METODY STATYSTYCZNE I
Odpowiedzi i wskazówki do zadań
ĆWICZENIA 1
Zad. 1
Ś(- 2)H" 0,02275
Zad. 2
Ś(1,9) H" 0,97128
Zad. 3
2
a) 0,5, P(�10 > 9.342)H" 0,5
b) 4
c) 3,2
Zad. 4
Ś(1,23) H" 0,8907
Zad. 5
2
a) P(�12 > 21)H" 0,05
b) P(t9 < 3,25)H" 0,995
c) P(t18 > 2,88)H" 0,005
Zad. 6
a) 0,2843
b) 0,95
c) 0,01
Zad. 7
2 2
a) W ~ �1 , Z ~ N(m2 - m1, 18� 80)
b) P(F9,7 < 6,9)H" 0,99
Zad. 8
a) 0,0505
b) 0,95
c) 0,9525 Wskazówka: P(A *" B) = P(A)+ P(B)- P(A )" B), dla niezależnych zdarzeń A i B
P(A )" B)= P(A)P(B)
Zad. 9
2
a) P(�5 e" 3,21)H" 0,7
~2 ~2
b) E(S )=10 3, D2(S )= 40 9
1
Zad. 10
Ć
Estymatorem MM oraz MNW parametru  jest  = X . Estymator ten jest nieobciążony,
zgodny i najefektywniejszy.
Zad. 11
1
Estymatorem MM oraz MNW parametru � jest �Ć = -1.
X
Zad. 12
2n
Ć
Estymatorem MNW parametru  jest  = .
n n
Xi + 2
" "Yi
i=1 i=1
Zad. 13
n
Ć
Estymatorem MNW parametru ą jest ą = .
n
"ln(1+ exp(- Xi ))
i=1
Zad. 14
X
Estymatorem MM parametru � jest �Ć = .
X - x0
1
Estymatorem MNW parametru � jest �Ć = .
n
1
"ln Xi - ln x0
n
i=1
Zad. 15
n
1
a) �Ć = Xi3
"
n
i=1
n n
1 1
2 2
Ć Ć
b) � =18X - 24 X , � = 24X - 36 X
" i " i
n n
i=1 i=1
Zad. 16
n �
Jest to estymator nieobciążony. E(X )= � , E(X1:n )= , E(�Ć)= � .
n:n
n +1 n +1
ĆWICZENIA 2
Zad. 1
ą = 1- c , � = c2 , M = 1- c2
Zad. 2
-1
a) w = (0;ln(2n k )), gdzie k zależy od ą
b) w = (0;0,01)
2
Zad. 3
t = 6,56 . Próba musi liczyć przynajmniej 5 elementów.
Zad. 4
1,28
cn = +1. M(m1)=1- Ś(1,28 + (1- m1) n) . Test ten jest nieobciążony i zgodny.
n
Zad. 5
M(2)=1- Ś(- 7)+ Ś(- 9)
Zad. 6
a) w = (2,3;+")
2,3
b) Wskazówka: M(�1)=1- f (x,�1)dx = 0.056 .
+"
0
Zad. 7
n
�ł �ł
exp�ł- �ł
"xi
�ł i=1 łł
 =
n
(1 x) exp(- n)
Zad. 8
2
Sprawdzaną hipotezę należy odrzucić, - 2 ln  = 4.62 , �0,05;1 = 3,841.
Zad. 9
2
Obszar krytyczny: - 2ln = -2(- n(1- x)- nx ln(x))> �0,05;1 = 3,841.
Zad. 10
Obszar krytyczny:
�ł x x �ł
�ł
2
- 2ln = -2�łnln(1- 0,5)+ nx ln0,5 - nln�ł1- �ł - nx ln�ł �ł�ł > �0,01;1 = 6,635.
�ł �ł �ł
�ł
x +1łł �ł x +1łł�ł
�ł
�ł łł
ĆWICZENIA 3, 4
Zad. 1
a) a = 6
b) f (x)= 2exp(- 2x), x > 0 , fY (y) = 3exp(- 3y), y > 0
X
c) Zmienne losowe X i Y są niezależne.
d) f (x | y)= 2exp(- 2x), x > 0
e) P(1< X < 2,0 < Y < 3)= (e-4 - e-2)(e-9 -1)
Zad. 2
a) a =1
b) Zmienne losowe X i Y są niezależne.
c) P(1< X < 2,1< Y < 2)= e-4 - 2e-3 + e-2
3
Zad. 3
a) a =1
y, y "(0,1]
ńł
2x + 2, x "(-1,0)
ńł
�ł2-y, y "(1,2)
c) fX (x) = , fY (y)=
�ł �ł
0, poza
ół
�ł
0, poza
ół
Zad. 4
0, E = {(x, y): x d" 0 (" y d" 0}
ńł
�ł1
y2, {(x,
�ł4 x2 A = y): 0 < x d" 2 '" 0 < y d"1}
�ł
F(x, y)=
y2, B = {(x, y): x > 2 '" 0 < y d"1}
�ł
�ł
1
x2, C = {(x, y): 0 < x d" 2 '" y >1}
�ł
4
�ł
1, D = {(x, y): x > 2 '" y >1}
ół
Zad. 5
1 1
a) f (x1)= x1 + , x1 "(0,1), fX (x2) = x2 + , x2 "(0,1)
X1
2
2 2
x1 + x2 x1 + x2
b) f (x1 | x2) = , x1, x2 "(0,1), f (x2 | x1)= , x1, x2 "(0,1)
x2 +1 2 x1 +1 2
7 12 11 144 -1 144
�ł łł �ł łł
c) � = , Ł =
�ł7 12śł �ł śł
�ł �ł �ł-1 144 11 144 �ł
Zad. 8
a) Zmienne losowe X1 i X są zależne.
2
X1
�ł łł
b) Zmienne losowe i X3 są niezależne.
�łX śł
�ł 2 �ł
Zad. 9
ńł 3 2
�ł -1 4 -1 x1 -1 �ł
łł �ł łł
1 1
śł �łx
a) f (x1, x2, x4) = exp�ł- [x1 -1 x2 - 2 x4 - 4]�ł-1 4 3 8 0 - 2śł�ł
�ł
2
3 2
�ł śł �ł śłżł
2
(2Ą ) 81 2 �ł
�ł -1 0 1 - 4�ł�ł
śł �ł śł�ł
�ł �ł �łx4
ół
b)
ńł
1 1
T
f (x1 | x2 = [2 3] )= exp�ł- [x1 + 3 7 x2 -8 7]�ł140 90 - 21 90łł �łx1 + 3 7łł�ł
1 2 �ł śł �łx - 8 7śłżł
2
2Ą(91 49)
�ł- 21 90 35 90 �ł �ł 2 �ł
ół �ł
d) Wektor losowy Y ma jednowymiarowy rozkład normalny ze średnią � =11 i wariancją
2
� = 16 .
Zad. 11
F =17,505 , F0,01;3;27 = 4,6 , hipotezę zerową odrzucamy.
4
Zad. 12
F = 2,9 , F0,01;3;20 = 2,44 , hipotezę zerową odrzucamy.
Zad. 13
F = 0,264 , F0,05;2;40 = 3,23, brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wektorów
wartości średnich.
Zad. 15
2
H = 22 , �0,01;3 =11,345 , hipotezę zerową odrzucamy.
5