Kryterium Hurwitza Stabilność jest właściwością układu polegającą na powrocie do stanu równowagi stałej po ustaniu działania wymuszenia, które wytrąciło układ z tego stanu, lub osiągnięciu nowego stanu równowagi stałej, jeśli wymuszenie pozostało na stałym poziomie
Należy zwrócić uwagę na fakt, iż często pojęcie stabilności jest intuicyjnie definiowane przez studentów. Niestety definicja intuicyjna stabilności jest w większości przypadków zła lub niepełna. Dlatego też
powyższe pojęcie będzie jeszcze kilkakrotnie powtarzane. Stabilność jest bowiem jednym z najważniejszych zagadnień w automatyce, ma też
fundamentalne znaczenie w teorii sterowania.
Do oceny stabilności służą różne kryteria. W tym rozdziale zajęto się kryterium algebraicznym Hurwitza. Wymaga ono znajomości transmitancji układu w postaci analitycznej.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, żeby układ liniowy stacjonarny ciągły był stabilny asymptotycznie jest aby:
a)
wszystkie współczynniki równania charakterystycznego n
n 1
a s
n
+
−
an− s
+ ... + a s + a = 0
1
1
0
były większe od zera
a > 0 ,i = 0 , , 1 2 ,...,n
i
b)
wszystkie podwyznaczniki główne (minory) wyznacznika Hurwitza były większe od zera.
Ad. a
Należy zadać sobie pytanie czym jest równanie charakterystyczne? W
celu jego wyprowadzenia, należy zbadać rozwiązanie ogólne równania różniczkowego jednorodnego:
d n y( t)
n 1
−
d
y( t)
dy( t)
a
n
+ a
n
n−
+ ... + a
+ a y t =
1
n 1
−
1
( ) 0
0
dt
dt
dt
_________________________________________________
1 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
Korzystając z przekształcenia Laplace’a otrzymamy równanie algebraiczne n
n 1
a s
n
+
−
an− s + ... + a s + a = 0
1
1
0
,które jest równaniem charakterystycznym.
Ujmując ten problem prościej, równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik transmitancji układu przyrównany do zera Ad. b
Poniżej pokazano sposób budowy wyznacznika Hurwitza: a
a
a
−
−
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅
0
n 1
n 3
n 5
a
a
a
−
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅
0
n
n 2
n 4
0
a
a
−
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅
0
n 1
n 3
0
a
a
−
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅
0
n 1
n 3
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
∆ =
n
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
0
0
0
⋅ ⋅ a
0
0
1
0
0
0
⋅ ⋅ a
a
0
2
0
0
0
0
⋅ ⋅ a
a
0
3
1
0
0
0
⋅ ⋅ a
a
a
4
2
0
Czyli zgodnie z warunkiem koniecznym: a
a
a
n 1
−
n 3
−
n 5
−
∆ =
a
a
a
n 1
−
n−3
;
∆ =
>
n−
> 0
1
1
0 ;
∆ = a
a
a
n−
n−
n−
> 0
2
;…
a
a
3
1
2
4
n
n−2
0
a
a
n 1
−
n 3
−
_________________________________________________
2 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl