Â

WIAT

N

AUKI

Listopad 1999 85

D

o nieznajomoÊci historii, litera-
tury czy ortografii nikt nie lubi
si´ przyznawaç – z matematykà

jest inaczej. Ludzie ch´tnie obnoszà si´
ze swojà ignorancjà. Niemal codziennie
mo˝na us∏yszeç w radiu, zobaczyç w te-
lewizji lub przeczytaç w gazetach, jak
znany aktor, polityk, muzyk czy te˝ in-
na szanowana postaç z pewnà dumà
mówi lub pisze, i˝ z przedmiotem tym
zawsze mia∏a w szkole problemy. Dla-
czego tak nie lubimy matematyki i –
wi´cej – ch´tnie si´ do tego przyznaje-
my? W dodatku nikt na ogó∏ nie pod-
wa˝a znaczenia tej dziedziny wiedzy,
wr´cz przeciwnie, wszyscy podkreÊlajà
jej rol´ we wspó∏czesnym Êwiecie.

Na temat znaczenia matematyki napi-

sano ju˝ wiele artyku∏ów i ksià˝ek.
Rzadko jednak wspomina si´ o skut-
kach matematycznej niewiedzy. W t´
luk´ doskonale trafia opublikowana
w Gdaƒskim Wydawnictwie OÊwiato-
wym ksià˝ka Johna Allena Paulosa pod
intrygujàcym tytu∏em Analfabetyzm ma-
tematyczny i jego skutki.

Autor przedstawia w niej rozmaite

sytuacje, w których niezb´dna jest choç-
by minimalna znajomoÊç elementów
matematyki, a jej brak mo˝e prowadziç
do przykrych konsekwencji. Pisze o k∏o-
potach z liczbami bardzo du˝ymi i bar-
dzo ma∏ymi, z procentami, ze Êrednimi
i z liczbami w ogóle. Jednak najwi´cej
miejsca poÊwi´ca rozumowaniom zwià-
zanym z rachunkiem prawdopodobieƒ-
stwa i statystykà. PodkreÊla, ˝e „liczba
i przypadek zaliczajà si´ do podstawo-
wych zasad rzàdzàcych rzeczywisto-
Êcià”. Przedstawia wiele mniej lub bar-
dziej znanych przyk∏adów mogàcych
zmyliç równie˝ osoby, które uwa˝ajà,
˝e coÊ na temat prawdopodobieƒstwa
ju˝ wiedzà. Czytelnik przekonuje si´, i˝
niezwyk∏e zbiegi okolicznoÊci, zdarzenia
pozornie nieprawdopodobne, dajà si´
uzasadniç, gdy prawid∏owo zastosuje-
my proste rozumowania probabilistycz-
ne. Paulos demaskuje ró˝nego rodzaju
gry zachwalane przez szarlatanów, wy-
jaÊnia „tajemnice” przeró˝nych strate-
gii w popularnych grach hazardowych.
Lecz nie nale˝y upatrywaç w tej ksià˝-
ce poradnika dla hazardzistów. Po jej
lekturze raczej nie pobiegniemy do naj-
bli˝szego kasyna, by sprawdziç, czy do-

pisze nam szcz´Êcie. Wr´cz przeciwnie,
zastanowimy si´, czy w ogóle nale˝y ry-
zykowaç utrat´ pieni´dzy w grach lo-
sowych.

Rachunek prawdopodobieƒstwa nie

nale˝y do ulubionych dzia∏ów matema-
tyki szkolnej. Nie lubià go uczniowie,
ale te˝ nie przepadajà za nim nauczy-
ciele, ograniczajàc si´ do przedstawie-
nia niezb´dnego minimum. Omawiane

w podr´cznikach przyk∏ady dotyczà za-
zwyczaj losowania kul czy te˝ rzucania
kostkà do gry albo monetà. To prawda,
˝e za pomocà takich modeli mo˝na opi-
saç niemal wszystkie zagadnienia z ra-
chunku prawdopodobieƒstwa, lecz tra-
ci si´ w ten sposób szans´ na ukazanie
zwiàzków rachunku prawdopodobieƒ-
stwa z rzeczywistoÊcià. Paulos takie za-
le˝noÊci podkreÊla niemal na ka˝dej
stronie swojej ksià˝ki. Wiele miejsca po-
Êwi´ca równie˝ wnioskowaniom sta-
tystycznym, dziedzinie praktycznie nie
istniejàcej w programie szkolnym. A
przecie˝ codziennie bombardowani je-
steÊmy przeró˝nymi sonda˝ami i ankie-
tami. Media og∏aszajà rankingi poli-
tyków, biznesmenów, artystów, partii
politycznych, szkó∏. Codziennie otrzy-

mujemy porcj´ informacji gie∏dowych,
w których pe∏no jest statystyki. Czy po-
trafimy te wiadomoÊci prawid∏owo od-
czytaç? Czy wierzyç przed wyborami
rankingom og∏aszanym przez instytu-
cje badajàce opini´ publicznà? Z ksià˝-
ki Paulosa mo˝emy si´ dowiedzieç, ˝e
do takich wiadomoÊci nale˝y podcho-
dziç bardzo ostro˝nie. Odpowiednio do-
bierajàc badane grupy ludzi i pytania,
a nawet warunki zadawania pytaƒ
i wiele innych pozornie nieistotnych pa-
rametrów, ∏atwo jest manipulowaç spo-
∏eczeƒstwem, zw∏aszcza gdy nie jest ono
matematycznie wykszta∏cone.

Autor zwraca równie˝ uwag´ na ko-

niecznoÊç poprawnego rozumowania,
wyciàgania wniosków z za∏o˝eƒ i po-
s∏ugiwania si´ elementarnymi zasadami
logiki. Zastanawia si´ nad przyczyna-
mi tak powszechnej ignorancji matema-
tycznej i choç jego spostrze˝enia dotyczà
g∏ównie spo∏eczeƒstwa amerykaƒskie-
go, to wiele tych uwag odnosi si´ do na-
szego podwórka. A wszystkie k∏opoty
zaczynajà si´ w szkole. Nauczyciele nie
zawsze sà przygotowani do prawid∏o-
wego nauczania tego przedmiotu, ro-
bià to wi´c schematycznie. Czy zatem
win´ za analfabetyzm matematyczny
spo∏eczeƒstwa ponoszà równie˝ szko-
∏y pedagogiczne i uniwersytety, które
„nie poÊwi´cajà dostatecznie wiele miej-
sca matematyce w kszta∏ceniu przy-
sz∏ych pedagogów”? Istotnà rol´ od-
grywa tu te˝ negatywna selekcja do
zawodu nauczyciela. Skàd my to
wszystko znamy...

Ksià˝k´ Paulosa polecam nauczycie-

lom matematyki, a tak˝e wszystkim
tym, którzy nie majàc gruntownego wy-
kszta∏cenia matematycznego, sà prze-

konani, ˝e wiedzà, co to jest matematy-
ka. A mo˝e nawet niektórzy matema-
tycy czytajàcy t´ ksià˝k´ uÊwiadomià
sobie, i˝ – o paradoksie! – te˝ sà dotkni´-
ci „analfabetyzmem matematycznym”,
zw∏aszcza gdy w pracy zawodowej
rzadko majà do czynienia z rachunkiem
prawdopodobieƒstwa i statystykà.

Z jednej strony wydaje si´, ˝e ksià˝ka

zosta∏a napisana z myÊlà o ludziach da-
lekich od matematyki, by uÊwiadomiç
im, ile tracà na skutek swej matema-
tycznej ignorancji – tekst jest zrozumia-
∏y praktycznie bez wzorów i zawi∏ych
wywodów. Z drugiej jednak strony czy-
telnika mo˝e zniech´ciç to, ˝e autor,
przynajmniej na poczàtku, nadu˝ywa
okreÊlenia „analfabeta matematyczny”.

RECENZJE I KOMENTARZE

Niekochana królowa nauk

ANALFABETYZM MATEMATYCZNY I JEGO SKUTKI. John Allen Paulos. T∏umaczy∏
Jacek Mi´kisz. Gdaƒskie Wydawnictwo OÊwiatowe, Gdaƒsk 1999.

Ciàg dalszy na stronie 87

go oraz proponujàcà w miejsce religii
liczby jako jedyny sposób na objaÊnie-
nie Êwiata.

W tym czasie matematyka Spinozy

przyciàgn´∏a ju˝ uwag´ takich gigan-
tów nauki holenderskiej jak Christiaan
Huygens, który przedstawi∏ Spinoz´
Henry’emu Oldenburgowi, zanglicyzo-
wanemu Niemcowi pe∏niàcemu funk-
cj´ sekretarza London’s Royal Society.
Na zlecenie towarzystwa Henry zorga-
nizowa∏ sieç korespondentów rozsia-
nych po Europie i ca∏ymi dniami i no-
cami pisa∏ i czyta∏ listy dotyczàce spraw
naukowych, a czasem (gdy piszàcy do-
dawali pewne ÊciÊle tajne informacje wy-
wiadowcze), niezupe∏nie naukowych.
Te w∏aÊnie wiadomoÊci Oldenburg prze-
kazywa∏ odpowiednim w∏adzom, dzi´-
ki czemu towarzystwo zosta∏o zwolnio-
ne z op∏at pocztowych. Przedmiotem
troski Oldenburga by∏a te˝ Dora Dury
(jego wychowanka), którà poÊlubi∏ po
Êmierci swojej pierwszej ˝ony. Ojciec
Dory, John, by∏ anglikaƒskim pastorem,
który usilnie pracowa∏ w wielu krajach
Europy nad zjednoczeniem ró˝nych sekt
protestanckich (co mu si´ nie uda∏o)
i w swoim czasie odwiedzi∏ Szwecj´
w nadziei pozyskania pomocy królowej
Krystyny (równie˝ bez powodzenia).
Krystyna mia∏a na g∏owie inne sprawy,
a poza tym, w przeddzieƒ przejÊcia na
katolicyzm, by∏a ostatnià osobà, którà
nale˝a∏o prosiç o poparcie.

Krystyna s∏yn´∏a z wyjàtkowej inte-

ligencji i cz´sto zaprasza∏a ró˝nych wiel-
kich ludzi, by jà odwiedzili i pobudzali
jej umys∏ zajmujàcà rozmowà. Jednym
z nich by∏ Hugo de Groot, znakomity

niderlandzki prawnik i autor (w 1609
roku) pierwszego prawa morskiego,
w myÊl którego oceany nie sà niczyjà
w∏asnoÊcià. Bardzo êle przyj´li to An-
glicy, którzy na krótko przed tym obró-
cili w perzyn´ holenderski statek po-
wracajàcy z Grenlandii z ∏adunkiem 22
morsów, poniewa˝ ich zdaniem wody
Grenlandii stanowi∏y w∏asnoÊç angiel-
skà. Jako takie skodyfikowa∏ je, wbrew
argumentom de Groota, John Selden,
angielski prawnik, gwiazda pierwszej
wielkoÊci i doradca królewski, który
w 1618 roku dedykujàc esej nowemu
Lordowi Kanclerzowi (g∏ównemu praw-
nikowi), Francisowi Baconowi, zaskar-
bi∏ sobie jego wzgl´dy. O Baconie tyle
mo˝na by napisaç, ˝e wspomn´ tylko,
i˝ g∏osi∏ potrzeb´ rozwoju ludzkiej wie-
dzy, do której dost´p winni mieç wszy-
scy (spodoba∏oby mu si´ to pismo).

Jedno z pomniejszych spostrze˝eƒ Ba-

cona dotyczy∏o tego, ˝e kontynenty po
obu stronach Atlantyku wydajà si´ do-
brze do siebie pasowaç. Dopiero w roku
1912 niemiecki meteorolog, Alfred We-
gener, zaproponowa∏ wyjaÊnienie tego
faktu: dryf kontynentów. Geolodzy lek-
cewa˝yli t´ teori´ przez 50 lat, kpiàc, ˝e
ten przepowiadacz pogody musia∏ mieç
zwidy. Co ciekawe, drugà obsesjà Wege-
nera by∏y mira˝e. Jeden z bardziej z∏o˝o-
nych, zwany fatamorganà, nosi miano
po Morganie le Fay, s∏ynnej czarowni-
cy ze Êredniowiecznej legendy. Która
mia∏a jeszcze inny powód do chwa∏y:
by∏a siostrà króla Artura.

A mo˝e nie.

T∏umaczy∏a

Magdalena Pecu

l

A kto lubi, gdy mu si´ wytyka ignoran-
cj´, nawet matematycznà? Zdarza si´
ponadto Paulosowi wypowiadaç sàdy
zbyt arbitralne. Krytykuje modne ostat-
nio u nas tzw. nauki ezoteryczne – nu-
merologi´, parapsychologi´, astrologi´.
Analizuje wiarygodnoÊç eksperymen-
tów parapsychologicznych, dzia∏alnoÊç
uzdrawiaczy i wró˝bitów oraz innych
ludzi o nadprzyrodzonych zdolno-
Êciach; pos∏ugujàc si´ rachunkiem praw-
dopodobieƒstwa podwa˝a sensownoÊç
ich dzia∏alnoÊci. Powo∏ywanie si´ jed-
nak na zdrowy rozsàdek, gdy kryty-
kuje si´ zjawiska niewyt∏umaczalne, mo-
˝e okazaç si´ ryzykowne. Wszak prze-
ciwnicy teorii wzgl´dnoÊci i mechaniki
kwantowej jako argumentu te˝ u˝ywa-
li zdrowego rozsàdku. Matematyka jest
tak pot´˝nym narz´dziem, ˝e chyba
nie trzeba nikogo przekonywaç, i˝ jest
panaceum.

A jeÊli ju˝ mowa o niedociàgni´ciach,

to szkoda, ˝e Paulos ca∏kowicie pomi-
nà∏ problemy zwiàzane z ignorancjà
geometrycznà. Byç mo˝e kwestie te za-
mierza poruszyç w innej ksià˝ce? A mo-
˝e uzna∏, jak wielu wspó∏czesnych ma-
tematyków, ˝e geometria jest ju˝ naukà
martwà i nieprzydatnà w praktyce.
Tymczasem geometria elementarna sta-
nowi integralnà cz´Êç matematyki i anal-
fabetyzm w tej dziedzinie mo˝e okazaç
si´ równie dolegliwy jak w innych (np.
gdy robimy remont, malujemy lub prze-
meblowujemy mieszkanie).

Dobrze by by∏o, gdyby do ksià˝ki

Paulosa od czasu do czasu zajrzeli rów-
nie˝ ci, którzy sà przekonani, ˝e z mate-
matykà na co dzieƒ nie majà do czynie-
nia. Mogliby si´ przekonaç, jak bardzo
sà od niej zale˝ni, jak cz´sto sà na nià
wr´cz skazani i jak wiele tracà, od˝e-
gnujàc si´ od wiedzy matematycznej.

Zdzis∏aw Pogoda

RECENAZJA

, ciàg dalszy ze strony 85