Egzamin z matematyki, I r. WBWiIÅš, r. 2003/2004
I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
1. Dobrać wartości parametrów a i b (a, b " R) tak, aby funkcja
Å„Å‚
1
ôÅ‚
a · ecos x-1 + b dla x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
sin2 x
lim dla x = 0
f(x) =
1 - cos x
x0
ôÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚ sin
ôÅ‚
2
ôÅ‚
a · dla x > 0
ół
x
tg
3
byla ciagla.
¸
1+x
2. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = ln w jej punkcie przegi¸
ecia.
1-x
3. Obliczyć calki
1
"
dx
a) arctg x dx b)
sin2 x + tg2x
0
5 2
4. Obliczyć pole obszaru zawartego pomi¸ wykresami funkcji y = i y = .
edzy
x2+4 x2+4
Wykonać rysunek.
5. OkreÅ›lić liczb¸ rozwiazaÅ„ ukladu równaÅ„
e ¸
Å„Å‚
ôÅ‚ px + py + pz + pt = p
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + py + pz + pt = p
ôÅ‚
x + y + pz + pt = p
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + z + pt = p
w zależności od wartości parametru p " R.
6. Napisać równanie plaszczyzny przechodz¸ przez punkt P (a, b, -6), a, b " R, i
acej
prostopadlej do plaszczyzn Ä„1 : x + y + z - 5 = 0 i Ä„2 : x - y + z = 0, gdzie
a(2 + 3i) + b(4 - 5i) = 6 - 2i
II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna
e
T.1 Podać definicj¸ indukcyjn¸ wyznacznika. W oparciu o t¸ definicj¸ wyprowadzić wzór
e a e e
na obliczanie wyznacznika stopnia trzeciego. Sformulować twierdzenie Laplace a o
rozwini¸ wyznacznika.
eciu
T.2 Podać definicj¸ funkcji pierwotnej. Sformulować twierdzenie o calkowaniu przez cz¸Å›ci
e e
dla calek nieoznaczonych. Korzystajac z tego twierdzenia wyprowadzić wzór rekuren-
¸
cyjny In = x(ln x)n - nIn-1, gdzie In = (ln x)ndx.
T.3 Podać definicj¸ różniczki zupelnej funkcji dwóch zmiennych. Korzystajac z różniczki
e ¸
"
zupelnej obliczyć przybliżon¸ wartość wyrażenia 4, 1 · 3, 95. Sformulować twierdze-
a
nie Schwarza.