Niezbędny zakres tematyczny obowiązujący do przygotowania się do zajęć: 5.Podstawowe człony dynamiczne

1.Obiekt dynamiczny ciągły i liniowy:

a). Człon proporcjonalny (bezinercyjny)

0 0

0 0

0 0

−1 0

•

A =

B =

C =

D =

obiekty ciągłe - T=R, gdzie R - zbiór liczb rzeczywistych (czas jest zmienną ciągłą)

















0

0

0

0

0

0

0

0

•

















obiekty liniowe – obiekty, których opis ma postać zależności liniowych. Musi więc być transmitancja: G(s) =kp

 T x&

x

u

1 1 = − 1 +

spełniona zasada superpozycji. Nie mogą występować żadne operacje nieliniowe na przykładowe równanie ma postać: y=kp*u

 T x& x x

2

2 =

1 −

zmiennych układu, a parametry układu nie mogą zależeć od zmiennych.

Przykł. równania układu mają postać: 

2

 y =

W większości przypadków punktem wyjścia do oceny własności dynamicznych układów liniowych



k x

p

2

jest liniowe równanie różniczkowe. Równanie powstaje na podstawie analizy i opisu zjawisk f). Człon proporcjonalno całkujący

fizycznych charakteryzujących dany układ.

0 0

1 0

−1 0

−1 0

A =

B =

C =

D =

Postać ogólna takiego równania jest następująca:

















0 0

0 0

 0

0

 0

0

b). Człon całkujący

0 0

1 0

1 0

0 0

 T x&

i

= u

A = 

 B = 

 C = 

 D = 



Przykł. równania układu mają postać: 

0 0

0 0

0 0

0 0

 y = k x

p

+ k u

p

transmitancja: G(s)=kr/s

 x& = u

g). Człon oscylacyjny

2.Transmitancja operatorowa i widmowa:

przykładowe równania układu mają postać: 



2



0

ϖ

0 0

1 0

0 0

 y = k r x

A =

B = 

 C =

D =

•













Transmitancja widmowa to w automatyce stosunek wartości zespolonej odpowiedzi Y układu c). Człon inercyjny.

−1 − ζ

2 ϖ 

1 0

0 0

0 0

wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, do wartości zespolonej tego wymuszenia, w stanie

−1 0

1 0

1 0

0 0

ustalonym. Transmitancja widmowa opisuje odtwarzanie przez dany obiekt (układ) A = 

 B = 

 C = 

 D = 



 0

0

0 0

0 0

0 0

zmieniającego się sygnału wejściowego i można otrzymać ją przechodząc z transmitancji transmitancja: G(s)=kp/(T*s+1)

operatorowej przez podstawienie s = jω.

• Transmitancja operatorowa – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do ξ-tłumienie (decyduje o char. oscylacji); ω-częstość x1,x2-zmienne fazowe transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych:

 x&

ϖ

1 =

2 x



2

Przykł. równania układu mają postać:  x&

1 2ζ ϖ

2 = − x

−

⋅ x 2 + u

 Tx& = − x + u

 y = kx



3.Moduł transmitancji:

przykładowe równania układu mają postać 

1

y = k p x



Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

d). Człon różniczkujący rzeczywisty

6.Obserwowalność:

−1 0

1 0

1 0

−1 0

A = 

 B = 

 C = 

 D = 



Obserwowalność – na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego w skończonym przedziale

 0

0

0 0

0 0

 0

0

czasu, można określić stan układu w dowolnej chwili tego przedziału.

Awy-amplituda wyjściowa, Awe-amplituda wejścia

Układ jest obserwowalny (całkowicie) - jeśli przy danym dowolnym sterowaniu U(t), istnieje 4.K

skończona chwila t

ąt przesunięcia fazowego:

k, po której, na podstawie znajomości wektora sygnałów wyjściowych Y(t) i

wektora sterowania U(t) w przedziale od t0 do tk można wyznaczyć stan układu X(t0) w dowolnej chwili początkowej t

Kąt przesunięcia fazowego jest to różnica pomiędzy wartościami fazy dwóch okresowych ruchów 0.

drgających . (a także pytanie 12)

 T x&

α

α

d

= − ⋅ x + ⋅ u

Przykł. równania układu mają postać: 

 y = −α ⋅ x + α ⋅ u

Sens pojęcia sprowadza się do tego czy poszczególne zmienne stanu wpływają na wyjście w

sposób na tyle niezależny od siebie że umożliwia to odróżnienie ich wpływu e). Człon dwuinercyjny

w zaobserwowanym przebiegu y.

−1 0 

1 0

0 1

0 0

A = 

 B = 

 C = 

 D = 



 1

− 

1

0 0

0 0

0 0

1

2

3

Warunek obserwowalności: warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) Układ stabilny globalnie - (o równaniu X’=Ax) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie wartości

obserwowalności jest, aby macierz:

własne macierzy A mają niedodatnie części rzeczywiste i każda wartość własna o zerowej części 10.Stała czasowa w podstawowych członach dynamicznych:

rzeczywistej jest pierwiastkiem jednorodnym wielomianu.

Stabilność punktu równowagi przy dowolnie dużych warunkach początkowych nazywa się T – w układzie automatyki, miara osiągania stanu ustalonego przez sygnał wyjściowy, związana z globalną.

czasem trwania stanu nieustalonego następującego po zmianie sygnału wejściowego.

Układ stabilny lokalnie - rozumiemy stabilność tylko w punkcie równowagi bez określenia zakresu 11.Charakterystyki układów dynamicznych:

sygnałów zaburzających, po ustąpieniu których układ wraca do równowagi.

Charakterystyka skokowa – odpowiedź na skokową zmianę sygnału wejściowego Mówiąc o stabilności globalnej określamy jednocześnie obszar sygnałów zaburzających, po o unormowanej amplitudzie. Odzwierciedla charakter danego obiektu.

o wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n - liniowo niezależnych wierszy.

przejściu których układ zachowuje swój pierwotny stan równowagi. Jeżeli obszar stabilności globalnej obejmuje wszystkie możliwe sygnały wejściowe - stabilność lokalna.

Charakterystyka częstotliwościowa – określa zachowanie się układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia, podając stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia oraz Dla ułatwienia analizy macierzy O, wprowadza się macierz W, która jest transpozycją macierzy O.

Stabilność układu sprawdzamy na podstawie równania charakterystycznego układu. Wszystkie przesunięcie fazowe między odpowiedzią, a wymuszeniem jako funkcję częstotliwości. Podstawę Warunek obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się następująco: układ jest człony równania charakterystycznego muszą mieć wartość dodatnią.

charakterystyk stanowi transmitancja widmowa.

całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

Aby wyznaczyć równanie charakterystyczne układu należy obliczyć wyznacznik

jest równy n.

z następującej zależności:

12.Obliczanie modułu transmitancji i przesunięcia fazowego: T

T

T

T

T

T

n−

n

n 1

−

Warunek: det W = det[ C , A C , ( A )2 C ,...,( A ) 1 T

C ] ≠ 0

det( sI − )

A = a s + a

s

−

+ ... + a s + a

n

n 1

1

0

Moduł transmitancji:

gdzie: I – macierz jednostkowa;

7.Sterowalność:

A – macierz stanu;

Sterowalność - możliwość osiągnięcia dowolnego stanu układu w skończonym czasie za

1 0

 s 0

Awy-amplituda wyjściowa, Awe-amplituda wejścia

sI = s ⋅ 

 =

pomocą dopuszczalnego sterowania (ograniczonego przedziałami i ciągłego)





0 1

0 s

Przesunięcie fazowe między dwoma przebiegami okresowymi można określić jako Układ jest sterowalny (całkowicie) - gdy ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie U(t) różnicę faz obu przebiegów w chwili ich przejścia przez określony, najczęściej zerowy przeprowadza układ z dowolnego stanu początkowego X(t0) w chwili t=t0 do dowolnego stanu Kryteria stabilności:

poziom :

końcowego X(tk) w chwili t=tk w skończonym przedziale czasu

- analityczne (Hurwitza, Roughta)

t

ϕ = φ 1 - φ 2

k-t0>0.

- graficzne (Nequista)

- anal-graf (Michałowa)

Istotą tej własności jest fakt, że każda ze zmiennych stanu układu sterowanego powinna zależeć Przesunięcie można wyrazić również proporcjonalnym przesunięciem czasowym (wyrażonym w od sterowania w nieco inny sposób tak aby sterowanie nie powodowało identycznych zmian mierze kątowej), jako stosunek różnicy czasów ∆ t momentów przejścia przebiegów przez zero, do poszczególnych współrzędnych stanu.

9.Równanie charakterystyczne i wielomian charakterystyczny:

okresu przebiegu T :

Równanie charakterystyczne-równanie, powstające w wyniku przyrównania mianownika ϕ =2 Π ∆t/ T

Warunek sterowalności: warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) sterowalności transmitancji operatorowej do zera. Służy do sprawdzenia stabilności układu. Wszystkie człony

jest, aby macierz

równania charakterystycznego muszą mieć wartość dodatnią.

Aby wyznaczyć równanie charakterystyczne układu należy obliczyć wyznacznik 13.Równania wektorowo-macierzowe układu dynamicznego:

•

z następującej zależności:

X ( t) = A ⋅ X ( t) + B ⋅ U ( t) - równanie stanu o n - wierszach i m - kolumnach miała rząd n, czyli n - liniowo niezależnych kolumn.

n

n 1

det( sI − )

A = a s + a

s −

−

+ ... + a s + a

n

n 1

1

0

Y ( t) = C ⋅ X ( t) + D ⋅ U ( t) - równanie wyjścia

n−

Warunek: det S = det[ ,

B A , 2

B A

,

B ...,

1

A

B] ≠ 0

gdzie: I – macierz jednostkowa;

14.Macierze: stanu, wejścia i wyjścia:

A – macierz stanu;

8.Stabilność:

1 0

 s 0

sI = s ⋅ 

 =

Stabilność (układu liniowego) – to taki układ, którego rozwiązanie swobodne





0 1

0 s

(przy niezerowych warunkach początkowych) pozostaje ograniczone w dowolnym czasie.

Jest to równoważne temu, że: przy wymuszeniu ograniczonym co do wartości i czasu trwania Wielomian charakterystyczny jest przypisywany w algebrze liniowej każdej macierzy odpowiedź układu była również ograniczona.

kwadratowej. Zawiera informacje o niektórych własnościach tej macierzy, w szczególności jej

wartościach własnych, wyznaczniku, i śladzie. Dla dowolnego ciała K możemy rozważać macierze Stabilność asymptotyczna – oznacza, że układ jest nie tylko stabilny, a więc jego rozwiązania są ograniczone, ale przy czasie dążącym do nieskończoności rozwiązanie dąży do zera. Odpowiada n×n nad tym ciałem. Wielomian charakterystyczny takiej macierzy A, oznaczany przez pA(t), to żądaniu aby rozwiązanie wymuszone było ograniczone nawet przy wymuszeniu definiuje się jako

(ograniczonym) trwającym dowolnie długo.

pA(t) = det( t I − A )

gdzie:

4

5

6