W

S P ´OL R ZE ¸ D N E B IE GU N OW E

N a p la s z c z y´z n ie u s t a lm y p e wn ¸a p ´o lp r o s t ¸a ( p´olo´s) o p o c z ¸a t ku ( biegunie) o.

W s p ´o lr z ¸e d n e b ie g u n o we p u n kt u P t o ws p ´o lr z ¸e d n e

( r, ϕ) , g d z ie r t o d lu g o ´s ´c

promienia wodz¸

acego

t e g o p u n kt u , c z yli d lu g o ´s ´c o d c in ka o d o d o P , a ϕ t o k¸a t

m i¸e d z y p ´o lo s i¸a a p r o m ie n ie m

wo d z ¸a c ym

m ie r z o n y p r z e c iwn ie d o r u c h u ws ka z ´o we k

z e g a r a . Oc z ywi´s c ie

r ≥ 0 o r a z ϕ ≥ 0 .

Je ˙ze li z a p ´o lp r o s t ¸a p r z yjm ie m y d o d a t n i¸a p ´o lo ´s 0 x u kla d u ka r t e z ja ´n s kie g o , t o

z a le ˙zn o ´s ´c m i¸e d z y ws p ´o lr z ¸e d n ym i ka r t e z ja ´n s kim i ( x, y) p u n kt u P , a je g o ws p ´o l-
r z ¸e d n ym i b ie g u n o wym i je s t n a s t ¸e p u j¸a c a : x = r c o s ϕ, y = r s in ϕ.

ZAST

OSOWAN I A CALE K OZN ACZON YCH

W e ws z ys t kic h wz o r a c h z a kla d a m y, ˙ze fu n c je : f ( x) , g( x) , r( ϕ) , x( t) , y( t) s ¸a

c i¸a g le w o d p o wie d n ic h p r z e d z ia la c h o r a z ˙ze

r( ϕ) ≥ 0 .

D O OB L ICZA N IA P ´OL FIGU R

P L A S K ICH

1 . P o le o b s z a r u

D = {( x, y) : a ≤ x ≤ b, g( x) ≤ y ≤ f( x) },

g d z ie

a < b o r a z

g( x) ≤ f( x) d la x ∈ [a, b] wyn o s i

P =

b

a

[f ( x) − g( x) ]dx.

2 . P o le o b s z a r u o p is a n e g o we ws p ´o lr z ¸e d n yc h b ie g u n o wyc h :

D = {( r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, 0 ≤ r ≤ r( ϕ) },

g d z ie

0 ≤ α ≤ β ≤ 2 π wyn o s i

P =

1
2

β

α

r

2

( ϕ) dϕ.

3 . P o le o b s z a r u D o g r a n ic z o n e g o :

kr z yw¸a o r´ownaniu parametrycznym x = x( t) , y = y( t) , t

1

≤ t ≤ t

2

,

o s i¸a 0 x
o r a z p r o s t ym i x = x( t

1

) , x = x( t

2

)

wyn o s i

P =

t

2

t

1

|y( t) x

′

( t) |dt.

Za kla d a m y t u , ˙ze

x

′

( t)

i y( t)

s ¸a c i¸a g le i s t a le g o z n a ku .

D E FIN ICJA . L ukiem gladkim n a z ywa m y t a k¸a kr z yw¸a o r ´o wn a n iu p a r a m e t r yc z n ym
x = x( t) , y = y( t) , t

1

≤ t ≤ t

2

, kt ´o r a n ie m a p u n kt ´o w wie lo kr o t n yc h ( r ´o ˙zn ym

wa r t o ´s c io m

t o d p o wia d a j¸a r ´o ˙zn e p u n kt y kr z ywe j) , d la kt ´o r e j p o c h o d n e x

′

( t) o r a z

y

′

( t) s ¸a c ia g le i d la kt ´o r e j ws z ¸e d z ie

[x

′

( t) ]

2

+ [y

′

( t) ]

2

= 0 .

L ukiem kawalkami gladkim

n a z ywa m y kr z yw¸a d a j¸a c ¸a s i¸e p o d z ie li´c n a s ko ´n c z o n ¸a

lic z b ¸e lu k´o w g la d kic h .

1

D O OB L ICZA N IA D L U GO´S CI K R ZY W Y CH

1 . D lu g o ´s ´c kr z ywe j l = {( x, y) : a ≤ x ≤ b, y = f( x) },

g d z ie

a < b o r a z

f

′

( x)

je s t c i¸a g la wyn o s i

b

a

1 + [f

′

( x) ]

2

dx.

2 . D lu g o ´s ´c kr z ywe j o p is a n e j we ws p ´o lr z ¸e d n yc h b ie g u n o wyc h :

l = {( r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, r = r( ϕ) },

g d z ie

0 ≤ α ≤ β ≤ 2 π o r a z r

′

( ϕ)

je s t c i¸a g la , wyn o s i

β

α

r

2

( ϕ) + [r

′

( ϕ) ]

2

dϕ.

3 . D lu g o ´s ´c lu ku ka wa lka m i g la d kie g o l o

r ´o wn a n iu p a r a m e t r yc z n ym

x = x( t) , y = y( t) , t

1

≤ t ≤ t

2

wyn o s i

P =

t

2

t

1

[x

′

( t) ]

2

+ [y

′

( t) ]

2

dt.

D O OB L ICZA N IA OB JE ¸ TO´S CI B R Y L OB R OTOW Y CH

1 . Ob j¸e t o ´s ´c b r yly p o ws t a le j p r z e z o b r ´o t wo k´o l o s i 0 x o b s z a r u D o g r a n ic z o n e g o :

kr z yw¸a

y = f ( x) , o s i¸a 0 x i p r o s t ym i x = a, x = b, g d z ie

a < b, wyn o s i

V = π

b

a

[f( x) ]

2

dx.

2 . Ob j¸e t o ´s ´c b r yly p o ws t a le j p r z e z o b r ´o t wo k´o l o s i b ie g u n o we j o b s z a r u D o p is a n e g o

we ws p ´o lr z ¸e d n yc h b ie g u n o wyc h : D = {( r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, 0 ≤ r ≤ r( ϕ) },
g d z ie

0 ≤ α ≤ β ≤ π, wyn o s i

V =

2
3

π

β

α

r

3

( ϕ) s in ϕdϕ.

3 . Ob j¸e t o ´s ´c b r yly p o ws t a le j p r z e z o b r ´o t wo k´o l o s i 0 x o b s z a r u D o g r a n ic z o n e g o :

kr z yw¸a o

r ´o wn a n iu p a r a m e t r yc z n ym

x = x( t) , y = y( t) , t

1

≤ t ≤ t

2

,

o s i¸a 0 x
o r a z p r o s t ym i x = x( t

1

) , x = x( t

2

)

wyn o s i

V = π

t

2

t

1

y

2

( t) |x

′

( t) |dt.

Za kla d a m y t u , ˙ze

x

′

( t)

je s t c i¸a g la i s t a le g o z n a ku .

D O OB L ICZA N IA P ´OL P OW IE R ZCH N I OB R OTOW Y CH

1 . P o le p o wie r z c h n i p o ws t a le j p r z e z o b r ´o t wo k´o l o s i 0 x kr z ywe j

l = {( x, y) : a ≤ x ≤ b, y = f( x) }, g d z ie a < b o r a z f

′

( x)

je s t c i¸a g la ,

wyn o s i

2 π

b

a

|f( x) |

1 + [f

′

( x) ]

2

dx.

2 . P o le p o wie r z c h n i p o ws t a le j p r z e z o b r ´o t wo k´o l o s i b ie g u n o we j kr z ywe j o p is a n e j

we ws p ´o lr z ¸e d n yc h b ie g u n o wyc h : l = {( r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, r = r( ϕ) }, g d z ie
0 ≤ α ≤ β ≤ π o r a z r

′

( ϕ)

je s t c i¸a g la , wyn o s i

2 π

β

α

r( ϕ) s in ϕ

r

2

( ϕ) + [r

′

( ϕ) ]

2

dϕ.

3 . P o le p o wie r z c h n i p o ws t a le j p r z e z o b r ´o t wo k´o l o s i 0 x lu ku ka wa lka m i g la d kie g o

o

r ´o wn a n iu p a r a m e t r yc z n ym

x = x( t) , y = y( t) , t

1

≤ t ≤ t

2

wyn o s i

2 π

t

2

t

1

|y( t) |

[x

′

( t) ]

2

+ [y

′

( t) ]

2

dt.

ZA D A N IA IL U S TR U JA¸ CE IN N E ZA S TOS OW A N IA

1 . D wa c ia la r o z p o c z yn a j¸a ( w c h wili t = 0 ) r u c h p r o s t o lin io wy z je d n e g o

p u n kt u z p r ¸e d ko ´s c ia m i v

1

( t) = 2 t

2

m/s, v

2

( t) = ( 5 t

2

+ 1 ) m/s. Ja ka b ¸e d z ie

o d le g lo ´s ´c m i¸e d z y n im i p o s z e ´s c iu s e ku n d a c h ?

P o d s t a wia m y d o wz o r u

s =

t

1

t

0

v( t) dt, o t r z ym u j¸a c

∆ s = s

2

− s

1

=

6

0

v

2

( t) dt −

6

0

v

1

( t) dt =

6

0

( 5 t

2

+ 1 − 2 t

2

) dt = 2 2 2 ,

z a t e m

s z u ka n a o d le g lo ´s ´c t o 2 2 2 m e t r y.

2 . Ob lic z y´c m o m e n t b e z wla d n o ´s c i wz g l¸e d e m

o s i 0 x lu ku a s t e r o id y x

2
3

+y

2
3

= 1 ,

d la

x ≥ 0 , y ≥ 0 , je ´s li g ¸e s t o ´s ´c lin io wa ̺ =

3
8

.

P o d s t a wia m y d o wz o r u :

I

x

=

b

a

̺f

2

( x)

1 + [f

′

( x) ]

2

dx

wa r t o ´s c i f ( x) = y = ( 1 − x

2
3

)

3
2

, f

′

( x) =

3
2

( 1 − x

2
3

)

1
2

· ( −

2
3

x

−

1
3

) = −

(1−x

2

3

)

1

2

x

1

3

o t r z ym u j¸a c

I

x

=

1

0

3
8

( 1 − x

2
3

)

3
2

2

1 +

1 − x

2
3

x

2
3

dx = 1 .

3 . Zn a le ´z ´c ws p ´o lr z ¸e d n e ´s r o d ka c i¸e ˙zko ´s c i je d n o r o d n e g o t r ´o jk¸a t a o wie r z c h o lka c h

( 0 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 0 , 3 ) .

P o d s t a wia m y d o wz o r u n a ws p ´o lr z ¸e d n e ´s r o d ka c i¸e ˙zko ´s c i S(

M

y

M

,

M

x

M

) t r a p e z u

kr z ywo lin io we g o

D = {( x, y) ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f( x) } ( z a kla d a m y, ˙ze

f( x) ≥ 0 ) , g d z ie m a s a

M = ̺

b

a

f ( x) dx, m o m e n t s t a t yc z n y wz g l¸e d e m

o s i 0 x t o

M

x

=

1
2

̺

b

a

f

2

( x) dx, m o m e n t s t a t yc z n y wz g l¸e d e m

o s i 0 y t o

M

y

= ̺

b

a

xf ( x) dx. Za t e m ,

M = ̺

6

0

( −

1
2

x + 3 ) dx = 9 ̺,

M

y

= ρ

6

0

x( −

1
2

x + 3 ) dx = 1 8 ̺,

M

x

=

1
2

̺

6

0

( −

1
2

x + 3 )

2

dx = 9 ̺,

S( 2 , 1 ) .

4 . Zb io r n ik w ks z t a lc ie wa lc a o p r o m ie n iu p o d s t a wy r =

√

2 m i wys o ko ´s c i

H = 3 m je s t wyp e ln io n y d o wys o ko ´s c i h = 1 m c ie c z ¸a o m a s ie wla ´s c iwe j
γ = 7 0 0 kg/m

3

. Ob lic z y´c p r a c ¸e p o t r z e b n ¸a d o wyp o m p o wa n ia ( g ´o r ¸a ) t e j

c ie c z y.

P o d s t a wia m y d o wz o r u

W = πr

2

γg

H

H−h

xdx, g d z ie g = 9 , 8 0 6 6 5 ≈ 9 , 8 1 .

Za t e m

W = π · 2 · 7 0 0 · 9 , 8 1 ·

1
2

x

2

3

2

≈ 1 0 7 8 6 7 [J].

5 . W a g a lu d z i w p e wn e j p o p u la c ji m a r o z kla d

N( 6 5 , 5 ) . Ja kie je s t p r a w-

d o p o d o b ie ´n s t wo t e g o , ˙ze lo s o wo wyb r a n a o s o b a wa ˙zy m i¸e d z y 6 5 kg a 7 0
kg .

Je ˙ze li z m ie n n a lo s o wa X m a r o z kla d n o r m a ln y N( m, σ) , t o p r a wd o p o -

d o b ie ´n s t wo t e g o , ˙ze p r z yjm ie wa r t o ´s ´c m i¸e d z y a i b wyn o s i

P ( a ≤ X ≤ b) =

b

a

f ( x) dx, g d z ie

f( x) =

1

σ

√

2 π

e

−

( x−m) 2

2σ2

.

Za t e m ,

P ( 6 5 ≤ X ≤ 7 0 ) =

70

65

1

5

√

2 π

e

−

( x−65) 2

2·25

dx ≈ 0 , 3 4 1 3 .

Zwykle z a m ia s t lic z y´c p r z yb li˙zo n ¸a wa r t o ´s ´c t e j c a lki s t a n d a r yz u je m y r o z kla d
d o

N( 0 , 1 )

i ko r z ys t a m y z t a b lic .