1

Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Uogólnione współrzędne walcowe

Niech a i b będą stałymi dodatnimi. Współrzędne (r, ϕ, z) , dla których związki ze współrzędnymi

kartezjańskimi (x, y, z) są dane wzorami:











x = a r cos ϕ

r ∈ [0, +∞)

y = b r sin ϕ

ϕ ∈ [0, 2π]

z = z

z ∈ R

nazywamy uogólnionymi współrzędnymi walcowymi.

Przekształcenie

(r, ϕ, z)

−→ ( x , y , z )

gdzie

x = a r cos ϕ

y = b r sin ϕ

z = z

nazywamy uogólnionym przekształceniem walcowym.
Jakobian uogólnionego przekształcenia walcowego jest równy:

J (r, ϕ, z) =










∂x

∂r

∂x

∂ϕ

∂x
∂z

∂y
∂r

∂y

∂ϕ

∂y
∂z

∂z
∂r

∂z

∂ϕ

∂z
∂z










=









a cos ϕ

− a r sin ϕ

0

b sin ϕ

b r cos ϕ

0

0

0

1









=

=







a cos ϕ

− a r sin ϕ

b sin ϕ

b r cos ϕ







= ab r cos

2

ϕ + ab r sin

2

ϕ = ab r.

Całka potrójna w uogólnionych współrzędnych walcowych

Twierdzenie

Niech obszar V

0

dany w uogólnionych współrzędnych walcowych (ze stałymi a

i b ) będzie regularny oraz niech funkcja f (x, y, z) będzie ciagła na obszarze V będącym obrazem
V

0

w uogólnionym przekształceniu walcowym. Wówczas

Z

Z

V

Z

f (x, y, z) dxdydz =

Z

Z

V

0

Z

f ( a r cos ϕ , b r sin ϕ , z ) · ab r drdϕdz.

Przykład

Znaleźć współrzędne środka ciężkości jednorodnej bryły ograniczonej paraboloidą

x

2

+ 2y

2

= 4z i płaszczyzną z = 2.

Rozwiązanie: Bryła V jest obszarem w przestrzeni normalnym względem płaszczyzny OXY, tj.

V :

(

(x, y) ∈ D

x

2

4

+

y

2

2

6 z 6 2

2

gdzie obszar płaski

D

jest ograniczony krzywą, będącą rzutem na płaszczyznę OXY krzywej

powstałej z przecięcia paraboloidy x

2

+ 2y

2

= 4z z płaszczyzną z = 2, tj. elipsą o równaniu:

x

2

8

+

y

2

4

= 1.

Obliczając zatem poszczególne całki potrójne, wprowadzimy uogólnione współrzędne walcowe dane
wzorami:











x = 2

√

2 r cos ϕ

r ∈ [0, +∞)

y = 2 r sin ϕ

ϕ ∈ [0, 2π]

z = z

z ∈ R

Jakobian, odpowiadający takiej zamianie zmiennych, jest równy: J = 4

√

2r, a obszar V

0

, którego

obrazem w uogólnionym przekształceniu walcowym jest obszar V , opisze się w nastepujacy sposób:

V

0

:











0

6 ϕ 6 2π

0

6 r 6 1

2r

2

6 z 6 2

Przystępujemy do obliczania poszczególnych całek potrójnych:

• Masa bryły (jednorodnej, przyjmujemy więc, że gęstość masy jest stała równa 1) V :

M =

Z

Z

V

Z

dxdydz =

Z

Z

V

0

Z

4

√

2r drdϕdz = 4

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

dr

2

Z

2r

2

r dz =

= 4

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

dr r z|

z=2
z=2r

2

= 8

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

(r − r

3

) dr = 8

√

2

2π

Z

0

dϕ

r

2

2

−

r

4

4

!






r=1

r=0

=

= 2

√

2

2π

Z

0

dϕ = 4

√

2 π

• Moment statyczny względem płaszczyzny OXY:

M

XY

=

Z

Z

V

Z

z dxdydz =

Z

Z

V

0

Z

4

√

2r z drdϕdz = 4

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

dr

2

Z

2r

2

r z dz =

= 4

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

dr r

z

2

2







z=2

z=2r

2

= 8

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

(r − r

5

) dr = 8

√

2

2π

Z

0

dϕ

r

2

2

−

r

6

6

!






r=1

r=0

=

=

8

3

√

2

2π

Z

0

dϕ =

16

3

√

2 π

• Moment statyczny względem płaszczyzny OXZ:

M

XZ

=

Z

Z

V

Z

y dxdydz =

Z

Z

V

0

Z

4

√

2r 2 r sin ϕ drdϕdz = 8

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

dr

2

Z

2r

2

r

2

sin ϕ dz =

3

= 8

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

dr r

2

sin ϕ z





z=2

z=2r

2

= 16

√

2

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

sin ϕ (r

2

− r

4

) dr =

= 16

√

2

2π

Z

0

dϕ sin ϕ

r

3

3

−

r

5

5

!






r=1

r=0

=

32

15

√

2

2π

Z

0

sin ϕ dϕ = 0

• Analogicznie moment statyczny względem płaszczyzny OYZ: M

Y Z

= 0.

• Współrzędne środka ciężkości:

x

c

=

M

Y Z

M

= 0

y

c

=

M

XZ

M

= 0

z

c

=

M

XY

M

=

16

3

√

2 π

4

√

2 π

=

4

3

Uogólnione współrzędne sferyczne

Niech

a, b

i

c

będą stałymi dodatnimi. Współrzędne

(r, ϕ, ψ) , dla których związki ze

współrzędnymi kartezjańskimi (x, y, z) są dane wzorami:











x = a r cos ϕ cos ψ
y = b r sin ϕ cos ψ
z = c r sin ψ

nazywamy uogólnionymi współrzędnymi sferycznymi.

Przykład

Równanie elipsoidy o półosiach a, b i c :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

zapisać w uogólnionych współrzędnych sferycznych.

Rozwiązanie:

Do równania elipsoidy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

wstawiamy zależności

x = a r cos ϕ cos ψ , y = b r sin ϕ cos ψ i z = c r sin ψ:

a

2

r

2

cos

2

ϕ cos

2

ψ

a

2

+

b

2

r

2

sin

2

ϕ cos

2

ψ

b

2

+

c

2

r

2

sin

2

ψ

c

2

= 1

r

2



cos

2

ϕ + sin

2

ϕ



cos

2

ψ + r

2

sin

2

ψ = 1

r

2



cos

2

ψ + sin

2

ψ



= 1

r

2

= 1.

Zatem równanie elipsoidy o półosiach

a, b

i

c

w uogólnionych współrzędnych sferycznych (ze

stałymi a, b i c ) ma postać: r = 1 dla ϕ ∈ [0, 2π) i ψ ∈

h

−

π

2

,

π

2

i

.

Przekształcenie

(r, ϕ, ψ)

−→ ( x , y , z )

gdzie

x = a r cos ϕ cos ψ

y = b r sin ϕ cos ψ

z = c r sin ψ

4

nazywamy uogólnionym przekształceniem sferycznym.
Jakobian uogólnionego przekształcenia sferycznego jest równy:

J =









a cos ϕ cos ψ

−a r sin ϕ cos ψ

−a r cos ϕ sin ψ

b sin ϕ cos ψ

b r cos ϕ cos ψ

−b r sin ϕ sin ψ

c sin ψ

0

c r cos ψ









= abc r

2

cos ψ

Całka potrójna w uogólnionych współrzędnych sferycznych

Twierdzenie

Niech obszar V

0

dany w uogólnionych współrzędnych sferycznych (ze stałymi

a, b i c ) będzie regularny oraz niech funkcja f (x, y, z) będzie ciagła na obszarze V będącym
obrazem V

0

w uogólnionym przekształceniu sferycznych. Wówczas

Z

Z

V

Z

f (x, y, z) dxdydz =

Z

Z

V

0

Z

f ( a r cos ϕ cos ψ , b r sin ϕ cos ψ , c r sin ψ ) · abc r

2

cos ψ drdϕdψ.

Przykład Stosując uogólnione współrzędne sferyczne oblicz objetość bryły ograniczonej elipsoidą

o półosiach a, b i c .

Rozwiązanie:

Z poprzedniego przykładu wiemy, że elipsoida o półosiach

a, b

i

c

ma w

uogólnionych współrzędnych sferycznych (ze stałymi a, b i c ) równanie r = 1 dla ϕ ∈ [0, 2π) i

ψ ∈

h

−

π

2

,

π

2

i

. Stąd wprowadzając uogólnione przekształcenie sferyczne mamy:

V

←− V

0

:











0

6 ϕ 6 2π

−

π

2

6 ψ 6

π

2

0

6 r 6 1

Zatem objętość bryły V ograniczonej elipsoidą o półosiach a, b i c jest równa:

|V| =

Z

Z

V

Z

dxdydz =

Z

Z

V

0

Z

abc r

2

cos ψ drdϕdψ =

=





2π

Z

0

dϕ





·






π

2

Z

−

π

2

cos ψ dψ






·





1

Z

0

abc r

2

dr





=

2π · sin ψ |

ψ=

π

2

ψ=−

π

2

·

abc

3

r

3







r=1

r=0

=

4

3

abc π.