RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ŃSTWA i STATYSTYKA MATEMATYCZNA dr inż Krzysztof Bryś
Wyk lad 3
Podstawowe teoretyczne rozk lady prawdopodobieństwa zmiennej losowej jednowymiarowej Typu skokowego
1. Rozk lad jednopunktowy.
Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = c) = 1 dla pewnej sta lej c Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = c
Wariancja: D 2( X) = 0
Interpretacja: Rozk lad dowolnej sta lej liczbowej X.
2. Rozk lad dwupunktowy (zerojedynkowy).
Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = 1) = p, P ( X = 0) = q = 1 − p Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = p
Wariancja: D 2( X) = p · q = p · (1 − p) Interpretacja: Rozk lad dowolnej zmiennej X, która odpowiada na pewne pytanie albo TAK
( X = 1-”sukces”) albo NIE ( X = 0-”porażka”), rozk lad dowolnej cechy ”zero-jedynkowej” (obiekt albo j¸a posiada ( X = 1) albo nie posiada ( X = 0).
3. Rozk lad Bernoulliego (dwumianowy) - B( n, p) Schemat doświadczeń Bernoulliego:
- n niezależnych doświadczeń,
- w każdym doświadczeniu albo sukces z prawdopodobieństwem p albo porażka (z prawdopodobieństwem q = 1 − p);
Interpretacja: Zmienna losowa X ma rozk lad B( n, p) jeśli mówi o liczbie sukcesów w schemacie n niezależnych doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p w każdym z nich. Jest sum¸a n niezależnych zmiennych losowych o rozk ladzie zerojedynkowym.
Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = k) = n pk · qn−k dla k = 0 , 1 , 2 , . . . , n, q = 1 − p.
k
Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = np
Wariancja: D 2( X) = n · p · q
4. Rozk lad Poissona - Po( λ)
Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = k) = e−λ · λk dla k = 0 , 1 , 2 , . . .
k!
Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = λ
Wariancja: D 2( X) = λ
Interpretacja: Rozk lad graniczny dla rozk laadu B( n, p) przy n → + ∞.
Dla dostatecznie dużych n, zmienna losowa o rozk ladzie B( n, p) ma w przybliżeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n · p.
Typu ci¸ag lego
1. Rozk lad jednostajny na przedziale ( a; b) - U( a, b) Funkcja g¸estości prawdopodobieństwa :
(
1
, dla a < x < b
f ( x) =
b−a
0
, dla pozosta lych x
Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = a+ b 2
Wariancja: D 2( X) = ( b−a)2
12
Interpretacja Zmienna losowa X ma rozk lad U( a, b) jeśli przyj¸ecie przez t¸a zmienn¸a dowolnej wartości z przedzia lu ( a; b) jest jednakowo prawdopodobne.
2. Rozk lad normalny (Gaussa) - N( m, σ) Funkcja g¸estości prawdopodobieństwa : f ( x) =
1
√
· e−( x−m)2
2 σ 2
dla x ∈ R
2 πσ
Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = m
Wariancja: D 2( X) = σ 2
Wykresem powyższej funkcji g¸estości prawdopodobieństwa jest krzywa Gaussa Zmienna losowa standaryzowa dla zmiennej losowej o rozk ladzie N( m, σ): X − m
X =
σ
ma rozk lad normalny standardowy N(0 , 1).
Dystrybuanta rozk ladu normalnego standardowego N(0 , 1): Z x
1
Φ( x) =
√
· e−t 22 dt dla x ∈ R
−∞
2 π
Z parzystości funkcji g¸estości prawdopodobieństwa rozk ladu N(0 , 1) wynika, że: Φ( −x) = 1 − Φ( x) .
uα - kwantyl rz¸edu α zmiennej losowej o rozk ladzie N(0 , 1) (tzn. Φ( uα) = α) 3. Rozk lad chi kwadrat o n stopniach swobody
Zmienna losowa χ 2 = X 2 + X 2 + . . . + X 2, gdzie X
1
2
n
1 , X 2 , . . . Xn zmienne o rozk ladzie N (0 , 1) ma rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody
Wartoś˙c oczekiwana: E( χ 2) = n
Wariancja: D 2( χ 2) = 2 n
Dla dużych n ( n > 40) rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody można przybliża˙c rozk ladem
√
N( n, 2 n).
χ 2( α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − α zmiennej o rozk ladzie chi-kwadrat o n stopniach swobody 4. Rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody.
Zmienna losowa T = X
q
, gdzie X zmienna losowa o rozk ladzie N(0 , 1) a zmienna χ 2 ma rozk lad χ 2
n
chi-kwadrat o n stopniach swobody.
Wartoś˙c oczekiwana: E( T ) = 0.
Wariancja: D 2( T ) = n .
n− 2
Dla dużych n ( n > 40) rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody można przybliża˙c rozk ladem N(0 , 1).
t( α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − α zmiennej o rozk ladzie t-Studenta o n stopniach swobody.
2