F(s) f(t)
"
1 f(t)
e-st f (t) dt
+"
0
2 AF(s) + BG(s) Af(t) + Bg(t)
3 sF(s)  f(+0) f 2 (t)
(1) (n-1) (n)
4 f (t)
snF(s) - sn-1 f (+0) - sn-2 f (+0) -L- f (+0)
t
1
5
F(s)
f (�)d�
+"
s
0
t �
1
6
F(s)
f ()d d�
+" +"
s2
0 0
t
7 F1(s)F2(s)
f1(t - �) f2 (�)d� = f1 " f2
+"
0
8  F2 (s) tf(t)
9 ( 1)nF(n)(s) tnf(t)
"
1
10 F(x)dx f (t)
+"
t
s
11 F(s  a) eatf(t)
12 e bsF(s) f(t  b), where f(t) = 0; t < 0
1 t
�ł �ł
13 F(cs)
f
�ł
c cłł
1 t
�ł �ł
14 F(cs  b)
e(bt) / c f
�ł
c cłł
a
e-st f (t) dt
15 f(t + a) = f(t) periodic signal
+"
0
1 - e-as
a
e-st f (t) dt
16 f(t + a) =  f(t)
+"
0
1 + e-as
F(s)
17 f1(t), the half-wave rectification of f(t) in No. 16.
1 - e-as
as
18 f2(t), the full-wave rectification of f(t) in No. 16.
F(s) coth
2
m
p(s) p(an )
19 ,q(s) = (s - a1)(s - a2 )L(s - am )
eant
"
q(s)
q2 (an )
1
r
(r-n)
p(s) Ć(s) (a)
20 eat
=
"Ćr - n)! (ntn-1 +L
q(s) (s - a)r ( -1)!
n =1
F(s) f(t)
1 sn �(n)(t) nth derivative of the delta function
d�(t)
2 s
dt
3 1 �(t)
1
41
s
1
5 t
s2
1 tn-1
6 (n = 12,L)
,
sn (n - 1)!
1
1
7
Ąt
s
t
8 s 3/2
2
Ą
2n tn-(1/ 2)
9
s-[n+(1/ 2)] (n = 12L)
, ,
1�" 3�" 5L(2n - 1) Ą
�(k)(k e" 0)
10 tk 1
sk
1
11 eat
s - a
1
12 teat
(s - a)2
1 1
13 (n = 12,L) tn-1eat
,
(s - a)n (n - 1)!
�(k)
(k e" 0)
14
tk-1eat
(s - a)k
1 1
15 (eat - ebt )
(s - a)(s - b) (a - b)
s 1
16 (aeat - bebt )
(s - a)(s - b) (a - b)
1 (b - c)eat + (c - a)ebt + (a - b)ect
17
-
(s - a)(s - b)(s - c) (a - b)(b - c)(c - a)
1
18 e at valid for complex a
(s + a)
1
1
19
(1 - e-at )
s(s + a)
a
1 1
20 (e-at + at -1)
s2 (s + a) a2
�ł
1 1 1 at2 1 łł
21 - t + - e-at śł
s3(s + a) a2 �ł a 2 a
�ł �ł
1 1
22 (e-at - e-bt )
(s + a)(s + b) (b - a)
1
1 �ł 1 łł
23
�ł1 + (be-at - ae-bt )śł
s(s + a)(s + b)
ab (a - b)
�ł �ł
F(s) f(t)
1 1 �ł 1 łł
24
(a2e-bt - b2e-at ) + abt - a - bśł
s2 (s + a)(s + b) (ab)2 �ł(a - b)
�ł �ł
1
�ł
1 a3 - b3 1 (a + b) 1 b a
�ł �łłł
25
�ł(ab) + t2 - t + �ł e-at - e-bt
2
s3(s + a)(s + b)
(ab) (a - b) 2 ab (a - b) a2 b2 łłśł
�ł �ł
1 111
26 e-at + e-bt + e-ct
(s + a)(s + b)(s + c) (b - a)(c - a) (a - b)(c - b) (a - c)(b - c)
1 1 1 1 1
27 - e-at - e-bt - e-ct
s(s + a)(s + b)(s + c) abc a(b - a)(c - a) b(a - b)(c - b) c(a - c)(b - c)
ab(ct
ńł -1) - ac - bc 1
+ e-at
�ł
(abc)2 a2 (b - a)(c - a)
1
�ł
28
�ł
s2 (s + a)(s + b)(s + c)
11
�ł
+ e-bt + e-ct
�ł
b2 (a - b)(c - b) c2 (a - c)(b - c)
ół
1 ab + ac + bc 1
ńł
3
�ł(abc) [(ab + ac + bc)2 - abc(a + b + c)] - (abc)2 t + 2abc t2
1 �ł
29
�ł
s3(s + a)(s + b)(s + c)
111
�ł
- e-at - e-bt - �-ct
�ł
a3(b - a)(c - a) b3(a - b)(c - b) c3(a - c)(b - c)
ół
1 1
30
sin at
s2 + a2 a
s
31 cos at
s2 + a2
1 1
32
sinh at
s2 - a2 a
s
33 cosh at
s2 - a2
1
1
34
(1 - cos at)
s(s2 + a2 )
a2
1 1
35 (at - sin at)
s2 (s2 + a2 ) a3
1
1
36
(sin at - at cos at)
(s2 + a2 )2
2a3
s t
37 sin at
(s2 + a2 )2 2a
s2 1
38
(sin at + at cos at)
(s2 + a2 )2 2a
s2 - a2
39 t cos at
(s2 + a2 )2
s cos at - cosbt
40 (a2 `" b2 )
(s2 + a2 )(s2 + b2 ) b2 - a2
1
1
41
eat sin bt
(s - a)2 + b2
b
s - a
42 eat cos bt
(s - a)2 + b2
n
r
1
-e-at
43
"�ł2nn--r1-1�ł (-2t)r-1 d [cos(bt)]
[(s + a)2 + b2 ]n
4n-1b2n r=1 �ł �ł dtr
�ł łł
F(s) f(t)
n
ńł r
�ł
e-at ńł
�ł
r
"�ł2nn--r1-1�ł (-2t)r-1 d [a cos(bt) + bsin(bt)]
4n-1b2n �ł r=1 �ł �ł dt
�ł �ł łł
�ł
ół
s �ł
44
�ł
[(s + a)2 + b2 ]n
n-1
�ł r
- r - d �ł
�ł - 2b
�ł �ł
"r�ł2nn - 1 2�ł (-2t)r-1 dtr [sin(bt)]żł
�ł łł
�ł
�ł
ół r=1
�ł �ł
3a2 at 3 at 3
45
e-at - e(at) / 2 �łcos - 3 sin
�ł
s3 + a3 2 2
�ł łł
4a3
46 sin at cosh at  cos at sinh at
s4 + 4a4
s 1
47
(sin at sinh at)
s4 + 4a4 2a2
1 1
48
(sinh at - sin at)
s4 - a4 2a3
s 1
49
(cosh at - cos at)
s4 - a4 2a2
8a3s2
50 (1 + a2t2) sin at  cos at
(s2 + a2 )3
n
1 s -1�ł n et d
�ł
51
Ln (t) = (tne-t )
�ł łł
s s n! dtn
[Ln(t) is the Laguerre polynomial of degree n]
1 t(n-1) e-at
52
where n is a positive integer
(s + a)n (n - 1)!
1 1
53 [1 - e-at - ate-at ]
s(s + a)2 a2
1
1
54
[at - 2 + ate-at + 2e-at ]
s2 (s + a)2
a3
1 1 �ł 1 łł
�ł
55
- a2t2 + at + 1�ł e-at śł
łł
s(s + a)3 a3 �ł1 �ł 2
�ł �ł
1 1
56
{e-at + [(a - b)t -1]e-bt}
(s + a)(s + b)2 (a - b)2
1 1 1 �ł 1 a - 2b łł
57 - e-at - t + e-bt
s(s + a)(s + b)2 ab2 a(a - b)2 �ł b(a - b) b2 (a - b)2 śł
�ł �ł
1
11 1 �ł 1 2(a - b) - b łł
�łt �ł
2
58
e-at + - - + t + e-bt
s2 (s + a)(s + b)2 a2 (a - b)2 ab2 �ł a błł �ł b2 (a - b) b3(a - b)2 śł
�ł �ł
� 1
łł
2c -
�ł�ł(c - b)(c - a) t + (c - a)2 a - bb)2 śł e-ct
(c -
�ł
1 �ł�ł
59
�ł
(s + a)(s + b)(s + c)2
�ł 11
+ e-at + e-bt
�ł
(b - a)(c - a)2 (a - b)(c - b)2
ół
11 �
1
60 e-at + sin(�t - Ć); Ć = tan-1�ł �ł
�ł łł
a2 + �2 � a2 + �2 a
(s + a)(s2 + �2 )
1
1 1 1 a 1
�ł
61
- sin �t + cos�t + e-at �ł
s(s + a)(s2 + �2 ) łł
a�2 a2 + �2 �ł � �2 a
F(s) f(t)
1 1 1
ńł
t - + e-at
�ł
a�2 a2�2 a2 (a2 + �2 )
1 �ł
62
�ł
s2 (s + a)(s2 + �2 )
1 a
�ł
+ cos(�t + Ć); Ć = tan-1�ł �ł
�ł
�ł łł
�
�3 a2 + �2
ół
1 1
63 e-at[sin �t - �t cos�t]
[(s + a)2 + �2 ]2 2�3
1 1
64 sinh at
s2 - a2 a
1 1 1
65 sinh at - t
s2 (s2 - a2 ) a3 a2
1 1 1
66
(cosh at -1) - t2
s3(s2 - a2 ) a4 2a2
�ł
a �ł �łłł
1 1 t 3 3
2
67
�łe-at - e at - 3 sin at�łśł
s3 + a3 3a2 �ł �łcos 2 2
�ł łł�ł
śł
�ł
1 1
68
(sin at cosh at - cos at sinh at)
s4 + 4a4 4a3
1 1
69 (sinh at - sin at)
s4 - a4 2a3
1 1
70 e-at sinh �t
[(s + a)2 - �2 ] �
ńł
a 1 (a - b)2 + �2
�ł - + e-bt sin (�t + Ć);
2
s + a
�łb + �2 � b2 + �2
71
�ł
s[(s + b)2 + �2 ]
�ł
��
Ć = tan-1�ł �ł + tan-1�ł �ł
�ł
�ł łł �ł - błł
b a
ół
ńł
(a
1 2ab - b)2 + �2
�ł
[1 + at] - + e-bt sin (�t + Ć)
b2 + �2 (b2 + �2 )2 �(b2 + �2 )
�ł
s + a
72
�ł
s2[(s + b)2 + �2 ]
�ł
��
Ć = tan-1�ł �ł + 2 tan-1�ł �ł
�ł
�ł - błł �ł b
łł
a
ół
ńł
a - c 1 (a - b)2 + �2
�ł e-ct + e-bt sin (�t + Ć)
s + a �ł(c - b)2 + �2 � (c - b)2 + �2
73
�ł
(s + c)[(s + b)2 + �2 ]
�ł
��
Ć = tan-1�ł �ł - tan-1�ł �ł
�ł
�ł - błł �ł c - błł
a
ół
ńł a (c - a)
2
�łc(b + �2 ) + c[(b - c)2 + �2 ] e-ct
�ł
�ł
s + a �ł 1 (a - b)2 + �2
74 - e-bt sin(�t + Ć)
�ł
s(s + c)[(s + b)2 + �2 ]
� b2 + �2 (b - c)2 + �2
�ł
�ł
�ł
�� �
Ć = tan-1�ł �ł + tan-1�ł �ł - tan-1�ł �ł
�ł
�ł łł �ł - błł �ł c - błł
b a
ół
s + a
a b - 3a - b a - b 2a - b
�ł3a
75
t + + + t2 + tłł e-bt
s2 (s + b)3
b3 b4 �ł b4 2b2 b3 śł
�ł �ł
F(s) f(t)
s + a a - c �ł a - b c - a a - c łł
76 e-ct + t2 + t + e-bt
(s + c)(s + b)3 (b - c)3 �ł 2(c - b) (c - b)2 (c - b)3 śł
�ł �ł
s2 a2 b2 c2
77
e-at + e-bt + e-ct
(s + a)(s + b)(s + c) (b - a)(c - a) (a - b)(c - b) (a - c)(b - c)
s2 a2 �ł b2 b2 - 2ab łł
78 e-at + t + e-bt
(s + a)(s + b)2 (b - a)2 �ł(a - b) (a - b)2 śł
�ł �ł
s2 �ł a2 łł
79
e-at
�ł2 - 2at + 2 t2 śł
(s + a)3
�ł �ł
a2 � �
s2
80 e-at - sin(�t + Ć); Ć = tan-1�ł �ł
�ł łł
(a2 + �2 ) a
(s + a)(s2 + �2 )
a2 + �2
ńł�ł a2 2a�2 łł �
�ł�ł 2 t - e-at - sin(�t + Ć);
śł
(a2 + �2 )
�ł(a + �2 ) (a2 + �2 )2 �ł
s2 �ł
81
�ł
(s + a)2 (s2 + �2 )
�ł
�
Ć = -2 tan-1�ł �ł
�ł
�ł łł
a
ół
ńł a2 b2
�ł(b - a)(a2 + �2 ) e-at + (a - b)(b2 + �2 ) e-bt
�ł
s2
82
�ł
(s + a)(s + b)(s2 + �2 )
� �ł ��
�ł
- sin(�t + Ć); Ć = -�łtan-1�ł �ł + tan-1�ł �łłł
�ł
�ł łł �ł łłśł
ab
�ł �ł
(a2 + �2 )(b2 + �2 )
ół
s2 a �
83 - sin(at) - sin(�t)
(s2 + a2 )(s2 + �2 ) (�2 - a2 ) (a2 - �2 )
s2 1
84
(sin �t + �t cos�t)
(s2 +�2 )2 2�
ńł
a2 1 (b2 - �2 )2 + 4b2�2
�ł e-at + e-bt sin(�t + Ć)
�ł(a - b)2 + �2 � (a - b)2 + �2
s2
85
�ł
(s + a)[(s + b)2 + �2 ]
�ł
-2b� �
Ć = tan-1�ł �ł - tan-1�ł �ł
�ł
�ł - �2 łł �ł a - błł
b2
ół
ńł
a2 �ł - a)2 + �2 ] + a2 (b - a) łł
a[(b
te-at - 2�ł e-at
�ł
[(b - a)2 + �2 ]2 śł
�ł �ł
�ł(a - b)2 + �2
�ł
�ł
(b2 - �2 )2 + 4b2�2
s2 �ł
86 + e-bt sin(�t + Ć)
�ł
(s + a)2[(s + b)2 + �2 ] �[(a - b)2 + �2 ]
�ł
�ł
-2b� �
�ł
Ć = tan-1�ł �ł - 2 tan-1�ł �ł
�ł
�ł - �2 łł �ł a - błł
b2 -
�ł
ół
s2 + a b2 + a a a
87
e-bt + t -
s2 (s + b) b2 b b2
s2 + a a a 1
88 t2 - t + [b2 + a - (a + b2 )e-bt ]
s3(s + b) 2b b2 b3
s2 + a a (b2 + a) (c2 + a)
89
+ e-bt - e-ct
s(s + b)(s + c) bc b(b - c) c(b - c)
s2 + a b2 + a c2 + a a a(b + c)
90
e-bt + e-ct + t -
bc
s2 (s + b)(s + c) b2 (c - b) c2 (b - c) b2c2
F(s) f(t)
2
s2 + a b2 + a c2 + a d + a
91 e-bt + e-ct + e-dt
(s + b)(s + c)(s + d) (c - b)(d - b) (b - c)(d - c) (b - d)(c - d)
2
s2 + a a b2 + a c2 + a d + a
92
+ e-bt + e-ct + e-dt
s(s + b)(s + c)(s + d) bcd b(b - c)(d - b) c(b - c)(c - d) d(b - d)(d - c)
ńł a a b2 + a
�łbcd t - b2c2d (bc + cd + db) + b2 (b - c)(b - d) e-bt
2
s2 + a �ł
93
�ł
s2 (s + b)(s + c)(s + d) 2
�ł c2 + a d + a
+ e-ct + e-dt
�ł 2
c2 (c - b)(c - d) d (d - b)(d - c)
ół
s2 + a 1 1
94
(a + �2 )sin �t - (a - �2 )t cos�t
(s2 + �2 )2 2�3 2�2
s2 - �2
95 t cos�t
(s2 + �2 )2
s2 + a
a (a - �2 ) a
96
- t sin �t - cos�t
s(s2 + �2 )2
�4 2�3 �4
s(s + a)
�ł
b2 - ab c2 - ac c2 - 2bc + ab łł
97
e-bt + t + e-ct
(s + b)(s + c)2
(c - b)2 �ł b - c (b - c)2 śł
�ł �ł
2
ńł - ab c2 - ac d - ad
b2
�ł(c - b)(d - b)2 e-bt + (b - c)(d - c)2 e-ct + (b - d)(c - d) te-dt
s(s + a) �ł
98
�ł
(s + b)(s + c)(s + d)2 2
�ł a(bc - d ) + d(db + dc - 2bc)
+ e-dt
�ł
(b - d)2 (c - d)2
ół
s2 + a1s + ao b2 - a1b + ao ao a1b - ao
99
e-bt + t +
s2 (s + b) b2 b b2
s2 + a1s + ao a1b - b2 - ao ao a1b - ao b2 - a1b + ao
100
e-bt + t2 + t +
s3(s + b) b3 2b b2 b3
s2 + a1s + ao ao b2 - a1b + ao c2 - a1c + ao
101
+ e-bt + e-ct
s(s + b)(s + c) bc b(b - c) c(c - b)
s2 + a1s + ao ao a1bc - ao (b + c) b2 - a1b + ao c2 - a1c + ao
102
t + + e-bt + e-ct
s2 (s + b)(s + c) bc b2c2 b2 (c - b) c2 (b - c)
2
s2 + a1s + ao b2 - a1b + ao c2 - a1c + ao d - a1d + ao
103
e-bt + e-ct + e-dt
(s + b)(s + c)(s + d) (c - b)(d - b) (b - c)(d - c) (b - d)(c - d)
2
s2 + a1s + ao ao b2 - a1b + ao c2 - a1c + ao d - a1d + ao
104
- e-bt - e-ct - e-dt
s(s + b)(s + c)(s + d) bcd b(c - b)(d - b) c(b - c)(d - c) d(b - d)(c - d)
s2 + a1s + ao ao b2 - a1b + ao b2 - ao
105
- t e-bt + e-bt
s(s + b)2 b2 b b2
s2 + a1s + ao
ao a1b - 2ao b2 - a1b + ao 2ao - a1b
106
t + + t �-bt + e-bt
s2 (s + b)2
b2 b3 b2 b3
s2 + a1s + ao b2 - a1b + ao c2 - a1c + ao c2 - 2bc + a1b - ao
107
e-bt + t e-ct + e-ct
(s + b)(s + c)2 (c - b)2 (b - c) (b - c)2
ńł d3
b3 c3
�ł(b - c)(d - b)2 e-bt + (c - b)(d - c)2 e-ct + (d - b)(c - d) t e-dt
s3 �ł
108
�ł
(s + b)(s + c)(s + d)2 2 2
�ł d [d - 2d(b + c) + 3bc]
+ e-dt
�ł
(b - d)2 (c - d)2
ół
�1999 CRC Press LLC
F(s) f(t)
ńł b3 c3
�ł(b - c)(d - b)( f - b)2 e-bt + (c - b)(d - c)( f - c)2 e-ct
�ł
�ł
3 3
d f
�ł
+ e-dt + t e- ft
�ł
(d - b)(c - d)( f - d)2 ( f - b)(c - f )(d - f )
s3 �ł
109
(s + b)(s + c)(s + d)(s + f )2 �ł �ł 3 f 2
�ł
+
�ł(b - f )(c - f )(d - f )
�ł
�ł
�ł
�ł
3
f [(b - f )(c - f ) + (b - f )(d - f ) + (c - f )(d - f )]
)( łł
�ł
+ �-dt
�ł
(b - f )2 (c - f )2 (d - f )2 śł
�ł
ół
s3 b3 b2 (3c - b) c3 c2 (3b - c)
110
- t e-bt + e-bt - t e-ct + e-ct
(s + b)2 (s + c)2 (c - b)2 (c - b)3 (b - c)2 (b - c)3
3
ńł
d b3
�ł- e-dt + t e-bt
(b - d)2 (c - d)2 (c - b)2 (b - d)
�ł
�ł
�ł
�ł łł
s3 �ł 3b2 b3(c + 2d - 3b) c3
111 + e-bt + t e-ct
(s + d)(s + b)2 (s + c)2 �ł �ł(c - b)2 (d - b) + (c - b)3(d - b)2 śł (b - c)2 (c - d)
�ł �ł
�ł
�ł
�ł
�ł 3c2 c3(b + 2d - 3c) łł
+ + e-ct
�ł
�ł(b +
�ł - c)2 (d - c) (b - c)3(d - c)2 śł
�ł �ł
ół
ńł
b3 c3
�ł e-bt + e-ct
�ł(b - c)(b2 + �2 ) (c - b)(c2 + �2 )
�ł
�ł
s3 �2
112
- sin(�t + Ć)
�ł
(s + b)(s + c)(s2 + �2 )
(b2 + �2 )(c2 + �2 )
�ł
�ł
�ł
c �
Ć = tan-1�ł �ł - tan-1�ł �ł
�ł
�ł łł �ł łł
� b
ół
ńł b3 c3
�ł(b - c)(d - b)(b2 + �2 ) e-bt + (c - b)(d - c)(c2 + �2 ) e-ct
�ł
�ł
d3
�ł
+ e-dt
2
�ł
(d - b)(c - d)(d + �2 )
s3 �ł
113
�ł
(s + b)(s + c)(s + d)(s2 + �2 )
�2
�ł
- cos(�t - Ć)
�ł
2
(b2 + �2 )(c2 + �2 )(d + �2 )
�ł
�ł
�ł � � �
Ć = tan-1�ł �ł + tan-1�ł �ł + tan-1�ł �ł
�ł
�ł łł �ł łł �ł łł
b c d
d
ół
ńł b3 b2 (b2 + 3�2 ) �2
�ł- b2 + �2 t e-bt + (b2 + �2 )2 e-bt - (b2 + �2 ) sin(�t + Ć)
s3 �ł
114
�ł
(s + b)2 (s2 + �2 )
�ł b �
Ć = tan-1�ł �ł - tan-1�ł �ł
�ł
�ł łł �ł łł
� b
ół
s3
115 cos(�t) cosh(�t)
s4 + 4�4
s3
1
116
[cosh(�t) + cos(�t)]
2
s4 -�4
F(s) f(t)
ńł ao ao (b + c) - a1bc -b3 + a2b2 - a1b + ao
t - + e-bt
�ł
bc b2c2 b2 (c - b)
s3 + a2s2 + a1s + ao �ł
117
�ł
s2 (s + b)(s + c)
�ł -c3 + a2c2 - a1c + ao
+ e-ct
�ł
c2 (b - c)
ół
ńł -b3 + a2b2 - a1b + ao -c3 + a2c2 - a1c + ao
ao
- e-bt - e-ct
�ł
s3 + a2s2 + a1s + ao �łbcd b(c - b)(d - b) c(b - c)(d - c)
118
�ł
s(s + b)(s + c)(s + d) 3 2
�ł -d + a2d - a1d + ao
- e-dt
�ł
d(b - d)(c - d)
ół
ńł ao �ł a1 ao (bc + bd + cd) -b3 + a2b2 - a1b + ao
łł
�łbcd t + �ł bcd - b2c2d 2 śł + b2 (c - b)(d - b) �-bt
�ł �ł
�ł
s3 + a2s2 + a1s + ao
119
�ł
2
s2 (s + b)(s + c)(s + d)
�ł -c3 + a2c2 - a1c + ao -d3 + a2d - a1d + ao dt
+ e-ct + e-
�ł
2
c2 (b - c)(d - c) d (b - d)(c - d)
)
ół
ńł -b3 + a2b2 - a1b + ao -c3 + a2c2 - a1c + ao
e-bt + e-ct
�ł
(c - b)(d - b)( f - b) (b - c)(d - c)( f - c)
s3 + a2s2 + a1s + ao �ł
120
�ł
(s + b)(s + c)(s + d)(s + f ) 2 3 2
�ł -d3 + a2d - a1d + ao - f + a2 f - a1 f + ao ft
+ e-dt + e-
�ł
(b - d)(c - d)( f - d) (b - f )(c - f )(d - f )
-
ół
ńł -b3 + a2b2 - a1b + ao -c3 + a2c2 - a1c + ao
ao
�łbcdf - b(c - b)(d - b)( f - b) e-bt - c(b - c)(d - c)( f - c) e-ct
s3 + a2s2 + a1s + ao �ł
121
�ł
s(s + b)(s + c)(s + d)(s + f ) 2 3 2
�ł -d3 + a2d - a1d + ao - f + a2 f - a1 f + ao ft
a
- e-dt - e-
�ł
d(b - d)(c - d)( f - d) f (b - f )(c - f )(d - f )
ół
ńł -b3 + a2b2 - a1b + ao -c3 + a2c2 - a1c + ao
e-bt + e-ct
�ł
�ł(c - b)(d - b)( f - b)(g - b) (b - c)(d - c)( f - c)(g - c)
�ł
2 3 2
-
s3 + a2s2 + a1s + ao �ł -d3 + a2d - a1d + ao - f + a2 f - a1 f + ao ft
122 + e-dt + e-
�ł
(b - d)(c - d)( f - d)(g - d) (b - f )(c - f )(d - f )(g - f )
(s + b)(s + c)(s + d)(s + f )(s + g)
�ł
�ł
�ł -g3 + a2g2 - a1g + ao
+ e-gt
�ł
(b - g)(c - g)(d - g)( f - g)
ół
ńł -b3 + a2b2 - a1b + ao -c3 + a2c2 - a1c + ao
e-bt + e-ct
�ł
(c - b)(d - b)2 (b - c)(d - c)2
�ł
�ł
2
�ł -d3 + a2d - a1d + ao
+ te-dt
s3 + a2s2 + a1s + ao �ł
123
(b - d)(c - d)
�ł
(s + b)(s + c)(s + d)2
�ł
2
�ł
ao (2d - b - c) + a1(bc - d )
�ł
2 2
+ a2d(db + dc - 2bc) + d (d - 2db - 2dc + 3bc)
+
�ł
+ e-dt
�ł
(b - d)2 (c - d)2
ół
3 2
ńł -b3 + a2b2 - a1b + ao -c + a2c - a1c + ao
ao
�łbcd 2 - b(c - b)(d - b)2 e-bt - c(b - c)(d - c) 2 e-ct
�ł
�ł
3 2 2
s3 + a2s2 + a1s + ao �ł -d + a2d - a1d+ a 3d - 2a2d + a1 -
o
124 - te-dt - e-dt
�ł
d(b - d)(c - d) d (b - d)(c - d)
s(s + b)(s + c)(s + d)2
�ł
�ł
2
(-d3 + a2d - a1d + ao )[(b - d)(c - d) - d(b - d) - d(c - d)]
�ł
- e-dt
�ł 2
d (b - d)2 (c - d)2
ół
F(s) f(t)
ńł -b3 + a2b2 - a1b + ao -c3 + a2c2 - a1c + ao
e-bt + e-ct
�ł
(c - b)(d - b)( f - b)2 (b - c)(d - c)( f - c)2
�ł
�ł
2 3 2
�ł -d3 + a2d - a1d + ao - f + a2 f - a1 f + ao ft
+ e-dt + te-
s3 + a2s2 + a1s + ao �ł
125
(b f
�ł - d)(c - d)( f - d)2 (b - f )(c - f )(d - f )
(s + b)(s + c)(s + d)(s + f )2 �ł
3 2
�ł
(- f + a2 f - a1 f + ao )[(b - f )(c - f )
�ł
2
3 f - 2a2 f + a1 ft - f )(d - f ) + (c - f )(d - f )]
+ (b
�ł
+ e- - e- ft
�ł
(b - f )(c - f )(d - f ) (b - f )2 (c - f )2 (d - f )2
ół
ół
1
s
eat (1 + 2at)
126
(s - a)3 / 2 Ą t
1
(ebt - eat )
127
s - a - s - b
2 Ą t3
2
1
1
- aea terfc(a t )
128
Ą t
s + a
2
1
s
129 + aea terf (a t )
Ą t
s - a2
a t
2 2
1
s 2a
130 - e-a t e d
+"
Ą t Ą 0
s + a2
1 2
1
131
ea terf (a t )
s (s - a2 ) a
a t
2 2
1 2
132 e-a t e dĄ
+"
s (s + a2 ) a Ą 0
b2 - a2 22
133
ea t[b - a erf (a t )] - beb t erfc(b t )
(s - a2 )(b + s )
1
2
134
ea terfc(a t )
s ( s + a)
1
1
135 e-aterf ( b - a t )
(s + a) s + b
b - a
22
b2 - a2 b
136 ea t �ł erf (a t ) -1łł + eb terfc(b t )
�ł śł
a
s (s - a2 )( s + b) �ł �ł
n!
ńł
�ł(2n)! Ąt H2n ( t )
�ł
(1 - s)n
137
�ł
n
sn+(1/ 2)
�ł �ł 2 łł
d
x2
�ł �łH (t) = Hermite polynomial = ex dxn (e- )śł
n
�ł �ł
ół
n!
(1 - s)n
138 - H2n+1( t )
sn+(3 / 2) Ą (2n + 1)!
-at
ńł
s + 2a �łae [I1(at) + Io (at)]
139
- 1
�ł
-n
s
�ł [In (t) = j Jn ( jt) where Jn is Bessel's function of the first kind]
ół
1
a - b
140
e-(1/ 2)(a+b)t Io �ł t�ł
�ł łł
s + a s + b 2
F(s) f(t)
k-(1/ 2)
�(k)
t a - b
�ł �ł
141 (k e" 0)
Ą e-(1/ 2)(a+b)t Ik-(1/ 2)�ł t�ł
�ł łł
(s + a)k (s + b)k �ł - błł 2
a
1
�ł a - b a - b łł
142
t e-(1/ 2)(a+b)t �łIo �ł t�ł + I1�ł t�łśł
(s + a)1/ 2 (s + b)3 / 2 �ł łł �ł łł�ł
22
�ł
s + 2a - s 1
143
e-at I1(at)
t
s + 2a + s
k a
(a - b)k (k > 0) e-(1/ 2)(a+b)t Ik - b
�ł
144 t�ł
�ł łł
t 2
( s + a + s + b )2k
11
( s + a + s )-2v
145
e-(1/ 2)(at)Iv �ł at�ł
�ł łł
av 2
s s + a
1
146 Jo(at)
s2 + a2
( s2 + a2 - s)v
147 av Jv (at)
(v >-1)
s2 + a2
k-(1/ 2)
1 Ą t
�ł �ł
148 (k > 0) Jk-(1/ 2)(at)
(s2 + a2 )k 2a
�(k)�ł łł
kak
149
Jk (at)
( s2 + a2 - s)k (k > 0)
t
(s - s2 - a2 )v
150
av Iv (at)
(v >-1)
s2 - a2
k-(1/ 2)
1
Ą t
�ł �ł
151 (k > 0)
Ik-(1/ 2)(at)
2a
(s2 - a2 )k �(k)�ł łł
y
1 2
"
2
152 erf( t ); erf(y) the error function = e-u du
+"
s s + 1
Ą o
1
153
Jo (at) ; Bessel function of 1st kind, zero order
s2 + a2
1
J1(at)
154
; J1 is the Bessel function of 1st kind, 1st order
s2 + a2 + s at
1
JN (at)
N
155
;N = 12,3L, JN is the Bessel function of 1st kind, Nth order
, ,
aN t
[ s2 + a2 + s]N
t
1
JN (au)
N
156
du;N = 123L, JN is the Bessel function of 1st kind, Nth order
, , ,
+"
aN o u
s[ s2 + a2 + s]N
1
1
157
J1(at); J1 is the Bessel function of 1st kind, 1st order
s2 + a2 ( s2 + a2 + s)a
1
1
158
JN (at) ;N = 12,3,L, JN is the Bessel function of 1st kind, Nth order
,
aN
s2 + a2 [ s2 + a2 + s]N
1
159 Io (at) ; Io is the modified Bessel function of 1st kind, zero order
s2 - a2
e-ks ńł0 when 0 < t < k
160
Sk (t) =
�ł1 when t > k
s
ół
F(s) f(t)
ńł0 when 0 < t < k
e-ks
161
�łt - k when t > k
s2
ół
when 0 < t < k
ńł0
e-ks �ł(t - k)�-1
162
(� > 0)
�ł
when t > k
s�
�ł �(�)
ół
ńł1 when 0 < t < k
1 - e-ks
163
�ł0 when t > k
s
ół
1
1 + coth ks ńłn when
1
164 2 S(k,t) =
�ł
=
(n -1)k < t < n k (n = 1,2,L)
ół
s(1 - e-ks ) 2s
0 when 0 < t < k
ńł
1
�ł1+
165
Sk (t) = a + a2 +L+ an-1
�ł
s(e+ks - a)
�ł
when nk < t < (n +1)k (n = 1,2,L)
ół
ńł
M(2k,t) = (-1)n-1
�ł
�ł
1
166
when 2k(n -1) < t < 2nk
tanh ks �ł
s
�ł
(n = 12,L)
,
�ł
ół
ńł 1 1 1- (-1)n
1 (
�ł2 Mk,t) + 2 = 2
167
�ł
s(1 + e-ks )
�ł
when (n -1)k < t < nk
ół
ńł
1 �łH(2k,t) [H(2k,t) = k + (r - k)(-1)n where t = 2kn + r;
168 tanh ks
�ł
s2
�ł 0 d" r d" 2k; n = 012,L]
, ,
ół
ńł2S(2k,t + k) - 2 = 2(n -1)
1
�ł
169
�ł
ssinh ks
�ł when (2n - 3)k < t < (2n -1)k (t > 0)
ół
ńłM(2k,t + 3k) +1 = 1+ (-1)n
1
�ł
170
�ł
s cosh ks
�ł
when (2n - 3)k < t <(2n -1)k (t > 0)
ół
ńł2S(2k,t) -1 = 2n -1
1 �ł
171
coth ks
�ł
s
�ł when 2k(n -1) < t < 2kn
ół
k Ą s
172
coth sin kt
s2 + k2 2k
1 ńłsin t when (2n - 2)Ą < t < (2n -1)Ą
173
�ł0 when (2n -1)Ą < t < 2nĄ
(s2 + 1)(1 - e-Ąs )
ół
1
174
e-k / s Jo (2 kt )
s
1 1
175 e-k / s cos2 kt
s Ąt
1 1
176 ek / s cosh2 kt
s Ąt
1
1
177 sin 2 kt
e-k / s
s3 / 2 Ąk
1
1
sinh 2 kt
178 ek / s
s3 / 2 Ąk
F(s) f(t)
(�-1) / 2
1 t
�ł �ł
179
e-k / s (� > 0) J�-1(2 kt )
�ł łł
s� k
(�-1) / 2
1
t
�ł �ł
180 ek / s (� > 0)
I�-1(2 kt )
s� �ł łł
k
�ł �ł
k k2
181 exp�ł-
e-k s (k > 0) �ł
2 Ąt3 �ł 4t łł
1 �ł �ł
k
182 e-k s (k e" 0)
erfc�ł �ł
s
�ł łł
2 t
2
�ł �ł
1 1 k
183
e-k s (k e" 0) exp�ł-
�ł
s Ą t �ł 4t łł
�ł �ł �ł �ł
t k2 k
184
2 exp�ł- - k erfc�ł �ł
s-3 / 2e-k s (k e" 0)
�ł
Ą �ł 4t łł �ł łł
2 t
ae-k s (k e" 0) 2 �ł �ł �ł �ł
k
185
-eak ea t erfc�ła t + + erfc�ł k �ł
�ł
s(a + s )
�ł 2 t 2 t
łł �ł łł
-k s
2 �ł �ł
e k
186 (k e" 0) eak ea t erfc�ła t +
�ł
s (a + s ) �ł 2 t łł
-k s(s+a)
e when 0 < t < k
ńł0
187
�łe-(1/ 2)at
1
s(s + a)
Io ( a t2 - k2 ) when t > k
2
ół
when 0 < t < k
e-k s2 +a2 ńł0
188
�łJ (a t2 - k ) when t > k
2
(s2 + a2 )
o
ół
-k s2 -a2
e when 0 < t < k
ńł0
189
�łI (a t2 - k2 ) when t > k
(s2 - a2 )
o
ół
-k( s2 +a2 -s)
e
190 (k e" 0)
Jo (a t2 + 2kt )
(s2 + a2 )
when 0 < t < k
ńł0
�ł
ak
191
�ł
e-ks - e-k s2 +a2 J1(a t2 - k2 ) when t > k
�ł
t2 - k2
ół
when 0 < t < k
ńł0
�ł
ak
192
�ł
e-k s2 +a2 - e-ks
I1(a t2 - k2 ) when t > k
�ł
t2 - k2
ół
av e-k s2 -a2
v
when 0 < t < k
ńł0
�ł
(1/ 2)v
(s2 + a2) s2 + a2 + s�ł �ł t - k
193
�ł
�ł łł
Jv (a t2 - k2 ) when t > k
( )
�ł
t + k
ół
(v >-1)
1
194
log s �2 (1) - log t [�2 (1) = -0.5772]
s
ńł logt �ł
1 �2 (k)
k-1
195
t
�ł[�(k)]2 �(k) żł
sk log s (k > 0)
ół �ł
log s
196
eat[log a - Ei(-at)]
s - a(a > 0)
F(s) f(t)
log s
197
cost Si(t) - sin t Ci(t)
s2 + 1
s log s
198
-sin t Si(t) - cost Ci(t)
s2 + 1
1
�ł- t
�ł
199 log(1 + ks) (k > 0) -Ei
�ł łł
s k
s - a 1
200
log (ebt - eat )
s - b t
1 t
201
log(1 + k2s2 ) -2Ci�ł �ł
�ł łł
s k
1
202 log(s2 + a2 ) (a > 0) 2 log a - 2Ci(at)
s
1 2
203
log(s2 + a2 ) (a > 0) [at log a + sin at - at Ci(at)]
s2 a
s2 + a2 2
204
log (1 - cos at)
s2 t
2
s2 - a2
205 (1 - cosh at)
log
t
s2
k 1
206
arctan sin kt
s t
1 k
207 Si(kt)
arctan
s s
�ł �ł
t2
2 1
208
exp�ł-
ek s2 erfc(ks) (k > 0)
�ł
2
k Ą �ł 4k łł
2
1 t
�ł �ł
209 ek s2 erfc(ks) (k > 0) erf
�ł łł
s 2k
k
210
ekserfc( ks ) (k > 0)
Ą t(t + k)
1
ńł0 when 0 < t < k
211 erfc( ks)
�ł(Ąt)-1/ 2
s when t > k
ół
1
1
212 ekserfc( ks ) (k > 0)
Ą(t + k)
s
�ł �ł
k 1
213
erf sin (2k t )
�ł �ł
Ąt
�ł s łł
2 �ł �ł 1
1 k
e-2k t
214
ek / serfc�ł �ł
Ą t
s �ł s łł
1
215 - easEi(-as)
; (a > 0)
t + a
1 1
216
+ seasEi(-as) ; (a > 0)
a (t + a)2
Ą 1
�ł
217 - Si(s)łł cos s +Ci(s)sin s
�ł śł
2 t2 + 1
�ł �ł
F(s) f(t)
when 0 < t < k [Kn(t) is Bessel function of the
ńł0
218 Ko(ks)
�ł(t2 - k2 )-1/ 2 when t > k second kind of imaginary argument]
ół
�ł �ł
1 k2
219
Ko (k s ) exp�ł-
�ł
2t �ł 4t łł
1 1
220 eksK1(ks) t (t + 2k)
s k
2
1
�ł �ł
1 k
221 K1(k s )
exp�ł-
�ł
s k �ł 4t łł
2
1 k
222 Ko (2 2kt )
ek / sKo �ł �ł
�ł łł
s Ąt
s
ńł - t)]-1/ 2 when 0 < t < 2k
[t(2k
223 Ąe ksIo(ks)
�ł
when t > 2k
ół0
k
ńł - t
when 0 < t < 2k
�ł
224
e-ks I1(ks)
Ąk t(2k
�ł - t)
�ł0
when t > 2k
ół
"
2 u[t - (2k + 1)a]
"
k=0
1
225
ssinh (as)
"
2 (-1)k u(t - 2k -1)
"
k=0
1
226
s cosh s
"
u(t) + 2 (-1)k u(t - ak)
"
k=1
square wave
1 as�ł
�ł
227 tanh
2
�ł łł
s
"
u(t - ak)
"
k=0
stepped function
1 as�ł
�ł1 + coth
228
�ł 2 łł
2s
F(s) f(t)
"
mt - ma u(t - ka)
"
k=1
saw - tooth function
m ma as
�łcoth - 1�ł
229 -
�ł łł
s2 2s 2
"
�ł łł
1
�łt + 2 (-1)k (t - ka) �" u(t - ka)śł
"
a
�ł śł
�ł k=1 �ł
triangular wave
1 as
�ł �ł
230 tanh
łł
s2 �ł 2
"
(-1)k u(t - k)
"
k=0
1
231
s(1 + e-s )
"
�ł Ą�łłł Ą
�ł
�łsin a�łt - k a łłśł �" u�łt - k a łł
"
�ł �ł
�ł �ł
k=0
half - wave rectification of sine wave
a
232
Ą
- s
a
(s2 + a2 )(1- e )
"
�ł Ą
�łt �łłł Ą �ł
sin (at) �" u(t) + 2 a - k �" u�łt - k
[ ]
�łsin �ł a łłśł �ł a łł
"
�ł �ł
k=1
full - wave rectification of sine wave
�ł a łł Ąs�ł
�ł
233
coth
�ł(s2 śł
�ł a łł
+ a2 ) 2
�ł �ł
u(t - a)
1
234
e-as
s
F(s) f(t)
u(t - a) - u(t - b)
1
235
(e-as - e-bs )
s
m �"(t - a) �" u(t - a)
m
236
e-as
s2
mt �" u(t - a)
or
ma + m(t
[ - a) �" u(t - a)
]
ma m
�ł łłe-as
237
+
�ł śł
s s2
�ł �ł
(t - a)2 �" u(t - a)
2
238
e-as
s3
t2 �" u(t - a)
�ł 2 2a a2 łł
239
+ + e-as
�ł śł
s3 s2 s
�ł �ł
mt �" u(t) - m(t - a) �" u(t - a)
m m
240 - e-as
s2 s2
mt - 2m(t - a) �"u(t - a) + m(t - 2a) �" u(t - 2a)
m 2m m
241 - e-as + e-2as
s2 s2 s2
mt -[ - a) �" u(t - a)
ma + m(t
]
m ma m
�ł �ł
242 - + e-as
s2 �ł s s2 łł
F(s) f(t)
05t2 for 0 d" t < 1
.
1 - 0.5(t - 2)2 for 0 d" t < 2
1 for 2 d" t
(1 - e-s )2
243
s3
05t2 for 0 d" t < 1
.
075- (t -15)2 for 1 d" t < 2
. .
05(t - 3)2 for 2 d" t < 3
.
3
�ł - e-s ) łł
(1
244
0 for 3 < t
�ł śł
s
�ł �ł
(ebt - 1) �" u(t) - (ebt -1) �" u(t - a) + Ke-b(t-a) �" u(t - a)
b
+ (eba -1)
s(s - b) where K = (eba -1)
245 b
�ł łł
s +
�ł śł
1
eba -1 -as
-
�ł śłe
s + b s(s - b)
�ł śł
�ł �ł