Wykład 13

Witold Obłoza

11 stycznia 2011

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 170

Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to

R

P (x)

√

ax

2

+ bx + c

dx = Q(x)

√

ax

2

+ bx + c + λ

R

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb

,

a rzeczywist

,

a.

PRZYKŁAD 171

R

6x

3

+ 26x

2

+ 39x + 21

√

x

2

+ 4x + 5

dx =

(Ax

2

+ Bx + C)

√

x

2

+ 4x + 5 + K

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +

√

x

2

+ 4x + 5) + C

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 170

Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to

R

P (x)

√

ax

2

+ bx + c

dx = Q(x)

√

ax

2

+ bx + c + λ

R

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb

,

a rzeczywist

,

a.

PRZYKŁAD 171

R

6x

3

+ 26x

2

+ 39x + 21

√

x

2

+ 4x + 5

dx =

(Ax

2

+ Bx + C)

√

x

2

+ 4x + 5 + K

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +

√

x

2

+ 4x + 5) + C

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 170

Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to

R

P (x)

√

ax

2

+ bx + c

dx = Q(x)

√

ax

2

+ bx + c + λ

R

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb

,

a rzeczywist

,

a.

PRZYKŁAD 171

R

6x

3

+ 26x

2

+ 39x + 21

√

x

2

+ 4x + 5

dx =

(Ax

2

+ Bx + C)

√

x

2

+ 4x + 5 + K

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +

√

x

2

+ 4x + 5) + C

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 170

Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to

R

P (x)

√

ax

2

+ bx + c

dx = Q(x)

√

ax

2

+ bx + c + λ

R

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb

,

a rzeczywist

,

a.

PRZYKŁAD 171

R

6x

3

+ 26x

2

+ 39x + 21

√

x

2

+ 4x + 5

dx =

(Ax

2

+ Bx + C)

√

x

2

+ 4x + 5 + K

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +

√

x

2

+ 4x + 5) + C

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 170

Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to

R

P (x)

√

ax

2

+ bx + c

dx = Q(x)

√

ax

2

+ bx + c + λ

R

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb

,

a rzeczywist

,

a.

PRZYKŁAD 171

R

6x

3

+ 26x

2

+ 39x + 21

√

x

2

+ 4x + 5

dx =

(Ax

2

+ Bx + C)

√

x

2

+ 4x + 5 + K

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4

R

dx

√

x

2

+ 4x + 5

=

(2x

2

+ 3x + 1)

√

x

2

+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +

√

x

2

+ 4x + 5) + C

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )

Jeżeli R jest funkcj

,

a wymiern

,

a dwóch zmiennych to podstawienia

√

ax

2

+ bx + c =

√

ax + t, gdy a > 0,

√

ax

2

+ bx + c = xt +

√

c, gdy c > 0,

√

ax

2

+ bx + c = t(x − x

1

), gdy c < 0, a < 0 gdzie x

1

jest pierwiastkiem

ax

2

+ bx + c sprowadzaj

,

a

R R(x,

√

ax

2

+ bx + c) dx do całkowania

funkcji wymiernej.

PRZYKŁAD 173

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx

√

x

2

+ 2x + 2 = x − t,

x =

1

2

·

t

2

− 2

1 + t

,

dx =

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

−1

2

·

t

2

+ 2t + 2

1 + t

.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )

Jeżeli R jest funkcj

,

a wymiern

,

a dwóch zmiennych to podstawienia

√

ax

2

+ bx + c =

√

ax + t, gdy a > 0,

√

ax

2

+ bx + c = xt +

√

c, gdy c > 0,

√

ax

2

+ bx + c = t(x − x

1

), gdy c < 0, a < 0 gdzie x

1

jest pierwiastkiem

ax

2

+ bx + c sprowadzaj

,

a

R R(x,

√

ax

2

+ bx + c) dx do całkowania

funkcji wymiernej.

PRZYKŁAD 173

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx

√

x

2

+ 2x + 2 = x − t,

x =

1

2

·

t

2

− 2

1 + t

,

dx =

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

−1

2

·

t

2

+ 2t + 2

1 + t

.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )

Jeżeli R jest funkcj

,

a wymiern

,

a dwóch zmiennych to podstawienia

√

ax

2

+ bx + c =

√

ax + t, gdy a > 0,

√

ax

2

+ bx + c = xt +

√

c, gdy c > 0,

√

ax

2

+ bx + c = t(x − x

1

), gdy c < 0, a < 0 gdzie x

1

jest pierwiastkiem

ax

2

+ bx + c sprowadzaj

,

a

R R(x,

√

ax

2

+ bx + c) dx do całkowania

funkcji wymiernej.

PRZYKŁAD 173

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx

√

x

2

+ 2x + 2 = x − t,

x =

1

2

·

t

2

− 2

1 + t

,

dx =

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

−1

2

·

t

2

+ 2t + 2

1 + t

.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )

Jeżeli R jest funkcj

,

a wymiern

,

a dwóch zmiennych to podstawienia

√

ax

2

+ bx + c =

√

ax + t, gdy a > 0,

√

ax

2

+ bx + c = xt +

√

c, gdy c > 0,

√

ax

2

+ bx + c = t(x − x

1

), gdy c < 0, a < 0 gdzie x

1

jest pierwiastkiem

ax

2

+ bx + c sprowadzaj

,

a

R R(x,

√

ax

2

+ bx + c) dx do całkowania

funkcji wymiernej.

PRZYKŁAD 173

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx

√

x

2

+ 2x + 2 = x − t,

x =

1

2

·

t

2

− 2

1 + t

,

dx =

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

−1

2

·

t

2

+ 2t + 2

1 + t

.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )

Jeżeli R jest funkcj

,

a wymiern

,

a dwóch zmiennych to podstawienia

√

ax

2

+ bx + c =

√

ax + t, gdy a > 0,

√

ax

2

+ bx + c = xt +

√

c, gdy c > 0,

√

ax

2

+ bx + c = t(x − x

1

), gdy c < 0, a < 0 gdzie x

1

jest pierwiastkiem

ax

2

+ bx + c sprowadzaj

,

a

R R(x,

√

ax

2

+ bx + c) dx do całkowania

funkcji wymiernej.

PRZYKŁAD 173

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx

√

x

2

+ 2x + 2 = x − t,

x =

1

2

·

t

2

− 2

1 + t

,

dx =

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

−1

2

·

t

2

+ 2t + 2

1 + t

.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )

Jeżeli R jest funkcj

,

a wymiern

,

a dwóch zmiennych to podstawienia

√

ax

2

+ bx + c =

√

ax + t, gdy a > 0,

√

ax

2

+ bx + c = xt +

√

c, gdy c > 0,

√

ax

2

+ bx + c = t(x − x

1

), gdy c < 0, a < 0 gdzie x

1

jest pierwiastkiem

ax

2

+ bx + c sprowadzaj

,

a

R R(x,

√

ax

2

+ bx + c) dx do całkowania

funkcji wymiernej.

PRZYKŁAD 173

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx

√

x

2

+ 2x + 2 = x − t,

x =

1

2

·

t

2

− 2

1 + t

,

dx =

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

−1

2

·

t

2

+ 2t + 2

1 + t

.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx =

R

−(t + 2)

−1

2

·

t

2

+2t+2

1+t

(1 +

1
2

·

t

2

−2

1+t

)

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt =

2

R

dt

t

= 2ln |t| + C = 2ln |x −

√

x

2

+ 2x + 2| + C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx =

R

−(t + 2)

−1

2

·

t

2

+2t+2

1+t

(1 +

1
2

·

t

2

−2

1+t

)

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt =

2

R

dt

t

= 2ln |t| + C = 2ln |x −

√

x

2

+ 2x + 2| + C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

R

√

x

2

+ 2x + 2 − x − 2

(1 + x)

√

x

2

+ 2x + 2

dx =

R

−(t + 2)

−1

2

·

t

2

+2t+2

1+t

(1 +

1
2

·

t

2

−2

1+t

)

1

2

·

t

2

+ 2t + 2

(1 + t)

2

dt =

2

R

dt

t

= 2ln |t| + C = 2ln |x −

√

x

2

+ 2x + 2| + C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt =

− 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

PRZYKŁAD 174

R

dx

√

4 + 3x − x

2

√

4 + 3x − x

2

= (x + 1)t,

x =

4 − t

2

1 + t

2

,

dx =

−10 t

(1 + t

2

)

2

dt,

√

x

2

+ 2x + 2 =

5t

1 + t

2

.

R

dx

√

4 + 3x − x

2

=

R

−10t

(1+t

2

)

2

5t

1+t

2

dt = − 2

R

dt

1 + t

2

= −2arc tg t + C =

−2arc tg

√

4 + 3x − x

2

x + 1

+ C.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 175

Jeżeli R jest funkcj

,

a wymiern

,

a dwóch zmiennych to podstawienie

x = a sint
sprowadza

R R(x,

√

a

2

− x

2

) dx do całkowania funkcji wymiernej,

podstawienie
x = a tgt
sprowadza

R R(x,

√

a

2

+ x

2

) dx do całkowania funkcji wymiernej, zaś

podstawienie

x =

1

a cost

sprowadza

R R(x,

√

x

2

− a

2

) dx do całkowania funkcji wymiernej.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 176

Całka postaci

R x

m

· (a + bx

n

)

p

dx gdzie m, n, p ∈ Q

sprowadza si

,

e do całki z funkcji wymiernejnast

,

epuj

,

acych trzech

porzypadkach:
p jest liczb

,

a całkowit

,

a (korzystamy z dwumianu Newtona),

m + 1

n

jest liczb

,

a całkowit

,

a przez podstawienie a + bx

n

= t,

m + 1

n

+ p jest liczb

,

a całkowit

,

a przez podstawienie a + bx

n

= x

n

t

r

,

gdzie r jest mianownikiem p.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 176

Całka postaci

R x

m

· (a + bx

n

)

p

dx gdzie m, n, p ∈ Q

sprowadza si

,

e do całki z funkcji wymiernejnast

,

epuj

,

acych trzech

porzypadkach:
p jest liczb

,

a całkowit

,

a (korzystamy z dwumianu Newtona),

m + 1

n

jest liczb

,

a całkowit

,

a przez podstawienie a + bx

n

= t,

m + 1

n

+ p jest liczb

,

a całkowit

,

a przez podstawienie a + bx

n

= x

n

t

r

,

gdzie r jest mianownikiem p.

CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI

TWIERDZENIE 176

Całka postaci

R x

m

· (a + bx

n

)

p

dx gdzie m, n, p ∈ Q

sprowadza si

,

e do całki z funkcji wymiernejnast

,

epuj

,

acych trzech

porzypadkach:
p jest liczb

,

a całkowit

,

a (korzystamy z dwumianu Newtona),

m + 1

n

jest liczb

,

a całkowit

,

a przez podstawienie a + bx

n

= t,

m + 1

n

+ p jest liczb

,

a całkowit

,

a przez podstawienie a + bx

n

= x

n

t

r

,

gdzie r jest mianownikiem p.

ELEMENTY ALGEBRY

DEFINICJA 177

Działaniem wewn

,

etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln

,

a funkcj

,

e

⊕ : A × A −→ A.

DEFINICJA 178

Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy

a) ł

,

acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),

b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.

DEFINICJA 179

Mówimy, że działanie wewn

,

etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element

neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.

ELEMENTY ALGEBRY

DEFINICJA 177

Działaniem wewn

,

etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln

,

a funkcj

,

e

⊕ : A × A −→ A.

DEFINICJA 178

Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy

a) ł

,

acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),

b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.

DEFINICJA 179

Mówimy, że działanie wewn

,

etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element

neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.

ELEMENTY ALGEBRY

DEFINICJA 177

Działaniem wewn

,

etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln

,

a funkcj

,

e

⊕ : A × A −→ A.

DEFINICJA 178

Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy

a) ł

,

acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),

b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.

DEFINICJA 179

Mówimy, że działanie wewn

,

etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element

neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.

ELEMENTY ALGEBRY

DEFINICJA 180

Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.

DEFINICJA 181

Zbiór A z działaniem ł

,

acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj

,

acy

warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup

,

a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup

,

e (A, ⊕)

nazywamy grup

,

a przemienn

,

a lub grup

,

a abelow

,

a lub grup

,

a Abela.

DEFINICJA 182

Jeżeli w zbiorze A określone s

,

a dwa działania wewn

,

etrzne ⊕, ⊗ to

mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl

,

edem działania ⊕ wtw gdy

∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).

ELEMENTY ALGEBRY

DEFINICJA 180

Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.

DEFINICJA 181

Zbiór A z działaniem ł

,

acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj

,

acy

warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup

,

a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup

,

e (A, ⊕)

nazywamy grup

,

a przemienn

,

a lub grup

,

a abelow

,

a lub grup

,

a Abela.

DEFINICJA 182

Jeżeli w zbiorze A określone s

,

a dwa działania wewn

,

etrzne ⊕, ⊗ to

mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl

,

edem działania ⊕ wtw gdy

∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).

ELEMENTY ALGEBRY

DEFINICJA 180

Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.

DEFINICJA 181

Zbiór A z działaniem ł

,

acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj

,

acy

warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup

,

a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup

,

e (A, ⊕)

nazywamy grup

,

a przemienn

,

a lub grup

,

a abelow

,

a lub grup

,

a Abela.

DEFINICJA 182

Jeżeli w zbiorze A określone s

,

a dwa działania wewn

,

etrzne ⊕, ⊗ to

mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl

,

edem działania ⊕ wtw gdy

∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).

ELEMENTY ALGEBRY

DEFINICJA 183

Jeżeli w zbiorze A określone s

,

a dwa działania wewn

,

etrzne ⊕, ⊗ takie, że

spełnione s

,

a warunki

1) (A, ⊕) jest grup

,

a przemienn

,

a z elementem neutralnym e

0

,

2) (A \ {e

0

}, ⊗) jest grup

,

a przemienn

,

a z elementem neutralnym e

1

6= e

0

,

3) działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl

,

edem działania ⊕

to (A, ⊕, ⊗) nazywamy ciałem.

ELEMENTY ALGEBRY

TWIERDZENIE 184

W zbiorze R

2

= R × R określamy dwa działania ⊕, ⊗ ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaj

,

a zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb

rzeczywistych.

R

2

z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami

neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla ⊕ i ⊗.

ELEMENTY ALGEBRY

TWIERDZENIE 184

W zbiorze R

2

= R × R określamy dwa działania ⊕, ⊗ ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaj

,

a zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb

rzeczywistych.

R

2

z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami

neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla ⊕ i ⊗.

ELEMENTY ALGEBRY

Wykażemy, że (R

2

, ⊕) jest grup

,

a przemienn

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn

,

etrzności

działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ł

,

aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R

2

((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).

L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)

Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.

ELEMENTY ALGEBRY

Wykażemy, że (R

2

, ⊕) jest grup

,

a przemienn

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn

,

etrzności

działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ł

,

aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R

2

((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).

L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)

Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.

ELEMENTY ALGEBRY

Wykażemy, że (R

2

, ⊕) jest grup

,

a przemienn

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn

,

etrzności

działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ł

,

aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R

2

((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).

L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)

Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.

ELEMENTY ALGEBRY

Wykażemy, że (R

2

, ⊕) jest grup

,

a przemienn

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn

,

etrzności

działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ł

,

aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R

2

((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).

L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)

Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.

ELEMENTY ALGEBRY

Wykażemy, że (R

2

, ⊕) jest grup

,

a przemienn

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn

,

etrzności

działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ł

,

aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R

2

((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).

L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)

Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

oraz

(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).

Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.

Element przeciwny. ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).

podobnie

(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

ma element przeciwny postaci

(−a, −b) ∈ R

2

.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

oraz

(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).

Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.

Element przeciwny. ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).

podobnie

(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

ma element przeciwny postaci

(−a, −b) ∈ R

2

.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

oraz

(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).

Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.

Element przeciwny. ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).

podobnie

(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

ma element przeciwny postaci

(−a, −b) ∈ R

2

.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

oraz

(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).

Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.

Element przeciwny. ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).

podobnie

(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

ma element przeciwny postaci

(−a, −b) ∈ R

2

.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

oraz

(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).

Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.

Element przeciwny. ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).

podobnie

(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

ma element przeciwny postaci

(−a, −b) ∈ R

2

.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

oraz

(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).

Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.

Element przeciwny. ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).

podobnie

(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

ma element przeciwny postaci

(−a, −b) ∈ R

2

.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

oraz

(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).

Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.

Element przeciwny. ∀(a, b)

(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).

podobnie

(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

ma element przeciwny postaci

(−a, −b) ∈ R

2

.

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =

∗

(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Wykażemy, że (R

2

\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =

∗

(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Wykażemy, że (R

2

\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =

∗

(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Wykażemy, że (R

2

\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =

∗

(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Wykażemy, że (R

2

\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =

∗

(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Wykażemy, że (R

2

\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =

∗

(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Wykażemy, że (R

2

\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =

∗

(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb

rzeczywistych.

Wykażemy, że (R

2

\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup

,

a.

Wewn

,

etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)} oraz

(a, b) ⊕ (c, d) = (0, 0)

Mamy (a · c − b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a st

,

ad

(

ac − bd = 0

bc + ad = 0

Rozwi

,

azujemy powyższy układ traktuj

,

ac c i d jako niewiadome.

W = a

2

+ b

2

, W

c

= 0, W

d

= 0.

Ponieważ (a, b) 6= (0, 0) wi

,

ec W 6= 0 zatem układ ma dokładnie jedno

rozwi

,

azanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi

wewn

,

etrzności ⊗ w zbiorze R

2

\ {(0, 0)}.

ELEMENTY ALGEBRY

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)} oraz

(a, b) ⊕ (c, d) = (0, 0)

Mamy (a · c − b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a st

,

ad

(

ac − bd = 0

bc + ad = 0

Rozwi

,

azujemy powyższy układ traktuj

,

ac c i d jako niewiadome.

W = a

2

+ b

2

, W

c

= 0, W

d

= 0.

Ponieważ (a, b) 6= (0, 0) wi

,

ec W 6= 0 zatem układ ma dokładnie jedno

rozwi

,

azanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi

wewn

,

etrzności ⊗ w zbiorze R

2

\ {(0, 0)}.

ELEMENTY ALGEBRY

Ł

,

aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R

2

((a, b) ⊗ (c, d)) ⊗ (p, q) = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊗ (p, q)).
L = ((a, b) ⊗ (c, d)) ⊗ (p, q) = (ac − bd, ad + bc) ⊗ (p, q)
= ((ac − bd)p − (ad + bc)q, (ac − bd)q + (ad + bc)p)
= (acp − bdp − adq − bcq, acq − bdq + adp + bcp)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊗ (p, q)) = (a, b) ⊗ (cp − dq, cq + dp)
= (a(cp − dq) − b(cq + dp), a(cq + dp) + b(cp − dq))
= (acp − adq − bcq − bdp, acq + adp + bcp − bdq)) =
(acp − bdp − adq − bcq, acq − bdq + adp + bcp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P.

ELEMENTY ALGEBRY

Element neutralny. Mamy ∀(a, b) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊗ (1, 0) = (a, b)
oraz
(1, 0) ⊗ (a, b) = (a, b).
Zatem (1, 0) jest elementem neutralnym dla ⊗.
Element przeciwny. ∀(a, b) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) + (

a

a

2

+ b

2

,

−b

a

2

+ b

2

) = (

a

2

+ b

2

a

2

+ b

2

, 0) = (1, 0).

Podobnie

(

a

a

2

+ b

2

,

−b

a

2

+ b

2

) + (a, b) = (

a

2

+ b

2

a

2

+ b

2

, 0) = (1, 0).

Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R

2

\ {(0, 0)} ma element odwrotny

postaci (

a

a

2

+ b

2

,

−b

a

2

+ b

2

) ∈ R

2

\ {(0, 0)}.

ELEMENTY ALGEBRY

Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R

2

\ {(0, 0)}

(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, bc + ad) =

∗

(ca − db, cb + da) = (c, d) ⊗ (a, b).

∗

Równość wynika z premienności mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pozostaje wykazać rozdzielność ⊗ wzgl

,

edem ⊕ czyli, że

∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R

2

(a, b) ⊗ ((c, d) ⊕ (p, q)) = ((a, b) ⊗ (c, d)) ⊕ ((a, b) ⊗ (p, q)).
L = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊗ (c + p, d + q)
= (a(c + p) − b(d + q), a(d + q) + b(c + p)) =
(ac + ap − bd − bq, ad + aq + bc + bp)
((a, b) ⊗ (c, d)) ⊕ ((a, b) ⊗ (p, q))
= (ac−bd, ad+bc)⊕((ap−bq, aq+bp) = (ac+ap−bd−bq, ad+aq+bc+bp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P. Dowód Twierdzenia jest wi

,

ec zakończony.

LICZBY ZESPOLONE

UWAGA 185

Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) + ·(y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistyc na pierwszych elementach pary
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1). Oznaczając Liczbę (0, 1)
przez i i identyfikując liczby postaci (x, 0) zliczbą rzeczywistą x
otrzymamy z = a + bi.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

DEFINICJA 187

Dowoln

,

a liczb

,

e zespolon

,

a z możemy przedstawić w postaci nazywanej

postaci

,

a trygonometryczn

,

a liczby zespolonej

z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

TWIERDZENIE 189

Dziel

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i

odejmujemy argumenty.

TWIERDZENIE 190

Podnosz

,

ac liczb

,

e zespolon

,

a w postaci trygonometrycznej do pot

,

egi n

podnosimy moduł do pot

,

egi n i mnożymy argument oprzez n.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

TWIERDZENIE 189

Dziel

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i

odejmujemy argumenty.

TWIERDZENIE 190

Podnosz

,

ac liczb

,

e zespolon

,

a w postaci trygonometrycznej do pot

,

egi n

podnosimy moduł do pot

,

egi n i mnożymy argument oprzez n.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

TWIERDZENIE 189

Dziel

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i

odejmujemy argumenty.

TWIERDZENIE 190

Podnosz

,

ac liczb

,

e zespolon

,

a w postaci trygonometrycznej do pot

,

egi n

podnosimy moduł do pot

,

egi n i mnożymy argument oprzez n.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

TWIERDZENIE 189

Dziel

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i

odejmujemy argumenty.

TWIERDZENIE 190

Podnosz

,

ac liczb

,

e zespolon

,

a w postaci trygonometrycznej do pot

,

egi n

podnosimy moduł do pot

,

egi n i mnożymy argument oprzez n.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 191

Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej

|z|(cosϕ + i sin ϕ), s

,

a postaci ω

k

=

n

p|z|(cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.

TWIERDZENIE 192

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

z

1

± z

2

= z

1

± z

2

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

i jeśli z

2

6= 0 to

z

1

z

2

=

z

1

z

2

.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 191

Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej

|z|(cosϕ + i sin ϕ), s

,

a postaci ω

k

=

n

p|z|(cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.

TWIERDZENIE 192

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

z

1

± z

2

= z

1

± z

2

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

i jeśli z

2

6= 0 to

z

1

z

2

=

z

1

z

2

.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) =

2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) =

32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).