Współrzędne walcowe (φ, r, h)

z

x

y

P(x,y,z)

P'

φ

r

h

φ – miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY
r – odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych
h – odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą
płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-)

Wtedy

















h

z

r

y

r

x





sin

cos

, gdzie





0

,

2

,

0





r





Wyznaczamy jakobian tego odwzorowania:

r

J

r

r

r

r

r

J































2

2

cos

sin

1

0

0

0

sin

cos

0

cos

sin

det

Przykład

Obliczyć całkę potrójną





V

dxdydz

x

I

2

, gdzie

2

2

4

0

:

y

x

z

V









.

Obszar V jest ograniczony przez płaszczyznę

0



z

oraz powierzchnię

2

2

4

y

x

z







.

Przekształcając ostatnie równanie do takiej postaci, aby po jednej stronie równości pojawiło
się wyrażenie nieujemne, otrzymujemy

4

0

4

4

0

2

2



















z

z

z

y

x







czyli

 

4

,

0



z

.

Jeśli

const



z

, to

const

4

2

2









z

y

x

.

równanie okręgu
o środku w punkcie (0,0)

Zatem przekroje powierzchni płaszczyznami

const



z

są okręgami.

Jeśli ustalimy

0



x

, to otrzymamy

2

4 y

z





.

Zatem przekrój powierzchni płaszczyzną

0



x

jest parabolą.

Podobnie przekrój powierzchni płaszczyzną

0



y

jest parabolą.

Stąd powierzchnia

z

y

x







4

2

2

jest paraboloidą.

(φ,r)

h=4-r

2

x

y

z

2

-2

4

V

Do oblicznia tej całki zastosujemy współrzędne walcowe

















h

z

r

y

r

x





sin

cos

, gdzie

]

2

,

0

[



 

,

]

2

,

0

[



r

,

]

4

,

0

[

2

r

h





.

Stąd









drdh

rd

r

I





2

2

cos

, gdzie

]

4

,

0

[

]

2

,

0

[

]

2

,

0

[

2

r













i zamieniając na całkę iterowaną otrzymujemy



























































3

16

2

sin

4

1

2

1

3

16

2

cos

2

1

2

1

3

16

cos

3

16

6

1

cos

4

cos

4

cos

cos

cos

2

0

2

0

2

0

2

2

0

2

0

6

4

2

2

0

5

3

2

0

2

2

0

2

2

3

2

0

2

0

4

0

2

3

2

0

4

0

2

3

2

0

2

0

2

2

























 













 



















































d

d

r

r

d

dr

r

r

d

dr

r

r

d

dr

h

r

d

dh

r

dr

d

I

r

r

Współrzędne sferyczne

(φ, θ, r)

z

x

y

P(x,y,z)

θ

P'

φ

 – miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na

płaszczyznę OXY,









2

,

0



 – miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P,











2

,

2







r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych,

0



r

Wtedy



























sin

sin

cos

cos

cos

r

z

r

y

r

x

Wyznaczamy jakobian dla tego odwzorowania.

























































cos

cos

sin

cos

cos

sin

cos

sin

cos

cos

cos

sin

sin

cos

sin

cos

0

sin

cos

sin

sin

cos

cos

cos

cos

cos

sin

sin

cos

det

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

J



























Ponieważ











2

,

2







, zatem

0



J

.