Odpowiedzi
4.
-1-2ln x
a) f 2 (x) = (2x + 2)ex, y = 2x; b) f 2 (x) = , y = -x + 2;
x3
2x2 -2x+2 2 4
c) f 2 (x) = 2x - 3, y = -7x; d) f 2 (x) = , y = x - .
(x2 -1)2 3 3
5.
a) Df = R, f 2 (x) = 3x2 - 6x = 3xÅ"(x - 2); b) Df = R, f 2 (x) = 4x3 - 34x = 2xÅ"(2x2 - 17);
4x
c) Df = R \ {-2, 2}, f 2 (x) = .
(4-x2)2
6.
a) Df = R, f 2 (x) = 3x2 - 10x + 3, f2 2 (x) = 6x - 10; b) Df = R, f 2 (x) = 4x3 + 3x2 - 36x + 24, f 2 2 (x) = 6Å"(2x2 + x - 6);
-x2 -2x+1
c) Df = R, f 2 (x) = ; drugą pochodną obliczamy traktując mianownik jako funkcję zło\
oną, będzie mo\
na
(x2+1)2
wówczas wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
(-2x-2)(x2+1)2 -2(x2+1)Å"2xÅ"(-x2-2x+1) (x2+1)Å"[(-2x-2)(x2+1)-4xÅ"(-x2-2x+1)] 2(x2+1)(x3+3x2-3x-1)
f 2 2 (x) = = = =
(x2+1)4 (x2 +1)4 (x2+1)4
2(x3+3x2-3x-1)
= . Odgadnąć miejsce zerowe licznika, a następnie podzielić wielomiany.
(x2+1)3
7.
1
ln x-1 2x
a) Df = (0; +"), f 2 (x) = ; b) Df = R \ {-1, 1}, f 2 (x) = Å" e1- x2 ;
ln2 x (1-x2)2
(-x2 -2x+1)Å"e-x
3
c) Df = R \ {-1, 1}, f 2 (x) = ; d) Df = (0; +"), f 2 (x) = (ln2 x -1).
x
(x2 -1)2
8.
2 2
a) Df = (0; +"), f 2 (x) = x(2ln x + 1), f 2 2 (x) = 2ln x + 3; b) Df = R, f 2 (x) = - 2xe-x ; f 2 2 (x) = (4x2 - 2)e-x ;
c) Df = R, f 2 (x) = (x2 + 2x + 1)ex; f 2 2 (x) = (x2 + 4x + 3)ex;
2 2
d) Df = R, f 2 (x) = (-2x + 8)e-x +8x-14; f 2 2 (x) = (4x2 - 32x + 62)e-x +8x-14.
9.
2 2
a) Df = R, f 2 (x) = (1 - x)e-x, f 2 2 (x) = (x - 2)e-x; b) Df = (0; +"), f 2 (x) = (ln x -1), f 2 2 (x) = (2 - ln x);
x
x2
1
c) Df = (0; +"), f 2 (x) = ln x + 1, f 2 2 (x) = .
x
10.
1 1
x-1 1
x x
a) Df = R, f 2 (x) = (x2 + 2x -3)ex, f 2 2 (x) = (x2 + 4x - 1)ex; b) Df = R \ {0}, f 2 (x) = e , f 2 2 (x) = e ;
x
x3
x x
-1 2x-1
x-1 x-1
c) Df = R \ {1}, f 2 (x) = e , f 2 2 (x) = e .
(x-1)2 (x-1)4
11.
a) Df = R, f 2 (x) = -3x2 + 6x - 3, f 2 2 (x) = -6x + 6; nie ma ekstremów, jeden punkt przegięcia.
2x(x2 -3)
-x2 +1
b) Df = R, f 2 (x) = , f 2 2 (x) = (liczyć tj. w zadaniu 6c); dwa ekstrema, trzy punkty przegięcia.
(x2 +1)2 (x2 +1)3
2x(x2 -1)(x2 +3)
-x2 -1
c) Df = R \ {-1, 1}, f 2 (x) = , f 2 2 (x) = (liczyć tj. w zadaniu 6c, ale nie skracać - wówczas
(x2 -1)2 (x2 -1)4
mianownik przyjmuje tylko dodatnie wartości); brak ekstremów, jeden punkt przegięcia.
2 2
d) Df = R, f 2 (x) = (2 - 2x)e2x-x , f 2 2 (x) = (4x2 - 8x + 2)e2x-x ; jedno ekstremum, dwa punkty przegięcia.
3x-1 3x+1
e) Df = [0; +"), f 2 (x) = , f 2 2 (x) = , Df 2 = Df 2 2 = (0; +"); jedno ekstremum, brak punktów przegięcia.
2 x 4x x