1

Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Uogólnione współrzędne biegunowe

Niech a i b będą stałymi dodatnimi. Współrzędne (r, ϕ) , dla których związki ze współrzędnymi

kartezjańskimi (x, y) są dane wzorami:

(

x = a r cos ϕ

r ∈ [0, +∞)

y = b r sin ϕ

ϕ ∈ [0, 2π]

nazywamy uogólnionymi współrzędnymi biegunowymi.

Przykład

Równanie elipsy o półosiach a i b

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

zapisać w uogólnionych współrzędnych biegunowych.

Rozwiązanie:

Do równania elipsy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1 wstawiamy zależności x = a r cos ϕ i

y = b r sin ϕ :

a

2

r

2

cos

2

ϕ

a

2

+

b

2

r

2

sin

2

ϕ

b

2

= 1

r

2



cos

2

ϕ + sin

2

ϕ



= 1

r

2

= 1.

Zatem równanie elipsy o półosiach a i b w uogólnionych współrzędnych biegunowych (ze stałymi
a i b ) ma postać: r = 1 dla ϕ ∈ [0, 2π).

Przekształcenie

(r, ϕ)

−→ ( x(r, ϕ) , y(r, ϕ) )

gdzie

x(r, ϕ) = a r cos ϕ

y(r, ϕ) = b r sin ϕ

nazywamy uogólnionym przekształceniem biegunowym.
Jakobian uogólnionego przekształcenia biegunowego jest równy:

J (r, ϕ) =







∂x

∂r

(r, ϕ)

∂x

∂ϕ

(r, ϕ)

∂y
∂r

(r, ϕ)

∂y

∂ϕ

(r, ϕ)







=







a cos ϕ

− a r sin ϕ

b sin ϕ

b r cos ϕ







=

ab r cos

2

ϕ + ab r sin

2

ϕ = ab r.

Całka podwójna w uogólnionych współrzędnych biegunowych

Twierdzenie

Niech obszar D

0

dany w uogólnionych współrzędnych biegunowych (ze stałymi

a i b ) będzie regularny oraz niech funkcja f (x, y) będzie ciagła na obszarze D będącym obrazem
D

0

w uogólnionym przekształceniu biegunowym. Wówczas

2

Z

D

Z

f (x, y) dxdy =

Z

D

0

Z

f ( a r cos ϕ , b r sin ϕ ) · ab r drdϕ.

Przykład Stosując uogólnione współrzędne biegunowe oblicz pole obszaru płaskiego ograniczonego

elipsą o półosiach a i b .

Rozwiązanie: Z poprzedniego przykładu wiemy, że elipsa o półosiach a i b ma w uogólnionych

współrzędnych biegunowych (ze stałymi a i b ) równanie r = 1 dla ϕ ∈ [0, 2π). Stąd wprowadzając
uogólnione przekształcenie biegunowe mamy:

D

←− D

0

:

(

0

6 ϕ 6 2π

0

6 r 6 1

Zatem pole obszaru D ograniczonego elipsą o półosiach a i b jest równe:

|D| =

Z

D

Z

dxdy =

Z

D

0

Z

ab r drdϕ =





2π

Z

0

dϕ





·





1

Z

0

ab r dr





=

2π ·

ab

2

r

2







r=1

r=0

= ab π.