Statyst Stos 2, Rachunek Prawdopodobie�stwa i Statystyka Matematyczna

Statystyka Stosowana Lista nr 2.

1. Obserwujemy czas niezawodnej pracy k ar�wek. Jak wyglda przestrze zdarze elementarnych? Jak zdefiniowa zmienn losow opisujc czas pracy ukad�w r�wnolegego i szeregowego zoonych z k ar�wek? Poda przykady

innych zmiennych okrelonych na tej przestrzeni.

2. W celu sprawdzenia pracy automatycznej obrabiarki pobiera si pr�b

4-elementow z bieej produkcji. Kady element pr�by jest kwalifikowany jako brak, jeeli jego wymiary nie mieszcz si w granicach tolerancji. Jak wyglda przestrze zdarze elementarnych? Niech X bdzie zmienn losow okrelajc liczb brak�w w 4-elementowej pr�bie. Zdefiniowa formalnie zmienn losow X. Przypumy, e praca obrabiarki wymaga korekty, gdy w 4-elementowej pr�bie bd co najmniej 2 braki. Opisa to zdarzenie

przez zdarzenia elementarne,

poprzez zmienn losow X.

Zakadajc, e wszystkie zdarzenia elementarne s jednakowo prawdopodobne obliczy

Obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia: "obrabiarka wymaga korekty".

Naszkicowa dystrybuant zmiennej X i odczyta to prawdopodobiestwo z wykresu dystrybuanty.

3. W wyniku obr�bki walca promie jego podstawy moe wynosi:

0.8 ; 0.9 ; 1.0 ; 1.1 z prawdopodobiestwami 0.02 ; 0.08 ; 0.8 ; 0.1 odpowiednio. Znale rozkad zmiennej losowej opisujcej pole powierzchni podstawy walca. Wyznaczy dystrybuant tej zmiennej losowej.

4. Punkt startuje z pocztku ukadu wsp�rzdnych i porusza si po prostej: przesuwa si o jednostk w lewo z prawdopodobiestwem 0.5 albo o

jednostk w prawo z prawdopodobiestwem 0.5. Przyjmujc, e poszczeg�lne przesunicia s niezalene, wyznaczy rozkad D, gdzie D jest pooeniem punktu po szeciu przesuniciach.

5. Wyprowadzi wz�r na rozkad Bernoulliego B(n,p,k).

6. Rzucamy kostk tak dugo, a wypadnie "6"'. Wyznaczy rozkad zmiennej losowej X -- liczby wykonanych rzut�w. Jakie jest prawdopodobiestwo, e bdzie potrzeba parzystej liczby rzut�w? Jakie jest prawdopodobiestwo, e bdzie mniej ni 5 rzut�w?

7. Partia towaru zawiera 1\% brak�w. Ile element�w naley wzi do pr�by, aby prawdopodobiestwo wykrycia co najmniej jednego braku byo r�wne co najmniej 0.95?

8. Za�my, e prawdopodobiestwo trafienia w cel przy pojedynczym strzale wynosi p, a prawdopodobiestwo zniszczenia celu przy k>0 trafieniach wynosi

. Jakie jest prawdopodobiestwo zniszczenia celu, jeeli oddano n strza�w?

9. Udowodni twierdzenie Poissona, sformuowane na wykladzie, o zbienoci cigu rozkad�w Bernoulliego do rozkadu Poissona.

10. Liczba czstek X wpadajcych do pewnego licznika ma rozkad Poissona z parametrem
. Definiujemy now zmienn losow Y:

Y = X jeli X < 10 oraz

Y = 10 jeli X
10 .

Wyznaczy rozkad prawdopodobiestwa zmiennej losowej Y.

11. Aparatura zawiera 2000 jednakowo niezawodnych element�w.

Prawdopodobiestwo zepsucia si kadego z nich wynosi p=0.0005.

Jakie jest prawdopodobiestwo, e aparatura przestanie dziaa, jeeli awaria nastpuje przy uszkodzeniu chociaby jednego elementu?

Roman R�aski.