POLITECHNIKA BIAA
OSTOCKA
WYDZIAA
ELEKTRYCZNY
___________________________________________________________
Laboratorium Miernictwa Elektrycznego
Graficzna prezentacja wyników pomiarów
Instrukcja do ćwiczenia
Nr 15
Opracował dr inż. R. Piotrowski
___________________________________________________
Białystok 1999
2
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
1. Wprowadzenie
raficzna forma wyników pomiaru, znana najczęściej jako tzw. wykres,
posiada istotne zalety, dla których jest powszechnie stosowana. Tak
G
więc pozwala ona szybko ocenić charakter badanego zjawiska, układu,
elementu elektrycznego, itp. Pod tym względem jest wprost niezastąpiona.
Umożliwia dalej łatwe wychwycenie punktów szczególnych charakterystyki, tzn.
punktów zerowych, ekstremalnych, itp.
Ważne znaczenie ma również fakt, iż dysponując skończoną liczbą
wyników pomiaru, można przez sporządzenie wykresu uzyskać informacje
o charakterystyce obiektu dla dowolnego jej punktu z określonego przedziału.
Charakteryzowanie właściwości obiektów przy pomocy różnorodnych
form graficznych stosowane jest w nauce i technice powszechnie. Należy przy
tym podkreślić, że spotykane w dokumentacjach, katalogach i innych
opracowaniach wykresy, mają znaczenie nie tylko poglądowe. Bardzo często
bowiem są wykorzystywane w praktyce projektowej, eksploatacyjnej, a także
w badaniach naukowych jako z
ródła ścisłych informacji o właściwościach
obiektów.
Studenci powinni to sobie uświadomić by nie traktować sporządzanych
przez siebie wykresów jako czegoś drugorzędnego wobec pomiaru, lub co
gorsza, jako oderwanej od laboratoryjnej rzeczywistości pracy artystycznej, co
niestety zdarza się nad wyraz często.
Budowa układu współrzędnych prostokątnych
Przeważająca większość wielkości fizycznych ma charakter ciągły, a ich
obrazem graficznym jest linia ciągła występująca w układzie współrzędnych
prostokątnych.
Układ taki tworzą dwie osie liczbowe wzajemnie do siebie prostopadłe,
o wspólnym punkcie początkowym.
Oś liczbowa jest obrazem graficznym uporządkowanego zbioru
liczbowego z określonego przedziału. Każdemu punktowi prostej
przyporządkowana jest tu jedna i tylko jedna liczba. Wobec tego każdej liczbie
odpowiada jedna i tylko jedna długość odcinka prostej, będąca odległością
danego punktu od punktu zerowego (początkowego) osi. Określanie długości
3
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
odcinków odwzorowujących poszczególne liczby danego zbioru odbywa się
w większości wypadków według następującej formuły.
lx = a �" x
(1)
ly = b �" y
gdzie:
x, y - liczby ze zbiorów X ,Y
lx ,ly - długości odcinków odpowiadające liczbom x, y odpowiednio na
osi poziomej (odciętych) oraz pionowej (rzędnych)
a,b - współczynniki proporcjonalności, wyrażające długości odcinków
jednostkowych na każdej z osi
Zasady wyłożone wyżej ilustruje rys.1.
y
5
y = 4
P(3,4)
4
3
ly= 4 cm
(b= 1cm)
2
1
x
0
1 2 3 4
x = 3
lx= 6 cm (a = 2cm)
Rys.1. Zasada tworzenia układu współrzędnych prostokątnych
Tworzenie układu współrzędnych prostokątnych polega więc na obliczaniu
długości stosowanych odcinków prostej, a następnie przez ich odkładanie od
punktu zerowego każdej osi znajdowanie interesujących nas punktów tej osi.
Jest oczywiste, że tak znalezione punkty opisuje się liczbami
przedstawianymi graficznie a nie długościami odcinków (rys.1).
4
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
Papier milimetrowy
Do sporządzania układu współrzędnych prostokątnych bardzo przydatny
jest tzw. papier milimetrowy. Zawiera on gęstą siatkę utworzoną przez dwie
rodziny prostych równoległych, wzajemnie do siebie prostopadłych. Linie
prowadzone są w odstępach milimetrowych, a co piąta i co dziesiąta z nich jest
wyróżniona większą grubością.
Podziałka logarytmiczna
Podziałka logarytmiczna znajduje zastosowanie w przypadkach, gdy
przedział zmienności wielkości x, y jest bardzo szeroki (rys.2). Gdyby w takich
razach konstruować podziałkę według formuły (1), tzn. liniową, punkty
odpowiadające małym liczbom byłyby trudne do zidentyfikowania na osi. Na
przykład punkt odpowiadający liczbie 10 musiałby leżeć 1000 razy bliżej
początku układu współrzędnych niż punkt odpowiadający liczbie 10 000. Jeśli
więc liczbie 10 000 przyporządkowalibyśmy odcinek długości 15 cm, to liczbie
10 odpowiadać musiałby odcinek 0,015 cm, czyli tylko nieco dłuższy od 0,1 mm.
Podziałkę logarytmiczną tworzy się przez przyporządkowanie liczbom
odcinków prostej według formuły (2).
lx = a " log x (2)
ly = b " log y
gdzie:
x, y - liczby ze zbiorów X ,Y
lx ,ly - długości odcinków odpowiadające logarytmom liczb x, y
odpowiednio na osi poziomej (odciętych) oraz pionowej
(rzędnych)
a,b - współczynniki proporcjonalności, wyrażające długości odcinków
jednostkowych na każdej z osi
Podobnie jak poprzednio, również tym przypadku wyznaczone na osi
punkty opisuje się przedstawianymi graficznie liczbami. Zasadę takiego
odwzorowywania liczb na osiach układu współrzędnych prostokątnych ilustruje
rys.2.
Zauważmy, że na osiach liczbowych nie znajdują swego obrazu liczby
z przedziału 0 d" x <1. Logarytm zera równy jest -", zaś liczbom ułamkowym
odpowiadają ujemne wartości logarytmów. Liczb ułamkowych nie odwzorowuje
się w tym przypadku, to znaczy w przypadku gdy operuje się wartościami bardzo
dużymi, dla których podziałka logarytmiczna została stworzona.
5
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
Wobec tego za punkt początkowy każdej z osi, a więc i układu
współrzędnych przyjmuje się punkt odpowiadający liczbie 1 (log1 = 0).
Konstruowanie podziałki logarytmicznej jest dość żmudne, gdy konieczne
staje się wyznaczenie na osiach liczb innych niż 10, 100, 1000 itp. Dlatego
najczęściej korzysta się z gotowego papieru logarytmicznego. Na papierze takim
na obydwu osiach naniesione są punkty wg formuły (2) dodatkowo prowadzone
proste prostopadłe, tworzące gęstą nieregularną siatkę.
y
100000
P(103,104)
y = 104 10000
1000
ly= b"log(104)=
= 4 cm
100
(b= 1cm)
10
x = 103
x
1
10 100 1000 10000
lx= a"log(103)= 6cm
(a= 2 cm)
Rys.2. Zasada konstruowania podziałek logarytmicznych na osiach układu
współrzędnych prostokątnych.
Na rys.3 przedstawiono układ punktów podstawowej sekwencji (1,10)
podziałki logarytmicznej. Odległości między punktami w pozostałych
sekwencjach (rys. 4) są identyczne, lecz opisywane liczbami 10, 100, 1000 razy
większymi. Jest to zrozumiałe, bowiem
log c - log d = log 10c - log 10d
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Rys. 3. Rozmieszczenie punktów podstawowej sekcji podziałki logarytmicznej
Tablica 1 zawiera wartości logarytmów liczb z przedziału (1, 10) i ma na
celu ułatwienie ćwiczącym sporządzanie własnych podziałek logarytmicznych.
6
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
Ponieważ opisywanie punktów dużymi liczbami prowadziłoby do
pogorszenia czytelności opisu, w każdej sekwencji stosowany jest opis przy
użyciu liczb z przedziału (1,10). Ilustruje to rys. 4. W każdym kolejnym
przedziale liczbom tym należy przypisywać wartości dziesięciokrotnie większe
niż w przedziale poprzednim.
Punktem początkowym osi niekoniecznie musi być liczba 1. Każda z osi
może zaczynać się liczbą 10, 100. itd., w zależności od konkretnych potrzeb.
Tablica 1
log 1 = 0,0000
log 2 = 0,3010
log 3 = 0,4771
log 4 = 0,6021
log 5 = 0,6990
log 6 = 0,7782
log 7 = 0,8451
log 8 = 0,9031
log 9 = 0,9542
log 10 = 1,0000
W użyciu jest także tzw. papier półlogarytmiczny, na którym na jednej osi
(zwykle osi rzędnych) naniesiona jest podziałka liniowa, na drugiej zaś
logarytmiczna Papier taki stosowany jest w przypadkach, gdy tylko jedna ze
zmiennych funkcji y = f(x) przybiera wartości z bardzo szerokiego przedziału.
Samodzielne sporządzanie podziałki logarytmicznej
Przystępując do sporządzania podziałki logarytmicznej, należy znać
największą wartość wielkości, która ma być odwzorowana na osi. Na tej
podstawie określić można potrzebną liczbę n sekwencji podziałki (patrz rys.4),
zgodnie z warunkiem
Xmax d" 10n
skąd
log Xmax d" n (3)
gdzie n - liczba naturalna
Najlepiej przy tym zaokrąglić liczbę Xmax do całkowitej potęgi dziesięciu,
a następnie obliczyć zgodnie z (3) liczbę sekwencji podziałki.
Jeżeli np. Xmax = 86 000 Hz, to zaokrąglając tę wartość do 100 000 Hz,
otrzymujemy zgodnie z (3) n = 5.
7
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
1 2 3 4 5 6 7 8 10 2 3 4 5 6 7 8 102 2 3 4 5 6 7 8 103
sekwencja I sekwencja II sekwencja III
Rys. 4. Przykład opisu osi zawierającej trzy sekwencje podziałki logarytmicznej
Nie zawsze jednak tak duża liczba sekwencji jest potrzebna. Jeśli na osi
nie muszą być odwzorowywane np. pojedyncze herce, to wystarczy przyjąć
n = 4, a gdy dodatkowo nie muszą być także zaznaczane dziesiątki herców,
wtedy n = 3. Kwestia ta zostanie wyjaśniona bliżej w dalszej części instrukcji.
Po ustaleniu liczby n, należy zorientować się, jaka długość na osi może być
przeznaczona na jedną sekwencję. Zależy to od formatu posiadanego arkusza
papieru.
Niech długość odpowiadająca jednej sekwencji wynosi L, wtedy długości
odpowiadające liczbom z przedziału (1, 10) określone są zależnością,
lx = L log x (4)
Sporządzając samodzielnie podziałkę logarytmiczną, możemy nanieść na
osi te punkty, które są nam potrzebne do sporządzenia wykresu, ale oprócz tego
powinniśmy także oznaczyć te punkty  standardowe , tzn. spotykane na
produkowanym fabrycznie papierze logarytmicznym.
Odległości lx obliczone i naniesione dla pierwszej sekwencji, mogą być
przeniesione cyrklem lub specjalnym przenośnikiem na pozostałe sekwencje osi,
jak wiadomo bowiem, układ punktów dla każdej sekwencji jest taki sam.
Formuła (4) pozwala także znalez
ć na papierze fabrycznym te punkty,
które nie są oznaczone. Należy w tym celu zmierzyć długość L pojedynczej
sekwencji.
Szczegółowe zasady sporządzania wykresów
Niech dane będą dwa zbiory wyników pomiaru wielkości y, x, o których
wiadomo, że istnieje między nimi związek y = f(x). Należy na podstawie tej
ograniczonej liczby danych pomiarowych wykreślić linię ciągłą, która
stanowiłaby obraz graficzny funkcji y = f(x). Zadanie to należy wykonać według
następujących zasad.
8
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
1. Dokonać analizy otrzymanych z pomiaru wyników i zdecydować o wyborze
potrzebnego papieru (milimetrowego, logarytmicznego, czy półlogaryt-
micznego).
2. Zarysować lekko ołówkiem na posiadanym arkuszu papieru ramy wykresu,
pamiętając o konieczności pozostawienia z jego lewej strony marginesu
o szerokości 3 cm., z prawej zaś - ok. 1,5 cm, jak też pozostawieniu wolnego
miejsca u góry (tytuł) i u dołu wykresu (podpisy, objaśnienia). Można np.
zaplanować wykres na planie kwadratu, albowiem wskazane jest aby obie osie
układu współrzędnych miały zbliżone do siebie długości. Określanie obydwu
współrzędnych punktów wykresu jest wtedy obarczone jednakowymi błędami
względnymi.
3. Narysować obydwie osie układu i oznaczyć na nich taką ilość punktów równo
od siebie odległych, jaka się zmieści. Jeżeli posługujemy się papierem
milimetrowym, to niezależnie od jego formatu, poleca się oznaczenie punktów
co 5 , 10 lub 20 mm. Mniej korzystne są odległości 15 mm, ze względu na
póz
niejsze trudności przy interpolowaniu (nieprzyjemne dzielenie przez 15).
Wybrane punkty oznaczamy krótkimi (2mm), prostopadłymi od osi kreskami
skierowanymi ku wnętrzu układu współrzędnych.
4. Opisać liczbami oznaczone punkty osi. Zadanie to wymaga wyczucia
i doświadczenia. Można polecić tu następujące zasady:
a) nie wszystkie oznaczone punkty osi muszą być wykorzystane.
b) nie wszystkie punkty oznaczone na osi muszą być opisane liczbami, można np.
opisać co drugi oznaczony punkt, unikając w ten sposób nadmiernego
zagęszczenia liczb.
c) opis powinien zapewniać łatwość interpolacji, tzn. określania liczb dla
punktów położonych między dwoma sąsiednimi punktami opisanymi.
d) wartość ostatniego opisanego punktu powinna nieznacznie przekraczać
maksymalny wynik pomiaru.
9
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
Przykład 1
Jeżeli przy zdejmowaniu pewnej charakterystyki, zmieniano napięcie do zera
do 220V, to oś napięć może być przykładowo opisana tak, jak pokazuje rys. 5.
U
0 20 40 60 80 100 120 160 180 200 220
140 V
U
0 40 80 120 160 200 240
V
U
0 30 60 90 120 150 180 210 240
V
Rys.5. Możliwe warianty opisu osi układu współrzędnych.
5. Jeżeli liczby opisujące oś są zbyt duże (np. 1500) lub zbyt małe (np. 0,0002),
co może pogorszyć czytelność opisu, wskazane jest dziesięcio-, stu- lub
tysiąckrotne (najwłaściwsze) zmniejszenie ich lub zwiększenie, a w ślad za
tym umieszczenie na końcu osi stosownego mnożnika, albo zmiana jednostki
miary danej wielkości, tak jak to pokazano na rys.6.
I
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4
x10-3 A
I
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4
mA
Rys. 6. Przykład opisu osi z zastosowaniem mnożnika
6. Początkowy punkt osi nie musi być koniecznie opisany zerem. Jeżeli wyniki
pomiarów zawierają się w przedziale liczbowym nie zawierającym zera
i odległym od niego, to początek osi może być opisany liczbą bliską naj-
mniejszemu wynikowi pomiaru.
10
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
7. W koniecznych przypadkach dopuszczalne jest stosowanie innej skali na
półosi dodatniej, innej zaś na półosi ujemnej. Jest to na przykład konieczne
przy wykreślaniu charakterystyki prądowo-napięciowej diody Zenera.
8. Obowiązuje zasada, iż nad osią odciętych ( na jej końcu) umieszcza się
symbol wielkości, pod osią zaś - symbol jednostki (patrz rys.5 i rys. 6).
Dla osi rzędnych zasada ta brzmi - z lewej strony osi symbol jednostki - z
prawej - symbol wielkości. Liczby umieszcza się z lewej strony osi
rzędnych i pod osią odciętych.
9. W przypadku papieru logarytmicznego lub półlogarytmicznego, jesteśmy
bardziej ograniczeni w wyborze, jako że punkty osi układu zastajemy już
opisane. Jak już wyjaśniano, na papierze takim znajduje się kilka identycznych
sekwencji punktów (rys.4). Użytkownik korzystać może
z jednej lub więcej sekwencji, przypisując ponadto zastanym liczbom wartości
10k krotnie większe (k = 1,2,3,...). Kwestię tę wyjaśniają podane niżej
przykłady.
Przykład 2
Podczas badań pewnego obiektu, zmieniano częstotliwość napięcia
podawanego na jego wejście. Zanotowano przy tym następujące częstotliwości:
5, 10, 20, 40, 60, 80,100, 200, 400, 600, 800, 1000 Hz.
Sposób wykorzystania podziałki logarytmicznej jest tu jasny. Pojedynczym
hercom przypisać należy punkty z I sekwencji, dziesiątkom herców punkty z II
sekwencji, zaś setkom herców - z III sekwencji. W tej ostatniej znajdzie
odwzorowanie także częstotliwość 1000 Hz (jako ostatni punkt).
Przykład 3
W podobnym do opisanego doświadczeniu zanotowano następujące
częstotliwości: 500, 1000, 5000, 10 000, 50 000, 100 000 Hz. Jeżeli do
dyspozycji mamy podziałkę logarytmiczną z rys. 4 (jest tu wystarczająca), to
liczbom z I sekwencji należy przypisać wartości 100 razy większe od podanych,
zaś liczbom z każdej następnej sekwencji dziesięciokrotnie większe od wartości
liczb z sekwencji poprzedniej (pierwszy punkt osi oznaczyć trzeba wtedy liczbą
100).
11
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
Sposób nanoszenia punktów i kreślenia krzywej
Punkty wykresu nanosi się ostrym, niezbyt miękkim ołówkiem, odciskając
najpierw jego ślad punktowy, a następnie przekreślając go niewielkim
krzyżykiem.
Przez naniesione punkty prowadzi się linię ciągłą, prowadząc ołówek przy
krzywiku. Krzywik (jeden z trzech występujących zwykle w komplecie)
powinien obejmować co najmniej trzy punkty, zaś kreślona krzywa powinna
być doprowadzona do połowy odległości między dwoma sąsiednimi punktami.
Jej dalszy odcinek może być kreślony przy innym położeniu krzywika.
Poszczególne odcinki powinny tworzyć łącznie gładką, pozbawioną
jakichkolwiek załamań linię ciągłą.
Gdyby objęcie krzywikiem trzech punktów było niemożliwe, należy
prowadzić krzywą między punktami tak, aby w końcowym rezultacie po obu
stronach wykreślonej linii znajdowała się w przybliżeniu taka sama liczba
punktów.
Można w tym przypadku stosować technikę polegającą na łączeniu
sąsiednich punktów pomocniczymi odcinkami prostej, a następnie prowadzeniu
krzywej przez środki tych odcinków.
Wszystkie pomocnicze linie muszą być znacznie słabiej widoczne niż
krzywa wykresu.
Jeżeli we wspólnym układzie współrzędnych ma być wykreślonych kilka
krzywych, można je wyróżnić kolorami, nie zakrywając jednak obrazu
kreślonego ostrym ołówkiem..
Poza tym poszczególne krzywe można odróżnić stosownymi przepisami
prowadzonymi równolegle do tych krzywych lub w inny czytelny sposób.
Pod wykresami powinien znalez
ć się stosowny podpis oraz dodatkowe
objaśnienia, jeśli potrzebne to jest do właściwego zrozumienia wykresów.
Przedstawione w tej instrukcji zasady, nie wyczerpują wszystkich
zagadnień związanych z graficznym przedstawianiem wyników pomiarów.
Wynika to m.in. z mnogości przypadków, z jakimi można się spotkać w prak-
tyce pomiarowej.
Swoje umiejętności w tej dziedzinie należy doskonalić przez uważne
śledzenie wykresów zamieszczonych w dobrych wydawnictwach naukowych
i technicznych.
12
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
2. Przebieg ćwiczenia
Studenci wykreślają, zgodnie z poznanymi zasadami, krzywe wynikające z
przedstawionych niżej wyników pomiarów zawartych w Tablicy 2 oraz
Tablicy 3. Wykonane prace podlegają ocenie i decydują o zaliczeniu ćwiczenia.
Zadanie 1
Wykreśl charakterystykę I = f(U) na podstawie wyników pomiaru
zawartych w Tablicy 2.
Tablica 2
U V 0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5
I mA 0 2,3 3,6 5,9 6,6 8,4 8,3 9,3
Zadanie 2
Wykreśl charakterystykę R = f(I) na podstawie wyników pomiaru
zawartych w Tablicy 3.
Tablica 3
I mA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
95 81 67,5 54,5 43,5 33,8 25,5 19,1 14,3 11,2 10
R &!
Zadanie 3
(studenci samodzielnie sporządzają podziałkę logarytmiczną)
Wykreśl funkcję y = x2 dla następujących wartości argumentu x:
Tablica 4
x 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000
Każdy z trzech wykresów należy zamieścić na oddzielnym arkuszu papieru
milimetrowego, opisać zależnością funkcyjną, której jest on obrazem,
a także podać nazwisko i imię autora.
13
Ćwicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów
3. Literatura
Jako literaturę poleca się wszelkie techniczne wydawnictwa książkowe
oraz czasopisma, w których zwrócić należy uwagą na zamieszczone tam
przykłady graficznego przedstawiania zależności funkcyjnych.