1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Uogólnione współrzędne biegunowe
Niech a i b będą stałymi dodatnimi. Współrzędne (r, ϕ) , dla których związki ze współrzędnymi
kartezjańskimi (x, y) są dane wzorami:
(
x = a r cos ϕ
r ∈ [0, +∞)
y = b r sin ϕ
ϕ ∈ [0, 2π]
nazywamy uogólnionymi współrzędnymi biegunowymi.
Przykład
Równanie elipsy o półosiach a i b
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
zapisać w uogólnionych współrzędnych biegunowych.
Rozwiązanie:
Do równania elipsy
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1 wstawiamy zależności x = a r cos ϕ i
y = b r sin ϕ :
a
2
r
2
cos
2
ϕ
a
2
+
b
2
r
2
sin
2
ϕ
b
2
= 1
r
2
cos
2
ϕ + sin
2
ϕ
= 1
r
2
= 1.
Zatem równanie elipsy o półosiach a i b w uogólnionych współrzędnych biegunowych (ze stałymi
a i b ) ma postać: r = 1 dla ϕ ∈ [0, 2π).
Przekształcenie
(r, ϕ)
−→ ( x(r, ϕ) , y(r, ϕ) )
gdzie
x(r, ϕ) = a r cos ϕ
y(r, ϕ) = b r sin ϕ
nazywamy uogólnionym przekształceniem biegunowym.
Jakobian uogólnionego przekształcenia biegunowego jest równy:
J (r, ϕ) =
∂x
∂r
(r, ϕ)
∂x
∂ϕ
(r, ϕ)
∂y
∂r
(r, ϕ)
∂y
∂ϕ
(r, ϕ)
=
a cos ϕ
− a r sin ϕ
b sin ϕ
b r cos ϕ
=
ab r cos
2
ϕ + ab r sin
2
ϕ = ab r.
Całka podwójna w uogólnionych współrzędnych biegunowych
Twierdzenie
Niech obszar D
0
dany w uogólnionych współrzędnych biegunowych (ze stałymi
a i b ) będzie regularny oraz niech funkcja f (x, y) będzie ciagła na obszarze D będącym obrazem
D
0
w uogólnionym przekształceniu biegunowym. Wówczas
