4 =
x 5
6 ma dok÷
adnie jedno rozwi ¾
azanie.
4. Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = x2+2x 3 : x2
2x 15
5. Funkcja jest określona dla x > 0 wzorem f(x) = 2 : Uzasadnij, ·
ze pole
x
trójk ¾
ata ograniczonego styczn ¾
a do wykresu tej funkcji i osiami uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ed-
nych jest sta÷
e (nie zale·
zy od punktu, w którym prowadzimy styczn ¾
a do wykresu
funkcji f).
6. Podaj przyk÷
ad wielomianu o wspó÷
czynnikach ca÷
kowitych, którego jed-
p
nym z pierwiastków jest
5+1 :
2
7. Podaj przyk÷
ad wielomianu o wspó÷
czynnikach ca÷
kowitych, którego jed-
p
p
nym z pierwiastków jest
11
3:
8. Czy istnieje wielomian w stopnia 2 o wspó÷
czynnikach ca÷
kowitych, taki
·
ze: w ( 1) = 23; w (1) = 32 ? Odpowiedź uzasadnij.
9. Wyka·
z, ·
ze jeśli m = 2n, to wielomian x2 + xm + 1 jest podzielny przez x2 + x + 1:
10. Wyznacz reszt ¾
e z dzielenia wielomianu w przez (x 1), jeśli wiesz, ·
ze
reszta z dzielenia wielomianu w przez x2 + x 2 jest równa (x + 5) :
11. Dany jest wielomian w (x) = x3 + bx + c o pierwiastkach x1; x2; x3: Wyka·
z, ·
ze suma sześcianów tych pierwiastków nie zale·
zy od b.
12. Funkcja wymierna jest postaci f (x) =
ax
: Wyznacz wspó÷
czynniki a
bx2
1
i b oraz dziedzin ¾
e tej funkcji, jeśli: f (2) = 2 ; f (3) = 3 : 3
8
jx2 4j
13. Wyznacz przedzia÷
y, w których funkcja f (x) =
jest sta÷
a.
jx 2j (x+2)
14. Rozwi ¾
a·
z równanie: 2x 3 + 1 =
x2+6x 6 :
x 1
x 1
1
a·
z nierówność: x2 7x+10 > 0: x
16. Dany jest wielomian w (x) = 3x3
17x2 + 28x + m: Jeden z pierwiastków wielomianu jest równy prawdopodobieństwu wyci ¾
agni ¾
ecia z czterech kul ponu-
merowanych cyframi 1,2,3,4 dwóch kul, których suma jest wi ¾
eksza od liczby 4.
Dla jakich x spe÷
niona jest nierówność: w (x)
0 ?
17. Rozwi ¾
a·
z równanie ax3 + bx2 + cx + d = 0 wiedz ¾
ac, ·
ze wspó÷
czynniki w
podanej kolejności tworz ¾
a ci ¾
ag geometryczny o ilorazie q=3.
18. Wyznacz liczb ¾
e rozwi ¾
azań równania w zale·
zności od parametru m: x3
3x + 2 = m:
19. Wyznacz liczb ¾
e rozwi ¾
azań równania w zale·
zności od parametru m: x3
3x2 + 2 = m:
20. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = jxj ;
x 1
b) y = 2jxj 3 ;
3jxj 2
c) y = jx+1j x ;
jx 2j+3
d) xy + x
2y
1 = 0;
e)
1
1
= 2:
y
1
x+1
21. Rozwi ¾
a·
z nierówności:
a) 2x 3
2;
x2
1
b) x2 5x+3 < 1;
x2
1
c) 0 <
x
< 1;
x2
x+1
d)
1 < x+1 <
3
:
x 1
x 3
22. Dla jakich wartości parametru k w zbiorze rozwi ¾
azań danej nierówności
jest zawarty przedzia÷h 1; 1i
a) x2+k2
1; b) x2+k2
1;
c) x2+k2
1 ?
2k
6+x
2k(6+x)
23. Dla jakich wartości parametru m równanie kwadratowe m2
1 x2 +
1
m2 x + m2
m
2 = 0 ma dwa ró·
zne pierwiastki spe÷
niaj ¾
ace warunek:
x1 + x2 = x21 + x22?
24. Pewn ¾
a liczb ¾
e kó÷z ¾
ebatych zaz ¾
ebiono w kolejności od najwi ¾
ekszego do
najmniejszego. Promień ka·
zdego ko÷
a jest dwa razy wi ¾
ekszyod promienia ko÷
a
nast ¾
epnego. Gdy ko÷
o najwi ¾
eksze wykona÷
o 15 obrotów, to najmniejsze ko÷
o
wykona÷
o 960 obrotów. Ile kó÷zaz ¾
ebiono ?
2