PRZYKŁADOWE ZADANIA ROK II UKŁADY CIĄGŁE
Opracowanie : dr inż. Krzysztof Kula
Test na zaliczeniu przedmiotu składa się z pytań i zadań.
Zadania obejmują problemy związane z:
a) Wyznaczaniem transmitancji wypadkowych układów na podstawie znanych, trochę bardziej skomplikowanych , schematów blokowych
b) Wyznaczanie poziomu uchybu ustalonego, jaki powstaje w zamkniętym układzie regulacji.
c) Wyznaczanie stabilności układu zamkniętego w oparciu o znajomość transmitancji układu otwartego lub zamkniętego
d) Wyznaczanie zapasu modułu i fazy w oparciu o znajomość logarytmicznych charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego
e) Wyznaczanie przebiegów czasowych na podstawie odwrotnego przekształcenia Laplace’a.
f) Wyznaczanie asymptotycznych charakterystyk częstotliwościowych Bode’a podstawowych członów dynamicznych
Przykładowe zadania do pkt a
ZADANIE A1
Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu o schemacie, jak na rysunku: x
+
+
G1(s)
G2(s)
-
+
y
G2(s)
Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie. Postaraj sie rozważyć przeniesienie węzła zaczepowego ze sprzeżenia zwrotnego lub węzła sumacyjnego z toru głównego ( miedzy G1 a G2 ) Zwróć uwagę na zachowanie relacji miedzy sygnałami po zmianie układu z tymi sprzed zmiany. Uwzględnij reguły przenoszenia wezłów sumacyjnych i zaczepowych. Czy przeniesienia wybranego węzła uporościło układ i można już wylioczyc wypadkową transmitancję na podstawie znajomości zależności na szeregowe, równoległe czy w srzężeniu zwrotnym połączenie członów ? Jeśli nie potrafisz rozwiązać tego zadania , dopiero później spójrz na wskazówki do jego rozwiązania.
W s k a z ó w k i .
Wariant a) przenieś węzeł zaczepowy ( zaznaczony kropką) przed człon o transmitancji G2(s) Przeniesienie wymaga dodania do gałązki wychodzącej z nowego punktu dodanie członu o tej samej transmitancji , czyli G2(s) , gdyz tylko wówczas zachowane zostaną relacje między sygnałami.
Wariant b) preznieś drugi węzeł sumacyjny ( miedzy G1 i G2) zaraz za pierwwzy węzeł, czyli przedf G1(s). Gałąź ta musi być zawierać teraz transmitancję 1/G1(s). Powstanie teraz nowy wezeł
sumacyjny, w którym sumujemy sygnały zwrotne z wyjścia. Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać zadanie, a następnie sprawdź to rozwiązanie pod linkiem odpowiedzi.pdf
Sprawdź oba warianty. Czy wyszedł ten sam wynik ? Jeśli tak, to jest bardzo prawdopodobne, że dobrze rozwiazałeś zadanie.
________________________________________________________________________
Przykładowe zadania do pkt b)
ZADANIE B1
Wyznaczyć uchyb ustalony, powstający w układzie po podaniu na wejście wartości zadanej x(s) = 3/s.
G1 (s) = 2+4s ; G2 (s) = 1/(2+s); G3 (s) = 0.5/ (0.8+3s)
+
G1(s)
G2s)
G3(s)
-
Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie. Jeśli nie dało się, to dopiero później skorzystaj z ponizszych wskazówek.
Wskazówki do rozwiązania zadania B1:
Wyznaczamy transmitancję uchybową Gu(s). Znając transmitancje wszystkic elementów układu regulacji mozna ja wyznaczyć z nastepującej zależności:
1
G ( s ) =
u
gdzie Go(s) to transmitancja układu otwartego, czyli z rozwartym sprzeżeniem zwrotnym. W naszym 1+ G ( s )
o
przypadku jest ona równa transmitancji toru głównego: Go(s) = G1 (s) * G2(s) * G3(s) Z definicji transmitancja uchybowa jest równa stosunkowi transformat uchybu do wartości zadanej x(s), czyli (
e s )
G ( s ) =
, stąd można znając transmitancję uchybową oraz transformatę Laplace’a wielkości u
(
x s )
wejściowej wyznaczyć transformatę uchybu regulacji e(s).
Uchyb regulacji e - jest to różnica miedzy sygnałem zadanym x, czyli żądaną wartością wielkości regulowanej a wielkością regulowaną y
e(t) = x(t) – y(t)
Uchyb regulacji e(t) przedstawić można przy pomocy 2 składowych e(t)=ep(t)+ eust,
gdzie e
=
=
⋅
p-składowa przejściowa uchybu zaś eust -uchyb ustalony e
{
lim (
e t )} lim s (
e s )
ust
t →∞
s→0
Znając transmitancję uchybową oraz trnsformate sygnału zadanego mozna wyznaczyć transformatę uchybu regulacji. Jest ona równa
e(s) = x(s)*Gu(s)
Odpowiedź na stronie odpowiedzi.pdf
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykładowe zadania do pkt. c)
ZADANIE C1
2
2+2⋅ s +5⋅ s
Zbadać stabilność układu zamkniętego o transmitancji: (
G s) =
2
3
3+ ( 3+5⋅ s)⋅ s −2⋅ s +2⋅ s
---------------------------------------------------------------------------------------------
Wskazówki do rozwiązania zadania C1
Z treści zadania wynika, że podana transmitancja jest transmitancją układu zamkniętego.
Zatem, aby wyznaczyć równanie charakterystyczne należy przyrównać mianownik tej transmitancji do 0.
M(s)=0
W tym przypadku otrzymujemy:
3+(3+5s)s-2s 2 +2s3 = 0 a po przekształceniu 3+3s+5s2-2s 2 +2s3=0
po uproszczeniu 3+3s+3s2 +2s3=0
Jak widać współczynniki ai w równaniu sa równe :
Dla i=0 a0= 3
i=1 a1=3
i=2 a2=3
i=3 a3=2
Jak widać wszystkie współczynniki równania charaklterystycznego są większe od zera, czyli pierwszy warunek kryterium Hurwitza jest spełniony. Sprawdzając kolejny warunek należy wyliczyć wyznacznik główny ∆3 a następnie jego kolejne podwyznaczniki i sprawdzic , czy i one są większe od zera, ∆2, ∆1 > 0.
Patrz link odpowiedzi.htm
________________________________________________________________________
Przykładowe zadania do pkt d)
Przykładowe zadania do pkt e)