1
ĆWICZENIE NO 3
3. Statystyczna Obróbka wyników pomiaru
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest praktyczne poznanie przez studentów statystycznej obróbki wyników
pomiaru w tej czesi, która jest niezbędna w szacowania niepewności wyniku.
3.1. Teoria
3.1.1. Błąd pomiaru a niepewność wyniku pomiaru
Pomiar jest to proces, w którym w sposób doświadczany, przypisujemy pewne wartości liczbowe
charakteryzujące właściwości obiektu lub procesu fizycznego w taki sposób, aby opisać ten obiekt
lub proces. Dzięki temu nasza wiedza o obiekcie czy procesie staje się pełniejsza, jest bogatsza,
bardziej kompletna.
Do celów pomiarowych używa się przyrządów pomiarowych lub zespołów przyrządów
pomiarowych nierzadko wspomaganych komputerami i wówczas mam do czynienia z
komputerowo wspomaganymi pomiarami. Dzięki zastosowaniu komputerów mamy możliwość
sterowania procesem pomiarowym, gromadzenia znacznej liczby wyników pomiaru, których
obróbka i właściwa prezentacja stają się głównym zadaniem współczesnego metrologa. Obliczanie
niepewności wyniku pomiaru, a w tym statystyczna obróbka wyników pomiaru są obowiązkowe z
punktu widzenia poprawności zapisu wyniku pomiaru.
W procesie pomiarowym staramy się poznać wielkość prawdziwą wielkości mierzonej lub zbiór
parametrów opisujących badany obiekt lub proces, lecz de facto wartości prawdziwej wielkości
mierzonej nie poznamy, a co najwyżej możemy wyznaczyć węższy lub szerszy przedział, który na
określonym poziomie ufności pokrywa wielkość prawdziwą wielkości mierzonej.
Błąd pomiaru jest to różnica pomiędzy wartością pomierzoną a wartością prawdziwą.:
�n = xn - x (3.1)
praw
gdzie: błąd � w n-tym pomiarze jest defilowany jako różnica pomiędzy aktualnym wynikiem
n
pomiaru xn , a wartością prawdziwą, x zdefiniowaną lub obliczoną wartością wielkość
praw
podlegającej pomiarowi.
Oczywiste jest, że można spierać się czy znamy lub czy możemy poznać wartość  prawdziwą
wielkości mierzonej, ale dla celów inżynierskich możemy przyjąć, że  wartość prawdziwa jest
wartością określoną w najdokładniejszy jak tylko potrafimy sposób np. poprzez porównanie jej w
wysokiej klasy standardem.
Jeżeli jako wartości prawdziwą wielkości mierzonej wprowadzi się pojecie wartości poprawnej
czyli tej wyznaczanej lub obliczanej w najdokładniejszy sposób, wówczas możemy przyjąć, że
wyznaczenie wartości średniej jest takim sposobem uzyskiwania wartości poprawnej. Wartość
średnia z N pomiarów można obliczyć jako średnią arytmetyczną x zgodnie z (3.2)
N
1 x1 + x2 + x3 +L + xN
x = xn = (3.2)
"
N N
n-1
gdzie:
N  całkowita liczba próbek (zebranych pomiarów),
x1 + x2 + x3 + L + xN wyniki kolejnych pomiarów
x - średnia arytmetyczna z N wyników
W miejsce wartości prawdziwej można wprowadzić pojęcie wartości poprawnej, xp = x ,
praw
która jest najlepszą estymatą wartości prawdziwej, a w miejsce błędu się błąd pozorny " ,
p
wówczas nie budzi to kontrowersji w stosunku do posługiwania się pojęciem błędu i wartości
prawdziwej.
Tak wiec
" = x - x (3.3)
p p
a wartości średnia równa się wartość i poprawnej:
N
1
x = x = xn (3.4)
"
p
N
n=1
Należy zwrócić uwagę, że xn występujące w (3.2) i (3.4) jest wartością kolejnego wyniku, który
musi być otrzymany już w najlepszy z możliwych sposobów, w tym skorygowany o wartość
korekcyjną, która jest znany np. z procesu kalibracji, zastosowanej metody pomiarowej co jest
znane z fizyki pomiaru lub i innych znanych systematycznych wpływów jak wpływ środowiska
zewnętrznego. Przykładowo takim czynnikiem wpływającym jest temperatura, która powoduje
zmianę warunków pomiaru i o ten wpływ może być skorygowany pojedynczy wynik pomiaru w
serii pomiarowej, co może objawiać się wpływem o charterze periodyczny (np. sinusoidalny) lub
np. linowym w postaci stałego trendu w serii pomiarów. Możliwość eliminacji takich wpływów w
czasie pomiarów występuje wtedy i tylko wtedy, gdy znane są chwile czasowe otrzymywanych
poszczególnych wyników cząstkowych.
Na Rys. 3.1 przedstawiono 128 próbek pomiaru, które są zanieczyszczone trendem liniowym i
trendem okresowym, które przedstawiona na rys. 3.2
Próbki pozbawione tych zanieczyszczeń  oznaczono kolorem czarnym
Rys. 3.1 Symulowane wartości pomiarowe  128 próbek zawierających w których można
zauważyć pewien trend liniowy i okresowy zakłócający wyniki pomiarów.
Rys. 3.2. Symulowane dla celów dydaktycznych 128 próbek pomiaru napięcia, z którego usunięto
wartość średnią (wszystkie wartości obniżone o wartości średnia)
Na Rys. 3.3.przedstawiono 128 próbek, które nie zawierają, żadnych trendów: ani okresowego ani
nieokresowego
Rys. 3.3 Symulowanych 128 próbek, o przypadkowym rozrzucie wartości.
Na podstawie zgromadzonych próbek, można je uszeregować po wartości najmniejsze do wartości
największej, i podzielić je na podprzedziały symetrycznie wokół wartości średniej i następnie
obliczyć ile otrzymanych wyników  wpadnie do każdego z tak wyznaczonych podprzedziałów.
Zależność liczby punktów w tych podprzedziałach w funkcji wartość średnich tych
podprzedziałów nazywa się histogramem.
Na Rys. 3.4 przedstawiono takie histogramy dla 4 przypadków:, gdy próbka nie jest
zanieczyszczona zakłóceniami (3.4.d), zanieczyszczona zakłóceniami o charakterze liniowym (3.4
b), okresowym sinusoidalnym (3.4c) oraz oboma tymi zakłóceniami: jednocześnie (3.4a):
Rys. 3.4 a Wartość średnia x = 6,359 Rys. 3.4 b Wartość średnia x = 6,359
odchylenie standardowe sn-1 = 3,43 odchylenie standardowe sn-1 = 3,74
Rys. 3.4 c Wartość średnia x = 0,00881 Rys. 3.4 d Wartość średnia x = 0,00881
odchylenie standardowe sn-1 = 1,77 odchylenie standardowe sn-1 = 1,01
Jeżeli liczby pomiarów w poszczególnych podprzedziałach podzielimy przez liczbę wszystkich
pomiarów, uzyskujemy częstość występowania wyników w poszczególnych podprzedziałach.
Taki histogram jest rozkładem empirycznym i można go przybliżyć rozkładem Normalnym
2
Ą#(x-x) ń#
-ó# Ą#
1
2�
Ł# Ś#
p(x) = e (3.5)
2
2Ą�
w którym:
p(x) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa
x - x - różnica pomiędzy bieżąca wartością x a jej średnią arytmetyczną x
� - odchylenie standardowe- parametr rozkład, który dla n " sn �
Rys. 3.5 Przejście od histogramu do funkcji gęstości prawdopodobieństwa
x - x
Jeżeli oznaczyć: z - i przyjąć, że x = 0, wówczas od rozkładu Gaussa przechodzimy do
�
rozkładu Gaussa standaryzowanego, który ma bardzo szczególna rolę w wyznaczaniu niepewności
wyniku pomiaru na określonym poziomie ufności, co jest dalej rozwinięte.
a) b)
Rys 3.6 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (a) i dystrybuanta (b) dla x = -0.03 i � = 2,51
Znormalizowana funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta dla x = 0 i � = 1
Przedstawiono na Rys. 3.7
0.45 1.00
0.90
0.40
0.80
0.35
0.70
0.30
0.60
0.25
0.50
0.20
0.40
0.15
0.30
0.10
0.20
0.05
0.10
0.00 0.00
-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.0 -5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.0
a) b)
Rys 3.7 a) p(z) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Normalnego (Gaussa) b)
P(z) skumulowana funkcja opisana równaniem dla wartości średniej x = 0 i odchylenia
x - x
standardowego � = 1 czyli tzw znormalizowanego rozkładu Normalnego którym: z =
�
Zależność pomiędzy funkcją gęstości prawdopodobieństwa i skumulowaną funkcja gęstości
prawdopodobieństwa zwaną również dystrybuantą dla zmiennej nieznormalizowanej x, jest
następująca:
z
P(z) = p(z)dx (3.6)
+"
-"
i odwrotnie
dP(z)
p(z) = (3.7)
dz
Równanie 3.7 może być interpretowane jako prawdopodobieństwo, że z przyjmuje wartość
mniejszą niż a . Prawdopodobieństwo, że z leży pomiędzy a i b (tj. a < z < b ) może być
zapisane jako:
b a b
P[a < X d" b] = P(b) - P(a) = p(z)dz - p(z)dz = p(z)dz (3.8)
+" +" +"
-" -" a
Interpretacja geometryczna funkcji gęstości prawdopodobieństwa przedstawiono na rys 1.3
Rys. 3.8 Graficzna interpretacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa skumulowanej funkcji
gęstości prawdopodobieństwa
Pole powierzchni zawarte pomiędzy osią ox i funkcja gęstości prawdopodobieństwa równe jest 1,
natomiast skumulowana funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest całką z funkcji gęstości
prawdopodobieństwa liczoną od - " do bieżącej wartości x
Prawdopodobieństwo, że pomiędzy - � L� wynosi p = 0,683 ,
a pomiędzy - 2� L2� wynosi p = 0,95 .
Stosując tą teorię do obliczania niepewności, należy stwierdzić, ze jeżeli uzyska się funkcję
częstotliwości występowania błędów (histogram błędów) w funkcji błędów pozornych
odniesionych do odchylenia standardowego z próby, wówczas taki rozkład jest rozkładem
normalnym czyli: w przedziale od - 2� L2� znajdzie się 95% wyników, czyli na poziomie
ufności p = 0,95 błędy będą w przedziale - 2ss L2sn .
Zatem wartość prawdziwa wielkości mierzonej Y będzie pokryta przez przedział:
Zapis wówczas wyniku pomiaru ma formę następującą:
x - 2sn d" y d" x + 2sn (3.9)
Y - wielkość mierzona
x - najlepsza estymata wartości wielkości mierzonej Y
sn - niepewności - wartość określająca przedział na określonym poziomie ufności (n.p. p = 0.95 .
Uogólniając zapis nierówności 3.9 można zapisać, ze dla dowolnego poziomu ufności p
y - k� d" Y d" y + k� (3.10)
gdzie k - jest zmienną losową zależną od poziomu ufności p
a jeszcze bardziej ogólnie:
y -U d" Y d" y + U (3.11)
gdzie U jest niepewnością na poziomie ufności p
Na Rys. 3.9 przedstawiono interpretacje graficzna przedziału ufności .
Rys. 3..9. Interpretacja graficzna Przedział pokrywający wielkość prawdziwą wielkości mierzonej wyniku
pomiaru i niepewności wyniku pomiaru
Oprócz niepewności o charterze przypadkowym, które podlegają rozkładowi Normalnemu, a przy
małej liczbie pomiarów (do 30) rozkładowi t-Studenta,
Rozkład t-Studenta
Dla stosunkowo małej liczy pomiarów np. do 30 celowe jest stosowanie rozkładu
Rys. 3.10. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Normalnego (Gaussa) I rozkład t-Studenta.
Dla rozkładu t-Student wartości współczynników k zależą od liczby stopni swobody i od
wymaganego poziomu ufności. Istotne jest tu wyraz
nie zaznaczyć, że dla rozkładu normalnego i
dla rozkładu t-studenta dla 31 pomiarów (30 stopni swobody) k = 2,04 wobec wartość
k = 1,96 dla rozkładu normalnego
Różnica więc pomiędzy rozkładem t-studenta i Normalnym począwszy do 31 pomiarów wynosi
więc 0,04 w odniesieniu do wartości poprawnej. Tak więc zastosowanie rozkładu Normalnego w
miejsce studenta spowodowało by, ze niepewność wyniku pomiaru byłaby obarczona 4% błędem
(metody), ale proszę wziąć pod uwagę łatwość z jaką obecnie możemy wykonać pomiary
wielokrotnie używając komputerów do wspomagania procesu pomiaru.
Tab. 3.1 Współczynniki rozszerzenia k dla rozkładu t-Studenta; � - jest liczbą stopni swobody równa liczbie
obserwacji (wyników minus jeden).
� p = 0.90 p = 0.95 p = 0.99 p = 0.999
1 6.31 12.71 63.66 636.62
2 2.92 4.30 9.93 31.60
3 2.35 3.18 5.84 12.92
4 2.13 2.78 4.60 8.61
5 2.02 2.57 4.03 6.87
6 1.94 2.45 3.71 5.96
7 1.89 2.37 3.50 5.41
8 1.86 2.31 3.36 5.04
9 1.83 2.26 3.25 4.78
10 1.81 2.23 3.17 4.59
11 1.80 2.20 3.11 4.44
12 1.78 2.18 3.06 4.32
13 1.77 2.16 3.01 4.22
14 1.76 2.14 2.98 4.14
15 1.75 2.13 2.95 4.07
16 1.75 2.12 2.92 4.02
17 1.74 2.11 2.90 3.97
18 1.73 2.10 2.88 3.92
19 1.73 2.09 2.86 3.88
20 1.72 2.09 2.85 3.85
21 1.72 2.08 2.83 3.82
22 1.72 2.07 2.82 3.79
23 1.71 2.07 2.82 3.77
24 1.71 2.06 2.80 3.75
25 1.71 2.06 2.79 3.73
26 1.71 2.06 2.78 3.71
27 1.70 2.05 2.77 3.69
28 1.70 2.05 2.76 3.67
29 1.70 2.05 2.76 3.66
30 1.70 2.04 2.75 3.65
40 1.68 2.02 2.70 3.55
60 1.67 2.00 2.66 3.46
120 1.66 1.98 2.62 3.37
" 1.65 1.96 2.58 3.29
y - ksn(n-1) d" Y d" y + ksn(n-1) (3.12)
Niepewność U jest obliczana na określonym poziomie ufności, i tak poziom ufności p=0,95, oznacza,
że z prawdopodobieństwem 95% przedział y -U d" Y d" y + U pokrywa wartość prawdziwa
wielkości mierzonej.
Niepewności obliczane na podstawie serii pomiarów są to niepewności typu A, z jej wartością
standardowa uA i przedziałem wyznaczającym granice U przedziału pokrywającego wartość
prawdziwa wielkości mierzonej zgodnie z powyższymi zasadami.
Oprócz niepewności obliczanej metoda typu A, elementem składowym niepewności całkowitej jest
jeszcze niepewność obliczana innymi metodami niż na podstawie serii pomiarów. Jest to niepewność
obliczana metoda typu B, której wartość standardowa jest oznaczana symbolem: uB . Na podstawie
niepewności standardowej obliczanej metoda typu A i metodą typu B, po ich geometrycznym
zsumowaniu, czyli obliczeniu pierwiastka kwadratowego z sumy ich kwadratów otrzymuje się
niepewność łączną (3.13), która umożliwia obliczenie granic przedziału niepewności zgodnie ze
wzorem 3.14.
2 2
u2 = uA + uB (3.13)
gdzie :
u -niepewność standardowa łączna,
uA - komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu A (na podstawie serii pomiarów),
uB - komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu B (nie na podstawie serii pomiarów a
innych danych niż seria pomiarów).
2 2
U = ku = k uA + uB (3.14)
Współczynnik k we wzorze 3.14 jest zmienną losową odpowiadają łącznemu rozkładowi
niepewności typu A i typu B niepewności standardowej łącznej. Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa niepewności łącznej nie ani rozkładem Normalnym ani t-Studenta, chociaż w
przybliżeniu dopuszcza się stosowanie współczynników k odpowiadających tym rozkładom, dla
niepewności łącznej. Należy jednak pamiętać, że jest to przybliżenie.
3.1.2. Obliczanie niepewności metodą typu B
y
ródłem informacji do obliczania niepewności typu B, są wszystkie inne dane niż te które uzyskano z
serii pomiarów. Zalicza się do nich:
" dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów,
" doświadczenie lub ogólna znajomość zachowania się i właściwości odpowiednich materiałów
i przyrządów pomiarowych,
" dane techniczne pochodzące ze specyfikacji technicznej producenta,
" dane uzyskane ze świadectw wzorcowania i z innych certyfikatów,
Producent przyrządów pomiarowych wśród danych technicznych przyrządu podaje parametry
umożliwiające wyznaczenie granicznych wartości błędów, które wraz z wartością wskazaną przez
dany przyrząd określają przedział, który pokrywa wartość prawdziwa wielkości.
O ile intuicyjnie zgadzamy się, ze wykonując serię pomiarów, najbardziej zbliżonym wynikiem
jest wartość średnia wyniku pomiaru najwięcej wyników pomiarów będzie skupionych wokół tej
wartości, i częstość wyników spada wraz z oddalaniem się od wartości średniej, a błąd od wartości
zerowej to w przypadku niepewności typu B, częstość występowania wyników charakteryzuje się
innymi rozkładami niż Normalny czy t-Studenta i funkcja gęstości prawdopodobieństwa może być o
rozkładzie równomiernym (jednakowe prawdopodobieństwa w całym przedziale), trójkątny,
trapezoidalny, w kształcie litery  U , trapezoidalny ze zboczami logarytmicznymi lub inny.
Najczęściej mamy do czynienia z rozkładem jednostajnym, którego funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest linią prostą, a dystrybuanta prostą o stałym nachyleniu (rys. 3.11).
Rys:. 3.11 a) Przedział < y - "lim; y + "lim > pokrywający wartość prawdziwą wielkości mierzonej
Y ; b) funkcja gęstości prawdopodobieństwa przy założeniu, ze rozkład jest równomierny, c)
dystrybuanta "lim granica błędu wyznaczona metoda typu B.
W celu zaznajomienia czytelnika z rozkładem równomiernym czyli o funkcji gęstości
prawdopodobieństwa o stałej wartości, przeprowadzono eksperyment, który jest symulacja pomiarów,
których częstotliwość pojawiania się w przedziale < y - "lim; y + "lim > jest jednakowa.
Na rysunku 3.12a przedstawiono błędy pozorne dla N=1000 pomiarów, w którym wartości "lim = 1.
Na rys 3.12b częstości występowania tych błędów w zakres < -1; 1 > dzieląc cały przedziałów na 100
podprzedziałów; w każdym z podprzedziałów pojawiło się średnio po 10 wyników, czyli częstość
wynosi 10/1000=0,01, a na rys 3.12c  kolejne sumy częstości występowania wyników z ryz. 3.12b.
a)
b c)
Rys. 3.12. Wyniki symulacji 1000 pomiarów, których błędy pomiaru równomiernie rozkładaja się w
przedziale <-1;1>.
a) Błędy pozorne: wartości średnia " = -0,000222 , a odchylenie standardowe sn-1 = 0,58 H" 1/ 3
b)) Wykres częstości występowania błędów pozornych w kaczym ze 100 równych podprzedziałów dla
1000 pomiarów o granicach błędów <-1;1> (w każdym podprzedziale średnio występuje po 10 pomiarów
czyli częstość10/1000 = 0,01),
c) Wykres sum częstości występowania błędów w przedziale <-1;1> czyli dystrybuanta eksperymentalna
rozkładu równomiernego (linia prosta o równaniu: y = 0,5 + 0.5x )
Jeżeli pomiarów wykonalibyśmy nieskończenie wiele, a liczba podprzedziałów byłaby również
nieskończenie duża, otrzymuje się postać analityczną postać funkcji gęstości i rozkładu jednostajnego
i jej dystrybuantę, co już zilustrowano na rys 3.11.
Przykład liczbowy 1 (miernik analogowy):
Dla woltomierza analogowego producent podał, że na zakresie pomiarowym 300 V, wartości błędu
odniesiona do zakresu (300 V) wynosi 0,5. Wartość 0,5 jest wartością wyrażona w % i odniesiona do
zakresu czyli 300 V. Za pomocą tego woltomierza na zakresie 300 V pomierzono napięcie i wskazanie
wynosiło V1 = 230V .
"lim
Obliczyć wartość graniczną "lim oraz wartość względna �V1 =
V1
Obliczenia:
0.5 "lim 1,5V
"lim = 300V = 1,5V a wartość względna �V1 = = = 0,006522 = 0,63%
100 V1 230V
Przykład liczbowy 2 (miernik cyfrowy):
Dla woltomierza analogowego producent podał, że na zakresie pomiarowym 300 V, wartości błędu
odniesiona do zakresu (300 V) wynosi 0,05 oraz 0,1 w stosunku do wartości wskazywanej przez
miernik. Wartość 0,05 jest wartością wyrażona w % i odniesiona do zakresu czyli 300 V a wartość 0,1
jest też wyrażona w % w stosunku do wartości odczytu.
Za pomocą tego woltomierza na zakresie 300 V pomierzono napięcie i wskazanie wynosiło
V1 = 230V .
"lim
Obliczyć wartość graniczną "lim oraz wartość względna �V1 =
V1
Obliczenia:
0,05 0,1
"lim = 300V + 230 = 0,15V + 0,23V = 0,38V a wartość względna
100 100
"lim 0,38V
�V1 = = = 0,001652 = 0,17 %
V1 230V
Uwaga: wartość niepewności wyniku pomiaru przedstawia się w postaci liczby z dwoma cyframi
znaczącymi niezależnie czy jest to wartość w jednostkach czy bez miana, lecz jeżeli jest to wynik
pośredni brany w dalszych obliczeniach np. obliczaniu niepewności złożonej bierze się pod uwage
liczbę cyfr wynikająca z poprzednich obliczeń bez zaokrąglania.
Obliczone w obu przypadkach wartości "lim umożliwiają na sformułowanie przedziału
pokrywającego wartość prawdziwą wielkości mierzonej w postaci:
y - "lim d" Y d" y + "lim (3.15)
lecz nie uwzględniono tutaj niepewności typu A wynikającej z serii pomiarów, oraz nie uwzględniono
poziomu ufności p np. p = 0.95% .
W celu uwzględnienia obu składników w niepewności wyniku należy ustalić reguły ich łącznego
obliczania w niepewności a takich reguł dostarcza nam matematyka  ściślej rachunek
prawdopodobieństwa.
Na podstawie granic dla rozkładu jednostajnego zgodnie z oznaczeniami jak na rys. 3.14 można
obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe niezbędne w obliczaniu standardowej niepwności
łącznej typu A i typu B
Przykład obliczenia wartości średniej i odchylenia standardowego dla funkcji gęstości rozkładu
jednostajnego
Rys 3.14 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego,
Z definicji funkcja gęstości prawdopodobieństwa, i stałym rozkładzie w przedziale wyraża się
wzorem 3.16:
1
p(x) = (3.16)
b - a
Wartość średnia dla funkcji ciągłej definiowana jest wzorem 3.17:
"
y = E(x) = xf (x)dx (3.17)
+"
-"
Dla przedziału
" b b
1 (b2 - a2)= b + a
y = E(x) = xf (x)dx = xpdx = dx = (3.18)
+" +"+"
b - a 2(b - a) 2
-" a a
Wariancja zgodnie z definicją wariancji (kwadratu odchylenia standardowego):
"
2
Wariancja = � = E(x2 ) = x2 f (x)dx (3.19)
+"
-"
Dla przedziału
"
2
Wariancja = � = E(x2 ) = x2 f (x)dx =
+"
-"
(3.20)
b b
1 (b3 - a3)= b2 + ab + a2
x2 pdx = x2dx =
+"+"
b - a 3(b - a) 3
a a
Dla przypadku, gdy: b = " i a = -" wówczas kwadrat odchylenia standardowego wyraża się
zależnością 3.21:
(")2 + "(- ")+ (- ")2 "2
2
� = = (3.21)
3 3
stąd niepewność standardowa równa odchyleniu standardowemu wynosi
"
2
uA = � = (3.22)
3
Gdy " = "lim niepewność standardowa przyjmuje wartość
"lim
2
uA = � =
3
a "lim jest wartością graniczna błędy o rozkładzie równomiernym
W tab 2. zestawiono wzory do obliczeń niepewności standardowych dla różnych typowych funkcji
gęstości prawdopodobieństwa
Tab. 2 Funkcje gęstości prawdopodobieństwa i ich niepewności standardowe
Rozkład Normalny (Gauss)
S
u =
n
Rozkład t-Studenta n
2
- x)
"(xk
k =1
u =
n(n -1)
Rozkład równomierny (prostokątny)
"
u =
3
Rozkład trójkątny
"
u =
6
Rozkład trapezoidalny
"2 + "2
L H
u =
6
Rozkład typu  U
"
u =
2
Obliczanie łącznej niepełności standardowej funkcji złożonych
Obliczanie łącznej niepewności standardowej typu A I B niepewności oraz niepewności funkcji
złażonej jest określone matematyczna funkcja odnoszącej się do odchyleń standardowych w których
odchylenia są niepewnościami standardowych (równanie 3.23):
2
N N -1 N
Ą# ń#
"f "f "f
2 2
u (y)= (3.23)
ó# Ą# j
"Ł#"x Ś# u (xi )+ 2"""xi "x u(xi , x )
i=1 i 1 j=i+1 j
w którym:
Y = f (X1, X ... , X ) (3.24)
2, N
Y jest funkcja złożone, o N składnikach pośrednich, wielkości X1, X ... , X
2, N
Estymatą wielkości Y , jest y , otrzymywane na podstawie zależności 3.18 poprzez wprowadzenie
estymat N wielkości składowych X1, X ... , X , które oznaczamy przez x1, x2, ... , xN . Otrzymuje
2, N
się wówczas zależność 3.25:
y = f (x1, x2, ... , xN ) (3.25)
Niepewność standardowa wyniku y , nazywana niepewnością złożoną u(y) reprezentowana jest przez
2
niepewność, która jest dodatnim pierwiastkiem wariancji dla funkcji złożonej. u (y)
Równanie 1.15 bazujące na rozwinięciu funkcji Y = f (X1, X , ... .X ) w szeregu aproksymującego
2 N
ta funkcje w szereg Taylora jest nazywane jako prawo propagacji niepewności .
"f
Pochodne cząstkowe oblicza się w punktach X = xi .
i
"xi
We wzorze 1.15 u(xi ) to odchylenia standardowe stowarzyszone z xi , a u(xi , x ) jest estymatą
j
kowariancji stowarzyszonej z xi i x .
j
Detekcja i eliminacja błędów nadmiernych
Dokonując statystycznej analizy wyników pomiaru, zawsze należy zastanowić się czy nie zawierają
one błędów nadmiernych spowodowanych omyłkami oraz czy nie zawierają trendów periodycznych
lub nieperiodycznych. Takie wpływy na próbkę wyników obrabianą statystyczną analizę usunąć z
wyników, a w opracowaniu zawrzeć stosowne informacje.
W celu identyfikacja błędów nadmiernych można zastosować np. kryterium 3� polegające na tym, że
wszystkie wyniki, które nie spełniają zależności
xi -x e" 3sn-1 (3.26)
gdzie
N
(xi - x)2
"
n=1
sn-1 = (3.27)
N -1
Metoda techniczna pomiaru rezystancji i identyfikacja błędów
pomiarowych
Rozważmy obwód pomiarowy wa obwody pomiarowe, które metodą pośrednią, umożliwiają
pomiar rezystancji Rx Na rysunku 1. 23 przedstawiono obwód z .
Rys 3.15 Schemat pomiaru rezystancji metodą techniczną , a Układ przy zadanej wartości prądu, b) układ przy
zadanej wartości napięcia
Rozważmy układ pomiaru rezystancji z zadaną wartością prądu. Napięciu wskazywane przez
woltomierz jest równe napięciu na amperomierzu i badanej rezystancji.:
VV = VA + VV = IA(Rx + RA ) stąd:
VV
Rx = - RA
IA
(3.28)
:
VV
Rapr =
IA
(3.29)
Tak więc błąd wynikający z metody wynosi::
"Rxloading= Rapr - Rx = RA . (3.30)
a jego wartość względna:
RA
�Rxloading = *100 %
Rx
(3.31)
Poniżej przestawiono przykładowe obliczenia dla mierników: analogowych i cyfrowych
Przykład dla pomiarów wykonanych za pomocą
przyrządów analogowych o przyrządów cyfrowych
- woltomierz o zakresie: VFSR = 150V , klasy woltomierz o zakresie VFSR = 250 V o
dokładność z danych technicznych
dokładności: 0,5 wskazał wartość
0.024% ą 1.25 mV wskazał VV = 100,65V : :
VV = 150,0V ,
- amperomierz o zakresie: I = 0,750 mA
FSR amperomierz o zakresie: I = 1,00000A o
FSR
klasy dokładności 0,2 wskazał wartość prądu
dokładność z danych technicznych
0.042% ą 10 �A i rezystancji wewnętrznej z
I = 0,500 A rezystancja wewnętrzna
A
amperomierza wynosi: RA = 0.2&! . pomiarów: RA = 1.50&!
Vv 100.0V
Vv 100.65 V
Rapr = = = 200.0 &! wówczas
Rapr = = = 201.3 &!
IA 0.500 A
I 0.500 A
A
Rx = Rapr - "Rxloading = Rapr - RA =
Rx = Rapr - "Rxloading = Rapr - RA =
201.3 &! -1.5 &! = 199.8 &!
200.0 &! - 0,2 &! = 199.8 &!
Względne błedy metody pomiaru (efekt obciążenia przez amperomierz) wynoszą:
"Rxloading 0.2 &! "Rxloading 1.5 &!
� = = �"100% = 0.75071 %
� = = �"100% = 0.1001 %
Rx
Rx
Rx 199.8 &!
Rx 199.8 &!
= 0.75 %
= 0.1 %
Obliczenie maksymalnego błędu- najgorszy przypadek
Maksymalny błąd pomiaru rezystancji "limRx , lub jego wartość względna �limRx = "limRx / Rx
wynoszą:
"limRx VFSR IFSR
"limRx "limV "limI
= �limV + �limA
= +
Rx VV IA
Rx VV IA
"limRX 150V 0.750A
"limV = 0.024% *101.3V +1.25mV =
= 0.5% + 0.2% = 0.75% + 0.3% =1.05%
RX 100V 0.500A
24mV +1.25mV = 25.25mV
"limI = 0.042% * 0.5A +10�A =
210�A +10�A = 220�A
"limRx 25.25mV 220�A
= + =
Rx 101.3V 0.5A
0.022525% + 0.044% =
0.06925% H" 0.070%
"limRx =1.05% �" 200 &! = 2.1&! "limRx = 0.06925% �" 200 &! = 0.1385 &! H" 0.14&!
Rx =199.8&! ą 2.1&!
Rx = 199.8&! ą 0.14&!
Obliczenie niepewności na zadanym poziomie ufności
Procedura obliczania niepewności wyniku pomiaru na określonym poziomie ufności tym różni się od
najgorszego przypadku, że zakłada poziom zaufania do wyniku np. p = 0,95 , p = 0,99 , p = 0,997 ,
co jest logiczne bo zawsze mogą pozostać jakieś wątpliwości co do poprawności pomiarów czy
obliczeń pomimo należytej staranności.
Ponieważ dalej będzie statystyczna analiza wyników pomiarów dl kompletności takiej analizy należy i
kompletności zapisu wyniku pomiaru należy zawsze dokonać analizy niepewności typu B
Tak więc: niepewność typu B oblicza się dla funkcji złożonej, gdyż wynik pomiaru rezystancji jest
obliczany jako iloraz wskazań woltomierza i amperomierza. Zastosowanie ma tutaj wzór na względną
niepewność odniesioną do wartości rezystancji mierzonej, gdyż jego postać jest zbliżona do wcześniej
omówionego najgorszego przypadku
uRx
2
U = k(p)�" uRx rel = k(p)�" = k2R (p)�" uVrel + uI2rel (3.32)
Rx rel
Rx
uRx rel - względna niepewność standardowa pomiaru rezystancji
uRx - niepewność standardowa pomiaru rezystancji
k2R (p)- współczynnik rozszerzenia dla splotu dwóch w tym przypadku rozkładów względnych
gęstości prawdopodobieństwa błędów woltomierza i amperomierza, które SA rozkładami
jednostajnymi.
uV rel - względna niepewność standardowa pomiaru napięcia
uIrel - względna niepewność standardowa pomiaru prądu
"limV 1 �limV �"VFSR
1 1
uVrel = �"�V = �" = �" (3.33)
V VV
3 3 3
V
�V - względny błąd graniczny pomiaru napięcia
"limV - wartość bezwzględna błędu granicznego pomiaru napięcia
�limV - względny błąd graniczny woltomierza
VV - wskazanie woltomierza
VFSR - zakres pracy woltomierza (Full Scale Range)
"limA 1 �lim A �" IFSR
1 1
uI rel = �"� = �" = �" (3.34)
I
IA 3 IA
3 3
� - względny błąd graniczny pomiaru prądu
I
"limA - wartość bezwzględna błędu granicznego pomiaru prądu
�limA - względny błąd graniczny amperomierza
IA - wskazanie amperomierza
IFSR - zakres pracy amperomierza (Full Scale Range)
1 + � - 2 � �" (1 - p)
k2R (p)= 3 �" (3.35)
2
1 + �
uVrel
� = (3.36)
uIrel
Przykład obliczeń:
�limV �"VFSR
1 1 0.5 �"10-2 �"150 1
uVrel = �" = �" �"100% = �" 0.75% (3.37)
VV 100
3 3 3
�lim A �" IFSR
1 1 0.2 �"10-2 �" 0.75 1
uIrel = �" = �" �"100% = �" 0.3% (3.38)
IA 0.500
3 3 3
uV rel 3 0.75
� = = �" = 2.5 (3.39)
uI rel 0.3
3
1+ � - 2 � �"(1- p) 1+ 2.5 - 2 2.5�"(1- 0.95)
k2R(0.95) = 3 �" = 3 �" =1.797 (3.40)
2
1+ � 1+ 2.52
Względna niepewność na poziomie ufności p = 0,95
2 2
�# 1 ś# �# 1 ś#
2
UR rel = k2R(0.95)�" uVrel + uI2rel = 1.797 �" ś# 0.75ź# + ś# 0.30ź# =
ś# ź# ś# ź#
x
(3.41)
3 3
�# # �# #
= 1.797 �"0.467 = 0.838%
Bezwzględna (w jednostkach miary) niepewność pomiaru rezystancji
UR = UR rel �" Rx = 0.838�"10-2 �"199.8 =1.674 E" 1.7 &! (3.42
x x
zapis końcowy wyniku:
Rx = 199.8&! ą1.7 &! (3.43)
3.2. Wykonanie ćwiczenia (metoda, opis, obliczenia)
3.2.1. Schemat połączeń
Obliczanie niepewności typu B - Pomiar rezystancji metodą techniczną za pomocą
woltomierza i amperomierza (przy zadanej wartości napięcia i prądu) oraz pomiar rezystancji
metoda zastępowania
a b)
Rys 3.16. Schemat podłączenia amperomierza i woltomierza do pomiaru rezystancji Rx przy zadanej wartości a) układ przy
zadanej wartości prądu, przełącznik S w poz. A , b) układ przy zadanej wartości napięcia (przełącznik S w poz. B
Rys, 3.17 Wygląd stanowiska pomiarowego według schematów z rys 3.16
Rx - badany rezystor
V - woltomierz cyfrowy (multimetr na zakresie pomiaru napięcia 5 V)
DC Voltage
Ranges*  500.0 mV, 5.000 V, 50.00 V, 500.0 V, 1000 V;
DC Accuracy*  ą(0.05% + 1 ct.) (TX3), ą(0.07% + 1 ct.) (TX1)
A - amperomierz cyfrowy (mulytimetr na zakresie pomiaru prądi5 mA)
DC/AC Current
Ranges*  500.0 �A, 5.000 mA, 50.00 mA, 500.0 mA, 5.000 A, 10.00 A (3 minutes)
DC Accuracy*  ą(0.2% + 2 ct.)
S1 - przełącznik
Zasilacz prądu stałego (zalecany zakres 0 - 5 V)
3.2.2. Pomiar pojedynczy przy zadanej wartości prądu
W przypadku układu pomiarowego z zadaną wartością prądu,, amperomierz wprowadza błąd
pomiarowy zwany błędem obciążenia (ang. loading) i może on byś usunięty gdyż jest on
spowodowany rezystancja wewnętrzna amperomierza na której odkłada się pewien spadek napięcia.,
Eliminacja błędu metody pomiaru rezystancji metodą przy zadanej wartości prądu (Rys. Fig. 1.3)
Przełącznik  S ustawić w poz. A, złączyć napięcie zasilania ok. 5 V, tak by amperomierz wskazał
około 5 mA.
Wyniki pomiaru:
Tab. 3.2.1 RA  temperatura otoczenia t =.......oC
IA
VV Rapr VA RA RxI �Rx loading
mA V V %
&! &! &!
4.750 4.990 1050.5 0.240 50.5 1000.0 5.05
Obliczenia:
VV
Rapr = = .....
I
A
VA
RA = = ...
I
A
RxI = Rapr - RA = ...
RA
� = �"100% = ...
Rxloading
RxI
3.2.3. Pomiar pojedynczy przy zadanej wartości napięcia
Przełącznik  S ustawić w poz. B. załączyć zasilanie, napięcie zasilania ok.5 V, amperomierz
powinien wskazać 5 mA.
Wyniki pomiaru:
Tab. 1.2 RV = ........... M&! temperatura otoczenia t- & . oC
IA Rapr IV IRx RxV
VV �Rx loading URx rel URx
V mA mA mA % %
&! &! &!
4.750 4.750 1000.0 0.0005 4.7495 1000.1 -0.01 0.27 2.7
Obliczenia:
VV
Rapr = =
I
A
VV
IV = =
RV
I = I - IV =
Rx A
VV
RxV = =
I
Rx
RxV
� H" - �"100% =
Rx loading
RV
Względna niepewność pomiaru na poziomie ufności p = 0,95
1
2 2
URxV rel = k( p) uV rel + uI rel = 3 �"1.032�" 0.0912 + 0.2422 = 0.267%
3
gdzie:
� �"VV + "aV �# "aV ś#
1 1 1 �# 0.001 ś#
mV
ś#
uV rel = =
ś# ź#
ś#� mV + VV ź# = ś#0.07% + 4,75 �"100%ź# =
ź#
VV
3 3 3
�# #
�# #
1 1
= (0.07% + 0.021%)= �" 0.091%
3 3
�#
1 � �" I + "aI 1 "aI ś#
1 �# 0.002 ś#
mI A
ś#
uI rel = =
ś# ź#
ś#� mI + I ź# = ś#0.2% + 4,75 �"100%ź# =
ź#
I
3 3 3
�# #
A �# A #
1 1
= (0.2% + 0.042%)= �" 0.242%
3 3
współczynnik rozszerzenia k
1 + � - 2 � (1 - p) 1 + 0.376 - 2 0.376(1 - 0.95)
k( p, � ) = k2R (0.95) = 3 = 3 =
2
1 + � 1 + 0.3762
= 3 �"1.032 =1.787
gdzie
uV rel 3 0,091
� = = �" = 0.376
uI rel 3 0.242
Niepewność mierzonej wartości rezystancji Rx
URxV = URxV rel �" Rx = 0.267 �"10-2 �"1000.1 = 2.67 H" 2.7&!
3.2.4. Wykonanie serii pomiarów prądu i napięcia, obliczenie wartości
rezystancji i statystyczna obróbka wyniku pomiaru
Przy pomiarze należy posłużyć się wirtualnym przyrządem pomiarowym z interesem
komunikacyjnych w którym użytkownika:
a) ustala parametry komunikacyjne pomiędzy  multimetrami TX1 a karta rozszerzenia RS 232
zainstalowaną w komputerze
b) wpisuje liczbę pomiarów np. 512, 1024
c) ustala okres pomiaru pomiędzy kolejnymi parami napięci i prądu ,a ale nie mniejszy niż
200 ms
d) podaje nazwę pliku w którym jaja być gromadzone wyniki pomiaru
e) uruchamia pomiary poprzez naciśniecie ikony (START)
f) po zakończeniu pomiaru, kopiuje wyniki z interfejsu przyrządu do dokumentu WORD
g) Otwiera plik z wynikami  i dokonuje obliczeń statystycznych obliczać:
- wartości rezystancji dla poszczególnych R = V / I
- narysować wykres: Ri = f (t)
N
1
- wartość średnia rezystancji R = Ri
"
N
i=1
- błąd pozorny każdego wyniku pomiaru "Ri = Ri - R
- kwadrat Błędu pozornego ("Ri )2 = (Ri - R)2
- odchylenie standardowe pojedynczego wyniku pomiaru
N
sn-1 = ("Ri )2 = (Ri - R)2
"
i=1
- sprawdzić, czy w zborze wyników nie ma wyników obarczonych nadmiernym błędem
(kryterium 3� poprzez wyłączenie z wyników pomiaru tych które nie spełniają poniższej
nierówności: "Ri d" 3sn-1. Wyniki obarczone błędem nadmiernym należy wyłączyć z
obliczeń i ponownie obliczyć wartość średnia, błędy pozorne, odchylenie standardowe i
powtórnie zbadać czy nie ma konieczności eliminacji kolejnych wyników obarczonych
błędem grubym
- dla wyników pomiarów nie zawierających błędów pomiarowych nadmiernych należy
wykonać histogram
: częstotliwość względna błędów pozornych w poszczególnych podprzedziałach wokół
wartość średniej błędów pozornych. Częstotliwość odniesiona do liczby wszystkich
pomiarów czyli względna odpowiada to prawdopodobieństwu
, a na osi poziomej wyznaczyć wartości środkowe podprzedziałów odniesione do wartości
odchylenia standardowego sn-1
- narysować histogram i znalez
ć metoda najmniejszych kwadratów najkorzystniejszą
funkcje rozkładu Normalnego dal tak otrzymanych wyników
- na wykresie narysować wykres: Ri = f (t)
- wyznaczyć linię trendu y = Ax + B metoda najmniejszych kwadratów
- od kolejnych wyników odjąć linię trendu i dla tak otrzymanych wyników wykonać
histogram analogicznie jak wyników surowych  przed usunięciem linii trendu.
3.2.5. Obliczyć niepewność łączną dla metody pomiaru przy zadanej
wartości
1 1
uBRx = "lim&! = (� �" Rx +� �" R&! FSR )
m &! a &!
3 3
gdzie:
"lim&!  błąd w części multiplikatywnej I addytywnej multimetru  na zakresie rezystancji,
� �a &!
m&!
,  multiplikatywny I addytywny składnik błędu pomiaru multimetrem wartosci ze
specyfikacji multimetru.
Niepwenośc łaczna
2 2
uR = uAR + uBR
x x x
przyjąc współczynnik k = 2 dla poziomu ufności p = 0,95
U = k( p) �" uR
Rx
x
3.3. Wnioski
Wnioski powinny dotyczyć
a) dokładności typu A i typu B
b) wpływu usunięcia linii trendu z wyników poamiaru
3.4. Literatura
1. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, I wydanie 1993, poprawione i
dodrukowane w roku 1995, International Organization for Standardization (Genewa, Szwajcaria).
Wydanie polskie: Wyrażanie niepewności pomiaru. Prz ewodnik. Główny Urząd Miar, 1999.
CZ
ŚĆ WYKONAWCZA w Sali KSP
3.5. Wykonanie ćwiczenia
Obiektem badawczym w ćwiczeniu jest czterozaciskowy opornik wzorcowy o wartości 1000 1000&! i klasie
dokładności 0,1.
Wykonanie ćwiczenia polega na wielokrotnym pomiarze (10, 31, 1024) wartości jego rezystancji, za pomocą
multimetru cyfrowego NI DMM 4060, wykonanego jako modułu wewnętrznego komputera na złączu PCI i
statystycznej obróbki otrzymanych wyników dla 10, 31 i 1024 wyników oraz wyznacza się niepewność
standardową typu A dla tych 3 przypadków.
Następnie na podstawie danych technicznych multimetru, oblicza się niepewność standardowa metodą typu B,,
niepewność standardową łączna i przedział, który na poziomie ufności p = 0,95 pokrywa wartość prawdziwą
mierzonej rezystancji opornika wzorcowego.
Wyniki pośrednie w postaci histogramów należy przedstawić w formie graficznej  jako rezultat obliczeń w
dowolnym programie matematycznym lub arkuszu kalkulacyjnym np. EXCELL albo starannie
przeanalizowanych wyników otrzymanych z wirtualnego przyrządu pomiarowego, rozszerzającego funkcje
multimetru o statystyczna obróbkę wyników pomiaru dostępnego na stanowisku pomiarowym.
Ćwiczenie należy zakończyć wysnuciem wniosku czy opornik wzorcowy spełnia deklarowana dokładność i czy
multimetr NI DMM 4060 jest przyrządem, który może być uzyty w procesie weryfikacji klasy dokładności tego
opornika wzorcowego. Pomocnym w tym wniosku jest wspólny wykres na którym naniesiony jest deklarowany
producenta przedział niepewności opornika wzorcowego i deklarowany przedziałniepwności typeB przez
producenta i wynik statystycznej analizy serii 1024 wyników pomiaru
3.5.1. Układ połączeń
Rys. 3.16 Układ podłączenia DMM NI 4560. Rx czterozaciskowy opornik wzorcowy  obiekt badany w
ćwiczeniu
Dane techniczne multimetru DMM 4060 w doniesieniu do pomiaru rezystancji
24 Hour 90 Day 1 Year Temperature Coefficient
Range
(25 �C ą 1 �C) (25 �C ą 10 �C) (25 �C ą 10 �C) (% of reading/ �C ą &!/ �C)
0.1% ą 6 k&! 0.1% ą 60 k&! 0.1% ą 60 k&! 0.0072% ą 6 k&!
Extended Ohm (>
2 M&!)
2.00000 M&!* 0.012% ą 9 &! 0.077% ą 27 &! 0.080% ą 27 &! 0.0072% ą 2 &!
200.000 k&! 0.012% ą 5 &! 0.077% ą 22 &! 0.080% ą 22 &! 0.0072% ą 2 &!
20.0000 k&! 0.006% ą 0.09 &! 0.024% ą 0.3 &! 0.027% ą 0.3 &! 0.0020% ą 0.02 &!
2.00000 k&! 0.006% ą 0.05 &! 0.024% ą 0.2 &! 0.027% ą 0.2 &! 0.0020% ą 0.02 &!
200.000 &! 0.006% ą 0.05 &! 0.024% ą 0.2 &! 0.027% ą 0.2 &! 0.0020% ą 0.02 &!
Accuracy numbers are for the 4-wire resistance mode 5 1/2 digits with autozero on and include the effects of full-scale and zero-scale errors,
temperature variation, linearity, and noise. *With autozero on or while scanning, and when large resistance with capacitive loads is measured,
additional delay time is required.
Producent stwierdza, że graficzną wartość dokładności, którą deklaruje dla tego multimetru na podstawie
certyfikatu kalibracji oblicza się według zależności: (& . % * wartość wskazana ą &!).
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu błędu jest funkcja jednostajną
(prostokątną). Przykład: dla wartości wskazanej przez multimetr 1000,00&! na zakresie
pomiarowy 2000,00&! - " = 0.027% �"1000,00&! + 0,2&! = 0,27 &! + 0,2&! = 0,47&!
Fig. 3.17 Widok stanowiska pomiarowego z DMM, PCI 4060 w slocie komputerowym PCI
3.5.2. Wykonanie pomiarów
Zadeklarować tryb pracy multimetru:
- omomierz do pomiaru rezystancji z 4-zaciskami,
- zakres pomiarowy 2000&!
- dokładność omomierza z parametrów technicznych przyrządu pomiarowego
- zadeklarować liczbę pomiarów 1024,
- czasokres pomiędzy poszczególnymi pomiarami np. 20 ms, 40 ms, lub 1 s
- zadeklarować nazwę plik w do które będą wpisane wyniki pomiaru: (pierwsza kolumna
numer pomiaru, druga czas, a trzecia wartość
- uruchomić pomiary
- po zakończeniu: przekopiować wartości i wykresy do własnego pliku wykonanie
sprawozdania,
- zapisać zbiór z wynikami na własny nośnik lub wysłać za na własne kontopozcty
elektronicznej
- wykonać obliczenia zgodnie z poniższymi zleceniami:
3.5.3. Obliczenia
Kolejność obliczeń dla 10, 31 i 1024 wyników pomiaru
a) z sporządzić wykres Ri = f (t)
N
1
b) obliczyć wartość średnia rezystancji R = Ri
"
N
i=1
c) obliczyć błąd pozorny każdego wyniku pomiaru "Ri = Ri - R
d) kwadrat błędu pozornego ("Ri )2 = (Ri - R)2
N
e) odchylenie standardowe pojedynczego wyniku pomiaru sn-1 = ("Ri )2 = (Ri - R)2
"
i=1
f) sprawdzić, czy w zborze wyników nie ma wyników obarczonych nadmiernym błędem (kryterium
3� poprzez wyłączenie z wyników pomiaru tych które nie spełniają poniższej nierówności:
"Ri d" 3sn-1. Wyniki obarczone błędem nadmiernym należy wyłączyć z obliczeń i ponownie
obliczyć wartość średnia, błędy pozorne, odchylenie standardowe i powtórnie zbadać czy nie ma
konieczności eliminacji kolejnych wyników obarczonych błędem grubym
g) dla wyników pomiarów nie zawierających błędów pomiarowych nadmiernych należy wykonać
histogram tak aby na osi pionowej była częstotliwość względna błędów pozornych w
poszczególnych podprzedziałach wokół wartość średniej błędów pozornych (częstotliwość
odniesioną do liczby wszystkich pomiarów otrzymuje się przez podzielenie liczby pomiarów w
podprzedziale przez liczbę wszystkich pomiarów). Należy zauważyć, ze częstotliwość
występowania pomiarów odpowiada prawdopodobieństwu ich wystąpienia w danym
podprzedziale.
Na osi poziomej wyznaczyć wartości środkowe podprzedziałów odniesione do wartości
odchylenia standardowego sn-1
f) dla tak wyznaczonych i narysowanych histogramów należy wyznaczyć metoda najmniejszych
kwadratów najkorzystniejszą funkcje rozkładu Normalnego i nanieść ja na wykres z
histogramem
g) Obliczyć niepewność standardową wyznaczana metodą typu A (na podstawie serii pomiarów
Fig. 1.5 Widok stanowiska pomiarowego z DMM, PCI 4060 w slocie komputerowym PCI
Za pomocą multimetru podłączonego do komputera należy wykonać serię 1024 pomiarów, i dla
1024 oraz pierwszych 31 i 128 pomiarów dokonać statystycznej obróbki wyników pomiarów, tak
aby wyznaczyć:
1. Obliczyć wartość średnią
2. Obliczyć odchylenie standardowe z próby
3. Wyeliminować błędy nadmierne stosując kryterium 3� , o ile występuję i powtórzyć
operuje od początku (1), jeżeli nie przejść do punktu 4
4. Obliczyć odchylenie standardowe średniej
5. Wykonać histogram błędów
6. Wyznaczyć metoda najmniejszych kwadratów najkorzystniejszą funkcję Rozkładu
Normalnego w stosunku do uzyskanych wyników pomiaru
2
7. Test �
Obliczenia od 1-7 powtórzyć oddzielnie dla 31, 128 i 1024 wyników z próby.
Wyniki zestawić w tabeli:
Tab 3.3  zestawienie wyników
Liczba pomiarów 31 128 1024
Wartość średnia
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe średniej
Histogram błędów liczba dla liczby 5 9 11
podprzedziałów:
Wyznaczyć najkorzystniejszą funkcję
Rozkładu Normalnego
W tabeli podać nową wartość odchylenia
standardowego
2
Wynik testu �
Niepewność wyniku pomiaru na poziomie
ufności p = 0,95
Wartość średnia
n
"R
x
i=1
Rx =
n
"Rx = Rx - Rx
Błąd pozorny
2 2
n n
("Rx ) (Rx - Rx )
" "
1 1
s = =
n -1 n -1
Niepewność standardowa typu A
2 2
n n
("Rx ) (Rx - Rx )
" "
s
1 1
uARx = smean = = =
n �" (n -1) n �" (n - 1)
n
Obliczyć niepewność Type na podstawie danych multimetru cyfrowego to
1 1
uBRx = "lim&! = (� �" Rx +� �" R&! FSR )
m &! a &!
3 3
gdzie:
"lim&!  błąd w części multiplikatywnej I addytywnej multimetru  na zakresie rezystancji,
� �a &!
m&!
,  multiplikatywny I addytywny składnik błędu pomiaru multimetrem wartosci ze
specyfikacji multimetru.
Niepwenośc łaczna
2 2
uR = uAR + uBR
x x x
przyjąc współczynnik k = 2 dla poziomu ufności p = 0,95
U = k( p) �" uR
Rx
x
2
Test �
(xi - p(xi ))2
2
� = N
p(xi )
Dodatek  widok panelu sterowania przyrządu wirtualnego  Multimetru NI DMM 4060 z
dodatkowymi funkcjami statystycznej obróbki wyników pomiaru i obliczania niepewności
wyniku pomiaru z zastosowaniem algorytmu splotu rozkładów błędów cząstkowych
wpływających na dokładność wyniku pomiaru
Rys. 1Wygląd Dane deklarowane przez użytkownika: tryb pracy czas pomiędzy kolejnymi próbkami
pomiarowymi, dolna i górna wartość wielkości mierzonej, liczba obserwacji, wymagany poziom ufności, zakres
pomiarowy przyrządu, składowe błędu deklarowane przez producenta multimetru.
Rys. 2 Wyniki pomiaru: wartość, średnia, przedział pokrycie czyli dotychczas zwany niepewnością, wyniku
pomiaru, poziom ufności oraz wartość bieżąca, minimalna i maksymalna wartość w próbce
Rys. 3 Graficzna forma wyników: kolejne obserwacje, histogram, funkcje gęstości prawdopodobieństwa oraz
splot funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta